На правах рукописи Окишев Юрий Александрович МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПТИМАЛЬНОГО ПРЯМОГО
реклама
На правах рукописи Окишев Юрий Александрович МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПТИМАЛЬНОГО ПРЯМОГО ДВУХИМПУЛЬСНОГО ПЕРЕЛЕТА В ЛУННУЮ ТОЧКУ ЛИБРАЦИИ L1 ПРИ ЗАДАННОМ ВРЕМЕНИ ПОПАДАНИЯ Специальность 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Саратов 2014 Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Клинаев Юрий Васильевич Официальные оппоненты: Ольшанский Владимир Юрьевич, доктор физико-математических наук, профессор, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки «Институт проблем точной механики и управления РАН» (ИПТМУ РАН), г. Саратов, главный научный сотрудник Старинова Ольга Леонардовна, доктор технических наук, профессор, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева (Национальный Исследовательский Университет)», г. Самара, профессор кафедры космического машиностроения Ведущая организация: Открытое акционерное общество «Российская корпорация ракетно-космического приборостроения и информационных систем» (ОАО «Российские космические системы»), г. Москва Защита состоится « 23 » июня 2014 г. в 13-00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.242.08 при ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» по адресу: 410054, Саратов, ул. Политехническая, 77, ауд. 319/1. С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» по адресу: 410054, г. Саратов, ул. Политехническая, 77 и на сайте www.sstu.ru Автореферат разослан « ______» мая 2014 г. Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.242.08 д.т.н., профессор 2 А.А. Терентьев ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность работы. Одними из перспективных направлений космической деятельности являются исследования планет и малых небесных тел Солнечной системы. В системе Земля – Луна одна из пяти точек либрации L1 за счет своего уникального расположения между Землей и Луной в случае разворачивания лунной программы может стать идеальным местом для строительства орбитальной базы обслуживания и заправки или ретрансляционного пункта и, как следствие, ключевым узлом грузового потока Земля – Луна. Реализация этих проектов потребует практического решения транспортной задачи по доставке космического аппарата (КА) в точку либрации при обеспечении требований по энергозатратам и характеристикам и параметрам баллистики перелёта. В некоторых космических проектах требуется достаточно быстро доставить КА в заданное пространство, для этого используют КА с химическим ракетным двигателем (ХРД). Доставка космического аппарата с ХРД должна осуществляться, как правило, с минимизацией энергетических расходов, так как увеличение полезной массы – обычно главная задача проекта (стоимость доставки 1 кг полезного груза только на геостационарную орбиту ракетоносителем «Союз» составляет около $ 25 000). На космический аппарат (КА) во время баллистического перелета с низкой околоземной орбиты в лунную точку либрации L1 действуют силы гравитационного воздействия Земли, Луны и Солнца, следовательно, построение математической модели движения должно проходить в рамках задачи трех тел. Масса КА пренебрежимо мала по отношению к небесным телам, поэтому математическое моделирование баллистического перелета сводится к решению так называемой ограниченной задачи трех тел. Фундаментальной работой, посвященной задаче трех тел, является труд В. Себехея «Теория орбит. Ограниченная задача трех тел» (1964 г.). Вопросам оптимизации баллистических перелетов в рамках задачи трех тел посвящены работы Ильина В.А., Малышева В.В., Петухова В.Г., Понтрягина Л.С., Энеева Т.М. и других авторов. Для задачи реализации баллистического перелета в лунную точку либрации L1 В.И. Левантовский определил значение потребного суммарного импульса скорости, при этом второй импульс скорости равняется 650 м/с. Однако, задача с использованием актуальной базы данных о движении небесных тел по григорианскому календарю и реализация высокой точности решения с учетом возмущающих факторов – второй зональной гармоники Земли и влияния Солнца, а также анализ вкладов этих факторов, решена не была. Цель диссертационной работы: разработка численной математической модели, алгоритма и программного комплекса, который учитывает данные о положении и движении небесных тел в реальном времени, для определения оптимального прямого баллистического перелета КА с минимальными энергетическими затратами с низкой околоземной орбиты в точку либрации L1 3 системы Земля – Луна в заданную дату попадания с учетом возмущающих ускорений – Земли как сжатого сфероида, Луны, Солнца, а также прецессии лунной орбиты. Достижение цели работы требует решения следующих задач: 1. Разработка численных алгоритмов для проведения баллистического анализа и создание на этой основе программного комплекса для расчёта и исследования баллистических траекторий с учётом различных факторов физической природы и обусловленных технологическими требованиями к реализации операций доставки КА. 2. Численный анализ ограниченной задачи трех тел методами прогноза и коррекции различных порядков; реализация сходимости решения системы уравнений движения и заданных координат точки либрации путем решения линеаризованной краевой задачи, определение начальных параметров, обеспечивающих минимальные энергетические расходы для произвольно выбранного времени попадания в точку либрации. 