Построение сечений в параллелепипеде

Тема урока: Построение сечений в параллелепипеде.
Тип урока: комбинированный урок.
Цель урока: выработать навыки решения задач на построение сечений в многогранниках.
Образовательные задачи урока:
 формировать умения учащихся строить сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через три данные точки (в зависимости от способа их задания);
 организовать деятельность учащихся по приобретению необходимых умений
и навыков.
Развивающие задачи урока:
 развивать пространственное воображение учащихся;
 развивать логическое мышление, умение анализировать и делать выводы;
 развивать самостоятельность мышления в учебной деятельности.
Воспитательные задачи урока:
 содействовать развитию познавательного интереса учащихся к предмету;
 воспитывать аккуратность оформления работы;
 прививать учащимся навыки организации самостоятельной работы.
Формируемые умения:
 строить сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через три заданные точки;
 применять алгоритм построения сечений в параллелепипеде к решению задач.
Цели использования ИКТ:
 создание условий для успешного усвоения учащимися учебного материала;
активизация познавательной деятельности учащихся;
 организовать деятельность учащихся по приобретению необходимых умений
и навыков;
 обеспечить целостность восприятия изучаемого материала, наглядность и
доступность наиболее сложных его моментов;
 развивать пространственное и логическое мышление учащихся;
 формировать эстетический вкус выполнения работы;
 оказывать индивидуальную помощь учащимся;
 содействовать развитию познавательного интереса учащихся к предмету.
Формы организации деятельности учащихся: фронтальная, групповая, индивидуальная.
Технологические особенности:
Технические условия:
− компьютер с установленными программами «Живая Математика» и Power
Point, мультимедиапроектор, компьютеры учащихся с установленным интерактивным тестом, выполненным с помощью модуля "RichTest - Client".
Используемое оборудование:
− карточки с заданиями для индивидуальной домашней работы, интерактивный тест, выполненный с помощью модуля "RichTest - Client", презентация к
уроку, учебник «Геометрия 10 – 11» Л. С. Атанасян, цветные карандаши.
Разработанные цифровые образовательные ресурсы:
− презентация Microsoft PowerPoint к уроку (приложение 5);
− интерактивный тест, выполненный с помощью модуля "RichTest - Client".
Актуальность поставленной цели: представленная разработка урока по теме
«Построение сечений в параллелепипеде» может быть применима на уроке геометрии в 10 классе не только для обучающихся по учебнику автора Л. С. Атанасяна, но и других авторов, как для профильных, так и для общеобразовательных
классов. Поскольку одной из основных задач всего курса стереометрии является
развитие пространственного воображения учащихся, то данная тема, как раз
способствует решению этой задачи. С помощью универсальных средств Microsoft PowerPoint можно показать учащимся алгоритмичность построения сечений в параллелепипеде, акцентируя их внимание на наиболее сложные моменты.
Ход урока
1. Организационный момент.
Цель: подготовить учащихся к работе на уроке.
Приветствие учащихся, проверка готовности учащихся к уроку (учебник,
тетрадь, простой карандаш, линейка, ластик, цветные карандаши).
2. Мотивация урока.
Цель: формирование и повышение учебной мотивации.
Задачи на построение сечений в многогранниках занимают заметное место в курсе стереометрии. Их роль обусловлена тем, что решение этого вида задач способствует усвоению аксиом стереометрии, следствий из них, развитию
пространственных представлений и конструктивных навыков. Умение решать
задачи на построение сечений является основой изучения почти всех тем курса
стереометрии. При решении многих стереометрических задач используют сечения многогранников плоскостью.
3. Постановка целей урока.
Цель: организовать целенаправленную познавательную деятельность учащихся.
На предыдущих уроках мы с вами познакомились с аксиомами стереометрии, следствиями из аксиом и с теоремами о параллельности прямых и плоскостей в пространстве. Мы рассмотрели алгоритмы построения сечений тетраэдра.
