требов~1

Глава 2.
Методические основы технологического подхода к обучению математического
анализа в педагогическом университете.
В государственном образовательном стандарте высшего профессионального образования по специальности "Математика с дополнительной специальностью" выделены
следующие темы, которые студенты должны изучить при обучении математическому анализу на 1 курсе в педуниверситете: действительные числа и их свойства; функции и их
свойства; операции над функциями, композиция функций, обратная функция; предел последовательности; предел функции; непрерывность функции в точке и на множестве;
дифференцируемость функции, производная, дифференциал; правила дифференцирования; основные теоремы дифференциального исчисления и их приложения к исследованию
функций; неопределенный интеграл и основные методы интегрирования; определенный
интеграл; формула Ньютона-Лейбница; понятие квадрируемой фигуры, кубируемого тела,
спрямляемой кривой; несобственные интегралы.
Выделим следующие базовые понятия математического анализа : понятие функции, ее основные свойства; понятие предела числовой последовательности и функции; понятие производной и интеграла.
Требования к профессиональной подготовленности специалиста, рассмотренные в
государственном образовательном стандарте следующие: специалист должен владеть основными понятиями математики, уметь использовать математический аппарат при изучении и количественном описании реальных процессов и явлений, иметь целостное представление о математике как науке, ее месте в современном мире и в системе наук.
1. Методические рекомендации при изучении темы "Функции" в педуниверситете.
Основные понятия темы "Функции. Основные свойства функций" и их взаимосвязь представлены на схеме 1:
обратная функция
основные элементарные
функции
отображение
функция
область определения
четность
монотонность
множество
значений
периодичность
сложная функция
(композиция функций)
график функции
преобразование
графиков функций
ограниченность
схема 1.
В школьных учебниках дается следующее определение функции:
Пусть Х – числовое множество. Правило, сопоставляющее каждому числу х из Х
некоторое число у, называют числовой функцией, заданной на Х. (Н.Я. Виленкин, О.С.
Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд "Алгебра и начала анализа", 10 класс).
Далее даются определения области определения функции, ее множества значений,
рассматриваются различные способы задания функций; приводится определение графика
числовой функции. В некоторых учебниках рассматривается понятие композиции функций. После этого рассматриваются преобразования графиков функций и основные эле-
ментарные функции (их свойства и графики), и в заключении рассматриваются основные
свойства функций: четность, нечетность функции; возрастание, убывание функций; периодичность; ограниченность.
Выделим основные диагностируемые цели при изучении темы "Функция" в педуниверситете.
Основные знания:
- понятие отображения;
- понятие функции; области определения и множества значений функции; понятие графика функции;
- знание основных элементарных функций;
- понятие композиции функций;
- основные свойства функций: четность, нечетность, монотонность, периодичность, ограниченность.
Основные умения:
- уметь определять является ли соотношение отображением или функцией;
- находить область определения функции, заданной различными способами;
- находить множество значений функции;
- уметь строить графики основных элементарных функций;
- уметь составлять композицию функций и наоборот, выписывать составляющие
композиции;
- уметь применять основные свойства функций для элементарного исследования
функций;
- уметь строить графики функций с использованием элементарных свойств и
преобразований.
В задачниках по курсу математического анализа: Берман Г.Н. "Сборник задач по
курсу математического анализа", Виленкин Н.Я. "Задачник по курсу математического
анализа" (ч.1), Демидович Б.П. "Сборник задач и упражнений по курсу математического
анализа" представлены задачи на прямое применение полученных знаний. В этих сборниках нет познавательных задач и нет задач, с помощью которых полученные знания были
бы усвоены студентами на уровне "понимания", а также нет задач, способствующих преобразованию теоретического материала в способы деятельности.
Чтобы достичь описанных выше диагностируемых целей, мы предлагаем следующую систему упражнений.
Задание 1. Сформулируйте определение отображения, функции.
Задание 2. Выясните являются ли функциями следующие соотношения:
1. Пусть Х – множество жителей Земли, Х= х, х – один из жителей.
