Конспект урока по теме: «Композиция функций» Тип: урок ознакомления с новым материалом; Тема: «Композиция функций». Цели: формирование знаний о композиции функций; развитие умений распознавать сложную функцию, представлять сложные функции в виде композиций элементарных функций, составлять сложную функцию из набора элементарных; воспитание добросовестного отношения к учебе, самостоятельности при работе с учебной литературой. Оборудование: опорный конспект по теме: «Композиция функций», набор матрешек, плакат с изображением схемы композиции функций, мел, доска. Структура урока: 1. Постановка темы и целей урока (3 мин.); 2. Подготовка к изучению нового материала (5 мин.); 3. Ознакомление с новым материалом (20 мин); 4. Первичное осмысление и применение изученного материала (10 мин); 5. Подведение итогов урока (4 мин.); 6. Постановка домашнего задания (3 мин.); 7. Резерв. Ход урока Основное содержание учебного материала Деятельность учителя Деятельность учащихся 1. Постановка темы и целей урока После проверки готовности класса Записывать тему урока к уроку сообщает, что на данном уроке будет рассмотрена тема «Композиция функций». Ставится задача: научиться распознавать сложную функцию, представлять ее в виде композиции элементарных, составлять ее из набора элементарных, находить ее область определения. Говорит, что композиция функций встречается повсеместно, но, самое главное, что с ней можно столкнуться в заданиях ЕГЭ. 2. Подготовка к изучению нового материала Просит вспомнить обучающихся Обучающиеся говорят, что к какие функции элементарным относятся к элементарным. линейная относятся: (𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏), квадратичная (𝑦 = 𝑎𝑥 2 + обратная +𝑏𝑥 + 𝑐), 𝑘 пропорциональность (𝑦 = ), 𝑥 (𝑦 = 𝑥 𝑛 ), степенная тригонометрические Задание: Найдите Предлагает устно выполнить значение функции задание. все и обратные им. Выполняют задание: Ципрун К.: 3 𝑓(𝑥) = 2𝑥−5 при 𝑥 = 𝑓(0) = 0; 3. 3 −3 = = −0,6. 0−5 5 Зубарева И.: Поясняет, этих что заданий осознанного выполнение поможет усвоения 𝑓(3) = 3 = 3. 2∙3−5 для нового материала. 3. Ознакомление с новым материалом Предлагает расположение двух рассмотреть Слушают объяснения матрешек, учителя, внимательно вложенных одна в другую. Таким смотрят на модели образом, одна матрешки – имеет простую структуру, две матрешки, когда, одна находится внутри другой, имеет более сложную структуру и т. д. Чем больше матрешек внутри, тем сложнее получается и структура. То же самое можно сказать и о функции. Давайте рассмотрим следующую функцию: 𝑦 = √cos(2𝑥 − 5) Мы, вспомнили элементарные основные функции и их свойства, какие из них мы можем увидеть в составе формулы? данной для Никифоров В.: в состав данной функции входят (вопрос Никифорова В.) Учитель соглашается с следующие элементарные ответом Никифорова и говорит, функции: 𝑦 = √𝑥, 𝑔 = cos 𝑥 , что одна функция как бы ℎ = 2𝑥 − 5. «вложена» в другую: 𝑦 в 𝑔, 𝑔 в ℎ, Строит y(x)= √𝑥 y(x) g(x) g(x)=cos x h=2x-5 h(x) Предлагает записать функция 𝑢 = 𝑔(𝑥) определение определена на функций. множестве 𝑋 и 𝑈 – То композиции Записывают определение в осмыслив тетради, осмысливают его. есть, область ее значений. определение, сделать вывод, что Пусть далее, функция мы повсеместно встречаемся с 𝑦 = 𝑓(𝑢) определена композицией функций (сложной на множестве 𝑈. функцией). Но, можно составлять Поставим в композицию не только из двух соответствие каждому функций, но и более. 