3. Исследование и сравнительный анализ относительных вкладов в обеспечение оптимального решения транспортной задачи на периоде обращения Луны следующих факторов: времени перелета, второй зональной гармоники, прецессии орбиты Луны, возмущающего ускорения Солнца. Для математического моделирования баллистического перелета были использованы следующие подходы и методы исследования: законы движения КА в рамках задач двух и трех тел, численные и аналитические методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, численные методы решения краевых задач, методы объектнои проблемно-ориентированного программирования и системы компьютерной алгебры. Объект исследования – траектория перелета КА, оснащенного ХРД, с низкой околоземной орбиты в точку либрации L1 системы Земля – Луна. Предмет исследования – математические модели для расчета и оптимизации траектории космического аппарата. Достоверность и обоснованность научных положений, результатов и выводов диссертационной работы подтверждается использованием адекватных математических моделей движения, учитывающих основные возмущающие факторы (гравитационный потенциал Земли, Луны и Солнца, а также второй зональной гармоники Земли) на всех участках движения КА, использованием апробированных численных методов решения систем дифференциальных уравнений, решения краевой и оптимизационной задачи, а также экспертными оценками специалистов в области математического моделирования, численных методов, динамики и баллистики летательных аппаратов при обсуждении промежуточных и основных результатов на научных конференциях и семинарах. Научная новизна работы: 1. Предложена численная математическая модель и усовершенствован метод поиска оптимального баллистического перелета КА в лунную точку либрации L1 в заданное время попадания, отличающиеся в использовании реальных данных о положении и скорости небесных тел в зависимости от времени, учете второй зональной гармоники Земли и возмущающего ускорения Солнца. 2. В рамках предложенной модели сформирован эффективный алгоритм упрощенного определения краевых условий, основанный на комбинации нулевого 4 приближения, полученного из решения задачи двух тел, и линеаризованного способа нахождения корректирующих аргументов начальных параметров. 3. Впервые разработан эффективный программно-алгоритмический комплекс моделирования оптимального прямого двухимпульсного перелета КА с низкой околоземной орбиты в точку либрации L1 системы Земля – Луна, отличающийся возможностью учета большего числа возмущающих факторов физической природы и произвольности момента времени реализации транспортной задачи, адаптируемый для проведения баллистических расчетов траекторий доставки КА в точки либрации других планетных систем. 4. Программный комплекс предусматривает использование находящихся в открытом доступе математических моделей расчёта эфемерид небесных тел, которые позволяют в процессе движения КА получать достоверную информацию о положении и скорости Луны и Солнца в геоцентрической экваториальной системе координат в реальном времени. 5. Использование предложенных алгоритмов и разработанного программного комплекса позволило: обеспечить точность попадания КА в точку либрации с величиной ошибки порядка 10-6м; выявить две возможные схемы перелета для одного времени попадания в точку либрации L1, которые принципиально отличаются друг от друга, с точки зрения энергетики перелета, когда Луна находится в окрестности своих узловых точек; установить зависимость значения суммарного импульса скорости от даты попадания в точку либрации для двух выявленных способов перелета, которые обладают двумя экстремумами, расположенными друг от друга на расстоянии, равном половине периода обращения Луны вокруг Земли; временная зависимость каждого из двух типов решения асимметрична, положения экстремумов суммарного импульса примерно совпадают, но сами экстремумы для двух способов перелёта противоположны по смыслу; впервые определить оптимальную дату попадания в точку либрации на ближайшем периоде прецессии орбиты Луны, которая составляет 18,6 лет (2011 – 2030 гг.) и этой датой является 24 декабря 2024 г., что стало возможным за счет учета возмущающих факторов и использовании реальных данных о положении небесных тел. предоставить окна запуска для осуществления оптимального баллистического перелета в точку либрации L1, длительностью от двух до трех суток для каждого из способов перелета, на каждом периоде обращения Луны вокруг Земли. Теоретическая значимость, практическая ценность реализации результатов Разработанный математический метод формирования оптимальной баллистической траектории в заданный момент времени попадания в точку либрации может служить теоретической основой построения численных моделей баллистических перелетов КА в точки либрации других систем трех тел Солнечной