а) пусть f(х) – отец х (т.е. правило f состоит в указании для х его отца);
б) f(х) – дедушка х;
в) f(х) – сын х;
г) f(х) – старшая дочь х.
2. Соответствие задано формулой: а) х2 + у2 = 1;
б) у2 =х;
х2, если х  0
в) f(х) = 1 , если х 0;
х
г) f(х) = х.
Задание 3. Пусть О – множество отрезков плоскости Р, П – множество прямых

плоскости Р. Задано соответствие О  П: каждому отрезку плоскости Р ставится в со-
ответствие прямая этой плоскости, являющаяся серединным перпендикуляром данного
отрезка.
а) является ли соответствие  функцией? Почему?
б) укажите область определения и множество значений.
Задание 4. Пусть R – множество ромбов на плоскости Р, H – множество окружностей плоскости Р. Задано соответствие R  H : каждому ромбу ставится в соответствие окружность, описанная около ромба.
а) является ли соответствие f функциональным?
б) придумайте свой вариант соответствия f так, чтобы оно было функциональным.
Задание 5. Как вы понимаете, что функция определена на 0;1 ? на (0;1)? в  ?
Нарисуйте графики (задайте графиком) функций с такими областями определения.
Задание 6. Для следующих функций укажите их область определения и множество
значений, нарисуйте их графики схематично и укажите ООФ и МЗФ на графике:
1) у = lqх ;
2) у = 1 х ;
3) f(х) = х2 + 1 ; 4) q(х) = 2cosх ;
5) h(х) = х2 – 9 х – 3.
Задание 7. Для функций, заданных графически, укажите их ООФ и МЗФ:
Для этих функций найдите на графике: f(0), f(с), f(а), q(в), q(а), h(0), h(а).
Задание 8. Приведите аналитические примеры функций с заданной областью определения:
1) Х =  2;2;
2) Х = (-2;2);
3) Х = (-  ;5)  (5;+  ).
Задание 9. Приведите примеры функций, заданные графиком, с указанными ООФ и
МЗФ:
1)
Х = 0;2
f(Х) = 2;6
2)
Х= 
f (Х)=(0;+  )
Х= 
3)
Х = 0;1
4)
f (Х)=  .
f(Х)=3
Задание 10. Являются ли функциональными следующие соответствия:
1) если каждой окружности сопоставляется ее касательная?
2) если область определения состоит из четырех элементов, а множество значений из пяти (из двух)? Приведите примеры.
3) укажите такие части окружности, которые могут быть графиками функции у
от х.
Задание 11. Может ли график функции быть симметричным относительно:
1) оси абсцисс?
2) прямой, параллельной оси абсцисс?
3) прямой, параллельной оси ординат?
Задание 12. Постройте графики основных элементарных функций.
Задание 13. Дана функция v(х)=
х2,
если –1 х 0
-х +1,
если 0 х 1 2
sin  х , если 1
2 х 1
Укажите ООФ v(х); вычислите v(-1 2); v(1 2); v(0); v(3 4). Укажите МЗФ. Постройте
график этой функции.
Задание 14. Укажите область определения и множество значений функций, постройте графики функций:
3х,
х 0
1) у=2х;
2) у=loq2(х-3);
3) у= х ;
4) f(х)= cosх, 0 х 2 
f(-1), f(0), f(  2)
5) f(х)=
1  2х
-3;
3х
7) f(х)=
6) q(х)=
х 3
;
х  5х  6
9) f(х)=  х + lq
8)
1 х
9х
1
+ ;
h(х) = хlq(4+3х-х2);
х  3х  2
.
х 1
Задание 15. Постройте графики функций:
1) у=sinxctqx;
2) у= loq2(
1
);
х
3) у= loq0,5(-х);
4) у=  х .
Задание 16. Сформулируйте определение ограниченной функции. Приведите примеры.
Задание 17. Продолжите определение: Функция у= f(х) не ограничена сверху (снизу), если …
Задание 18. Запишите на кванторном языке определение ограниченной (неограниченной), ограниченной снизу (неограниченной снизу), ограниченной сверху (неограниченной сверху) функции.
