Контрольная работа № 2 математике

Контрольная работа № 2 по математике
(Материалы и задания по математике для учащихся 10 классов (МИФ-2, №4, 2006 г.)
Математика, 10 класс
Колегаева Е.М., доцент кафедры ММиИТ ДВАГС
Функции и их свойства. Исследование функций элементарными методами
1.
Основные понятия
Определение. Функцией f, действующей из множества X действительных чисел во
множество Y действительных чисел, называется закон, по которому каждому элементу x,
x X ставится в соответствие единственный элемент y  f xY .
Множество X называется областью определения функции y  f x  , множество Y
называется множеством значений функции. Тот факт, что задана функция f с областью
определения X и множеством значений Y, часто записывают в следующей форме:
f : X Y .
Замечание. Если функция задана формулой, то говорят, что она задана аналитическим
способом. Кроме аналитического способа, функцию можно задать графически, таблично,
описательно и т.д.
Определение. Графиком функции y  f x  называется множество точек плоскости
x, f x , где x X , f xY .
y
y
2
2
1
1
x
0
1
-2
-1
0
x
2
1
2
-1
Рис. 1.а
Рис. 1.б
-2
Замечание. Область определения функции может быть указана при задании функции. В
противном случае функция считается заданной на ее естественной области, которая
определяется как множество всех значений x, для каждого из которых выражение f x 
имеет смысл (иногда естественная область определения называется областью существования
функции).
1
Например, рассмотрим функцию, заданную аналитически y  . Если задать область
x
определения X  1, 2 , то множеством ее значений будет отрезок Y   1 ,1 , и графиком
 2 
является часть гиперболы (рис. 1.а). Если же область определения не задана явно, то
функция рассматривается на естественной области определения X   , 0  0,  . В
этом случае множество значений Y   , 0  0,   и графиком является гипербола (рис.
1.б).
Замечание. Чтобы найти область определения функции, заданной графиком, нужно
спроектировать график этой функции на ось Ox. Полученное множество точек оси Ox
является областью определения данной функции. Чтобы найти множество значений
функции, заданной графиком, нужно спроектировать график этой функции на ось Oy.
Полученное множество точек оси Oy и является множеством значений данной функции.
Например, областью определения функции, заданной на рисунке 2, является отрезок  1, 4 ,
а множеством ее значений – отрезок  2, 3 .
y
3
1
-1
2
4
x
-2
Рис.2.
1 x2
.
x
Решение. Область определения функции в данном случае – это все те значения x, при
которых имеет смысл формула, задающая функцию: подкоренное выражение должно быть
неотрицательным и знаменатель не должен обращаться в ноль:
1  x 2  0,
1  x   1  x   0,
 1  x  1,
 
 
 x   1, 0  0, 1

x0

 x0
 x0
Ответ: область определения функции X   1, 0  0, 1.
Задача 1. Найти область определения функции y 
Задача 2. Привести пример функции, заданной аналитически, область определения которой
есть множество, состоящее из двух чисел.
Решение. Рассмотрим функцию y  1  x 2  x 2  1 .Область определения задается
системой неравенств:
1  x 2  0,
 x  1,
. Ответ: Областью определения функции y  1  x 2  x 2  1
 
 2
 x  1
 x 1 0
является множество X  1,  1.
2. Основные свойства функций
1) Четность, нечетность
Определение. Функция y  f x  называется четной, если ее область определения X
является симметричным относительно начала координат промежутком, и для любого
x X выполняется равенство f  x  f x  .
Определение. Функция y  f x  называется нечетной, если ее область определения X
является симметричным относительно начала координат промежутком, и для любого
x X выполняется равенство f  x   f x .
Функция, не являющаяся четной или нечетной, называется функцией общего вида.
3 x  3 x
.
2
Решение. Область определения функции: x  R - симметричный относительно начала
координат промежуток.
Далее, для любого x из области определения справедливы равенства:
3 x  3 x
y  x  
 y x  .Таким образом, данная функция является четной.
2
Задача 3. Исследовать на четность и нечетность функцию y 
Задача 4. Исследовать на четность и нечетность функцию y  4  x 2 , заданную на
промежутке x   1, 5 .
Решение. Так как область определения функции не является симметричным относительно
начала координат промежутком, то функция является функцией общего вида.
Задача 5. Представить функцию y  x 3  2 x в виде суммы четной и нечетной функции.
Решение. Пусть yx   x 3  2 x  g x    x  , где функция g x является четной, а функция
 x  - нечетной функцией. Найдем:
y x   x 3  2  x  g  x     x   g x    x  .
Составим систему уравнений:

