Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя
общеобразовательная школа № 35 с углублённым изучением немецкого
языка»
Утверждаю
Директор МОУ СОШ № 35
_________________Л. М. Андреева
Приказ № ____ от ____________
Рассмотрено на заседании МО
учителей политехнического цикла
Протокол №_______от ________
Элективный курс по математике
«Задачи с модулем»
8 класс
Учитель математики МОУ СОШ №35
Кружинова Ирина Борисовна
Тверь
2013
1
Пояснительная записка.
Основная функция курсов по выбору в системе предпрофильной
подготовки по математике – выявление средствами предмета математики
направленности личности, её профессиональных интересов.
Предметно-ориентированные курсы являются пропедевтическими
по отношению к профильным курсам по математике, которые имеют более
высокий уровень. Присутствие таких курсов в учебном плане учащегося
повышает вероятность того, что выпускник после 9-го класса сделает
осознанный и успешный выбор профиля, связанного с математикой.
Программы предметно-ориентированных курсов по выбору включают
углубление отдельных тем базовых общеобразовательных программ по
математике, а также изучение некоторых тем, входящих за их рамки.
Курс «Задачи с модулями» дополняет базовую программу, не нарушая
её целостность.
Основная задача обучения математике в школе заключается в
обеспечении прочного и сознательного овладения учащимися системой
математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и
трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных
для изучения смежных дисциплин и продолжения образования, а также в
профессиональной
деятельности,
требующей
достаточно
высокой
математической культуры.
Предлагаемый курс своим содержанием сможет привлечь внимание
учащихся 8-х классов, которым интересна математика. Данный элективный
курс направлен на расширение знаний учащихся, повышения уровня
математической подготовки через решение большого класса задач. Стоит
отметить, что навыки решения уравнений, неравенств, содержащих модуль, и
построение графиков элементарных функций, содержащих модуль,
совершенно необходимы любому ученику, желающему не только успешно
выступить на математических конкурсах и олимпиадах, но и хорошо
подготовиться к поступлению в дальнейшем в высшие учебные заведения.
Материал данного курса содержит «нестандартные» методы, которые
позволяют более эффективно решить широкий класс заданий, содержащих
модуль, и, безусловно, может использоваться учителем как на уроках по
математики в, так и на факультативных и дополнительных занятиях. Наряду
с основной задачей обучения математике – обеспечением прочного и
сознательного овладения учащимися системой математических знаний и
умений, данный курс предусматривает формирование устойчивого интереса
2
к предмету, выявление и развитие математических способностей,
ориентацию на профессии, существенным образом связанные с математикой,
выбору профиля дальнейшего обучения.
Изучение курса способствует процессу самоопределения учащихся,
помогает им адекватно оценить свои математические способности,
обеспечивая системное включение ребёнка в процесс самостоятельного
построения знаний.
Цель данного курса перейти от репродуктивного уровня усвоения
материала к творческому. Научить применять знания при выполнении
нестандартных заданий. При решении таких задач школьники учатся
мыслить логически, творчески.
Основная задача курса как можно полнее развить потенциальные
творческие способности каждого слушателя, не ограничивая заранее сверху
уровень сложности задачного материала. Решение задач способствует
систематическому углублению изучаемого материала и развитию навыка
решения сложных задач.
Цели курса:
-образовательные:
- создать условия для повышения уровня понимания и практической
подготовки в таких вопросах, как:
а) преобразование выражений, содержащих модуль;
б) решение уравнений и неравенств, содержащих модуль;
в) построение графиков элементарных функций, содержащих модуль.
- способствовать пониманию совокупности с основными разделами курса
математики, базы для развития способностей учащихся;
- помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить
возможности овладения им с точки зрения дальнейшей перспективы.
-развивающие:
-способствовать развитию у учащихся умения анализировать, сравнивать,
обобщать; умения работать с учебной дополнительной литературой.
3
-воспитательная:
-воспитывать умение публично выступать, задавать вопросы, рассуждать.