Задание 19. Нарисуйте графики таких функций (из основных элементарных), чтобы
выполнялось:
1) функция f(х) не ограничена сверху, ограничена снизу; существуют ли fнм,
inf f? Чему они равны?
2) функция f(х) не ограничена снизу, ограничена сверху. Существуют ли fнб,
supf, fнм, inf f? Чему они равны?
3) функция f(х) имеет наибольшее значение, но не существует fнм.
4) у функции f(х) существует inf f и существует supf, но не существует
наибольшего и наименьшего значения функции.
Задание 20. Верно ли утверждение: Функция у=f(х) ограничена сверху, если
 х  Ду  М  0 f(х)  М? Объясните почему.
Задание 21. Исследуйте следующие функции на ограниченность, найдите, если
они существуют, supf, inf f, fнб, fнм:
1
1) f(х)= х2-3; х   2;3;
2) f(х)=
;
3) h(х) =3х+2;
х 1
5) f(х)= х .
Задание 22. Продолжите определение: Функция у=f(х) называется четной (нечетной), если …
Запишите определение в символической форме.
Задание 23. Какая функция называется функций общего вида?
Задание 24. Какому условию удовлетворяет область определения четной (нечетной) функции?
Задание 25. Сформулируйте определение функции, не являющейся четной (нечетной). Запишите в символической форме.
Задание 26. Существует ли четная (нечетная) функция с областью определения:
1) Х =  2;2;
2) Х = 1;
3) Х = (-  ;-5)  (5; +  );
4) Х = (-2;2);
5) Х =  2;0;
6) Х = 1;2 ;
7) Х =  2;1  1;2 ;
8) Х = (-  ;3);
9) Х = (-  ;+  )?
Если да, приведите примеры.
Задание 27. Приведите пример функции одновременно четной и нечетной.
Задание 28. Функцию у=х2+х, заданную на промежутке 0;+  ), доопределите а) до
нечетной функции; б) до четной функции.
Задание 29. Исследуйте следующие функции на четность и нечетность:
х 1
х 1
ее
1) у=
;
2) у=
;
3) у=
;
ее
х 1
х 1
1, х   1;1
4) Д(х) = 0, х   1;1.
Задание30. Докажите, что если функции q и f – нечетные в Х, то f q – четная в Х.
Задание31. Сформулируйте определение периодической функции. Приведите примеры. Запишите определение в символической форме.
Задание32. Продолжите определение: функция у=f(х) не является периодической,
если …
Задание33. Каким свойством должна обладать область определения периодической
функции?
Задание34. Существует ли периодическая функция, определенная на множестве:
1) Х = (0; +  );
2) Х = 
4) Х = (-  ;-5)  (5; +  );
3;
3) Х = 
5) Х = (-  ;-5);
0;
6) Х = а, б  .
Задание35. Может ли периодическая функция принимать только положительные
(отрицательные) значения? Если да, приведите примеры.
Задание36. Исследуйте на периодичность функции:
1) f(х)= tq 2х;
2) q(х)=
4) f(х)= tq х2;
5) Д(х) =
;
3) f(х)= tq х ;
1, х 
0, х 
.
Задание37. Может ли нечетная функция быть не ограниченной (ограниченной)
только с одной стороны? Почему?
Задание38. Вставьте пропущенные слова в определение возрастающей функции:
функция у=f(х) называется возрастающей …., если ….. таких, что …. следует, что …
Задание39. Сформулируйте определение убывающей функции. Запишите определения возрастающей и убывающей функции в символической форме. Приведите другое
определение возрастающей (убывающей) функции.
Задание40. Какие функции называются монотонными?
Задание41. Приведите примеры возрастающей (убывающей) функции.
Задание42. Сформулируйте определение функции, не являющейся возрастающей
(убывающей), а также немонотонной. Запишите эти определения через кванторы.
Задание43. Являются ли функции у=х2, у= tqх, у=
1
монотонными в своих облах
стях определения?
Задание44. Может ли четная функция быть монотонной? Почему?
Задание45. Может ли монотонная функция быть периодической? Почему?