системы. В случае использования в сложных орбитальных системах (например, в окрестности крупных планет, таких как Юпитер или Сатурн) необходимо учитывать гравитационные возмущения всех небесных тел, входящих 5 в эту систему. Практическая и техническая ценность работы заключается в разработке программного комплекса, который позволяет в любую заданную дату попадания в лунную точку либрации L1 рассчитать оптимальную траекторию перелета КА в точку либрации, определить минимальный потребный суммарный импульс скорости, оптимальное время перелета и координаты точки старта. Найдены: оптимальная дата попадания в точку либрации L1 системы Земля – Луна, координаты точки старта в геоцентрической экваториальной системе координат и минимальный суммарный импульс скорости. Соответствие паспорту специальности. Указанная область исследования соответствует паспорту специальности 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ, а именно пунктам: 1. Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений, перечисленных в формуле специальности; 3. Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей для использования на предварительном этапе математического моделирования; 4. Разработка, обоснование и тестирование эффективных численных методов с применением ЭВМ; 5. Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемноориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента. Основные результаты и положения, выносимые на защиту: 1. Метод расчета и поиска оптимального решения двухимпульсного баллистического перелета КА в точку либрации L1 системы Земля – Луна с низкой околоземной орбиты. 2. Положение Луны на периоде ее обращения вокруг Земли оказывает существенное влияние на выбор схемы построения базовой орбиты КА, а именно: в некоторых случаях различие в суммарном импульсе скорости при разных схемах построения базовой орбиты составляет около 200 м/с. 3. Выбор даты попадания на периоде обращения Луны вокруг Земли в точку либрации является ключевым фактором, который определяет энергетические затраты перелета, при этом время перелета является критерием поиска оптимального решения транспортной задачи для каждой даты попадания. 4. Программный комплекс «L1Moon2025» моделирования оптимального двухимпульсного баллистического перелета космического аппарата с низкой околоземной орбиты в точку либрации L1 системы Земля – Луна как решение частной задачи трех тел с учетом второй зональной гармоники Земли и возмущающего ускорения Солнца. Для обеспечения практического применения полученных результатов в обязательном порядке необходимо использовать базу данных с информацией о скорости и положении небесных тел по григорианскому календарю. Программный комплекс позволяет определить необходимые импульсы скорости для перелета в лунную точку либрации L1 в любую заданную дату попадания, при старте с любого космодрома и с любой высоты базовой орбиты. 5. На ближайшем периоде лунной прецессии (18,6 лет) оптимальной датой попадания в точку либрации L1 системы Земля – Луна является 24 декабря 2024 года, что доказывает решение уравнения движения КА с учетом возмущающих ускорений Земли, Луны и Солнца с использованием данных о реальных положениях небесных тел. 6 Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации были представлены на следующих конференциях: XXV, XXVI, XXVII Международных научных конференциях «Математические методы в технике и технологиях» (ММТТ25, Волгоград, ММТТ-26, Н.Новгород, ММТТ-27, Саратов, 2012, 2013, 2014), XI Конференция молодых ученых «Фундаментальные и прикладные космические исследования» (Москва, Институт космических исследований РАН, 9-11 апреля 2014). Публикации. Основное содержание и результаты диссертации опубликованы в 10 работах, в том числе в 4 статьях в рецензируемых журналах из Перечня ВАК Минобрнауки РФ. На Программный комплекс моделирования и оптимизации «L1Moon2025» получено свидетельство о государственной регистрации электронного ресурса ИНИМ РАО РФ (Объединённый фонд электронных ресурсов «Наука и образование» РФ). Список основных работ автора, отражающих существо диссертационной работы, приведен в конце автореферата. Результаты, представленные в работе, получены лично автором на основе обсуждения ключевых пунктов исследования с научным руководителем – д.ф.-м.н., профессором Ю.В. Клинаевым (СГТУ) и д.т.н., профессором М.С. Константиновым (НИУ МАИ). Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, приложения и списка использованной литературы. Работа изложена на 154 страницах, содержит 23 рисунка, 11 таблиц, 39 рисунков Приложения. Список использованной литературы включает 132 наименования. