Русская логика в информатике - logicrus.ru

Лобанов Владимир Иванович, вед.научн.сотрудник ФГУП «ЦНИИ «Комета», к.т.н., e-mail:lobanov-v-i@mail.ru.
Русская логика в информатике (Букварь математической логики).
Аннотация
Данная брошюра в популярной форме знакомит читателей с наиболее значимыми разделами Русской логики, которая опровергает многие постулаты
классической логики, являясь на сегодня единственной истинно математической логикой. Автор обвиняет современных матлогиков в невежестве и безграмотности. Брошюра рассчитана на школьных преподавателей математики
и информатики, но может быть освоена и школьниками 5-7-ых классов. Брошюра весьма полезна преподавателям и студентам вузов, а также всем профессорам и академикам.
Предисловие
Знает ли хоть кто-нибудь математическую логику? Вы сами ответите на этот
вопрос, пройдя тестирование по следующему вопроснику.
Вопросник для математика и логика.
1.
Как работать с картой Карно на 8 и более переменных?
2.
Что такое метод обобщённых кодов Мавренкова?
3.
Что можно вычислить с помощью кванторного исчисления?
4.
Алгебра множеств и алгебра логики. Назовите различия.
5.
Логика предикатов и логика суждений. В чём разница?
6.
Физический смысл и вывод формулы импликации.
7.
Фигуры и модусы Аристотеля. В чём их практическая цен-
ность?
8.
Правильны ли правила посылок в силлогистике?
9.
Как выглядят аналитические представления для Axy, Exy и Ixy?
10.
В чём смысл логики П.С. Порецкого?
11.
В чём главное достижение логики Л. Кэрролла?
12.
Что такое вероятностная логика?
13.
Что такое 4-значная комплементарная логика?
14.
Как решаются логические уравнения?
15.
Что такое логическое вычитание и деление?
16.
Как найти обратную логическую функцию?
1
Ответы на эти вопросы вы найдёте в «РВЛ», которую можно бесплатно скачать с моего сайта http://logicrus.ru или сайта РГБ http://www.rsl.ru . На этих же сайтах вы сможете прочесть основополагающую работу Платона Сергеевича Порецкого.
Преподавание логики в русской школе имеет достаточно давние традиции.
Этот предмет в качестве основного впервые ввёл в гимназиях и Академии великий русский учёный М.В. Ломоносов. С тех пор логику в обязательном порядке
изучали в гимназиях России и по указанию Сталина в 1946 – 1957 гг. (после смерти Сталина с 1953г. по 1957г. – по «инерции») в школах СССР. Причём в дореволюционной гимназии на логику отводилось вдвое больше времени, чем на математику. А русские математики были, есть и, я надеюсь, будут сильнейшими математиками в мире. Но для этого нужно восстановить старую русскую математическую школу, уничтоженную академиком Колмогоровым и его последователями.
Для начала убрать всю макулатуру по математике современных авторов и вернуть в среднюю школу учебники выдающегося математика и педагога Киселёва
Андрея Петровича. Затем следует возродить преподавание логики, начиная с
четвёртого класса. При этом нужно иметь в виду, что математическая логика является фундаментом искусственного интеллекта (ИИ), стратегического направления науки 21-го века. К сожалению, математическую логику в объёме классической преподают невежественно даже в ведущих вузах России: МГТУ, МФТИ, МГУ.
Во всяком случае, Порецкого П.С., который создал истинно математическую логику в 1884 году, там не знают, т.е. его работ не понял ни один математик мира. Это
свидетельство невежества, безграмотности и бестолковости. Получается, что мы,
Русские – иваны, не помнящие родства. Россия может и должна гордиться Порецким, решившим проблему, с которой всё человечество не справилось за 25 веков.
Автор считает, что читатель имеет право знать профессиональный уровень
создателя любого произведения, тем более интеллектуальные возможности разработчика математической логики. Если этот сочинитель – двоечник, то читать его
совершенно не за чем. Правда, и отличник – не всегда профессионал даже в своей области: наверное, Колмогоров получал великолепные оценки по математике,
но в матлогике он оказался невеждой и бестолочью. Академические звания и Нобелевские премии тоже не гарантируют высокий интеллект их обладателя. Примеры: Б.Рассел в матлогике и Эйнштейн – в математике. Если бы учащиеся досконально знали биографию Эйнштейна, они никогда бы не поверили этому двоечнику. Поэтому в брошюре приведена биография автора.
2
Автор предлагаемого пособия – нормальная посредственность в мышлении,
поэтому русским преподавателям математики стыдно будет не освоить (или опровергнуть) «Русскую логику в информатике». Не верьте ни единому утверждению в
Русской логике. Возражайте, опровергайте, но аргументированно.
Логика дисциплинирует мышление. Ещё Гераклит говорил, что учить нужно
многомыслию, а не многознанию. Не путайте Божий дар с яичницей: телевизионные «знатоки» - это не мыслители, они зарабатывают деньги не «своим собственным умом», а совсем противоположным местом.
Все мои книги и многие статьи выложены в открытом доступе на указанных в
перечне литературы сайтах [1].
Материал этой брошюры прошёл апробацию в 5«А» классе СШ №3 г.Москвы.
Это обычная нематематическая средняя школа. Были проведены 4 двухчасовых
занятия ознакомительного курса. Пятиклассники активно и с большим интересом
осваивали Русскую логику.
Нормальная программа-минимум должна выглядеть следующим образом.
№п/п Вид занятий
Тема и краткое содержание занятий Кол-во Дом.
часов
Зад.
Разделы
1
Урок
Предмет логики. Алгебра логики.
2
2
Урок
Синтез логических функций
4
ДЗ1
1.3-1.5
3
Семинар
Синтез логических функций
2
ДЗ2
1.1-1.5
4
Урок
Законы логики суждений
2
ДЗ3
2
5
Семинар
Законы логики суждений
2
ДЗ4
2
6
Урок
Силлогистика
2
ДЗ5
3
7
Семинар
Силлогистика
2
ДЗ6
3
8
Контр.работ
2
1.1-1.2
1-3
а
3
1. Алгебра логики
1.1 Основные положения алгебры логики
Логика – наука о законах мышления. Она позволяет делать правильные выводы из любых посылок, предохраняет от ошибок в рассуждениях, обеспечивает
безошибочное доказательство всевозможных законов, правил и теорем в различных областях знаний: в математике, физике, химии, в грамматике русского языка и
т.п. Для решения этих задач используется алгебра логики.
В алгебре логики (булевой алгебре) переменные могут принимать два значения: 1 (истинно) или 0 (ложно). Для двух аргументов существуют 16 логических
функций (операций, логических действий). Полная система этих функций(z0 – z15)
для двух аргументов(x,y) показана в таблице.
Над переменными в основном производятся три логических действия: сложение, умножение, отрицание (инверсия), что соответствует функциям ИЛИ, И, НЕ.