Эти сечения, как правило, задавались точками, расположенными на ребрах или
гранях многогранника. Сегодня на уроке мы с вами повторим геометрические
утверждения, позволяющие сформулировать правила построения сечений. А
также научимся применять эти знания при решении задачи на построение сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через три данные точки.
Запишите в тетради тему урока: «Построение сечений в параллелепипеде».
Слайды 1, 2.
4. Устная работа.
Цель:
 подготовить учащихся к деятельности на основном этапе урока;
 развивать логическое мышление, умения обобщать, классифицировать,
строить умозаключения.
Задание 1. Проверка теоретического материала.
Слайд 3.
1) Что такое секущая плоскость?
Плоскость, по обе стороны от которой
имеются точки данного тела, называется секущей плоскостью.
2) Как можно задать секущую плоскость?
 Через три точки, по теореме о способе задания плоскости: «Через три
точки можно провести плоскость и только одну».
 Через прямую и не лежащую на ней плоскость, по теореме «Через прямую и
не лежащую на ней точку можно провести плоскость и только одну».
 Через две пересекающиеся прямые, по аксиоме «Если две различные прямые
имеют общую точку, то через них можно провести плоскость и только одну».
 Через две параллельные прямые, по определению «параллельных прямых:
прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не
пересекаются».
3) Что такое сечение?
Фигура, которая образуется при пересечении тела плоскостью (т.е. общая
часть тела и секущей плоскости), называется сечением тела.
4) Какие геометрические фигуры могут получиться в сечении тетраэдра плоскостью, проходящей через три точки?
Треугольник и четырехугольник.
Задание 2. Ученик нарисовал сечения тетраэдра плоскостью. Есть ли в этих рисунках ошибки? (Используется чертеж, выполненный в программе «Живая Математика»).
Слайд 4, приложение 2.
Ученик нарисовал сечения
тетраэдра плоскостью. Есть ли в
этих рисунках ошибки?
Чертёж
 На рисунке 1 не все вершины сечения лежат на ребрах.
(нажимается кнопка 1, затем точка Q передвигается по появившейся линии)
 На рисунке 2 соединены точки К и L, лежащие в разных плоскостях. Сторона KL не принадлежит какой-либо грани тетраэдра.
(нажимается кнопка 2 и точка К передвигается на ребро АР)
 На рисунке 3 плоскость сечения имеет две линии пересечения с гранью
(АРС). Построенное сечение противоречит аксиоме 3: если две плоскости
имеют общую точку, то они имеют и общую прямую, на которой лежат
все общие точки этих плоскостей. Таким образом точки D, E и С должны
лежать на одной прямой
(кнопкой «Сечение 1» убирается неверное сечение, кнопкой «Сечение 2» восстанавливается правильно построенное сечение)
 На рисунке 4 сечение выполнено правильно. Все вершины четырехугольника,
являющегося сечением тетраэдра, лежат на ребрах, все стороны принадлежат граням тетраэдра, каждая грань пересекается не более одного раза.
5. Изучение нового материала.
Цель:
 вырабатывать навык анализа условия задачи на необходимость и достаточность данных для решения;
 развивать творческие способности школьников.
Параллелепипед имеет шесть граней. Его сечением могут быть треугольники, четырехугольники, пятиугольники и шестиугольники.
При построении сечения параллелепипеда используют несколько свойств.
1) Для построения сечения достаточно построить точки пересечения секущей
плоскости с ребрами параллелепипеда, после чего провести отрезки, соединяющие каждые две построенные точки, лежащие в одной и той же грани.
2) Если секущая плоскость пересекает две противоположные грани по каким-то
отрезкам, то эти отрезки параллельны.
Рассмотрим несколько задач на построение сечения параллелепипеда.
Слайд 5.
Задача 1. Построение сечения в параллелепипеде по трем точкам, лежащим на
трех соседних ребрах.
Слайд 6.
Задача 2. Построение сечения в параллелепипеде по трем точкам, лежащим на
трех параллельных ребрах.