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении дана общая характеристика работы: обоснована актуальность, отмечены научная новизна и практическая значимость работы. Формулируются цели и задачи исследования. Проанализированы и обоснованы применяемые в работе методы исследования. В первой главе дано определение критерия оптимальности баллистического перелета, описывается схема двухимпульсного баллистического перелета космического аппарата (КА) с химическим ракетным двигателем (ХРД). Сформулирована система уравнения движения КА в геоцентрической экваториальной системе координат. Описывается алгоритм математического моделирования оптимального перелета. Точки либрации – особые точки в ограниченной задаче трех тел, в которых третье тело с пренебрежимо малой массой, может оставаться неподвижным относительно этих тел. Таких точек в окрестности двух массивных тел пять. Точки Лагранжа обозначают заглавной латинской буквой L с числовым индексом от 1 до 5. Все точки Лагранжа лежат в плоскости орбит массивных тел. Точка L1 находится между двумя телами системы, ближе к менее массивному телу. Очевидно, что точка L1 принадлежит радиус-вектору и плоскости орбиты Луны. 7 Рассматривается схема прямого двухимпульсного баллистического перелета (рис. 1) между базовой круговой низкой околоземной орбитой (базовой), на которую аппарат вместе с химическим разгонным блоком выводится ракетоносителем и орбитой коллинеарной точки либрации L1. Баллистический перелет реализуется двумя включениями химического ракетного двигателя. Первый импульс скорости V1 реализует переход КА на перелетную орбиту, лежащую в плоскости базовой орбиты, и определяется как разность вектора скорости КА на базовой орбите, необходимый для перехода на перелетную орбиту и вектора круговой скорости КА на базовой орбите. При этом точка старта является перицентром перелетной орбиты. Второй импульс скорости V2 происходит в апоцентре перелетной орбиты, обеспечивает поворот плоскости перелетной орбиты и переход КА на орбиту точки либрации L1. Определяется как разность векторов скорости точки либрации L1 VL1 (который можно определить, зная скорость Луны) и скорости КА в конце перелетной орбиты V КА L1 . Описанная схема перелета реализуется при условии, что радиус-вектор точки либрации RL1 принадлежит плоскости базовой орбиты в момент попадания КА в точку L1. Рис. 1. Схема баллистического перелета КА в точку либрации L1 системы Земля – Луна в геоцентрической экваториальной системе координат На рис 1 L1 – долгота восходящего узла орбиты точки L1, 0 – долгота восходящего узла базовой орбиты КА. u 0 – аргумент широты точки схода базовой орбиты. RКА – положение КА в произвольный момент времени относительно Земли; R0 – положение КА на базовой орбите в момент схода с нее; i L1 – наклонение орбиты точки L1, i 0 – наклонение базовой орбиты КА, i – разность между наклонениями базовой и орбиты точки либрации. Пунктирной линией отображены элементы, которые находятся в южном полушарии, т.е. ниже экваториальной плоскости. 8 За критерий оптимальности реализации баллистического перелета примем: V min , где V V1 V2 . Движение КА рассматривается под действием сил гравитационного воздействия со стороны Солнца, Луны и Земли, при этом Земля рассматривается как сжатый по полюсам сфероид (учитывается вторая зональная гармоника гравитационного потенциала Земли). Сформулируем систему уравнений движения КА (1), с учетом всех возмущающих факторов, которые рассматриваются в работе, на основе ограниченной задачи трех тел в геоцентрической экваториальной системе координат (ГЭСК). dx КА Vx КА ; dt dy КА dt Vy КА ; dz КА Vz ; КА dt dVx КА E x КА Луны x Луны (t ) Луны ( x КА x Луны (t )) C xC (t ) C ( x КА xC (t )) 3 3 dt R КА rЛуны (t ) rC3 (t ) ( R КА rЛуны (t ) ) 3 ( R КА rC (t ) ) 3 2 2 3 E J 2 R E x КА 5 z КА 1 5 2 ; 2 R КА R КА dVy y ( t ) Луны ( y КА y Луны (t )) C y C (t ) C ( y КА y C (t )) y Луны Луны КА E 3 КА 3 R КА rЛуны (t ) rC3 (t ) dt ( R КА rЛуны (t ) ) 3 ( R КА rC (t ) ) 3 2 3 J R2 y 5 z КА E 2 E КА 1 5 2 ; 2 R КА R КА z ( t ) Луны ( z КА z Луны (t )) C z C (t ) C ( z КА z C (t )) dVz z Луны Луны КА E 3 КА 3 dt R КА rЛуны (t ) rC3 (t ) ( R КА rЛуны (t ) ) 3 ( R КА rC (t ) ) 3 2 2 5 z КА 3 E J 2 R E z КА 3 5 2 . 2 R КА R КА (1) км 3 – гравитационный параметр Земли, с2 RЕ 6378км – экваториальный радиус Земли, J 2 0,0010826348 – коэффициент 2-й где VКА – вектор скорости КА, E 398600 км 3 – гравитационный с2 км 3 параметр Луны, rЛуны ( x Луны , y Луны , z Луны ) – радиус-вектор Луны, С 1,3271244 1011 2 – с гравитационный параметр Солнца, rС ( xС , yС , z С ) – радиус-вектор Солнца. зональной гармоники геопотенциала Земли, Луны 4902,72 В системе (1) в уравнениях с 4 по 6: первое слагаемое – ускорение КА в задаче двух тел (Земля – КА); второе слагаемое – ускорение, которое имеет Земля в ограниченной задаче двух тел (Луна – Земля), если массу Земли считать негравитирующей; третье слагаемое – ускорение КА в задаче двух тел (Луна – КА); четвертое слагаемое характеризует ускорение Земли относительно Солнца в рамках задачи двух тел Солнце – Земля, если массу Земли считать негравитирующей; пятое слагаемое – ускорение КА в рамках задачи двух тел Солнце – КА; шестое слагаемое учитывает сжатие Земли по полюсам, которое зависит от положения КА на базовой орбите. Численные значения координат Луны и Солнца, входящие в возмущающие факторы, вызванные действием гравитационных сил Солнца и Луны, системы (1) зависят от времени и в процессе баллистического перелета меняются. Достоверная 9 информация о положении небесных тел в произвольный момент времени содержится в базе данных – планетарии