Все функции в булевой алгебре могут быть описаны с помощью таблицы истинности. В нижеследующих таблицах описаны функции И(z1), ИЛИ(z7),НЕ(z12).
4
Вместо функции И часто используется термин «конъюнкция», вместо функции
ИЛИ - термин «дизъюнкция». Вместо функции НЕ употребляется термин «инверсия» или «отрицание». Для двоичной логики понятия «инверсия» и «отрицание»
эквивалентны.
При написании логических формул для функции И используются следующие
ие; для функции ИЛИ -
V, +. Функция НЕ
обозначается штрихом над аргументом. Мы для обозначения отрицания будем
использовать апостроф. Таким образом, можно записать:
z1 = x2 & x1 = x2
Λ x1 = x2x1
z7 = x2 V x1 = x2 + x1
z12 = x’
Какой смысл имеют логические функции И, ИЛИ, НЕ. Поясним это на примерах. Пусть школьник принял решение: « Я пойду в кино, если выучу уроки и покатаюсь на лыжах». Обозначим через f1 – «я пойду в кино», x1 – «я выучу уроки», x2
– «я покатаюсь на лыжах». Тогда решение школьника будет записано в виде логической формулы так:
f1 = x2x1.
Родители заявили ученику: «Ты посмотришь телефильм, если перед этим покатаешься на лыжах или поиграешь в хоккей». Пусть f2 – «посмотришь телефильм», x1 – «покатаешься на лыжах», x2 – «поиграешь в хоккей». Тогда заявление родителей можно представить в виде логической формулы так:
f2 = x2+x1.
Тренер сказал футболисту-юниору: «Ты останешься в команде, если у тебя не
будет двоек». Пусть f3 – «ты останешься в команде», x – «будут двойки», тогда
приказ тренера выразится следующей формулой: f3 = x’.
1.2 Основные законы алгебры Буля.
Прежде, чем приступить к изложению основных законов алгебры логики, зафиксируем некоторые очевидные её положения.
1 + a = 1; 0 + a = a; a & 1 = a; a & 0 = 0; a + a’ = 1.
Эти соотношения легко проверяются по таблице истинности для логической
функции ИЛИ подстановкой 0 или 1 вместо аргумента a.
5
В булевой алгебре все операции осуществляются с логическими переменными и подчиняются законам алгебры логики. Опишем и докажем некоторые из них.
а) Переместительный закон
а + в = в + а;
ав = ва
б) Сочетательный закон
( а + в ) + с = а + ( в + с) ;
( ав )с = а(вс)
в) Распределительный закон
а( в + с ) = ав + ас ;
а + вс = (а + в)( а+с )
г) Закон поглощения
а + ав = а( 1 + в ) = а ;
а( а + в ) = а + ав = а
д) Закон склеивания
ав + ав’ = а(в + в’) = a & 1 = a;
( а + в )(а + в’) = а
е) Идемпотентный закон
a + a = a;
a&a=a
Вышеприведённые законы легко проверяются подстановкой 0 и 1 вместо аргументов a, b, c.
ё) Правила де Моргана
Эти правила справедливы для любого числа аргументов.
а + в + с + .... + z = ( а’в’с’...z’ )’
авс... = ( а’ + в’ + с’ + ... + z’ )’
Правила можно описать таким алгоритмом.
Для перехода от логической суммы к логическому произведению необходимо
проделать следующие операции:
1) проинвертировать все слагаемые в отдельности;
2) заменить знаки сложения знаками умножения;
3) проинвертировать получившееся выражение.
Аналогично выполняется переход от логического произведения к логической
сумме. В инженерной практике используются лишь правила де Моргана и закон
склеивания.
Кроме основных функций И(f1), ИЛИ(f2), НЕ(f3), в алгебре логики часто используются функции равнозначности (эквивалентности) и неравнозначности (сумма по
6
модулю 2). Для обозначения этих функций применяют следующие символы: равнозначность - ~ и =, сумма по модулю 2 -  и ≠. Содержание этих функций отражено в таблице.
Смысл этой таблицы прост: если a = b, то функция равнозначности z9 = 1. Если же a  b, то z9 = 0, а функция неравнозначности z6 = 1. Для того, чтобы по таблице истинности построить булеву функцию, достаточно выписать все наборы
входных переменных и представить их в виде логической суммы. Если какая-либо
переменная входит в набор нулём, то она в символьном виде отображается своей инверсией.
Из таблицы получаем:
z9 = а ~ в = 00 + 11 = а’в’ + ав – равнозначность;
z6 = a  в = 01 + 10 = а’в + ав’ – сумма по модулю 2, или неравнозначность.
Из таблицы видно, что
z9 = z6’ или
z9’ = z6 .
Таким образом,
а’в’ + ав = ( ав’ + а’в )’, или
а~в = ( а  в )’, а  в = (а~в)’.
Особое место в алгебре логики занимает функция импликации: a→b = a’+b.
Переводится приведённая формула импликации на русский язык так: если истинно a, то b тоже истинно. Например, пусть a – я выучу все энциклопедии, а b –
обыграю всех телезнатоков. Тогда запись a→b будет означать следующее суждение: если я выучу все энциклопедии, то обыграю всех телезнатоков.
Все вышеприведённые правила и законы даны не для запоминания-зубрёжки,
а в качестве справочного материала. Нужно никогда не забывать, что главным инструментом является Ваша светлая голова, Ваше мышление.
7
1.3. Синтез логических функций
Под синтезом логических функций будем понимать процесс её получения по
словесному описанию, по таблице истинности или любому другому способу задания этой функции. Синтез логических функций можно проиллюстрировать решением простой задачи.
Задача 1.1.
Приёмная комиссия в составе трех членов комиссии и одного председателя
решает судьбу абитуриента большинством голосов. В случае равного распределения голосов большинство определяется голосом председателя. Найти краткое
определение ситуации, в которой абитуриент будет принят в учебное заведение.
Найти решение в виде логической функции, т.е. построить автомат для тайного
голосования.
Решение.
Пусть f - функция большинства голосов. f = 1, если большинство членов комиссии проголосовало за приём абитуриента, и f = 0 в противном случае.
Обозначим через x4 голос председателя комиссии. x4 = 1, если председатель
комиссии проголосовал за приём абитуриента. x3, x2, x1 - голоса членов приёмной
комиссии.
С учётом вышеуказанных допущений условие задачи можно однозначно
представить в виде таблицы истинности.
Заполнение таблицы осуществляем с учётом того, что функция f является
полностью определённой, т.е. она определена на всех возможных наборах переменных x1 - x4. Для n входных переменных существует N = 2n наборов переменных. В нашем примере N = 24 = 16 наборов.
Записывать эти наборы можно в любом порядке, но лучше в порядке возрастания двоичного кода.
Примечание. Здесь и далее под набором будем понимать конъюнкцию, т.е.