2 x  2x


3
x
g
x

,

 g x    x   x  2 ,
2
 

x
x
3
x
 g x    x    x  2
 x   x 3  2  2

2
Ответ: yx   x 3  2 x  g x    x  , где

2 x  2x


g
x

,

2

x
x
  x   x 3  2  2

2
2) Монотонность
Определение. Функция y  f x  называется монотонно возрастающей на промежутке U,
если для любых x1 , x2  U выполняется неравенство f x1   f x2 .
Определение. Функция y  f x  называется монотонно убывающей на промежутке U, если
для любых x1 , x2  U выполняется неравенство f x1   f x2  .
x2
.
1 x2
Решение. Область определения функции x   ,   . Для всех x из области определения
таких, что x1  x2 рассмотрим разность y1  y 2 . Если эта разность будет отрицательна, то
y1  y 2 и функция возрастает, если разность – положительна, то y1  y 2 и функция убывает.
Задача 6. Исследовать на монотонность функцию y 
x  x 2 x1  x 2 
x12
x 22
y1  y 2 

 1
.
2
2
1  x1 1  x 2
1  x12 1  x 22
Так как x1  x2 , то x1  x2  0 , знаменатель дроби положителен при всех значениях x
из области определения, поэтому знак разности y1  y 2 зависит от знака выражения ( x1  x 2 ).
Если x1  0 и x2  0 , то ( x1  x2 )  0 и разность y1  y 2 отрицательна, то есть на промежутке
x  0,   функция возрастает. Если же x1  0 и x2  0 , то ( x1  x2 )  0 и разность y1  y 2
положительна, то есть на промежутке x   , 0 функция убывает.
Ответ. Функция возрастает на промежутке x  0,   и убывает на промежутке x   , 0 .
3) Экстремумы



Определение. Точка x1 называется точкой максимума функции y  f x  , если существует
некоторый промежуток U такой, что для любого xU выполняется неравенство
f x1   f x .
Замечание. Значение функции в точке максимума является наибольшим значением функции
на промежутке U, но не обязательно является наибольшим значением функции на всей
области определения. Слева от точки максимума функция возрастает, справа – убывает.
Определение. Точка x2 называется точкой минимума функции y  f x  , если существует
некоторый промежуток U такой, что для любого xU выполняется неравенство
f x2   f x  .
Замечание. Значение функции в точке минимума является наименьшим значением функции
на промежутке U, но не обязательно является наименьшим значением функции на всей
области определения. Слева от точки минимума функция возрастает, справа – убывает.
Определение. Точками экстремума называются точки минимума и максимума функции.
x2
Например, рассмотрим функцию y 
из примера 6. Мы показали, что эта функция
1 x2
возрастает на промежутке x  0,   и убывает на промежутке x   , 0 . Из этого
следует, что точка x=0 является точкой максимума функции.
4) Ограниченность, неограниченность
Определение. Функция y  f x  называется ограниченной сверху, если существует такое
число M, которое называется верхней гранью функции, что для любого x X выполняется
неравенство f x  M . В противном случае говорят, что функция неограниченна сверху.
Определение. Функция y  f x  называется ограниченной снизу, если существует такое
число m, которое называется нижней гранью функции, что для любого x X выполняется
неравенство f x  m . В противном случае говорят, что функция неограниченна снизу.
Определение. Функция y  f x  называется ограниченной, если она ограничена сверху и
снизу.
Определение. Наименьшая из всех верхних граней называется точной верхней гранью
функции. Наибольшая из всех нижних граней называется точной нижней гранью функции.
Замечание. Можно доказать, что у ограниченной функции существует точная нижняя и
точная верхняя грани. Говорят, что точная верхняя (нижняя) грань достигается, если
существует точка x из области определения функции, значение функции в этой точке равно
точной верхней (нижней) грани.
Например, функция, заданная на рис.2, достигает своего наименьшего значения в левом
конце отрезка  1,4 , f наим (1)  2 , достигает наибольшего значения в точке максимума
x = 2, f наиб (2)  3 .
x2
на ограниченность.
1 x2
x2
x2 11
1
y