Основные задачи данного курса:
 углубить знания по математике, предусматривающие формирование у
учащихся устойчивого интереса к предмету;
 выявить и развить их математические способности;
 расширить математические представления учащихся о приёмах и
методах решения задач с модулями;
 повышение уровня математического и логического мышления
учащихся;
 развитие навыков исследовательской деятельности,
Работа элективного курса строится на принципах: - научности;
- доступности;
- опережающей сложности;
- вариативности;
- самоконтроля.
Формы контроля.
- Рейтинг – таблица;
- обучающие самостоятельные работы;
- проверочные работы;
- уроки самооценки и оценки товарищей;
- презентация учебных проектов.
О том, что учащийся должен будет представить учебный проект по
теме курса, нужно проинформировать его заблаговременно, познакомив с
формами такого рода деятельности.
4
Для того, чтобы урок – презентация получился интересным, виды
проектов должны соответствовать уровню и интересам учащихся, а также
должны быть интересными по форме и содержанию.
Работы могут быть как индивидуальные, так и парные, групповые.
Данный урок можно провести в виде конкурса, где победителей определят
сами учащиеся.
В технологии проведения занятий присутствует этап самопроверки,
который представляет учащимся возможность самим проверить, как ими
усвоен изучаемый материал.
В свою очередь учитель может провести обучающие
самостоятельные работы, которые позволят оценить уровень усвоения
вопросов курса.
Формой итогового контроля может стать самостоятельная работа,
собеседование или тестовая работа.
Требования к уровню подготовки учащихся:
 должны иметь элементарные умения решать задачи повышенного
по сравнению с обязательным уровнем сложности;
 точно и грамотно формулировать изученные теоретические
положения и излагать собственные рассуждения при решении задач;
 правильно
пользоваться
математической
символикой
и
терминологией;
 применять рациональные приемы тождественных преобразований.
В результате изучения данного курса учащиеся
должны знать:
- прочно усвоить понятие модуль числа;
- алгоритмы решений задач с модулями;
- свойства решений уравнений, неравенств и их систем;
5
должны уметь:
- преобразовывать выражения, содержащие модуль;
- уметь решать линейные, квадратные уравнения с модулем;
- уметь решать линейные, квадратные неравенства с модулем;
- строить графики уравнений, содержащие модули.
6
Учебно – тематический план
№
Тема
Количество
часов
1. Модуль: общие сведения.
2
Решение простейших
неравентсв.
Формы
работы
Формы
контроля
Лекция
Практ.работа
практика
2. Преобразование
выражений, содержащих
модуль.
2
Самост.работа
3. Решение линейных
уравнений с модулем.
2
Практикум
4. Решение линейных
неравенств с модулем.
2
Практикум
5. Построение графиков
функций, содержащих
модуль.
3
Лекция
6. Решение квадратных
уравнений с модулем.
3
Практикум
7. Решение квадратных
неравенств с модулем.
3
Практикум
8. Проверочная работа.
1
9. Творческие работы
учащихся.
2
практика
Групповые
задания
Защита работ
7
Свойства модуля.
Все свойства разобьем на две группы:
1) соотношения с одной переменной;
2) соотношения с двумя переменными.
Первая группа свойств.
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
Модули противоположных чисел равны: Ι а Ι= Ι –а Ι.
Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа: Ι𝑎Ι 2 =𝑎2 .
Следствие. Ι𝑎Ι 𝑚 = 𝑎𝑚 , для любого четного m.
Квадратный корень из квадрата числа есть модуль этого числа:
√𝑎2 = 𝛪𝑎𝛪.
2𝑛
Следствие. √𝑎2𝑛 = 𝛪𝑎𝛪, n- любое натуральное число.
Модуль числа есть число неотрицательное: ΙaΙ≥0.
Модуль числа не меньше этого числа: Ιa Ι≥ a.
