Об S-образных кривых, или немножко шарма

Кононенко А.В.
Студентка 2 курса подготовки направления «Строительство
уникальных зданий и сооружений» факультета строительства и
экологии Забайкальского государственного университета
г. Чита
Об S-образных кривых, или немножко шарма
Аннотация: Данная статья посвящена S-образным кривым. Она раскрывает не только
математический смысл этих кривых, но и применение ее в различных сферах деятельности.
Эта статья может привлечь читателя не зависимо от того хорошо он разбирается в
математике или нет, так как она позволяет просто и без лишних усилий понимать
изложенную информацию.
Ключевые слова: S-образные кривые, линия, прогнозирование.
Многое в нашей жизни может быть не таким простым, как оно кажется. Даже в самых
незаметных и сложных вещах существует нераскрытая истина. Вы когда-нибудь
задумывались над тем, что вас окружает? Что вы видите вокруг себя? Предметы, природа,
люди. Какое разнообразие может быть в этом мире? Ведь он представлен всевозможными
формами и образами, различными объектами и закономерностями. А если взглянуть на вещи
под другим углом, и попробовать увидеть мир в линиях? Рассмотрим такую интересную и
интригующую линию как S-образную кривую, или, как ее называют математики,
сигмоидную кривую, или сплайн-функцию. Эта линия находит место во многих живых,
движущихся и изменяющихся природных объектах. С ее помощью можно описать
различные процессы, к примеру, рост популяции живых существ, демографические данные,
развитие техники, экономические прогнозы.
Для чего же нужны S-образные кривые в обычной жизни? На самом деле, столь
искусная кривая используется во многих сферах нашей жизни. С помощью S-образной
кривой можно описать рост популяции живых существ. В биологии выделяют два основных
типа по форме роста кривой: тип роста, описываемый J-образной кривой и тип роста,
описываемый S-образной кривой (рис. 1).
1
Рис.1 Рост популяции живых существ по J-образному и S-образному типам кривых
При J-образной кривой (рис 1а) плотность популяции быстро возрастает по экспоненте,
но затем, когда начинает действовать сопротивление среды, рост быстро прекращается.
При типе роста, описываемом сигмоидной кривой (рис. 1б), популяция сначала
увеличивается медленно, затем рост ее все ускоряется, затем под влиянием среды рост
постепенно замедляется и, в конце концов, достигает равновесия.
Также S-образная кривая позволяет описывать развитие мышления и личности. В XIX
веке были обнаружены общие закономерности развития биологических систем, которые
стали изображаться с помощью S-образных кривых. В развитии любой группы живых
существ наблюдается три этапа: а) медленное нарастание численности; б) быстрый,
лавинообразный рост; в) стабилизация (иногда убывание). В XX в. выяснилось, что эти
этапы проходят в своем развитии и технические системы[3].
Соотношение развития образно-чувственного отражения мира, понятийно-логического
мышления, интуитивно-эвристического мышления на протяжении жизни можно изобразить
с помощью графика, представленного на рис. 2. Здесь изображено соотношение развития,
близкое к идеальному, так называемых психологических функций с помощью S-образных
кривых.
Рис. 2 Соотношение развития образно-чувственного отражения мира (I), понятийнологического мышления (II), интуитивно-эвристического мышления (III)
2
На рисунке 2 отражено то, что на каждом этапе жизни человека (в детстве, в юности, в
период взрослости, в период психологической зрелости) имеются все рассматриваемые
функции, хотя их соотношение различно. Замедление развития одной психологической
функции совпадает началом быстрого развития следующей, если развитие идет без задержек;
уровень следующей функции изображен выше, чем предыдущий, что соответствует
принципу «высшее, развиваясь на основе низшего, в свою очередь становится его
регулятором».
С помощью S-образных кривых описывают демографические показатели. Так, еще в
1825 г. английский математик Бенджамин Гомперц вывел формулу увеличивающейся с
возрастом вероятности смерти. На ее основе он показал, что теоретический предел жизни
человека равен 100 - 110 годам. Согласно Гомперцу, увеличение смертности с возрастом
выступает, как функция ослабления способности человека противостоять различным
негативным влияниям. При этом предполагалось, что темп уменьшения этой способности
характеризуется постоянной величиной, а уровень смертности в каждом возрасте
пропорционален такой ослабленной жизнеспособности человеческого организма.
По S-образной кривой можно пронаблюдать смену поколений техники и технологий, т.
е. изменения принципа действия технологической, энергетической и информационноуправляющей
функции
данного
поколения
для
обеспечения
роста
их
конкурентоспособности.
Рис. 3 S-образная кривая развития реактивной авиационной техники
На данном рисунке изображен пример развития и смены поколений авиационной
техники и технологий. Проведенные исследователями данные отмечены точками на рисунке
3
и по ним проводится прямая, по которой ясно видно, как развивается с годами авиационная
техника. Сначала развитие происходит медленно, но потом быстро начинает расти, а затем
переходит в состояние «застоя», как мы и наблюдали в примерах выше. Для кривой можно
выделить пять участков (периодов), каждый из которых характеризует ту или иную стадию
развития поколения самолетов-истребителей (рис. 3)[4].
Одна из задач S-образной кривой на данный момент это описание процессов какойлибо деятельности или развития, когда рост зависит в основном от достигнутого уровня, при
этом различного рода ограничения и факторы практически не берутся во внимание. В
сущности, эти
кривые описывают два последовательных процесса: один с ускорением
развития, другой – с замедлением.
В экономике часто встречается такая ситуация, когда нужно заранее знать то, как
поведет себя организация или предприятие в будущем. Для этого используют такую науку
как прогностика. Развитие прогностики в последние десятилетия привело к созданию
множества методов, процедур, приемов прогнозирования, неравноценных по своему
значению.