1
Решение. Преобразуем функцию:
. Так как знаменатель
2
2
1 x
1 x
1 x2
1
дроби неограниченно возрастает при неограниченном возрастании x, то дробь
1  x2
1
1
неограниченно стремится к нулю и значит, y  1 
принимает
 1 . Далее, дробь
2
1 x
1  x2
наибольшее значение, когда ее знаменатель принимает наименьшее значение. В данном
1
случае наибольшее значение дроби равно 1 при x=0. Значит, y  1 
 0 . Получили, что
1 x2
Задача 7. Исследовать функцию y 
Область
cуществования
Множество
значений
периодичность
значит функция ограничена снизу числом 0, причем функция достигает своей
верхней грани в точке x=0; функция ограничена сверху числом 1, причем функция не
достигает своей верхней грани, так как не существует точки x, значение функции в которой
равно 1.
Ответ. Функция является ограниченной сверху и снизу, 0  y  1 .
Замечание. Часто задачи на нахождение множества значений функции связаны с
исследованием функции на ограниченность и нахождение точных верхней и нижней грани
функции.
x2
Задача 8. Найти множество значений функции y 
.
1 x2
Решение. В примере 7 мы нашли, что 0  y  1 . Таким образом, множество значений
функции есть промежуток Y  0, 1 .
5) Периодичность
Определение. Функция y  f x  называется периодической, если существует такое число
T, называемое периодом функции, что для любого x X выполняются условия:
а) x + T и x - T принадлежат области определения функции,
б) f x  T   f x .
В противном случае говорят, что функция является непериодической.
Задача 9. Найти главный период функции y  2 cos x  sin 2 x .
Решение. Пусть T – главный период функции. Тогда имеем:
y ( x  T )  y ( x)  2 cos( x  T )  sin( x  T )  2 cos x  sin 2 x .
Подставим x = 0 и x = -T в предыдущее равенство и получим систему уравнений:
T  2n, n  Z ,
2соsT  sin 2T  2,
 cos T  1,



.


 T  k , k  Z .
2 cos T  sin 2T  2
sin 2T  0

2
Выбирая наименьшее число T, удовлетворяющее найденным условиям, получим, что
Ответ. Главный период функции T  2 .
T  2 .
Свойства основных элементарных функций
Четность
0  y  1,
R
R
Неч.
-
 ,0  0,
R \ 0
Неч.
-
y  x2n
R
0,
Чет.
-
y  x 2 n 1
R
R
-
y  2n x
0,
0,
Неч.
Общ
вида
y  2 n 1 x
R
R
-
y  ax
R
0,
y  log a x
0,
R
Неч.
Общ
вида
Общ
Функция
yx
1
y
x
-
-
Монотонность,
экстремумы
Возрастает на R, экстремумов нет
Убывает на  ,0  0, ,
экстремумов нет
Убывает на  ,0 , возрастает на
0, , x=0 – точка минимума
Возрастает на R,экстремумов нет
Возрастает на 0, , экстремумов
нет
Возрастает на R,экстремумов нет
При а>1 возрастает на R,при 0<a<1
убывает на R,экстремумов нет
При а>1 возрастает на 0, ,при
вида
0<a<1 убывает
на 0, ,экстремумов нет
y  sin x
R
1,1
Неч.
+
y  cos x
R
 1,1
Чет.
+
R
Неч.
+
R
Неч
+
y  ctg x


R \   k 
2

k  Z.
R \ k ,
y  arcsin x
1, 1
  
 2 , 2 
Неч.
-
y  arccos x
1, 1
0,  
Общ
вида
-
y  arctg x
R
  
 , 
 2 2
Неч.
-
y  arcctg x
R
0, 
Общ
вида
-
y  tg x
k Z
Задача 10. Найти множество значений функции y 

 

