Государственный университет – Высшая школа экономики Факультет мировой экономики. Программа дисциплины:

Государственный университет – Высшая школа экономики
Факультет мировой экономики.
Программа дисциплины:
Основы элементарной математики
(для студентов 1-го курса в качестве дисциплины «по выбору»)
Автор: ст. преподаватель А. Ю. Гофман
Декан факультета мировой экономики
С.А. Караганов
«___» ________________ 2010 г.
Зав. кафедрой Высшей математики
на факультете экономики
Ф.Т. Алескеров
«___» ________________ 2010 г.
Тематический план учебной дисциплины
Название темы
1. Основные элементарные функции (ОЭФ), их свойства и
графики. Сложные функции. Поведение функций около точек
разрыва и «на краях» области определения. Множество
значений сложной функции:
d
y  at 2  bt  c, y  2
, y  log q at 2  bt  c  , где
at  bt  c
x
t  sin x или t  2 и т.п.
2. Множества. Операции над множествами. Свойство
A1  A2   B1  B2   A1  B1   A2  B1   A1  B2   A2  B2 
при решении систем уравнений.
3. Понятие функции. Способы задания функции. Числовые
функции. Прямая и обратная функции, их графики на примере
ОЭФ ( y  2 x; y  2x ; y  x 2 ; y  x ; y  2 x ; y  log 2 x и т.д.).
Поиск обратной функции.
4. Линейная функция и ее свойства. Пучок прямых. Линейные
уравнения и неравенства. Система линейных уравнений (2х2),
ее исследование.
5. Модуль числа. Модуль функции. Свойство модуля. Графики
рациональных функций, содержащих модуль. Уравнения и
неравенства, содержащие модуль. Графическое решение
уравнений и неравенств (линейных и квадратичных) с модулем
и без модуля.
6. Необходимые и достаточные условия. Нематематические,
промежуточные, математические примеры. Простейшие
логические задачи с параметром.
7. Графики функций y  f (x) , заданных уравнением:
F ( x, y )  0 . Преобразование графиков: сдвиги, сжатиярастяжения, симметричное отражение. Семейство парабол,
семейство окружностей, семейство гипербол.
8. Понятие наклонной асимптоты. Поиск уравнения асимптоты
дробно-рациональной функции.
9. Понятие производной. Геометрический смысл. Производная
обратной функции. Правила поиска производных ОЭФ.
Экстремумы функций. Наибольшие и наименьшие значения
функций, заданных на отрезке.
10. Сопряжение прямой и параболы, прямой и окружности,
прямой и гиперболы. Решение уравнений высоких степеней
(исследование количества корней).
11. Графическое решение задачи поиска условного экстремума
функции двух переменных.
12. Векторы. Свойства и действия с векторами. Скалярное
произведение векторов. Направляющий вектор прямой.
Параллельность и перпендикулярность прямых.
Итого:
Количество часов
Домашняя
Семинары
работа
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
4
2
2
2
4
4
2
2
32
26
Примеры задач для разбора на семинарах и дома:
1. Построение графиков
Первый уровень сложности:
2x  3 y 12 ; y  x2 8x 19 ; y  x 13 ; y  2x  2 ; y  log 2 (4x) ;
y  log3 ( x 1) ; x2  y 2  2x
Второй уровень сложности:
y  x 1 1 ; y  x 1
y  x 2  4 x 1
 
x  2 y  6 ; y  x  2 2
y  x2 4 x
;
y  x 1 x  7
;

;
y  6x  x 2
y  x 2  6 x 9
;
y  log 2 (4  x) ; x 2  y 2  2 x  4 y
y  2  8x  x 2
;
y  6 x
;
;
;
;
;
y  2 x 2 ;
6 x2
; y
y  6xx21 ; y  6xx15
x 2
2
Третий уровень сложности
x  y  x  y  6 ; y  x 2  y  x 2  4x  6 ; y  log


y  log x  y x 2  y 2  / 1 ; y  log
y 1 1  x  2  2
;
x2  y2
x
2
y   / 1
x
2
;
2x  2 y / 1 ;
y  max{x2  5x ; 6} ;
y  min{2 x  y ; 2 x  y ; 6}
Дан график функции
y  axx cb
;
y
1
;
2
ax  bx  c
y  a  b  cx
–
y  2ax
2 bx c
найти знаки а,
;
b, c
y  (1 a) x
2 bx  c
;
2. Решение уравнений и неравенств
3 4 ;
x 1
 