Задание46. Приведите примеры, когда:
1) произведение двух возрастающих (убывающих) функций есть возрастающая
функция;
2) произведение двух возрастающих (убывающих) функций не является возрастающей (убывающей) функцией.
Задание47. Монотонны ли следующие функции в своей области определения?
1)
2)
3)
Задание48. С помощью каких средств можно исследовать функцию на монотонность?
Задание49. Исследуйте на монотонность следующие функции:
1) у=х+arctqх;
-2х,
4) у=
2) у=
если 0
х2-2х-1, если 1
х
1
;
х  4х  5
3) у=
1
;
х 1
1
х 3.
Задание50. Сформулируйте определение композиции функций. Приведите примеры.
Задание51. Выпишите составляющие композиции:
х
3х  6
1) f(х)=cos3 2 ;
2) f(х)=arcsin32х;
3) f(х)=lq
.
5х  4
Задание52. Дано: f: 1;4   . Укажите область определения функции:
х
1) у= f(х+2);
2) у= f(х2);
3) у= f(sinх);
4) у= f( ).
2
Задание53. Составьте композиции функций, если они существуют и найдите их
значение в указанных точках:
1) f(х)=х+2, q(х)= loq2х, (f q )(2) - ?, (q f)(2) - ?
2) f(х)=ах+в, составьте f(f(f(х))) и найдите ее значение в точке х=0.
Задание54. Дана функция:
х 
1,
f(х)=
1
2
arcsinх,
1
2
х 1
2х-1,
1
х 3
0,5х,
3
х
4
lqх,
х  4.
Вычислите f(f(f((f(f(100))))).
Задание55. Сформулируйте определение биективного отображения. Приведите
примеры биективных и не биективных отображений.
Задание56. Являются ли следующие функции биекциями?
1) f : (-  ; -1)  (1; +  ) где f(х)= х2;
2) f : 0;   0;1 , f(х)= sinх;
3
 
3) f : 0;   (  ;
)   1;1 , где f(х)= sinх;
2
 2
4) f :  3;2   1;0  1;2  0;9, где f(х)= х2.
Задание57. Какие функции называются обратимыми?
Задание58.Какая функция имеет обратную?
Задание59. Запишите на кванторном языке, что f – биекция.
Задание60. Какое элементарное свойство функции гарантирует ее биективность?
Задание61. Как можно искать обратную функцию?
Задание62. Соответствие F(х) задано формулой F(х) = - 1  х (х  0;1 , у   1;0 )
и схематическим графиком.
1) Дополните график соответствия таким образом,
чтобы график полученного соответствия был:
а) симметричным относительно прямой х=1 (f);
б) симметричным относительно прямой у= -1 (q);
центрально симметричным относительно точки
(1;0) (h).
Для каждого соответствия укажите область определения, множество значений.
2) Какие из соответствий f, q, h являются функциями?
3) Функциональные соответствия задайте формулами.
4) Для каждого соответствия f, q, h постройте график обратного соответствия.
5) Какие из соответствий f –1, q –1, h –1 являются функциями?
5) Функциональные соответствия задайте формулами.
Задание63. Найдите обратную функцию для следующих функций:
1) q(х)=2х+1;
2) f(х)=х2;
3) у=х+ех.
Задание64. Исследовать следующие функции на симметрию, монотонность, периодичность, ограниченность. Построить схематично график функции:
х  25
;
х4
у=sin(arсsinх) и у=arсsin(sinх).
1) у= arссоs (2х+1);
3)
2) у=
3) у= lq sinх;
В каждой подтеме в системе упражнений сначала выписаны упражнения уровня
"понимание", т.е. которые способствуют тому, чтобы полученные теоретические знания
были усвоены студентами не формально, а чтобы студенты понимали содержательную
сущность определения или теоремы и могли эти знания применять в стандартных ситуациях. Есть задания, которые помогают найти способы действия. После таких заданий даны упражнения на прямое применение полученных знаний в стандартных ситуациях.