логическое произведение, всех входных переменных.
Все наборы, на которых функция принимает значение 1 , будем называть
единичными, или рабочими. Наборы, на которых функция принимает значение 0,
будем называть нулевыми, или запрещенными (по Мавренкову Л.Т.).
Для того, чтобы по таблице истинности найти функцию f, достаточно выписать
все единичные наборы и соединить их знаком дизъюнкции.
8
Таким образом,
f = 0111+1001+1010+1011+1100+1101+1110+1111
или в символьном виде
f = x4’x3x2x1+x4x3’x2’x1+x4x3’x2x1’+x4x3’x2x1+x4x3x2’x1’+x4x3x2’x1+
+x4x3x2x1’+x4x3x2x1
Полученная форма функции называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ), здесь каждое логическое слагаемое представляет собой конъюнкцию всех аргументов. В случае, когда не каждое слагаемое представляет собой конъюнкцию всех аргументов, то такая форма представления логической функции называется просто ДНФ. Очевидно, применяя основные законы булевой алгебры, мы могли бы аналитически уменьшить сложность полученного
выражения. Но это наихудший способ минимизации булевых функций.
1.4.Минимизация полностью определённых булевых функций.
Карты Карно позволяют решить задачу минимизации логической функции элегантно и просто. Карно был толковым инженером (кстати, за 30 лет я так и не
нашёл его биографии: узнал только, что это американец 20-го столетия), но поленился или не сумел описать алгоритм работы со своими картами. Поэтому до сих
пор неблагодарное человечество не научилось работать с ними. Алгоритм работы
9
с картами Карно (этот алгоритм не известен ни одному логику в мире) был разработан автором более 30 лет назад [2 - 10]. Здесь алгоритм приводится в сокращённом варианте.
Алгоритм «НИИРТА» графической минимизации булевых функций от
4-х и менее переменных.
1. Заполнить карту Карно (КК) нулями и единицами в соответствии с таблицей истинности или заданным алгебраическим выражением.
2. Покрыть все элементарные квадраты Карно, в которых записаны единицы, минимальным количеством прямоугольников Карно (ПК), каждый из которых
имеет максимальную площадь.
3. Каждому прямоугольнику Карно соответствует одна импликанта (логическое слагаемое), причём если в границах прямоугольника Карно какая-либо
переменная принимает значения как 0 , так и 1 , то эта переменная склеивается, т.е. удаляется из импликанты.
Под прямоугольником Карно (этот термин пришлось ввести в 1977г.) для не
более чем от 4-х аргументов, можно понимать любую, в том числе и разорванную,
симметричную фигуру покрытия, количество клеток (элементарных прямоугольников Карно) в которой составляет целую степень двойки: 1, 2, 4, 8. Все клетки ПК
являются соседними, т.е. закодированы соседними кодами. Два кода называются
соседними, если они отличаются друг от друга только в одном разряде. Например, коды 1010 и 1011 являются соседними.
На нижеприведённом рисунке даны примеры КК и прямоугольников Карно для
различного числа аргументов.
На КК для 4-х переменных представлены два прямоугольника Карно, один из
которых (Р) является разорванной фигурой покрытия. На КК для 6 переменных
изображены прямоугольники Карно A – G, K, M, N, большинство из которых также
являются разорванными фигурами покрытия. Общее для всех свойство - симметричность по Лобанову [2 - 4], необходимое и достаточное условие для определения ПК.
В современной логике появились попытки представить ПК просто фигурой покрытия с 2n клетками КК. Пример фигур покрытия, содержащих 2 3 клеток КК и не
являющихся прямоугольниками Карно, представлен на следующем рисунке. Фигуры М и N не обладают симметричностью по Лобанову.
10
Решение задачи 1.1 с помощью карты Карно представлено на рисунке.
Из карты Карно получено соотношение:
f = x4x1 + x4x2 + x4x3 + x3x2x1
Это выражение представляет собой пример минимальной дизъюнктивной
нормальной формы (МДНФ). В некоторых случаях приведение результата мини11
мизации к скобочной форме (вынесение общего множителя за скобки) позволяет
уменьшить количество интегральных схем (ИС), необходимых для реализации булевой функции. Скобочная форма для f имеет вид:
f = x4(x1 + x2 + x3) + x3x2x1
Смысл скобочной формулы прост: за абитуриента должны проголосовать либо все 3 члена комиссии, либо хотя бы один из них, но совместно с председателем.
Формы задания булевых функций.
Об одной форме задания булевых функций мы уже говорили - это таблица истинности. Иногда применяется более компактная запись, использующая двоичные, восьмеричные, десятичные или шестнадцатеричные эквиваленты наборов.
Это так называемые обобщённые коды. Например, набор x4x3x2’x1’ может быть
представлен обобщённым двоичным кодом 1100 , десятичным эквивалентом которого является число 12. Удобнее всего 8-чные и 16-чные коды. Автором создана
Паскаль-программа синтеза псевдослучайных кодов для задания произвольных
булевых функций при проведении семинаров или контрольных работ. Эту программу можно разработать самостоятельно или найти её на сайте http://logicrus.ru
[7].
Поскольку мы будем работать с функциями не более чем от 4-х переменных,
то нам пригодится таблица перевода 10-чисел от 0 до 15 в двоичные коды.
Десятичное
Двоичное
число
чис-
Десятичное
Двоичное
число
ло
число
0
0000
8
1000
1
0001
9
1001
2
0010
10
1010
3
0011
11
1011
4
0100
12
1100
5
0101
13
1101
6
0110
14
1110
7
0111
15
1111
12
Задание 1.
Найти минимальную форму полностью определённых булевых функций, заданных 10-чными рабочим наборами (число в скобках указывает количество переменных):
1-1) РН(4) = 0, 1, 5, 7 - 9, 13, 15
1-2) РН(4) = 4, 6, 8, 10, 13
1-3) РН(4) = 1 - 8
1-4) РН(4) = 7 - 15
1-5) РН(4) = 3 – 15
1-6) РН(3) = 1, 3, 5, 7
1.5. Минимизация недоопределённых булевых функций
Функция от n переменных называется недоопределённой, если она задана не
на всех 2n наборах. Задача минимизации такой функции заключается в оптимальном доопределении значений функции на незаданных наборах, которое позволило бы покрыть рабочие наборы минимальным количеством прямоугольников Карно, каждый из которых имел бы максимальную площадь.
Задача 1.5.1.
Найти минимальную форму функции y от 4-х аргументов, заданную десятичными рабочими (РН) и запрещёнными (ЗН) наборами:
РН(4): 1, 2, 9;
ЗН(4): 7, 13.
Решение.
Функция задана только на 5 наборах (число в скобках указывает количество
переменных). Добавим к трём рабочим наборам ещё пять, а именно : 0000, 0011,
1000, 1011, 1010. Все оставшиеся наборы доопределим как запрещённые. В результате такого доопределения получим прямоугольник Карно, состоящий из 8
элементарных квадратов Карно. Этому прямоугольнику соответствует функция:
y = х3’
13
Задание 2.