DE-403 производства JPL (Jet Propulsion Laboratory). (http://ssd.jpl.nasa.gov/?planet_eph_export) Анализ проводится для заданного времени попадания TK КА в лунную точку либрации L1. TK определяется в сутках с начала рассматриваемой эпохи. Для численного интегрирования применяется метод Рунге-Кутты 4-го порядка. Алгоритм поиска оптимального баллистического перелета для каждой заданного времени попадания КА в точку либрации фактически состоит из 3 этапов: 1. Нулевое приближение: определение вектора начальных значений (радиусвектор точки старта R0 ( x0 КА , y0 КА , z 0 КА ) и вектора скорости, после первого импульса скорости VКА1 (VxКА1 ,VyКА1 ,Vz КА1 ) ) и численное интегрирования системы уравнений движения КА (1). Вектор начальных значений находится из условий перехода Цандера-Гомана в рамках задачи двух тел. 2. Краевая задача: устранение невязки решения первого этапа путем корректировки начальных значений. 3. Оптимизационная задача: определение времени перелета, при котором реализуется критерий оптимальности V min . При этом для каждого нового значения времени перелета применяется решение краевой задачи. Первый этап – этап нахождения вектора начальных значений движения КА (положение и скорость) в момент схода КА с базовой орбиты в ГЭСК. Для этого представим зависимость начальных значений как функцию углов , i, u . Из условий антиколлинеарности радиус-векторов точки старта и точки либрации, принадлежности радиус-вектора точки либрации базовой орбите, а также зная положение точки либрации в ГЭСК, определяются углы 0 ,u 0 для точки старта. При этом стоит учитывать, что существует возможность использовать два способа построения базовой орбиты для баллистического перелета в точку L1 при заданном времени попадания. В дальнейшем первое решение (1 , u1 ) будем называть траекторией перелета из нисходящего узла орбиты, а решение (2 , u2 ) – траекторией перелета из восходящего узла орбиты. Для простоты и компактности записи дальнейших выражений долготу восходящего узла и аргумент широты будем записывать как и u соответственно, принимая во внимание, что существуют два решения. Для выражения радиус-вектор точки старта и скорость КА в точке старте в ГЭСК, зная значения углов , i, u , используется матрица перехода от перицентральной к экваториальной системе координат: cos cos sin cos i sin sin cos cos cos i sin sin i sin B cos sin sin cos i cos sin sin cos cos i cos sin i cos , (2) sin sin i cos sin i cos i где – аргумент перицентра орбиты. Положение КА в точке старта является перицентром перелетной орбиты, следовательно, в матрице (2) u . Первый столбец матрицы определяет радиальную, второй – трансверсальную и третий – нормальную составляющую вектора. 10 Зависимость радиус-вектора начальных значений от углов , i, u имеет вид R0 ( RЗ H 0 ) B(, i, u )1 , (3) где RЗ 6371км - средний радиус Земли, H 0 – высота базовой орбиты, B(, i, u ) – первый столбец матрицы (2). Зависимость вектора скорости КА на базовой орбите в точке схода с нее от углов i,, u имеет вид 1 VКА1 B(, i, u ) 2 (V0 V1 ) , (4) где B(, i, u) – второй столбец матрицы (2), V0 – круговая скорость КА на базовой орбите, V1 – трансверсальный импульс скорости и определяется из условия двухимпульсного перехода Цандера-Гомана. Интервал интегрирования системы (1) t [TK t п ; TK ] , где t п – время перелета, в нулевом приближении определяется из 3-го закона Кеплера. Графический результат численного интегрирования системы (1) с начальным условиями (3) и (4) представлен на рис. 2. 2 Рис 2. Проекции траектории КА и точки либрации L1 на оси X-Y и X-Z. Квадратом отображено положение точки либрации Невязка конечного значения радиус-вектора КА и точки либрации обусловлена использованием начальных значений из задачи двух тел для решения ограниченной задачи трех тел. Величина «промаха» составляет порядка 103 км. Второй этап – этап устранения выявленной невязки решения и определения суммарного импульса скорости. Результат численного решения системы уравнений движения КА (конечный радиус-вектор и вектор скорости КА в точке либрации) в неявной форме зависит от значений наклонения базовой орбиты, долготы восходящего узла, аргумента широты, времени перелета и первого V f 2 (i, , u, t п , V1 ) . Требуется Rk f1 (i, , u, t п , V1 ) , импульса скорости: определить такую комбинацию i, , u, t п , V1 , которая обеспечит выполнение условия транспортной задачи: Rk ( xk , y k , z k ) RL1 ( x L1 , y L1 , z L1 ) . На этапе решения краевой задачи время перелета t п считаем заданным из нулевого приближения. Наклонение базовой орбиты i постоянно и задается выбором космодрома запуска ракетоносителя. Вектор начальных значений можно также выразить следующей зависимостью: R0 ( RE H 0 ) B( , i, u u )1 VКА1 B( , i, u u ) 2 (V0 V1 Vn ) при условии, что 0, u 0 и Vn 0 . (5) 11 Определяем значения приращения , u, Vn для вектора начальных значений, которые обеспечивают совпадение радиус-вектора КА с радиусвектором точки либрации. Траектория КА после решения краевой задачи представлена на рис. 3. Рис. 3. Проекции траектории КА и точки либрации L1 на оси X-Y и X-Z после решения краевой задачи. Квадратом