Например, задания 1 – 11, 16 - 20, 22 – 28, 31 – 35, 37, 38 – 48, 50 – 52, 55 – 62 - на понимание, задания 12 – 15, 21, 29 – 30, 36, 49, 53, 54, 63, 64 - на "прямое применение знаний в
стандартной ситуации".
Как уже отмечалось, в конце практического занятия, чтобы проверить достигнуты
ли диагностируемые цели, следует провести диагностику.
Приведем примерные задания для диагностики.
Задание1. Вставьте пропущенные слова в определение функции: даны два множества Х= хи У= у и некоторое … f такое, что …х  Х по … поставлен в соответствие
… у  У. Тогда …
х
Задание 2. Найдите область определения функции у= 8  :
2
а) 4; ;
б)  4;4 ;
в) (-  ; -4 
4; +  )
г) (-  ;4.
Задание 3. Найдите множество значений функции у= -х2-5х-9.
1


а)  2 ; ;
 2

б) (-  ; -2
3
4
в) (-  ; 3
;
х 2
:
3
б) нечетная;
г) периодическая?
Задание 4. Что можно сказать о функции f(х)=
а) четная;
в) общего вида;
1
);
4
Задание 5. Укажите график функции у=
4
-1.
х2
г) 1
1
;+  ).
2
1
:
х 3
а) возрастающая в своей области определения;
б) убывающая в своей области определения;
в) немонотонная в своей области определения.
Задание 6. Что можно сказать о функции у=
Задание 7. Исследуйте функцию у=х2+3х-1 на ограниченность, найдите (если  )
inf у, sup у, унб, унм:
1
а) ограничена; inf у= унм=3 ; sup у= унб=9;
4
б) не ограничена;  inf у, sup у, унм, унб;
1
в) ограничена сверху, не ограничена снизу;  sup у= унб=3 ;
4
1
г) ограничена снизу, не ограничена сверху;  inf у= унм= -3 .
4
Задание 8. График какой функции изображен на рисунке?
а) у= х  2х  3 ; б) у= х2+2х-3;
в)у=х2-2 х –3;
г)у=х2+2 х -3.
Задание 9. Найдите для функции у=-3х+1 обратную функцию:
х 1
а) у-1(х)=3х-1;
б) у-1(х)= - ;
3 3
х
х
1
х 1
в) у-1(х)= +1;
г) у-1(х)= - + ;
е) у-1(х)= - - .
3
3 3
3 3
Задание 10. Даны функции f(х)=х+5 и q(х)=х-5. Составьте композиции f q и q f.
Найдите (f q)(-1) и (q f)(-1).
а) (f q)(-1)=1; (q f)(-1)=-1;
б) (f q)(-1)= (q f)(-1)=-1;
в) (f q)(-1)=0; (q f)(-1)=2;
г) (f q)(-1)=-1; (q f)(-1)=1.
Ключевыми задачами в данной теме являются следующие:
- нахождение области определения функции;
- исследование функции на четность, нечетность;
- исследование функции на монотонность;
- исследование функции на ограниченность;
- исследование функции на периодичность;
- нахождение обратной функции;
- определение составляющих композиции функций;
- составление композиции функций.

3. Методические рекомендации при изучении тем "Производная и интеграл".
Основные понятия данной темы и их взаимосвязь представлены схемой 3, 4:
Неявная функция
Функция
Обратная функция
Параметрически заданная функция
Сложная функция
Производная
Дифференциал
Производная n-го порядка
Дифференциал n-го порядка
Касательная
Нормаль
Монотонность
Выпуклость
схема 3.
Экстремум
Точки перегиба
Равномерная непрерывность
функции
Задачи, приводящие к понятию
определенного интеграла
Первообразная
Интегральные суммы Римана
Неопределенный интеграл
Определенный интеграл
Необходимое условие
интегрируемости
Верхняя и нижняя суммы
Дарбу
Критерий интегрируемости.
Классы интегрируемых функций
Интеграл с переменным
верхним пределом
Гладкая
кривая
Несобственный
интеграл
Квадрируемая
фигура
Криволинейная
трапеция
Кубируемая
фигура
Криволинейный
сектор
схема 4.