x
x 2  4x ; x  7 11 ; 2x  7  5 ; 2x  8 ; (4 2 ) x  8 ;
 9 ; sin x  12
cos x   12 ; tg x  1 ; x 2  4x  x  4
;
log 2 x  1 ; log 1 x  1 ; log x 2  1 ; log x 3  1 ; arcsin x  6
;
1
3 3
;
3
arccos x  3
arcsin 2x  23 ;
;
3. Поделить многочлен на многочлен
x3  4x2  6x 1
x2  6x 11
на
3x2 10x  7
на
на
x2  x ;
x2 ;
x 1 ;
Найти целую часть от деления многочленов:
( x  3)( x  7)3
(2 x 1)( x  6) 2
;
;
( x 1) 2
( x  2)3
x( x  5) 4
;
( x 1) 4
4. Даны функции:
g(x)  x2 ; h( x)  sin x ; f (x)  x5 ; p( x)  x
;
t ( x) 
x .
2
x 1
Найти функции:
y  hg (x) ; y  g h(x) ; y  f h(x) ; y  pg (x) ; y  g  p(x) ;
y  t g (x) ; y  t  p(x) ; y  pth(x) ; y  f h p(x) ;
y  t h f (x)
5. Найти обратную функцию к заданной:
 y  x 2

 x  0
;
y  x3 ; y  2x 1 ;
3
 y  4  x 2

  2  x  0
y  arctg2x ;
;
 y  2 sin x
   x  
 2
2
 y  x 2  6 x

 x 3
;
;
 y  cos3 x

0  x 
 y  x 2  6 x

 x  0
;
;
y  x2x2
6. Решить систему уравнений:
6.1
x 2  y 2 5( x  y)
 2
2
x  4 y  2( x  2 y)
6.3
 x  y x 2  x 1  x  y

 x 13x  y  ( x  2) x 1




6.2
 x 1 y 2  y 1  x 1
 2
 x  4 x  4 sin y sin y
6.4
x 3  y 3  7( x  y)
 3 3
x  y 13( x  y)


7. На плоскости Х0Y изобразить эскизы семейства линий, заданных
уравнением.
7.1
3x  4 y  a ,
7.2
y  x 2  4x  a ,
7.3
y( x  2)  a ,
7.4
y x a ,
7.5
y  x 2  a ,
7.6
y
( x  6) 2
a
a1 12; a2 18; a3  24
при
при
при
при
, при
a1  0; a2  4; a3  8
a1  0; a2  2; a3  4; a4  2
a1  0; a2  2; a3  6; a4  2
при
a1  0; a2  2; a3  6;
a1  101 ; a2  12 ; a3  2; a4  1
7.7
x2  2x  y 2  a ,
a ,
7.8
y
x 1
7.9
y2  x2
2x
при
a ,
a1  0; a2 1; a3  5;
при
a1  1; a2  4; a3  12;
при
a1  0; a2  1; a3  4; a4  8
8. В каких пределах изменяется:
8.1 величина “
y  9  ( x 5) 2
y
”, если
x
8.2 величина “ 3x  4 y ”, если
8.3 величина “ x 2  y 2 ”, если
y  9  ( x 10) 2 ;
(x  6)2  ( y 8)2  4 ;
8.4 величина “ y  x2  4x ”, если
8.5 величина “ x 
8.6 величина “
y ”,
x  y 6;
y( x  2) 16 ;
если
y 12
”, если
x
;
y 16 x 1 ;
8.7 величина “ x3 y 2 ”, если
3x  4 y 12 ;
Дать графическую интерпретацию постановки задачи и ее решения на плоскости X0Y.
9. Куда стремится значение функции y(x):
1
y( x)  2 x , если
x  0
(х стремится к 0 справа)
1
y( x)  2 x , если
x  0
(х стремится к 0 слева)
y( x)  lg sin x ,
если
x  2
y( x)  lg sin x ,
если
x   0
1
2
y( x)  2 x 1 , если
x  1 0
1
2
y( x)  2 x 1 , если
x 1 0
y( x) 
 x  2  0
, если  x  2  0

x2
 x  2  0
x2 4
y( x)  36xx12
, если
y( x)  63xx21 ,
x  
x  
если
y( x)  log 2 (2x 1)  log 2 ( x 1) ,
если
y( x)  log 2 (8x 1)  log 2 ( x 17) ,
y( x) 
x  
если
x  
 x  3  0

2 x  6 , если  x  3  0
x  3  0
x 2 9

x  3  0
10. Найти множество значений функции
y  x2  4x ,
если
x [1; 3]
y  4sin 2 x  4sin x 11
,
y  x48
4
если
x [2 ; 4)  (4 ; 8]
y  4x  6  4x 11
y( x)  log 1 (16  4 x  6  2 x )
5
y  6x  x 2 ,
если
x [1; 5]
y  ( x 1)(x  3)(x  7)(x  9) ,
если
x [4 ; 7]
11. Найти какой-нибудь вектор сонаправленный с прямой
12. Найти какой-нибудь вектор перпендикулярный прямой
которого равна 10.
13. Найти косинус острого угла между прямыми
14. Найти х и у, если векторы
(коллинеарны).
(1 ; x  2 ; y)
a  (8 ; 18)
e2  (2 ; 4) .
15. Представить вектор
e1  (1 ; 3)
и
и
y  2x  6
y  2x  6 , длина
y  2x  6
и
y  3x  8
( x  2 ; 1 ; 6) сонаправлены
линейной комбинацией векторов
16. Найти все значения параметра m, при которых система
mx  4 y  m 2

x  my  2
имеет бесчисленное множество решений.
17. Выбрать верные утверждения:
Если
A( x) : x  1 ; B( x) : x2 1 ; C( x) : x2 1 ; D( x) : x 10 ;
E( x) : x  20 ; F ( x) : x  50 ,