Модуль числа а равен максимальному из двух противоположных чисел
а и (–а): ΙaΙ= max(a; -a)
Постоянный положительный множитель можно выносить за знак
модуля: Ι cx Ι=c Ι x Ι, c>0.
Если ΙaΙ=ΙbΙ, то а=±b.
Доказательство этих свойств предлагается провести самостоятельно.
Покажем, как эти свойства используются при решении задач.
Решить уравнение.
Пример 1. ΙхΙ+2Ι-хΙ=6.
Решение. Воспользуемся свойством 1.1, получим: ΙхΙ+2ΙхΙ=6, 3ΙхΙ=6, ΙхΙ=2,
х= ±2. Ответ: х= ±2.
Пример 2. х2 -6ΙхΙ+5=0.
Решение. 1 способ. Можно воспользоваться определением модуля и
рассмотреть два случая:
1) Х < 0, ΙхΙ=-х. х2 +6х+5=0, х1 = −5; х2 = −1.
2) Х ≥ 0, ΙхΙ=х. х2 -6х+5=0, х1 = 1; х2 = 5.
Однако свойство 1.2 позволяет сократить путь решения.
8
2 способ. Перепишем данное уравнение в виде ΙхΙ 2 − 6𝛪х𝛪+5=0 и решим
относительно Ι х Ι: Ι х Ι=1; Ι х Ι=5, откуда х= ±1; х= ±5. Ответ: х= ±1; х= ±5.
Пример 3. Ιх+1Ι= х2 +2х+1.
Решение. Ιх+1Ι = (х + 1)2 . Используя свойство 1.2, получим: Ιх+1Ι = Ιх + 1Ι 2 ,
Далее Ιх+1Ι· ( Ιх+1Ι-1)=0, откуда х=-1 или х+1= ±1. Значит, х=-2, х=0.
Ответ: х=-1, х=-2, х=0.
Пример 4. Упростить выражение: √х2 − 6х + 9.
Решение. Используя Свойство 1.3, получим:
√х2
− 6х + 9 = √(х −
3)2
3 − х, при х < 3,
= Ιх-3Ι={ 0, прих = 3,
х − 3, при х > 3.
Решить неравенство.
Пример 5. Ιх+1Ι < 2х.
Решение. Используя свойство 1.4, получим: Ιх+1Ι≥0, тогда х>0, так как
исходное неравенство строгое. Значит, х+1>0 и Ιх+1Ι=х+1. Таким образом,
х+1<2х, откуда х>1.
Ответ: х>1.
Пример 6. Ιх+3Ι < х.
Решение. Данное неравенство не имеет решения, т.к. согласно свойству 1.5
Ιх+3Ι≥ х+3, х+3 > х и Ιх+3Ι не может быть меньше х ни при каких значениях
неизвестной.
Ответ: нет решений.
Пример 7. Решить уравнение: Ι3+2хΙ=3 Ιх+1Ι.
Решение. По свойству модуля 1.7 имеем 3 Ιх+1Ι=Ι3х+3Ι. Полученное
3 + 2х = 3х + 3,
уравнение равносильно совокупности уравнений [
3 + 2х = −(3х + 3).
Решая каждое из этих уравнений, находим х=0 и х=-1,2.
Ответ: х=0 и х=-1,2.
9
Вторая группа свойств.
2.1. Модуль произведения двух и более чисел равен произведению их
модулей: ΙabΙ = ΙaΙ·ΙbΙ.
𝑎
ΙaΙ
𝑏
ΙbΙ
2.2. Модуль частного двух чисел равен частному их модулей: Ι Ι =
, если
b≠ 0.
2.3. Модуль суммы двух (или более) чисел не больше суммы их модулей:
Ι a + b Ι ≤ ΙaΙ + ΙbΙ.
2.4.1. Модуль разности двух чисел не больше суммы их модулей:
Ι a - b Ι ≤ ΙaΙ + ΙbΙ.
2.4.2. Ι a - b Ι = ΙaΙ + ΙbΙ тогда и только тогда, когда ab ≤ 0.