Возрастает на    2k ,  2k  ,
2
 2



убывает на   2k ,   2k  k  Z ,
2

точки минимума

x    2k , k  Z ,
2

точки максимума: x   2k , k  Z
2
Возрастает на    2k ,2k  ,
убывает на 2k ,  2k  k  Z ,
точки минимума: x    2k , k  Z ,
точки максимума: x  2k , k  Z


Возрастает на R \   k , k  Z ,
2

экстремумов нет.
Убывает на R \ k, k  Z ,
экстремумов нет.
Возрастает на 1, 1 ,экстремумов
нет.
Убывает на R,
экстремумов нет.
Возрастает на 1, 1 ,
экстремумов нет.
Убывает на R,
экстремумов нет.
2  sin x  cos x
.
3 2
Решение. Преобразуем подкоренное выражение:
2  sin x  cos x 1
1
1
1

 (1 
sin x 
cos x)  (1  sin( x  )) .
3
3
4
3 2
2
2
Найдем точную верхнюю и нижнюю грани этого выражения. Имеем последовательно:


1

2
 1  sin( x  )  1, 0  1  sin( x  )  2, 0  (1  sin( x  ))  .
4
4
3
4
3
Так как функция y  x является возрастающей, то большему значению функции
соответствует большее значение аргумента, то есть
0
2  sin x  cos x
3 2

2
Y  0,
.
3


2
. Делаем вывод, что множество значений функции – отрезок
3

2
Ответ. Множество значений функции – отрезок Y  0,
.
3

Контрольное задание №2
Представленные ниже задачи являются контрольным заданием №2 для учащихся 10
классов. Решения необходимо оформить в отдельной тетради и выслать по адресу 680000,
г. Хабаровск, ул. Дзержинского, 48, ХКЦТТ, ХКЗФМШ. Для зачета нужно набрать не менее
20 баллов (каждая правильно решенная задача оценивается в 3 балла)
М.10.2.1.
Привести пример функции, заданной аналитически, область определения
которой – замкнутый отрезок.
М.10.2.2.
Привести пример функции, заданной аналитически, область определения
которой – единственное число.
М.10.2.3.
Привести пример функции, заданной аналитически, область определения
которой – множество действительных чисел.
М.10.2.4.
Привести пример функции, заданной аналитически, множество значений
которой – множество действительных чисел.
М.10.2.5.
Привести пример функции, заданной аналитически, множество значений
которой – множество Y  0,   .
М.10.2.6.
Изобразить график функции, обладающей следующими свойствами:
- наибольшее значение достигается в
- область определения X   3, 3 ,
точках x = -1 и x = 1,
- множество значений Y   2, 4 ,
- наименьшее значение достигается на
- четная,
концах отрезка X   3, 3 .
М.10.2.7. Изобразить график функции, обладающей следующими свойствами:
- область определения X  0, 5,
- множество значений Y   1, 3 ,
- возрастает на промежутках 0, 2  4, 5 ,
убывает на промежутке 2, 4 ,
функция
достигает
наибольшего
значения
в
точке
максимума
и
наименьшего значения в точке минимума.
М.10.2.8. Найти область определения и множество значений каждой из функций:
а) y  1  x 2 ,
б) y  (sin x  2) 2  1 ,
г) y  sin 2 x  4 sin x  6 , д) y  2 cos x  1 ,
в) y  cos 2 x  2 cos x  5 ,
е) y 
x2 1
.
x2  1
М.10.2.9. Исследовать функции на четность и нечетность:
1
а) y  x 4 cos x ,
б) y 
,
в) y  cos 2 x  2 cos x, x    ,2 ,
1
x
1
x
x
М.10.2.10. Представить функцию в виде суммы четной и нечетной функции:
1
x 1
а) y  x 2  2 x ,
б) y  2
,
в) y  2
x 1
x 1
3
М.10.2.11. Доказать, что функция y  x является монотонно возрастающей на всей области
определения.
М.10.2.12. Доказать, что число  является периодом следующих функций:
1  sin 2 x
а) y  sin 30 x ,
б) y 
,
в) y  tg 2 x
sin 2 x
x
М.10.2.13. Найти главный период функций: а) y  cos , б) y  2 sin 3x  3 cos 2 x .
3