𝑥 из 𝑋 число 𝑓(𝑔(𝑥)). для предложенной задачи: т.е. образовалась композиция. Определение: Пусть диаграмму Предлагает рассмотреть 2 Тем самым на функции: множестве 𝑋 будет задана функция Рожкова 𝑓(𝑔(𝑥)). Ее называют отличия функций том, что в и эти данных различие состоит в том, что сходства подкоренные функций. или Просит ответить на вопрос: Как найти Матушкин Обозначается: значение этой точке х нужно: 1) вычислить Иными значение выражения 𝑥 − 2 в вывод: словами, сначала нужно найти этой значение для х? функции в фиксированной точке (фиксирует на доске) Делает А.: в нахождения значения данной функции фиксированной выражения А. различны. Матушкина сложной функцией. 𝑓(𝑔(𝑥))=𝑓 ∘ 𝑔 сходство Просит Рожкову Н. назвать функции обе степенные, а 𝑦= композицией состоит 𝑦 = √𝑥, 𝑔 = √𝑥 − 2 Н.: функции g(х)=х-2, точке; а значение 2) корня найти из потом найти значение функции f= полученного числа. g (x) , которая сама по себе является функцией. В подобных случаях говорят, что задана сложная функция f (g(х)). В нашем примере (записывает на доске) f(u)= Записывают в тетради то, что учитель пишет на доске. u где и= g(х)=х-2. Переменную внутренней и называют переменной или промежуточной (соответственно, внутренней или промежуточной функцией), внешней а f(и) называют функцией. Таким образом: Изображают схему в тетради Y = f ( g ( x ) ) - сложная функция основная переменная внутренняя функция 4. Первичное осмысление и применение изученного материала внешняя функция Задание 1: Даны Предлагает ученикам выполнить функции: 𝑦(𝑥) = √𝑥, задание 2 𝑓(𝑥) = 𝑥 , 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − −3𝑥 + 5. Составьте следующие композиции: 𝑦(𝑓(𝑥)), 𝑓(𝑦(𝑥)), 𝑔(𝑓(𝑦(𝑥))) составление композиции функции. Предлагает, для лучшего запоминания, Слушают пояснения учителя обозначать для себя, что будет являться внешней функцией, внутренней переменной, основной переменной. Просит Ответы: на выполнить у доски Акишина П. выходит к доске задания Акишину П., Фильцину и выполняет задание: 2 𝑦(𝑓(𝑥)) = √ , 𝑥 П., Рубанюка П.. отсюда, 𝑦(𝑓(𝑥)) внешняя функция, 𝑦− 𝑓(𝑥) − 2 Давайте сравним 1 и 2 пример, внутренняя функция, , √𝑥 заметим, что в общем случае получаем: 4 6 𝑔 (𝑓(𝑦(𝑥))) = − 𝑦(𝑓(𝑥)) ≠ 𝑓(𝑦(𝑥)). 𝑥 √𝑥 2 2 𝑦( ) = √ 𝑥 𝑥 + 5. 𝑓(𝑦(𝑥)) = Фильцина П. выходит к доске и выполняет задание: отсюда, 𝑓(𝑦(𝑥)) внешняя функция, внутренняя 𝑓− 𝑦(𝑥) − функция, получаем: 2 2 𝑓( ) = 𝑥 √𝑥 Рубанюк П. выходит к доске и выполняет задание: 𝑔 (𝑓(𝑦(𝑥))) − это композиция трех функций, замечаем, что 𝑔 − внешняя функция, 𝑓(𝑦(𝑥)) − внутренняя 𝑓(𝑦(𝑥)) получаем: мы функция, уже знаем, 2 2 √ √ 2 𝑔 ( 𝑥) = ( 𝑥) − 3 ∙ 4 =𝑥− 6 √𝑥 2 √𝑥 + 5= + 5. Управляет работой обучающихся, Задание 2: Даны функции: 𝑦 = просит не торопиться и быть √𝑥, 𝑢 = sin 𝑥 , 𝑧 = внимательными, следит 𝑥 5 , ℎ = 2𝑥 − 7. дисциплиной в классе. за Выполняют задания на Соотнесите формулу местах, сверяют ответы, с функции доской, с пояснения, композицией функций, объясните: дают ответ Отмечает, какие ошибки были выбран тот сделаны и почему. Анализирует, вариант. Формула функции: еще раз обращает внимание на 1) √sin(2𝑥 − 7)5 ключевые моменты. почему или устные был иной 2) √2 sin ℎ5 − 7 3) sin √(2𝑥 − 7)5 Композиция: а) 𝑦(ℎ(𝑢(𝑧(𝑥)))) б) 