В математических классах при изучении темы "Производная" сначала вводится понятие приращения аргумента и функции, дифференцируемой функции, критерий дифференцируемости функции: функция f дифференцируема в точке х в том и только том случае, когда существует предел к=lim
. Затем дается определение произ-
водной функции: производной функции f называется функция f , значение которой в точке
х выражается формулой
f (х)= lim
.
Далее вводится понятие дифференциала функции, рассматривается производная
как скорость ( не говорится о физическом смысле производной), касательная прямая к
графику функции, затем вводится необходимое условие дифференцируемости функции в
точке а, рассматривается техника дифференцирования (правила дифференцирования) и
приложения производной: определение точек экстремума, необходимое условие суще-
ствования экстремума, теорема Лагранжа и ее следствия, достаточное условие экстремума, определение функции, выпуклой вниз (вверх), достаточное условие выпуклости функции, точки перегиба, необходимое и достаточное условие точки перегиба, схема исследования функции.
Рассмотрим основные диагностируемые цели при изучении в педуниверситете темы "Дифференцирование функций одной вещественной переменой":
Основные знания:
- определение приращения аргумента и приращения функции;
- определение производной функции в точке х0 как предела отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится
к нулю;
- необходимое условие существования конечной производной функции в точке
х0;
- знание геометрического и физического смысла производной;
- знание формул производной суммы, разности, произведения и частного;
- знание таблицы основных производных;
- знание правила нахождения производной обратной функции;
- знание правила нахождения производной сложной функции;
- производная параметрически заданной функции;
- определение дифференциала функции; его геометрический смысл и инвариантность формы;
- определение производных высших порядков;
- знание теоремы о связи производной и дифференциала;
- определение дифференциалов высших порядков;
- правило Лопиталя;
- основные теоремы дифференциального исчисления: теоремы Ферма, Дарбу,
Ролля, Лагранжа, Коши; их геометрическая интерпретация;
- достаточное условие строгой монотонности; условие постоянства функции;
- определение точек экстремума;
- необходимое и достаточное условия точек экстремума;
- направление выпуклости графика функции;
- достаточное условие выпуклости;
- определение точек перегиба;
- необходимое и достаточное условия точек перегиба.
Основные умения:
- уметь вычислять производные функций по определению;
- уметь применять понятие производной, теоремы о производной обратной
функции к составлению таблицы производных;
- уметь применять правила дифференцирования, теоремы о производной сложной функции к вычислению производных;
- уметь вычислять производные параметрически заданной функции;
- уметь применять геометрический и физический смысл производной при решении задач;
- уметь исследовать функцию на монотонность и точки экстремума с помощью
производной;
- уметь исследовать функцию на направление выпуклости и точки перегиба с
помощью производной;
- уметь проводить полное исследование функций и строить графики;
- уметь применять знания по исследованию функций к решению задач на экстремум.
Данная тема хорошо оснащена задачами, обеспечивающими освоение способа вычисления производной и дифференциала. Нет задач на нахождение производной по определению, отсутствуют задачи такого этапа усвоения как "понимание".
Рассмотрим далее систему задач, направленную на формирование основных знаний и умений.
Задание 1. Что называется приращением аргумента, функции, разностным отношением?
Задание 2. Сформулируйте определение производной функции в точке. Запишите
это определение в символической форме.
Задание 3. В чем заключается геометрический смысл производной?
Задание 4. Чтобы найти производную функции по определению, что для этого надо
сделать? Сформулируйте алгоритм нахождения производной функции по определению.
Задание 5. Для следующих функций вычислите производную по определению:
1) f(х)=
1
, f (0)- ?;
х2
3) у= ln(х2-1), у (2) - ?;

) - ?;
4
4) у= 3 х  1 в точке х=1;
2) f(х)=sin2x, f (
4) у= ln х в точке х=1.
Для каждой функции сделайте рисунок кривой в окрестности указанной точки.
Задание 6. Верно ли утверждение: если функция имеет конечную производную в
точке х0, то она непрерывна в этой точке? Какое условие является необходимым для существования конечной производной функции в точке? Будет ли это условие достаточным?