2-1. Построить по заданной таблице истинности 2/(2-10) преобразователь для
делителя частоты на 24, работающего в коде 16-8-4-2-1. Этот преобразователь
использовался на заре цифровой схемотехники в радиолюбительских электронных часах.
x4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
x3
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
x2
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
x1 x0 y5
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 0
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 0
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 0
y4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
y3
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
y2
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
y1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
y0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
x4
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
x3
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
x2
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
x1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
x0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
y5
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
y4
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
y3
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
y2
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
y1
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
y0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
2-2. Построить 4-входовой сумматор для суммирования одноразрядных двоичных чисел по заданной таблице истинности.
x4x
3x2x1
y
2y1y0
0 0
00
0 0
0
0 0
0 0
0
1 0
0
0
10
1 0
10
0
2y1y0
01
01
01
y
1 0
00
01
10
3x2x1
0
00
01
x4x
0
10
1 0
0
14
11
10
0 1
00
0
01
0 1
01
00
10
10
10
01
10
0
11
1 1
10
0
11
0
1 1
0
0 1
11
1 1
0
0 1
11
11
0
11
1 1
11
1
00
1.6. Практикум по синтезу и минимизации логических функций.
Задача 1.2.
Полностью определённая булева функция от 4-х переменных задана десятичными рабочими наборами: РН(4) = 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.Число в скобках указывает количество переменных. Найти минимальную форму этой функции.
Решение.
Так как функция является полностью определённой, то запрещёнными наборами ЗН(4) являются наборы 0 - 4, 12 - 15. Исходя из этой информации, составляем таблицу истинности и осуществляем минимизацию по карте Карно.
Таблица 4.
РН(4)
x4 x3 x 2 x1
f
5
0
1
0
1
1
6
0
1
1
0
1
7
0
1
1
1
1
8
1
0
0
0
1
9
1
0
0
1
1
10
1
0
1
0
1
11
1
0
1
1
1
ЗН(4)
x4 x3 x 2 x1
f
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
15
2
0
0
1
0
0
3
0
0
1
1
0
4
0
1
0
0
0
12
1
1
0
0
0
13
1
1
0
1
0
14
1
1
1
0
0
15
1
1
1
1
0
По карте Карно получаем результат: f = x4x3’ + x4’x3(x1 + x2)
Задача 1.3.
Найти минимальную форму функции y, представленной на рисунке.
Решение.
Функция задана только на 7 наборах. Добавим к пяти рабочим наборам ещё
три, а именно : 0000, 1000, 1011. Все оставшиеся наборы доопределим как запрещённые. В результате такого доопределения получим прямоугольник Карно,
состоящий из 8 элементарных квадратов Карно. Этому прямоугольнику соответствует функция: y = x3’
Задача 1.4.
16
Построить преобразователь двоичного кода в двоично-десятичный в соответствии с таблицей.
x4x
3x2x1
y5y4y
3y2y1
0 0
00
0 0
0 00
0 0
11
00
00
01
00
0 10
01
1 0
10
0 01
01
0 10
1 0
0 01
0 1
01
1 0
0 00
0 1
0 01
11
00
11
0 01
0 1
0 00
0 0
3y2y1
10
11
10
y5y4y
0 1
10
01
10
3x2x1
0 00
00
01
x4x
1 00
00
1 0
11
1 00
01
Решение.
Для каждой функции yi заполняем карту Карно, производим доопределение и
осуществляем минимизацию. Весь процесс отражён на рисунке.
В результате минимизации получаем систему функций:
y1 = x1
y2 = x4’x2
y3 = x3 y4 = x4x2’
y5 = x4x2
Задача 1.5.
17
Построить один разряд многоразрядного сумматора, заданного таблицей истинности. Здесь ai и вi - значения i-ых разрядов слагаемых а и в , Pi и Si - значения
переноса и суммы на выходе i-го разряда, Pi-1 - значение переноса на выходе
предыдущего разряда.
ai вi Pi-1
Pi
Si
0 0 0
0
0
0 0 1
0
1
0 1 0
0
1
0 1 1
1
0
1 0 0
0
1
1 0 1
1
0
1 1 0
1
0
1 1 1
1
1
Решение.
Имеем систему полностью определённых булевых функций. Производим раздельную минимизацию каждой функции (см. рисунок).
Из карт Карно после минимизации получаем следующие результаты.
Si = ai’вi’Pi-1 + ai’вiPi-1’ + aiвi’Pi-1’ + aiвiPi-1
Pi = вiPi-1 + aiPi-1 + aiвi
2. Законы логики суждений
Суждение – это повествовательное предложение, которое может быть истинным или ложным. Логика суждений изучает законы правильных рассуждений. Автор не открывает здесь ничего нового, но, излагая данный материал, хочет показать всю простоту выводов данных законов, следовательно, и их никчёмность:
незачем заучивать десятки правил, если доказательство столь примитивно. Всё
дело в том, что в классической логике доказательство построено на громоздком
18
аппарате таблиц истинности, а мы будем использовать формулу импликации и
карту Карно.
Алгоритм «Импульс».
Алгоритм инженерного анализа законов логики суждений чрезвычайно
прост:
1)произвести замену всех знаков импликации на символы дизъюнкции
в соответствии с известной формулой x  y = x’ + y;
2)привести полученное выражение к ДНФ;
3)занести ДНФ в карту Карно и убедиться, что она вся покрыта единицами – это свидетельствует об истинности проверяемого закона или суждения.
Воспользуемся перечнем импликативных законов для проверки алгоритма
«Импульс».
Законы импликативных выражений.
1.Закон исключённого третьего: p или неверно, что p.
В переводе на язык логики этот закон выглядит так: p + p’ = 1. Проверяется
простой подстановкой.
2.Закон непротиворечивости: неверно, что [р и не р].
На языке логики: p & p’ = 0. Это равенство также проверяется тривиальной
подстановкой.
3.Закон двойного отрицания: если [не (не р)], то р.
Необходимо доказать, что (p’)’  p = 1.Доказательство основано на двойном
отрицании и импликации: (p’)’  p = p  p = p’ + p = 1.
4.Обратный закон двойного отрицания: если р, то [не (не р)].
p  (p’)’= p’ + p = 1.
5.Закон контрапозиции: если (если р, то q), то [если (не q), то(не р)].
(p  q)  (q’  p’) = (p’ + q)  (q + p’) = pq’ + p’ + q = 1.
6.Законы, характеризующие конъюнкцию.
6.1.Если (р и q), то (q и р): pq  qp = (pq)’ + pq = 1.
6.2.Если (р и q),то р: (pq)  p = (pq)’ + p = p’ + q’ + p = 1.