отображено положение точки либрации. Радиус-вектор КА асимптотически стремится к радиус-вектору точки либрации во время движения КА. Рис. 4. Изменение проекций радиус-векторов КА и точки либрации на оси x, y и z во время движения КА По итогам решения краевой задачи определяется значение суммарного импульса скорости: V V1 Vn VL1 VКА , где VКА – скорость КА в конце L1 L1 перелетной орбиты – точке либрации, который определен численным решением системы (1) с начальными значениями, которые скорректированы краевой задачей. Величина «промаха» по итогам решения краевой задачи составляет 10-9км. На третьем этапе решается оптимизационная задача. Поиск оптимального решения баллистического перелета достигается варьированием времени перелета t пopt t п 0,5суток; t п 0,5суток, что позволяет определить суммарный импульс скорости, который удовлетворяет критерию оптимальности V min . Для каждого времени перелета решается краевая задача и находится по вышеописанному алгоритму значение суммарного импульса скорости. Локальный экстремум полученной зависимости является оптимальным решением поставленной задачи. Результаты решения оптимизационной задачи отображены на рис. 5. 12 Рис. 5. Зависимость суммарного импульса скорости от времени перелета КА в лунную точку либрации L1 в заданное время попадания Решение оптимизационной задачи позволяет при практической реализации перелета осуществить альтернативный выбор: перелет с минимальными энергетическими затратами или выбранным временем перелета. Последовательное применение описанного алгоритма дает возможность определить: а) необходимый оптимальный суммарный импульс скорости для реализации прямого двухимпульсного перелета; б) оптимальное время перелета; в) координаты точки старта в ГЭСК для попадания КА в точку либрации в заданное время попадания. Во второй главе приведено численное решение системы уравнений движения КА для выбранного периода обращения Луны вокруг Земли на основе сформированного алгоритма, рассматривается зависимость суммарного импульса скорости от даты попадания КА в точку либрации для двух способов построения базовой орбиты. Обосновывается выбор рассматриваемой эпохи. Проводится анализ влияния положения Луны на энергетику перелета. Для дальнейшего анализа, рассматриваемой эпохой был выбран 2025 год, когда наклонение орбиты Луны максимально. Предполагается, что старт ракетоносителя с КА производится с космодрома «Байконур» и наклонение базовой орбиты i 0 51,6 . Для сокращения машинного времени и получения ключевых зависимостей первичный анализ на периоде обращения Луны вокруг Земли проводится только с учетом гравитационного влияния Земли и Луны. Зависимость значения суммарного импульса скорости от даты попадания в лунную точку либрации L1 для двух способов построения базовой орбиты приведена на рис.6. В качестве рассматриваемого периода был произвольно выбран апрель 2025 года. Разработанный алгоритм не накладывает особых условий на выбор месяца в рассматриваемой эпохе. Величина шага итерации была выбрана 2 суток, и она может варьироваться. Рис. 6. Зависимость значений суммарного импульса скорости от даты попадания в точку либрации L1. Сплошной линией показаны значения для решения ( 2 , u2 ) , пунктирной линией – для решения (1 , u1 ) . 13 Анализ зависимости рис.6 показывает, что с точки зрения энергетических затрат решение (2 , u2 ) является оптимальным. Зависимость суммарного импульса скорости каждого из двух способов построения базовой орбиты асимметрична, положения экстремумов суммарного импульса примерно совпадают по дате попадания в точку либрации, но сами экстремумы для двух способов перелёта противоположны по смыслу. При изменении рассматриваемого периода меняются значения, но сохраняется зависимость. При втором способе построении плоскости базовой орбиты можно определить достаточно длительное окно старта. Для данного рассматриваемого месяца 2025 года оптимальными датами попадания являются 102-103,5 день с начала рассматриваемой эпохи. Анализ положения Луны на рассматриваемом периоде дает возможность утверждать: 1. Если перелет осуществляется, когда Луна находится в окрестности полярных точек орбиты, то оба решения ( (1 , u1 ) и (2 , u2 ) ) дают примерно одинаковые требуемые суммарные импульсы скорости и выбор схемы построения базовой орбиты не принципиален. 2. Если решение соответствует случаю, когда Луна находится в окрестности своих узловых точек, то выбор схемы построения базовой орбиты становится принципиальным и определяющим энергетику перелета. 