A 2) достаточно для  B
3) ни то, ни другое для 
1) небходимо для

B 2) достаточно для  A
3) ни то, ни другое для 
то:
1) небходимо для
;
A
1) небходимо для
1) небходимо для
;
…. и т.д. Всего 30 утверждений.
B

2) достаточно для

3) ни то, ни другое для 

2) достаточно для

3) ни то, ни другое для 
C …….
C …….
Проект итоговой контрольной работы
Вариант 1
1.
Решить неравенства:
x2  6x
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
2.
2 x 1
x 1
x2 12x  0
  9
1
x
3 3
3
log 3 (2  x)  2
x 2  x
Даны функции
g ( x)  e x ; h( x)  cos x ; f ( x)  x3  4x ;
Найти функции:
y1  f h( x)
2.1
2.2
2.3
3.
 
y2  hg ( x) f ( x)
y3  g  f h( x)
Решить систему уравнений
 x  2 ( y 2  y 1)  x  2
 2
 ( x  4 x  4) sin y sin y
4.
Построить эскизы семейства линий, заданных уравнением
y  x  6  a , при a1  3; a2  6; a3  6;
y  2  8x  x 2
5.
Построить эскиз графика функции:
6.
В каких пределах изменяется величина " y 
что
7.
x  6 " , если известно,
3x  4 y  24
Найти множество значений функции

y  log 1 2 x 3  4 x
2

8.
Куда стремятся значения функции
если
x  
9.
Найти производную функции:
10.
Найти производную функции:
y  log 2 (8x 1)  log 2 (2x 11) ,
f ( x)  sin 7 x
 
g ( x)  cos x 5
11.
Найти вектор, сонаправленный прямой, заданной уравнением
y  3x  5 , если известно, что его длина равна 10.
12.
Найти все “x”, при которых два вектора
a  (1 ; x ; 3) и
b  ( x2 ; 2 ; 1) перпендикулярны.
13.
Найти все значения параметра “m”, при которых система
mx  4 y  m 2

x  my  2
14.
не имеет решений.
Найти все значения параметра “a”, при которых из условия
A : x a  2
следует условие
B : x2 12x  0 .
Вариант 2
1.
Решить неравенства:
x
1.1
1.2
1.3
1.4
x 2  8x
3x  2
x 3
1.5
1.6
x4  5
1.7
x 2  4x  5  0
1.8
 1   1
4
2 2
log 2 x  2
2x  7 11
log 1 x  1
3
2.
3.
Даны функции
g ( x)  e x ; f ( x)  arctgx ; h(x)  x 1 ;
Найти функции:
y1  h g ( x)
2.1
2.3
2.2
2.4
 
y2  f g ( x)h( x)
y3  g  f x
y4  f g hx
Решить систему уравнений
 3x  4 ( y 2  5 y 1) 5 3x  4

2
 ( x  4 x  4) y 1  y 1
4.
Найти множество значений функции
4.1
4.2
4.3
5.
y  x2 10x , если x [2 ; 11]
y  log 2 8x  x 2
y  ( x 1)( x  2)( x  8)( x  9) , если x [2 ; 7]


В каких пределах изменяется величина " x  y" , если
y  8 ( x 10) 2 . Дать графическую – на плоскости X0Y –
интерпретацию решения задачи.
6.
Найти производные функций
6.1
7.

f ( x)  sin x 3  x

f (x)
6.2
Найти значение производной функции:
f ( x) 123 5x 7
в точке
x0  3
f (x)  tg 5 (2x)
8.
В каких пределах изменяется величина "
y
x  6 2
" , если y  12  6x .
Дать графическую – на плоскости X0Y – интерпретацию решения
задачи.
9.
Куда стремится значение функции
y  12(2x 3)
x 9
, если х стремится к 3
слева?
10.
Найти вектор, сонаправленный прямой, заданной уравнением
3x  4 y  12 , если известно, что его длина равна 10.
11.
Найти все х, при которых два вектора
a  ( x ;  5 ; 1)
и
b  ( x ; x ;  4) перпендикулярны.
12.
Найти все значения параметра “m”, при которых система уравнений
mx  4 y  m 2

2
mx  m y  2m
13.
a  (7 ; 9)
e2  (2 ; 3) .
Представить вектор
e1  (1 ; 2)
14.
имеет бесконечное множество решений
и
линейной комбинацией векторов
Выбрать верные утверждения (из 12-ти):
Если
A( x) : x 1 ; B( x) : x  10 ; C( x) :1 x  9 ; D( x) : 2  x  3 ;
то:

A 2) достаточно для  B
3) ни то, ни другое для 
1) небходимо для

B 2) достаточно для  A
3) ни то, ни другое для 
1) небходимо для
;
A
1) небходимо для
(Всего 12 штук)
1) небходимо для
;
B

2) достаточно для

3) ни то, ни другое для 

2) достаточно для

3) ни то, ни другое для 
C …….
C … и т.д..