6.3.Если (р и q), то q: (pq)  q = (pq)’ + q = p’ + q’ + q = 1.
6.4.Если р, то [если q, то (p и q)]: p  (q  pq) = p’ + q’ + pq = 1.
7.Законы импликативных суждений.
7.1.Если [(если р, то q) и (если р,то r)], то [если р, то(q и r )].
[(p  q)(p  r)]  (p  qr) = [(p’ + q)(p’ + r)]’ + p’ + qr =
19
= (p’+qr)’+p’+qr = 1.
7.2.Если [(если р, то q) и (если r,то s)],то [если(р и r),то (q и s)].
[(pq)(rs)]  (prqs) = [(p’+q)(r’+s)]’+p’+r’+qs = pq’+rs’+p’+r’+qs = 1.
7.3.Если [(если р, то q) и (если q, то r)],то (если р, то r).
[(pq)(qr)]  (pr) = pq’+qr’+p’+r = 1.
7.4.Если [(если р, то q) и (если r, то q)],то [если (р или r), то q].
[(pq)(rq)]  [(p+r) q] = pq’+rq’+p’r’+q = 1.
8.Законы, характеризующие дизъюнкцию.
8.1.Если (р или q), то (q или p).
(p+q)  (q+p) = (p+q)’+(p+q) = 1.
8.2.Если (р или q), то (если не р, то q).
(p+q)  (p’q) = p’q’+p+q = 1.
Закон Лобановой С.В.
Сокращение на общий множитель или отбрасывание общих частей в левой и правой половинах логического уравнения недопустимо.
Проверим Русскую логику (РЛ) на задачах Катречко (Катречко С. Л. Введение
в логику. – М.: УРАО, 1997.):
Задача 2.1.
Если в суффиксе данного полного прилагательного или причастия пишется
два н, то они пишутся и в соответствующем наречии. Неверно, что в суффиксе
данного наречия пишется два н. Следовательно, в суффиксе полного прилагательного или причастия, из которого образовалось наречие, пишется одно н.
Решение.
X – в причастии два н,
Y – в полном прилагательном два н,
Z – в наречии два н.
((x+y)  z)z’  x’y’ = (x’y’+z)z’  x’y’ = x’y’z’  x’y’ = x+y+z+x’y’ = 1.
Мы доказали заданное заключение.
Задача 2.2.
Он сказал, что придёт, если не будет дождя (а на его слова можно полагаться). Но идёт дождь. Значит, он не придёт.
Решение.
X – он придёт,
Y – нет дождя.
20
М = (y  x)y’  x’ = (y’+x)y’  x’ = y’  x’ = y+x’  1.
Следовательно, вывод был опрометчивым.
Задача 2.3.
Если равнодействующая всех сил, действующих на движущееся тело, не равна 0, то оно движется неравномерно или непрямолинейно, так как известно, что
если эта равнодействующая равна 0, то тело движется равномерно и прямолинейно.
На этом примере покажем важность правильной и полной формулировки задачи.
Решение.
Проверим это утверждение. Введём следующие обозначения:
X – равнодействующая всех сил равна 0,
Y – движение равномерно, Z - движение прямолинейно.
Тогда по алгоритму “Импульс” получим:
(x  yz)  (x’  (y’+z’)) = (x’+yz)  (x+y’+z’) = x(y’+z’)+x+y’+z’ =
= x+y’+z’  1.
Т.е. мы доказали несостоятельность данного утверждения. Однако, это не согласуется с механикой. Почему так вышло? Дело в том, что в исходных условиях
мы не отразили существование второго закона: если тело движется равномерно и
прямолинейно, то равнодействующая всех сил, действующих на движущееся тело, равна 0. Учитывая оба закона, получим следующее доказательство:
(x  yz)(yz x)  (x’  (y’+z’)) = (x’+yz)((yz)’+x)  (x+y’+z’)=
= x(yz)’+x’yz+x+y’+z’ = 1.
В данном случае результат соответствует законам физики.
Большое количество примеров и задач по логике суждений можно найти в [5].
2.1. Практикум по логике суждений.
Задача 2.1.1.
Джонс утверждает, что не встречал этой ночью Смита. Если Джонс не встречал этой ночью Смита, то либо Смит был убийцей, либо Джонс лжёт. Если Смит
не был убийцей, то Джонс не встречал его этой ночью, а убийство было совершено после полуночи. Если убийство было совершено после полуночи, то либо Смит
был убийцей, либо Джонс лжёт. Следовательно, убийцей был Смит.
Решение.
21
X – Джонс не встречал Смита, Y – Смит – убийца,
Z – убийство было совершено после полуночи.
(x  ( y+x’))(y’  xz)(z  (y+x’))  y = (x’+y)(y+xz)(z’+y+x’)  y =
xy’+y’(x’+z’)+xy’z+y = 1.
Т. е. Смит – убийца.
Задача 2.1.2 [12, с.79, №78].
По обвинению в ограблении перед судом предстали А, В и С. Установлено
следующее:
1. Если А не виновен или В виновен, то С виновен.
2. Если А не виновен, то С не виновен.
Можно ли установить виновность каждого из трёх подсудимых?
Решение.
Обозначим через a, b, c виновность А, В и С. Тогда получим полную единицу
системы в виде:
M = ((a’+b) → c)(a’ → c’) = (ab’+c)(a+c’) = ab’+ac.
Подозреваемый А виновен безусловно.
Задача 2.1.3.
Прямые a и b или параллельны, или пересекаются, или скрещиваются. Если
прямые a и b лежат в одной плоскости, то они не скрещиваются. Прямые a и b
лежат в одной плоскости и не пересекаются. Следовательно, прямые a и b параллельны.
Решение.
X – прямые параллельны,
Y – прямые пересекаются,
Z – прямые скрещиваются,
U – прямые лежат в одной плоскости.
(xy’z’+x’yz’+x’y’z)(u  z’)uy’  x = (xy’z’+x’yz’+x’y’z)(u’+z’)uy’  x =
(xy’z’+x’yz’+x’y’z)’+uz+u’+y+x = 1.
Задача 2.1.4 [12, с.76, №72].
Подозреваемые А, В и С были вызваны для допроса. Установлено следующее:
1.
Никто, кроме А, В и С, в хищении не замешан.
2.
А никогда не идёт на дело без по крайней мере одного соучастника.
22
3.
С не виновен.
Виновен или не виновен В?
Решение.
Обозначим через a, b, c виновность А, В и С. Тогда получим полную единицу
системы в виде:
M = (a+b+c)(a → (abc’+ab’c+abc))c’ = (a+b+c)(a’+b+c)c’ = (a+b+c)(a’c’+bc’) = bc’.
Итак: В виновен безусловно, но, возможно, виновен и А.
Задача 2.1.5.
Известно, что, если данный многоугольник правильный, то в него можно вписать окружность.
Данный многоугольник правильный, следовательно, в него можно вписать
окружность.