3. Минимальный импульс скорости достигается в момент, когда Луна находится в своем апоцентре, что подтверждает теорию межорбитальных перелетов. Результаты анализа позволяют в дальнейшем достаточно быстро выбрать период для дальнейшего поиска оптимального баллистического перелета. В третьей главе проанализирован вклад возмущающих факторов второй зональной гармоники и Солнца на энергетику перелета. Определена оптимальная дата попадания на ближайшем периоде прецессии Луны. Выбор дат поиска оптимального решения зависит от положения Солнца (рис. 7). Рис. 7. Расстояние до Солнца и Луны в зависимости от даты с начала рассматриваемой эпохи в окрестности минимального расстояния до Солнца Проведен поиск значений оптимального суммарного импульса скорости в окрестности минимального расстояния до Солнца на интервале дат [-8;2] с начала рассматриваемой эпохи. Для решений ограниченной задачи трех тел с учетом только Земли и Луны, с учетом второй зональной гармоники и с учетом возмущающего ускорения Солнца найдены потребные массы топлива (таблица 1) при использовании РН «Протон-М», в качестве ракетоносителя и РД-254 – маршевого двигателя КА. 14 Таблица 1 Оптимальные значения баллистического перелета с поочередным учетом возмущающих факторов Дата попадани я с начала эпохи, сутки -8 -7 -6 -4 -2 0 2 Оптимальные значения при влиянии только Земли и Луны Суммарны й импульс скорости, м/с 3729 3728 3731 3752 3795 3860 3938 Масса топлива , кг 15098 15097 15104 15148 15239 15375 15533 Оптимальные значения с учетом второй зональной гармоники Суммарны й импульс скорости, м/с 3732 3731 3731 3754 3796 3862 3939 Масса топлива , кг 15104 15102 15102 15151 15241 15378 15535 Оптимальные значения с учетом второй зональной гармоники и влияния Солнца Суммарны Масса й импульс топлива скорости, , кг м/с 3729 15099 3727 15094 3729 15099 3749 15141 3793 15234 3863 15380 3943 15542 Оптимальной датой попадания в точку либрации L1, с точки зрения энергетики перелета является -7 день с начала рассматриваемой эпохи – 24 декабря 2024 года. Также можем определить оптимальное окно запуска, которое соответствует попаданию КА в точку либрации на интервале 23 декабря-25 декабря 2025 года. Относительные вклады возмущающих факторов второй зональной гармоники Земли и возмущающего ускорения Солнца на энергетику перелета в зависимости от даты попадания в точку либрации L1 представлены на рис. 8. Рис. 8. Относительный вклад возмущающих ускорений второй зональной гармоники Земли и Солнца в зависимости от даты попадания в точку либрации. В качестве оси абсцисс – оптимальные решения для перелета с учетом только влияния Земли и Луны 15 При реализации космического проекта по доставке КА в точку либрации L1 системы Земля – Луна сформированный алгоритм, максимально приближенный к реальным условиям, позволяет учесть вклад возмущающих факторов второй зональной гармоники и Солнца. При перелете в определенные даты КА может доставить на несколько килограмм полезной нагрузки больше. В четвертой главе приведен поэтапный пример решения в программном комплексе «L1Moon2025» для произвольно заданной даты попадания в точку либрации L1 системы Земля – Луна согласно разработанному алгоритму (рис. 10). Учитывая практическую невозможность реализации комплекса входных параметров, соответствующих оптимизированному решению, проведено исследование влияния погрешностей задания начальных параметров (наклонение орбиты, долгота восходящего узла, аргумент широты и первый импульс скорости) на величину невязки значения конечного радиус-вектора КА и радиус-вектора точки L1. Установлена линейная зависимость величин невязки при равномерном увеличении допуска, который устанавливается используемыми ракетоносителями и разгонными блоками на значение оптимального параметра, интерпретируемое как среднее значение (рис. 9). Рис. 9. Влияние погрешности наклонения и долготы восходящего узла базовой орбиты на величину невязки конечного решения 16 Рис. 10. Блок-схема программного комплекса «L1Moon2025» и алгоритма поиска оптимального двухимпульсного баллистического перелета в точку либрации L1 системы Земля – Луна Результатами решения будем считать оптимальные значения суммарного импульса скорости, координаты точки старта на базовой орбите, оптимальное время перелета для заданного времени перелета. Оптимальной датой попадания КА в точку либрации L1 систем Земля – Луна при старте с низкой околоземной орбиты высотой 300 км является 24 декабря 2024 года в 12:00. Наклонение и долгота восходящего узла базовой орбиты равны i 51,6° и 10,267° . Суммарный импульс скорости равен V 3727 м / с , первый и второй импульс скорости равны V1 3099 м / с и V1 627,781м / с , соответственно. Координаты точки старта на базовой орбите в экваториальной геоцентрической системе координат: XКА0=6286154,3 м, YКА0=1976130,821 м, ZКА0=1039795,634 м. Время перелета составляет 4,25 суток. Дата старта КА с базовой орбиты, при которой реализуется оптимальный перелет в точку либрации, – 06:00, 20 декабря 2024 г. Приложение 1 содержит техническое описание, описание интерфейса, программный код комплекса моделирования «L1Moon2025» в системе компьютерной алгебры MathCAD и руководство пользователя. 17 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 1. Разработана новая методика численного моделирования баллистического перелёта с низкой околоземной орбиты в точку либрации L1 системы Земля – Луна в заданное время попадания в точку либрации, позволяющая производить расчет и оптимизацию двухимпульсного перелета космических аппаратов, оснащенных химическим ракетным двигателем. 2. Разработаны алгоритмы и программный комплекс, реализующие полученные методики для попадания в лунную точку либрации L1 в любую заданную дату. 3. Проведен анализ влияния даты попадания на потребный суммарный импульс скорости, необходимый для перелета в точку либрации. 