СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ В ТРУДАХ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА. С.В. Синегубов (Воронежский институт МВД России, Воронеж.) 1. В 2007 году отмечался 300-летний юбилей великого математика Леонарда Эйлера. Общеизвестен его вклад во многие разделы математики и физики. В течение почти 30 лет в 1727-1741 и 1766-1783 годах Эйлер работал в России, им сделан неоценимый вклад в становление Российской (Петербургской) Академии наук, подготовку академических кадров для нашей страны и создание авторитетного научного сообщества, способного решать не только фундаментальные, но и жизненно важные для своего времени прикладные вопросы. Именно Эйлером были даны определения наиболее известных специальных функций и изучены их основные свойства . Так в письме к Гольдбаху в 1729 году им были определены гамма-функции как решения давно назревшей и широко обсуждавшейся в то время задачи об обобщении факториалов на нецелые значения аргумента. В работах 1730 и 1739 годов Эйлер ввёл бета-функции, определив для них интегральное представление и формулу связи с гамма-функциями. Эти исследования вошли в знаменитый учебник Эйлера “Введение в Анализ” [1], изданный в 1748 году. Им же впервые определены в виде рядов и как решения соответствующих дифференциальных уравнений и не совсем справедливо называемые нами сейчас функции Бесселя . Наконец, в фундаментальном труде “Интегральное исчисление” Эйлером были впервые даны: интегральное представление и некоторые преобразования для гипергеометрической функции Гаусса, определение и функциональное уравнение для дзета-функции Римана вместе с её применениями в теории чисел, теорема сложения для эллиптических функций [2]. Отметим, что фразу из предыдущего абзаца “…не совсем справедливо называемые нами сейчас…” в этом абзаце нужно было бы повторить трижды, что ничуть не принижает великих последователей Леонарда Эйлера – Гаусса, Римана, Лежандра. Таким образом, имя Леонарда Эйлера должно быть по исторической справедливости связано практически со всеми основными специальными функциями. 2. История возникновения функций Бесселя связана с уравнением Риккати , названного так позднее по предложению Д’Аламбера. В современных обозначениях это дифференциальное уравнение первого порядка с квадратичной нелинейностью вида dy a ( x ) b( x ) y c( x ) y 2 . Частные случаи этого уравнения (специальное уравнение dx Риккати) были изучены представителями многочисленной семьи Бернулли. По-видимому, впервые вопрос о решении простейшего подобного уравнения (точнее, сводящегося к нему заменой переменных уравнения y ' x 2 y 2 ) рассмотрен Иоанном Бернулли в 1694 г. и Якобом Бернулли в 1697 г. Уравнение достаточно долгое время не поддавалось решению ведущих математиков. Примерно в 1703-1704 годах Якоб Бернулли нашёл замечательную формулу для его решения в виде частного двух рядов, что, по-видимому, считалось не вполне удовлетворительным решением задачи для тех лет, ведь само определение функции, включающее представление в виде ряда, ещё не существовало. 1 Зато при этом впервые возникли функции Бесселя J (x ) с индексом . 3 Исследование общего уравнения Риккати было завершено Эйлером в двух мемуарах 1760-х годов, в которых был изучен ещё один пропущенный предельный случай, выражающийся через элементарные функции. Позднее Лиувилль доказал, что исследованные Бернулли и Эйлером случаи выражения решения в элементарных функциях исчерпывают все возможные. Кроме того, Эйлер указал общий метод интегрирования уравнения Риккати путём сведения к линейному уравнению первого порядка. Там же им было показано, что если известно одно частное решение, то общее находится двумя квадратурами, а если известны два частных решения-то одной единственной. В 1738 г. Даниил Бернулли рассмотрел в его формулировке задачу о колебаниях висящей цепи. При этом впервые была явно выписана функция J 0 ( x ) . Эйлер привёл в 1781 г. современный вывод решения этого уравнения методом разделения переменных, который до сих пор переписывается в учебниках без изменений вместе с предложенным им же названием – уравнение колебаний струны. В 1764 г. Эйлер рассмотрел задачу об упругих колебаниях круглой мембраны, которая также вошла во все современные учебники практически без изменений. В найденном им методом разделения переменных решении впервые возникли функции Бесселя J (x ) с произвольным целым индексом. Затем в период 1770-1820 гг. функции Бесселя появлялись в работах Лагранжа, Карлини, Лапласа и Пуассона. В основном в этот период исследовались их астрономические приложения в связи с уравнением Кеплера и асимптотические формулы. В знаменитой работе Фурье 1822 г. “Аналитическая теория теплоты” функции J 0 ( x ) использовались при решении методом разделения переменных уравнения теплопроводности. Фурье доказал (не совсем строго, оперируя с целыми функциями как с многочленами), что они имеют бесконечное число вещественных нулей и не имеют комплексных. Он также вывел разложение в цепную дробь логарифмической производной, формулу для так называемого интеграла Бесселя, формулы для коэффициентов разложения произвольной функции в ряд по функциям Бесселя. Теперь необходимо упомянуть и о вкладе немецкого астронома и математика Фридриха Вильгельма Бесселя в изучение функций, названных его именем. Они встречаются сначала в его работе 1819 г. при выводе разложения в ряд радиус-вектора движения планеты. Затем функции Бесселя были им подробно изучены в мемуаре 1824 г. За основу Бесселем принималось интегральное представление Фурье, которое мы теперь называем почему-то интегралом Бесселя 1 J n ( x ) cos( x sin t nt )dt . (1) 0 Сам Бессель был уверен, что вышеприведённое интегральное представление (1) даёт определение функций, согласованное с известными ранее определениями через ряды, не только для целых, но и для всех вещественных значениях индекса. Теперь мы знаем, что это неверно. Для нецелых n представление (1) определяет на самом деле так называемые функции Ангера-Вебера , а для представления самих функций J (x ) оно должно быть дополнено ещё одним слагаемым, как это следует из интегралов Шлефли и Сонина . ЛИТЕРАТУРА. 1. Леонард Эйлер. Введение в анализ бесконечных. Т. 1-2, Изд. 2-е, М., Гос. физ.-мат. издательство, 1961. 2. Леонард Эйлер. Интегральное исчисление. Т. 1-3, М.-Л., Гос. издательство физ. – мат. литературы , 1956 – 1958. 3. Юшкевич А.П. Леонард Эйлер. М., изд-во «Знание», 1982.