𝑢(𝑦(𝑧(ℎ(𝑥)))) в) ℎ(𝑢(𝑦(𝑧(𝑥)))) г) 𝑦(𝑢(𝑧(ℎ(𝑥)))) Кодопозитив: 1) – г; 2) – а; 3) – б. Предлагает Задание 3: выполнить Ушакову задание у Д. доски, 2 Пусть 𝑓(𝑥) = 1 + 𝑥 . предварительно, просит указывать Найдите выражение внешнюю функцию, внутреннюю 𝑥−1 для: 𝑓 (𝑥+1) ; Ушаков Д. решает пример, переменную. делая Ответ: 𝑥−1 2 ⋅ (𝑥 2 + 1) 𝑓( )= (𝑥 + 1)2 𝑥+1 все необходимые Следит за выполнением задания. пояснения: Ходит по необходимые классу, дает 𝑓 (𝑥−1), отсюда, 𝑓 − внешняя 𝑥+1 пояснения отстающим. 𝑥−1 функция, − 𝑥+1 промежуточная переменная, т.е., необходимо вместо подставить 𝑥 в 𝑓 𝑥−1 , 𝑥+1 получаем: 𝑥−1 𝑥−1 2 𝑓( )=1+( ) = 𝑥+1 𝑥+1 =1+ 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 = 𝑥 2 + 2𝑥 + 1 = 𝑥 2 + 2𝑥 + 1 + 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 𝑥 2 + 2𝑥 + 1 = 2𝑥 2 + 2 2 ⋅ (𝑥 2 + 1) = (𝑥 + 1)2 𝑥 2 + 2𝑥 + 1 5. Подведение итогов урока Фронтальным опросом вместе с обучающимися подводит итоги урока: 1) Мамай Я., чем мы занимались 1) Мамай Я.: сегодня на сегодня на уроке? уроке мы рассматривали тему: «Композиция функций» 2) Теплова В., как по-другому можно назвать композицию 2) Теплова В.: композицию функций? функций еще называют сложной функцией. 3) Ципрун К., как ты понял, что такое композиция функций? 3) Ципрун композицией К.: под функций он понимает функцию от функции, т.е. функция выступает в качестве 4) Хачатрян В., как обозначается переменной. композиция функций? 4) Хачатрян В.: композиция функций обозначается 𝑓(𝑔(𝑥)) или 𝑓 ∘ 𝑔, где 𝑓 − внешняя функция, а 𝑔(𝑥) − внутренняя (промежуточная 5) Зубарева И., приведи пример переменная) композиции двух функций. 5) Зубарева И. приводит пример: С учетом работы во время урока 𝑓(𝑥) = ln 𝑥 , 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 комментируются и оцениваются 𝑓 ∘ 𝑔 = ln 𝑥 2 , 𝑔 ∘ 𝑓 = (ln 𝑥)2 ответы учащихся Никифорова В., Рожковой Акишиной Н., Матушкина А., П., Фильциной П., Рубанюка П., Ушакова Д.. 6. Постановка домашнего задания Дает пояснение по выполнению Записывают Задания: 1) Пусть 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 , домашнего обучающихся 𝑔(𝑥) = 𝑥 3 + 1. задания, домашнее просит задание, слушают пояснения внимательно учителя. выражение просмотреть записи в тетради. Найдите для: Решение а) 𝑓(𝑔(𝑥)); задания: б) 𝑔(𝑓(𝑥)); 1. в) 𝑓 2 (𝑥) + 𝑔2 (𝑥); внутренняя функция, 𝑓(𝑥) = 2) на 𝑔(𝑥) = 𝑥 3 + 1 − 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − внешняя функция. отрезке Т. о. 𝑓(𝑔(𝑥)) = (𝑥 3 + 1)2 . Функция задана а) домашнего [−1; 0]. Найдите область задания функции: 𝑓(𝑥 − 1); б) 𝑔(𝑥) = 𝑥 3 + 1 − внешняя функция, 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − внутренняя функция. Т. о. 𝑔(𝑓(𝑥)) = (𝑥 2 )3 + 1 = = 𝑥 6 + 1. в) 𝑓 2 (𝑥) + 𝑔2 (𝑥) = (𝑥 2 )2 + +(𝑥 3 + 1)2 = 𝑥 6 + 𝑥 4 + 2𝑥 3 + 1. 2. Пусть 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 1, тогда 𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑥)). 𝐸(𝑓) = 𝑓(𝐸(𝑔(𝑥))). Т.о. 𝐸(𝑓(𝑥 − 1)) = 𝑓 (𝐸(𝑔(−1))): 𝑥 − 1 = −1 𝑥 = 0. 𝐸(𝑓(𝑥 − 1)) = 𝑓 (𝐸(𝑔(0))): 𝑥−1=0 𝑥 = 1. 𝐸(𝑓) = [0; 1]. Ответ: 𝐸(𝑓) = [0; 1]. 7. Резерв Задание: На случай досрочного выполнения Пусть 𝑓(𝑥) = 1 + 𝑥 2 . всем классом или отдельными Найдите выражение учениками заданий и обеспечения для: 𝑥 ∙ 𝑓(𝑥 2 − 5𝑥 + занятости и развития наиболее +2). подготовленных планируется учащихся использовать дополнительные задания.