4. Положение Луны в окрестности своих узловых точек оказывает существенное влияние на выбор схемы построения базовой орбиты КА. 5. Оптимальной датой попадания в лунную точку либрации L1 на ближайшем периоде прецессии Луны является 24 декабря 2024 года. 6. Проведен анализ вкладов возмущающих факторов на значение суммарного импульса скорости и массы топлива. 7. Выявлено и определено линейное влияние погрешности задания вектора начальных значений на рост величины невязки конечного решения, при этом «промах», обусловленный погрешностью задания долготы восходящего узла, на три порядка больше невязки за счёт ошибки наклонения базовой орбиты. 8. К числу перспективных направлений будущих исследований относятся анализ времени пребывания в окрестности точки либрации, а также разработка математической модели перелета КА на электроракетной двигательной установке. СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ Публикации в изданиях, рекомендованных Перечнем ВАК Минобрнауки РФ 1. Окишев Ю.А. Разработка математической модели баллистического анализа перелета космического аппарата с низкой околоземной орбиты в точку либрации L1 системы «Земля-Луна» как решение частной ограниченной задачи трех тел с учетом прецессии орбиты Луны / Ю.А. Окишев, Ю.В. Клинаев // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2012. № 4 (68). C. 61-68. 2. Окишев Ю.А. Основные подходы к численному моделированию частной задачи трех тел для баллистического анализа перелета космического аппарата с низкой околоземной орбиты в точку L1 системы «Земля-Луна» / Ю.А. Окишев, Ю.В. Клинаев // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2013. № 1 (69). C. 44-49. 3. Окишев Ю.А. Математическое моделирование частной ограниченной задачи трех тел с учётом второй зональной гармоники в геоцентрической экваториальной системе координат / Ю.А. Окишев, Ю.В. Клинаев // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2013. № 4 (73). С. 44-51. 4. Окишев Ю.А. Численный метод поиска оптимальных дат попадания в лунную точку либрации L1, с учетом влияния нецентральности гравитационного поля Земли и возмущающего ускорения Солнца / Ю.А. Окишев // Электронный журнал «Труды МАИ», №73, 2014.– 25 с. – http://www.mai.ru/science/trudy/published.php?ID=48482 18 Другие публикации 5. Окишев Ю.А. Математическая модель баллистического анализа перелета космического аппарата в точку либрации системы «Земля-Луна» / Ю.А. Окишев, Ю.В. Клинаев // Математические методы в технике и технологиях – ММТТ-25: сб. тр. XXV Междунар. науч. конф.: в 10 т. Т. 6. Саратов: СГТУ, 2012. С. 71-74. ISBN 978-5-7433-2386-9 6. Окишев Ю.А. Алгоритм поиска оптимальной траектории баллистического перелета с низкой околоземной орбиты в точку либрации L1 системы «Земля-Луна» / Ю.А. Окишев, Ю.В. Клинаев // Прикладные аспекты исследований в радиофизике, электронике и спектроскопии: сб. науч. ст. Саратов: ООО Изд. Центр «Рата», 2013. С. 5061. ISBN 978-5-91659-114-9 7. Окишев Ю.А. Анализ влияния положения луны на выбор схемы космического перелета в зависимости от даты попадания космического аппарата в точку L1 системы «Земля-Луна» / Ю.А. Окишев, Ю.В. Клинаев // Информационные технологии, системы автоматизированного проектирования и автоматизация: сб. науч. тр. IV Всерос. науч.-техн. конф. с междунар. участием. Саратов: СГТУ, 2012. С. 114-118. ISBN 978-5-7433-2323-4 8. Окишев Ю.А. Математическое моделирование баллистического перелета космического аппарата с низкой околоземной орбиты в точку либрации L1 системы «Земля-Луна» с учетом нецентральности гравитационного поля Земли / Ю.А. Окишев, Ю.В. Клинаев // Математические методы в технике и технологиях – ММТТ-26: сб. тр. XXVI Междунар. науч. конф.: в 10 т. Т. 10. Н.Новгород: Нижегород. гос. техн. ун-т, 2013. С. 62-66. ISBN 978-5-7433-2386-9 9. Окишев Ю.А. Программный комплекс «L1Moon2025» моделирования оптимального двухимпульсного баллистического перелета космического аппарата с низкой околоземной орбиты в точку либрации L1 системы «Земля – Луна» с учетом второй зональной гармоники и влияния Солнца / Ю.А. Окишев, Ю.В. Клинаев // Хроники объединенного фонда электронных ресурсов. Наука и образование. № 02 (57). Февраль 2014. С. 6. Патентный документ 10. Свидетельство о регистрации электронного ресурса № 19916 ИНИМ РАО РФ. Объединённый фонд электронных ресурсов «Наука и образование»: Программный комплекс «L1Moon2025» моделирования оптимального двухимпульсного баллистического перелета космического аппарата с низкой околоземной орбиты в точку либрации L1 системы «Земля – Луна» с учетом второй зональной гармоники и влияния Солнца / Ю.А. Окишев, Ю.В. Клинаев. РТО. 05286136.00047. 12 с., дата регистрации 06.02.2014 19 Подписано в печать 02.04.14 Формат 60×84 1/16 Бум. офсет. Усл. печ. л. 1,0 Уч.-изд. л. 1,0 Тираж 100 экз. Заказ 48 Бесплатно Саратовский государственный технический университет 410054, Саратов, Политехническая ул., 77 Отпечатано в Издательстве СГТУ. 410054, Саратов, Политехническая ул., 77 Тел.: 24-95-70; 99-87-39, е-mail: izdat@sstu.ru 20