Эта задача рассматривается в двух случаях. Учащиеся выполняют построения только первого случая, со вторым лишь знакомятся по слайду.
Слайды 7, 8.
Задача 3. Построение сечения в параллелепипеде по трем точкам, не лежащим
на трех параллельных ребрах.
Эта задача также состоит из двух случаев; построение выполняется для
обоих случаев. Более того, во втором случае сначала выполняется построение,
затем с помощью повторного слайда делаются записи. В ходе выполнения чертежей идет теоретическое обоснование всех этапов построений.
Слайды 9, 10, 11.
6. Проверка понимания учащимися нового материала.
Цель:
 развивать коммуникативные навыки учащихся;
 воспитывать культуру коллективной работы.
Сейчас я вам предлагаю два чертежа, на которых построены сечения. Определите верно ли выполнено построение, если нет справьте ошибку.
Слайд 12.
7. Закрепление нового материала.
Цель:
 обеспечить восприятие, осмысление и первичное запоминание действий,
связей и отношений в объекте изучения.
Решим задачу № 79 а).
№ 79. Изобразите параллелепипед АBCDA1B1C1D1 и постройте его сечение а)
плоскостью АВС1. Докажите, что построенное сечение является параллелограммом.
Решение.
Построение: плоскость ВВ1С1С
АА1D1 по
свойству параллелепипеда, отсюда ВС1 АА1D1.
А1
В1
Точка А общая для плоскостей АВС1 и АА1D1 –
плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку А и параллельной ВС1. (Если
D
С
две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны), очеА
В
видно, это АD1. Искомое сечение – четырехугольник АВС1D1.
Доказательство: АВ СD и АВ = СD (так как АВСD – параллелограмм). СD
C1D1 и СD = C1D1 (так как СDD1С1 – параллелограмм). Отсюда следует, что АВ
C1D1. Значит АВС1D1 – параллелограмм, так как его противоположные стороны
параллельны и равны.
D1
С1
8. Первичная проверка нового материала.
Цель:
 установление правильности и осознанности усвоения нового учебного
материала;
 выявление пробелов и неверных представлений и их коррекция.
А теперь садитесь за компьютеры и выполните тест «Построение сечений
тетраэдра и параллелепипеда».
Приложения 3, 4
9. Домашнее задание.
Цель: продлить творческий «порыв» учащихся.
Каждому учащемуся выдается карточка с индивидуальным домашним заданием (приложение № 1), на которой представлены четыре рисунка с изображениями двух тетраэдров и двух параллелепипедов. На каждом из них есть по
три точки. Нужно выполнить построение сечений, проходящих через заданные
точки (цветными карандашами), перечертив рисунки в тетрадь.
Слайд 13.
Домашнее задание
10. Рефлексия.
Цель: способствовать формированию умения анализировать собственную
деятельность по достижению поставленной цели.
Беседа:
 Что нового и интересного вы сегодня узнали на уроке?
 Что нужно знать и уметь, для того, чтобы выполнять построение сечений
в параллелепипеде?
 Как вы думаете, пригодится ли изученное вами сегодня на уроке в вашей
дальнейшей жизни?
 Где это может пригодиться?
Использованная литература.
1. Тестовая оболочка: http://pedsovet.su/load/9-1-0-5712
2. Программа «Живая Математика»: http://www.uchportal.ru/load/24-1-0-2276
3. В. Н. Литвиненко. Задачи на развитие пространственных представлений.
Книга для учителя. - М.: Просвещение, 1991.
4. Г. Прокопенко. Методы решения задач на построение сечений многогранников. 10 класс. ЧПГУ, г. Челябинск. Еженедельная учебно-методическая
газета "Математика" 31/2001.
5. А. Мордкович. Семинар девятый. Тема: Построение сечений многогранников (позиционные задачи). Еженедельное приложение к газете "Первое
сентября". Математика. 3/94.