В данный многоугольник нельзя вписать окружность, следовательно, он неправильный.
В данный многоугольник можно вписать окружность, следовательно, он правильный.
Проверить эти утверждения.
Решение.
X – многоугольник правильный, Y – в многоугольник можно вписать окружность.
(x  y)x  y = (x’+y)x  y = xy  y x’+y’+y = 1.
(x  y)y’  x’ = (x’+y)y’  x’ = x’y’+x’ x+y+x’ = 1.
(x  y)y  x = (x’+y)y  x = y  x y’+x  1.
Действительно, в некоторые трапеции можно вписать окружность, но от этого
они не станут правильными многоугольниками.
Задача 2.1.6.
Если число делится на 4, то оно чётное. Число – чётное. Значит, оно делится
на 4.
Решение.
X – число делится на 4, Y – число чётное.
(x  y)y  x = (x’+y)y  x = y  x = y’+x  1.
Задача 2.1.7.
23
Если бы он не пошёл в кино, то он не получил бы двойки. Если бы он подготовил домашнее задание, то не пошёл бы в кино. Он получил двойку. Значит, он не
подготовил домашнее задание.
Решение.
x – пошёл в кино, y – получил двойку, z – подготовил домашнее задание.
(x’  y’)(z  x’)y  z’ = (x+y’)(z’+x’)y  z’ = x’y+xz+y’+z’ = 1.
Задача 2.1.8.
Если аргументы некоторого рассуждения истинны, а его тезис не является
таковым, то рассуждение не является правильным. Данное рассуждение правильно и его аргументы истинны. Следовательно, его тезис является истинным.
Решение.
X – аргументы верны, Y – тезис верен, Z – рассуждение верно.
(xy’  z’)xz  y = (x’+y+z’)xz  y = xyz  y = x’+y’+z’+y = 1.
Задача 2.1.9 [12, с.27, №29].
На острове живут только лжецы и рыцари. Рыцари всегда говорят правду, а
лжецы всегда лгут. Смаллиан спросил у жителей А и В, кто они. Предположим, что
А ответил: « Или я лжец, или В рыцарь». Кто из двух персонажей А и В рыцарь и
кто лжец?
Решение.
a – А – рыцарь, b – В - рыцарь .
Вар.1.
a(a’+b)  a’(a’+b)’ = ab  a’ab’ = ab.
Вар.2.
[a  (a’+b)][a’  (a’+b)’] = (a’+a’+b)(a+ab’) = (a’+b)a = ab.
Оба варианта дали правильный ответ: персонажи А и В – рыцари. Каждый вариант решения занимает всего одну строчку. У Смаллиана эта процедура растягивается на две страницы [12, c.33 – 35], что говорит о безграмотности и бестолковости Смаллиана: весь использованный нами математический аппарат в его
время был уже известен. Кроме того, Смаллиан просит связку ИЛИ-ИЛИ считать
обыкновенной дизъюнкцией, хотя на самом деле это разделительное ИЛИ, т.е.
«сумма по модулю 2».
24
Задача 2.1.10.
Если Джон - автор этого слуха, то он глуп или беспринципен. Следовательно, если Джон не глуп или не лишён принципов, то он не является автором этого
слуха.
Решение.
X – Джон – автор слуха, Y – Джон глуп, Z – Джон беспринципен.
(x  (y+z))  ((y’+z’)  x’) = (x’+y+z)  (yz+x’) = xy’z’+yz+x’  1.
Джон может быть автором вздорного слуха, т.е. заключение неверно.
25
3. Силлогистика.
Силлогистика – раздел логики, занимающийся анализом и синтезом силлогизмов. Силлогизм – это логическое рассуждение, состоящее из двух посылок,
связанных друг с другом общим (средним) термином, и следующего из посылок
заключения. В силлогизме обязательно присутствуют 3 термина: один средний и
два крайних. Заключение определяет связь крайних терминов друг с другом.
Под анализом мы будем понимать проверку правильности заданного заключения, а под синтезом – нахождение заключения при заданных посылках.
Рассмотрим достаточно очевидный пример силлогизма:
Все люди талантливы.
Все школьники – люди.
Все школьники талантливы.
Здесь общим термином является слово «люди», крайние термины – «талантливые» и «школьники». Это очень простой силлогизм: полученное заключение,
связывающее крайние термины, «Все школьники талантливы» не вызывает сомнений. Чуть посложнее задачка – и все «логики» (по саркастическому определению Кэрролла) пасуют. Чтобы ввести математику в силлогистику, пришлось создать скалярные диаграммы (диаграммы Лобанова). На их основе были получены
математические соотношения для всех силлогистических функторов (кванторов).
Классическая логика различает общеутвердительный (Аху), общеотрицательный
(Еху), частноутвердительный (Ixy) и частноотрицательный (Oxy) функторы. Частноотрицательный функтор не имеет смысла, поэтому он нигде не используется.
Вышеуказанные обозначения «переводятся на русский язык» следующим образом:
Аху – Все Х суть У.
Еху – Ни один Х не есть У.
Ixy – Некоторые Х суть У.
Oxy – Некоторые Х не суть У.
Автор в 1995г., создавая Русскую логику, не подозревал (а современные логики и до сих пор не подозревают), что 125 лет тому назад формулы для Axy, Exy
очень красиво вывел П.С.Порецкий[11] без всяких диаграмм. На рисунке показаны
диаграммы Лобанова, переход к ним от диаграмм Венна и процесс вывода соотношений для Аху, Еху и Ixy.
На диаграммах символ U обозначает универсум. Под универсумом подразумевается мир вещей, понятий и т.п., в среде которых и находятся термины (мно26
жества) силлогизма. В вышеприведённом силлогизме в качестве универсума
можно выбрать либо млекопитающих, либо всех животных, либо весь животный и
растительный мир. Поэтому, задавая силлогизм, нужно обязательно оговаривать
универсум.
Рассмотрим, как выполняется переход от скалярных диаграмм Лобанова к
таблицам истинности на примере синтеза Axy. Из скалярной диаграммы для Axy
видно, что аргументы х и y образуют следующие наборы: 00, 01 и 11. Поэтому
против них в таблице истинности в графе Axy записаны единицы. Набора 10 не
существует, поэтому против него в графе Axy записан нуль. После занесения
таблицы истинности в карту Карно и минимизации была получена формула
Axy = x’+y.
Аналогично были получены формулы для Exy, Ixy.
Решение этой же задачи Порецким на основе формулы равнозначности выглядит так: Axy = (x = xy) = x(xy)+x’(xy)’ = xy+x’(x’+y’) = xy+x’ = x’+y.
Здесь (x = xy) означает, что множество Х является пересечением множеств Х
и Y. Аналогично по Порецкому Exy = (x = xy’) = xy’+x’(xy’)’ = xy’+x’ = x’+y’. Кстати,
отсюда видно, что общеотрицательный функтор не нужен, т.к. Exy = Axy’ = Ayx’,
т.е. вполне можно обойтись одним общеутвердительным функтором.