2.5. Модуль суммы двух чисел не меньше разности их модулей:
Ι a + b Ι ≥ ΙaΙ - ΙbΙ.Ф
Решить уравнение.
Пример 8. Ι х2 − 3хΙ = 3-х.
Решение. Используя свойство 2.1, перепишем данное уравнение в виде
Ι х Ι·Ι х-3Ι = 3 - х. По свойству 1.4 имеем 3 – х ≥ 0, откуда х ≤ 3. Тогда Ι х-3Ι =
3-х и уравнение принимает вид 𝛪 х 𝛪 · (3 – х) = 3 – х.
При х ≠ 3 Ι х Ι=1, х= ±1. При х = 3 имеем Ι 3 Ι · 0 = 0. Равенство верно.
Ответ: х= ±1; х=3.
Пример 9. Ι
х
Ι+ΙхΙ=
х−1
х2
Ι х−1 Ι
.
Решение. ОДЗ: х ≠ 1. Так как
х2
х+х2 −х
=
=
х−1
х−1
уравнение
х+х(х−1)
х−1
=
х
х−1
+х и
х2
Ιх−1Ι
=
Ιх2 Ι
Ιх−1Ι
= 𝛪
х2
х−1
𝛪, то данное
можно переписать в виде:
Ι
х
Ι + Ι х Ι= Ι
х−1
х
х−1
+хΙ⇔
х
х−1
·х ≥0⇔
х2
х−1
≥ 0 ⇔ х > 1, х = 0.
Ответ: 0; х > 1.
10
Рассмотрим построение графиков функций и уравнений, содержащих
модуль.
В данном курсе рассматривается построение графиков функций трёх
видов: у = f(|x|) ,
y = | f(x) |, | y | = f(x).
Для построения таких графиков учащимся достаточно хорошо понимать
определение модуля и знать виды простейших функций, изучаемых в школе.
Так для построения график функции у = f(|x|) на основании определения
модуля имеем:
 f ( x), x  0,
. Следовательно, график функции у = f(|x|) состоит из
 f ( x), x  0.
у = f(|x|)= 
графиков двух функций: у = f(x) в правой полуплоскости и у = f(-x) в левой
полуплоскости.
Пример. Построить график функции у = х 2 - 3|х| + 2.
Решение. На основании определения модуля имеем: у = х 2 - 3|х| + 2=.
 х 2  3х  2, х  0,
 2
 х  3х  2, х  0
График изображён на рис.1.
После того, как учащиеся познакомятся с определениями чётной и
нечётной функций, можно познакомить их с правилом (1) : функция у = f(|x|)
– чётная, поэтому для построения её графика достаточно построить
график функции у = f(х) для всех х  0 из области её определения и отразить
полученную часть графика симметрично относительно оси ординат.
Чтобы избежать формализма в умениях учащихся строить графики
функций вида
у = f(|x|), целесообразно предлагать строить графики
двумя способами:
1) на основании определения модуля;
2) на основании правила (1).
Далее познакомим учащихся с построением графика функции y = | f(x) |. На
 f ( x), f ( x)  0,
 f ( x), f ( x)  0.
основании определения модуля имеем: у = y = | f(x) | = 
11
Для построения графика функции y = | f(x) | достаточно построить график
функции
у = f(х) для всех х из области определения функции у = f(х) и
ту часть графика у = f(х), которая расположена ниже оси абсцисс ( f (х) < 0 ),
отразить симметрично этой оси.
Таким образом, график функции y = | f(x) | расположен только в верхней
полуплоскости.
С помощью нескольких задач можно навыки учащихся в построении таких
графиков
довести до автоматизма ( см. рис. 4).
Во избежании формализма в знаниях и умениях учащихся необходимо
чередовать построение графиков функций вида у = f(|x|) и y = | f(x) | .