Прогнозирование на основе модели кривой роста основывается на продлении в
будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом. При
таком подходе изменение
исследуемого показателя связывают лишь с течением времени; считается, что влияние
других факторов несущественно или косвенно сказывается через фактор времени.
При этом предполагается, что во временном ряду присутствует тренд, характер
развития показателя обладает свойством инерционности, сложившаяся тенденция не должна
претерпевать существенных изменений в течение периода исследования.
Использование S-образных кривых в технологическом прогнозировании обусловлено
простотой их применения, существующие методы определения параметров кривой
позволяют в короткий срок сделать прогноз о развитии технологии. Но, несмотря на
обширное использование моделей, можно выделить небольшие минусы. Они исходят из
того, что с помощью модели прогнозирования трудно представить, как точно поведет себя в
будущем развитие, а прогноз может быть и условным.
Как мы видим, из приведенных примеров S-образная кривая необходима нам
непосредственно для прогнозирования. И для того чтобы понять технологию методов и суть
работы исследователей, нужно обратиться к математике. Что же такое S-образная кривая?
Название этой функции дано по виду кривых, которые представляют ее графики. Функция в
общем случае может быть задана аналитически следующим выражением:
4
0,
𝑥<𝑎
𝑥−𝑏
𝑓(𝑥) = {0,5 + 0,5𝐶𝑜𝑠 (
𝜋) , 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
𝑏−𝑎
1,
𝑏≤𝑥
где
a,
b
—
некоторые
числовые
параметры,
принимающие
произвольные
действительные значения с условием, что а < b. График этой функции изображен на рис. 4,
при этом значения параметров соответственно равны a=3, b=6.
Только посмотрите, как ведет себя кривая на рисунке. Она как змея, что ползет от
земли на ветку дерева, а ее движение спокойно и грациозно.
Рис. 4 График S-образной функции для параметров а=3, b=6
Конечно, наша кривая не могла не обратить на себя внимание математиков. Ее
изящность и многогранность в использовании привлекала и продолжает привлекать
знаменитых исследователей, которые с удовольствием нашли все ее визуальные и
аналитические характеристики, начиная от параметров и заканчивая изгибами самой Sобразной кривой. Самые известные из таких кривых, это кривая Гомперца и логистическая
кривая Перла-Рида.
Первая из них, кривая Гомперца, во многих работах исследователей стала эталоном для
прогнозирования и получила свое название по фамилии известного математика Бенджамина
Гомперца. Функция, задающая эту кривую, имеет вид:
yt=L 𝒆−𝒃𝒆
На рис. 5 представлен вариант этой функции:
5
−𝒌𝒕
Рис. 5 Кривая Гомперца
На рис. 5 показана кривая Гомперца, у которой L, b и k равны единице.
Рассматривая кривую можно выделить четыре участка, границы между которыми более
или менее условны. На первом участке прирост функции незначителен, на втором он
постепенно увеличивается, на третьем прирост постоянен и на четвертом происходит
замедление темпов, где функция приближается к значению K. В результате кривая
напоминает латинскую букву S[1].
Теперь
же
перейдем
к
логистической
кривой
Перла-Рида.
Если
в
модифицированной экспоненте уt = K +ebt вместо y ввести обратную величину, т.е.
1/yt, получим вторую S-образную кривую – логистическую кривую (рис. 6)[1].
1/yt = K + ebt ,
Рис. 6 Логистическая кривая Перла-Рида
Логистическую кривую в общем виде записывают:
6
,
где е – основание натуральных логарифмов; f(t) – некоторая функция от t
( обычно f(t) = - at),тогда,
.
Если b = 1, а вместо натуральных логарифмов перейти к десятичным логарифмам и
принять условие, что f(t)=а + b(t), получим другой вид логистической кривой:
.
Логистическая кривая настолько же необычна и изящна, как и кривая Гомперца,
что делает их родственными в необходимости использования во многих исследованиях.
Еще в XVIII веке британский художник Уильям Хогарт утверждал, что S-образная
кривая создает впечатления жизни и деятельности, возбуждая внимание зрителя, в отличие
от прямых, параллельных либо пересекающихся под прямым углом линий, создающих
подсознательное впечатление застоя, смерти, неодушевленного предмета. В одной из своих
работ он изобразил змеевидную кривую и
написал:
«Линия
красоты
и
привлекательности» (Рис.7).
Нельзя не согласиться с его мнением,
что в S-образной кривой присутствует некий
шарм, который заинтригует любого. Основа
красоты
–
это
гармоничное
сочетание
единства и разнообразия, которое воплощает
волнообразная линия[2].
Рис.7 Автопортрет Уильяма Хогарта с собакой
7
Список литературы
1. Технологическое прогнозирование [Электронный ресурс] – Режим доступа:
http://vk.com/away.php?to=http%3A%2F%2Fwww.metodolog.ru%2F01175%2F01175.htm
l
2. S-образная
линия
[Электронный
ресурс]
–
Режим
доступа:
https://ru.wikipedia.org/wiki/S%EE%E1%F0%E0%E7%ED%E0%FF_%EB%E8%ED%E8%FF
3. Галин А. Психологические особенности творческого поведения [Электронный ресурс]
– Режим доступа: http://www.gumer.info/bibliotek_Buks/Psihol/galin/02.php
4. Инновационная
экономика
[Электронный
ресурс]
–
Режим
доступа:
http://innov.etu.ru/innov/archive.nsf/0d592545e5d69ff3c32568fe00319ec1/82425210c23f9c
68c3257801003189eb?OpenDocument
8