Этих формул до сих пор нет ни в одном учебнике логики.
27
Из анализа полученных соотношений следует весьма жёсткий вывод.
Логика суждений и логика предикатов (силлогистика) – это одно и то же.
Дело в том, что общеутвердительный силлогистический функтор описывается по
Порецкому и по Лобанову формулой: Axy = x’ + y.
Импликация имеет тот же математический вид: x→ y = x’ + y.
Да и общеразговорные значения этих операторов одинаковы. Мы говорим:
«Все люди талантливы». Этот же смысл сохранится в суждении: «Если ты человек, то ты талантлив». «Во всяком равнобедренном треугольнике углы при основании равны» или «Если треугольник равнобедренный, то углы при основании
равны».
Часто задают вопрос:«Почему x→ y = x’ + y ?».Именно потому,что x→ y ≡ Axy.
Но Порецкий П.С. доказал, что Axy = x’ + y, поэтому и x→ y = x’ + y.
Следовательно, разделение на логику суждений и логику предикатов бессмысленно и свидетельствует о бестолковости современных матлогиков. Ну а математик, не знающий логики – по меньшей мере невежда и, вполне вероятно, что
бестолочь. Во всяком случае, ни один математик не возмутился алгеброй множеств, логикой предикатов, кванторным исчислением и
другими «находками»
матлогиков. Дело в том, что алгебра множеств – это и есть алгебра логики, поскольку логика оперирует и множествами. Кванторное исчисление ничего не исчисляет, т.к. является обыкновенной мнемоникой. А логика предикатов, как мы
только что сейчас доказали, и логика суждений – синонимы.
Для решения задач силлогистики автором были разработаны различные алгоритмы. Самый прозрачный и эффективный из них алгоритм «ТВАТ» (Тушинский
вечерний авиационный техникум).
Алгоритм «ТВАТ» (графический синтез силлогизмов)
1.Изобразить все возможные ситуации для исходных посылок с помощью
скалярных диаграмм.
2.Занести в таблицу истинности все значения f(x,y) для входных наборов
xy: 00,01,10,11.
3.Выполнить минимизацию логической функции заключения f(x,y).
4.Полученный результат представить в виде силлогистического функтора.
В случае получения многовариантного заключения можно ограничиться выполнением лишь п.1 алгоритма «ТВАТ».
28
Проиллюстрируем возможности Русской логики на конкретном примере. Бертран Рассел в своей работе «История западной философии» (М.:2000 –768с.) на
стр.194 приводит силлогизм:
Все люди разумны.
Некоторые животные – люди.
Некоторые животные – разумны.
Покажем на этом примере недостатки мышления Б.Рассела. Во-первых,
отсутствие дисциплины мышления проявляется в отсутствии универсума, хотя
даже 100 лет назад Льюис Кэрролл не позволял себе такого невежества. Определим, например, в качестве универсума для силлогизма Рассела весь животный и
растительный мир. Во-вторых, последняя посылка с позиции русской логики просто бестолкова. Дело в том, что частноутвердительный функтор обладает симметрией. Мы можем высказать четыре равноценных суждения:
1. Некоторые студенты - молодые люди.
2. Некоторые студенты – немолодые люди.
3. Некоторые молодые люди – студенты.
4. Некоторые немолодые люди – студенты.
В силу симметрии частноутвердительного функтора мы должны при выбранном нами универсуме считать, что некоторые люди – животные, а остальные деревья, кусты, грибы, цветы или другие растения. В соответствии с Русской логикой и здравым смыслом вторую посылку необходимо заменить суждением «Все
люди – животные», поскольку именно это утверждение соответствует истине. Втретьих, по теории великого русского физиолога И.П. Павлова, а Рассел придерживался именно этой господствующей до сих пор теории, разумными могут быть
люди и только люди, т.е. «люди» и «разумные существа» – равнозначные понятия. Следовательно, и первая посылка некорректна. Устранив ошибки невежества
и бестолковости Б.Рассела, получим следующие посылки.
Все люди(m) и только люди разумны(x).
Все люди(m) – животные(y).
F(x,y) = ?
Решение.
Пусть x – разумные существа, m – люди, y – животные. Универсум – животный
и растительный мир. Представим полную единицу системы М в виде произведения исходных посылок:
M = (x~m)Amy = (xm+x’m’)(m’+y) = m’x’+xmy+x’m’y = m’x’+xmy
29
F(x,y) = M(x,y) = x’+y = Axy.
Этот результат получен аналитически простым удалением аргумента m из М.
Более надёжным является графическое решение.
Из диаграмм Лобанова видно, что для аргументов х и y существуют следующие наборы: 00, 01 и 11. Поэтому против них в таблице истинности в графе f(x,y)
записаны единицы. Набора 10 не существует, поэтому против него в графе f(x,y)
записан нуль.
Таким образом мы получили правильное заключение «Все разумные – животные», что вполне согласуется со здравым смыслом и математикой.
Б.Рассел в
монографии «Искусство мыслить» (М.:1999) на с. 38 приводит такой силлогизм:
«Если А находится вне В и В находится вне С, то А находится вне С». Данный
силлогизм – образец безграмотности и глупости. По алгоритму ТВАТ построим
диаграммы.
В результате мы получили трёхвариантное заключение: Aca, Iac, Eac. Кстати,
если мы зададим количественные характеристики терминов: U=10, A=4, B=4, C=3,
то получим двухвариантное заключение. Здесь не будет места для Eac: будут
лишь Aca и Iac. Рассмотренные примеры демонстрируют не только дремучее
невежество и вопиющую безграмотность Б.Рассела, но и его бестолковость.
При решении второй задачи Б.Рассела в классической логике мы получили бы
30
так называемое интегрированное (обобщённое) заключение Iac. В настоящее
время такие заключения никого не интересуют. Нам нужно знать абсолютно точно
все варианты полученного решения и вероятности этих вариантов. В данном примере получены 3 варианта решения силлогизма: Eac, Aca, Iac. Это самое важное:
найти все варианты заключений. Поиск вероятностей – дело техники, т.е. для
средней школы дело второстепенное и необязательное. Кроме того, для определения вероятностей нужно иметь количественные характеристики всех терминов.
Если в силлогизме получается лишь единственный вариант заключения, количественные характеристики терминов не нужны.
Приведём пример задачи на поиск заключения в силлогизме с заданными количественными характеристиками.
Задача 3.1.
В кафе оказались вместе 5 юношей. Один из них спортсмен, два отличника,
два школьника и 3 студента. Известно, что спортсмен является студентом отличником и что все спортсмены - студенты.
Найти все варианты заключения.
Решение.
Пусть U=5 – кол-во юношей, M=1 – кол-во спортсменов, X=2 – кол-во отличников, Y=3 – кол-во студентов.