Примеры. Постройте графики функций : а) у = | х 2 - 4х |,
б) у = х 2 - 4| х |
в) у = | х 2 - 5х + 6 |,
г) у = х 2 - 5| х | + 6.
Далее познакомим учащихся с построением графиков зависимостей вида |
у | = f(х).
Учитывая, что в формуле | у | = f(х) f(х)  0 и на основании определения
модуля имеем
 у, у  0,
. Перепишем формулу | у | = f(х) в виде у =  f(х), где f(х)  0.
 у, у  0.
|у|= 
Сформулируем правило (2): для построения графика зависимости | у | =
f(х) достаточно построить график функции у = f(х) для тех значений х из
области определения, при которых f(х)  0 , и отразить полученную часть
графика симметрично оси абсцисс.
Таким образом, график функции | у | = f(х) состоит из графиков двух
функций: у = f(х)
и у = - f(х), где f(х)  0.
Задача 1. Построить график функции, заданной формулой: а) у = х 2 + х;
б) у = х 2 - х;
в) у = | х + 2 |;
12
г) у = | х – 1 |.
Решение.
2 х, х  0,
0, х  0.
а) у = х 2 + х = | х | + х = 
См. рисунок 9.
0, х  0,
 2 х, х  0.
б) у = х 2 - х = | х | - х = 
 х  2, х  2,
 х  2, х  0.
в) у = | х + 2 | = 
 х  1, х  1.
1  х, х  0.
г) у = | х – 1 | = 
Задача 2. Постройте график уравнения: а) у + | у | =х;
б) у = х| у |.
Решение.
2 у, у  0,
0, у  0.
А) По определению модуля числа имеем: х = у + | у | = 
См.
рисунок 10.
Задача 3. См. рисунок 5,6.
Задача 4. Докажите, что функция у =
х  2 , линейная.
х 2  2 2х  2 +
х 2  2 2  2 , где - 2 
Доказательство.
у=
х 2  2 2х  2 +
х2  2 2  2 =
(х  2)2 +
( х  2 ) 2 = |х +
2 |+ | х - 2 | =
= х + 2 + ( 2 - х )= 2 2 .
( При - 2  х  2 | х + 2 | = х + 2 , а | х - 2 | = 2 - х.)
Целесообразно доказать, будет линейной и при х   ; 2  и при х
  2 ;  .
Действительно, при х > 2 имеем: у = | х + 2 | + |х - 2 | = (х + 2 ) + (х
- - 2 ) = 2х, а при х < 2 : у = -(х + 2 ) + ( 2 - х ) = -2х.
13
Доказано.
Задача 5. Решить неравенство |х -1 |  2х.
Решение. Это неравнество можно решить, используя определение модуля.
А) х - 1  0; х  1. Тогда х – 1  2х; х  -1. Учитывая, что х  1,
получаем х  1.
Б) х – 1 < 0; х < 1. Тогда -х + 1  2х; х 
получаем
1
. С учётом условия х < 1,
3
1
 х < 1.
3
Объединяя случаи а) и б), имеем х 
1
.
3
14
Приложения.
15
16
17
18
19
20
21
Литература
1. Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. «Задачи
по математике. Уравнения и неравенства.» Справочное пособие. «Наука», 1987г.
2. Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. «Сборник задач по
алгебре 8-9 класс». - «Просвещение», 1992г.
3. А. Я. Симонов, Д. С. Бакаев и др. «Система тренировочных задач и
упражнений по математике» - «Просвещение», 1991г.
4. В. В. Ткачук. «Математика – абитуриенту»-МЦНМО, ТЕИС, 1996 г.
5. В. Н. Студенецкая, Л. С. Сагателова «Сборник элективных курсов.
Математика. 8 – 9 класс» -Волгоград. Изд. «Учитель», 2007 г.
6. Долгинцева Л. В., Лукина И. В., Столярова Г. Н. , Щербакова С. Ю..
«Модуль действительного числа»- Тверь, ТОИУУ, ТГУ, 2002 г.
22