Приведите пример. Сформулируйте обратное утверждение. Является ли оно верным?
Приведите пример.
Задание 7. Дана функция:
х arctq
1
х
при х  0
f(х)= 0
при х=0.
Существует ли производная данной функции в точке х=0?
Задание 8. Какие из следующих функций всюду непрерывны:
х-1, х  0
х
1) f(х)= х2-1 ;
2) f(х)= ;
3) у(х)= х2-1, х 0.
х
У каких из этих функций существует конечная производная в точке х=0? У каких –
в точке х=1?
Задание 9. Запишите правила дифференцирования.
Задание 10. Используя таблицу производных и правила дифференцирования, вычислите производные следующих функций:
1) у= х+ х + 3 х ;
3) у= (2-х2)cosx+2хsinx;
1
1
1


;
3
х
х
х
4) у= ех(х2+1).
2) у=
Задание 11. Сформулируйте теорему о производной композиции. Запишите формулу.
Задание 12. Запишите чему будет равна производная следующей композиции:
(f q h) (а) = …
Задание 13. Чтобы найти производную композиции (сложной функции), что для
этого надо знать?
Задание 14. Вычислите производные функций:
1) у= cos2х3-ех tqx;
2) у= ln3 cos2(4х+1);
3) у= ln(ln(lnх));
3
4) у=еarctq х  1 ;
2х
5) у= arcsin
, у (0), у (2)- ?
х
Задание 15. Запишите уравнение касательной и нормали к графику функции у= f(х)
в точке х=х0.
Задание 16. Может ли касательная к кубической параболе у=х3 составлять с осью
Ох тупой угол?
Задание 17. Дана функция у=(х+1) 3 3  х . Напишите уравнения касательной и
нормали к кривой в точках А(-1;0); В(2;3); С(3;0).
Задание 18. Какая функция называется дифференцируемой в точке х 0?
Задание 19. Что называется дифференциалом функции?
Задание 20. Верно ли утверждение: функция f(х) дифференцируема в точке х0, если
она имеет производную в этой точке?
Задание 21. Сформулируйте обратное утверждение. Будет ли оно верным? Какая
существует связь между дифференцируемостью функции в точке х 0 и существованием конечной производной функции в точке?
Задание 22. Какая существует связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке?
Задание 23. В чем заключается геометрический смысл дифференциала?
Задание 24. Запишите формулу для вычисления дифференциала функции.
Задание 25. Для функции у= ln(1+х) вычислите и дайте геометрическую интерпретацию дифференциала, если:
1) х0=0, dх=1;
2) х0=1, dх=1;
3) х0=2, dх=-1.
Задание 26. Что означает свойство инвариантности формы дифференциала?
Задание 27. Сформулируйте определение дифференциала второго порядка, n-го порядка. Запишите формулу дифференциала n-го порядка в случае, когда х –независимая
переменная. Выполняется ли свойство инвариантности для дифференциала второго порядка?
Задание 28. Сформулируйте определение производной второго порядка, n-го порядка.
Задание 29. Вычислите n-ю производную функций:
1) у= ln(1+х);
2) у= екх.
Задание 30. Запишите формулу для вычисления производной
у
параметрически
х
заданной функции.
Задание 31. Кривая задана уравнениями:
х= 2+5cost
у= -3+5sint, t  0;2 .
1)
Лежат ли точки А(5;1), В(7;-3), С(0;0) на этой кривой, если да, то при каком
значении параметра t они получаются?

2) Найдите точки кривой, отвечающие значениям параметра t= ; .
2
3) Запишите уравнение этой кривой в неявном виде, постройте кривую. Является
ли она графиком функции?
4) Запишите уравнение этой кривой в явном виде.

6) Найдите ух в точках (5;1); (7;-3); при t= ; и постройте касательную в соот2
ветствующих точках графика.
Задание 32. Кривая задана уравнениями
х=аcos3t
у=аsin3 t. Найдите производную у (х) в точках t1=
те в указанных точках касательную к кривой.



, t 2= , t3=0, t4= - . Построй2
4
4