Краткая запись условия задачи выглядит так: AmxAmy.
Из скалярных диаграмм видно, что либо все отличники – студенты, либо один
школьник и один студент оказались отличниками.
Более основательную информацию по силлогистике и Русской вероятностной
логике можно получить из [5 - 10].
31
3.1. Практикум по силлогистике.
Большинство задач позаимствовано из книги Кэрролла (Кэрролл Л. История с
узелками. - М.:Мир,1973). Для английского логика характерен дурной тон в постановке исходных посылок: иногда весьма трудно понять, что подразумевает автор
под той или иной фразой. Поэтому учащийся имеет право на подсказку-перевод с
невразумительного языка логика-сказочника на чёткий математический язык.
Задача 3.1.1.
Проверить корректность 1-го правила посылок классической силлогистики.
Решение.
Это правило формулируется так: «Хотя бы одна из посылок должна быть
утвердительным суждением. Из двух отрицательных посылок заключение с необходимостью не следует». Подберём контр-пример на 1-е правило посылок.
Ни один человек(m) не является бессмертным(x).
Ни один человек(m) не является счастливым(y).
F(x,y) = ?
В данном силлогизме универсумом(U=5) является множество существ: смертных и бессмертных богов (х). Пусть х=1. Количество счастливых (у) в нашем случае равно 3. Пусть множество смертных состоит из людей (m=2) и 3-х медведей.
Запись условия задачи: M = EmxEmy
По алгоритму ТВАТ получим графическое решение .
Мы получили двухвариантное заключение:
Бог несчастлив (счастливы только 3 медведя).
Бог счастлив (счастливы и какие-то 2 медведя из 3-х).
Мы доказали, что первое правило посылок некорректно.
32
Задача 3.1.2.
Проверить корректность 2-го правила посылок классической силлогистики.
Решение.
Это правило формулируется так: «Если одна из посылок – отрицательное
суждение, то и заключение должно быть отрицательным». Контр-пример для этого
случая может быть таким.
Все люди(m) – животные(x).
Ни один человек(m) не имеет хвоста(y).
F(x,y) = ?
В качестве универсума(U) примем множество животных. Наиболее наглядным
является графическое решение по алгоритму ТВАТ. В этом случае можно не задавать количественные характеристики.
Аналитическая запись условия задачи выглядит так:
M = AmxEmy.
Из скалярных диаграмм видно, что заключение является общеутвердительным: «Все хвостатые существа – животные», что опровергает 2-е правило посылок.
Задача 3.1.3.
Проверить корректность 3-го правила посылок классической силлогистики.
Решение.
Это правило формулируется так: «Хотя бы одна из посылок должна быть общим суждением. Из двух частных посылок заключение с необходимостью не следует». Рассмотрим контр-пример:
Некоторые люди (m) неграмотны (x).
Некоторые люди (m) бескультурны (y).
F(x,y) = ?
33
Пусть (U=6) – множество животных, люди (m=3) – часть животного мира.
Предположим, что бескультурным (у=3) может быть как неграмотный (х=2), так и
грамотный. Животные, кроме людей, по определению не могут быть культурными.
Вновь воспользуемся алгоритмом ТВАТ.
Краткая запись условия задачи: M = ImxImy.
Получено трёхвариантное заключение:
1.
Все неграмотные культурны.
2.
Все неграмотные бескультурны.
3.
Некоторые неграмотные культурны.
Такое заключение перечёркивает 3-е правило посылок.
Задача 3.1.4.
Проверим 4-е правило посылок: если одна из посылок – частное суждение, то
и заключение должно быть частным. Проведём синтез силлогизма:
Все люди (m) смертны (x)
Некоторые люди (m) неграмотны (y)
-----------------------------------------------f(x,y) = ?
Решение.
Пусть в универсум входят люди, животные и боги. В этой задаче не требуются
количественные характеристики. Богов будем считать грамотными.
Краткая запись условия задачи: M = AmxImy.
34
Полученный результат «Все неграмотные смертны» опровергает 4-е правило
посылок.
Задача 3.1.5.
Все люди(x) смертны(m)
Сократ(y) – смертен(m)
f(x,y) = ?
Решение.
Если в силлогизме в качестве универсума примем множество животных, т. е.
только смертных, то, не зная, что Сократ – человек, получим следующее решение.
В данном случае задание количественных характеристик не обязательно.
Краткая запись условия задачи: M = AxmAym.
Расшифровывается эта формула так: «Сократ либо человек, либо животное».
Задача 3.1.6.
Все квадраты(m) суть прямоугольники(x)
Все квадраты(m) суть ромбы(y)
f(x,y) = ?
Решение.
Краткая запись условия задачи: M = AmxAmy.
Если в качестве универсума используем понятие “параллелограммы”, то по35
лучим по алгоритму ТВАТ следующий результат:
Заключение в этом случае звучит так: « Некоторые прямоугольники суть ромбы».
Задача 3.1.7.
Найти недостающую посылку:
Все люди (m) смертны (x)
f(m,y) = ?
-----------------------------------------------Все неграмотные (y) смертны (х)
Решение.
Пусть в универсум входят люди, животные и боги, т.е. существа. Богов будем
считать грамотными. Поскольку под грамотностью мы понимаем умение читать и
писать, то всех животных необходимо признать неграмотными по определению. А
поскольку нам известно, что и не все люди грамотные, то количественные параметры терминов нам не нужны. Однако за счёт подбора параметров можно получить искомую посылку в виде Emy.
Краткая запись условия задачи выглядит так:
Amx & f(m,y) → Ayx.
Изобразив на диаграммах Лобанова исходную посылку и заключение, легко
найдём недостающую посылку:
36
Полученная посылка «Некоторые люди неграмотны» в очередной раз опровергает одно из классических правил посылок.
Задача 3.1.9.
Только философы (x) эгоисты (m).
Нет циника (y), который не был бы эгоистом (m).
----------------------------------------------------------Следовательно, все циники – философы.
Решение.
Пусть x – философы, y – циники, m – эгоисты. Универсум – люди. Краткая запись условия задачи выглядит так: Amx & Aym → f(x,y). Количественные характеристики не требуются.
Тогда по алгоритму ТВАТ получим:
Заключение: «Все циники – философы».
Задача 3.1.10.
Каждого, кто верит в себя, можно считать Человеком.
Никто, ни один Человек не верит политикам.
---------------------------------------------------------------------------Все, кто верит политикам, не верит в себя.
Решение.
Пусть х – кто верит в себя, m – Человек, у – кто верит политикам. Универсум –
люди. Условие задачи: (x ~ m) & Eym → f(x,y).
37
Задача 3.1.11.
Нет таких членов парламента, которые не участвуют в законотворчестве.
Только 20% членов парламента составляют юристы.
----------------------------------------------------------------------------------------------Не все, кто создают законы, являются юристами.
Решение.
В этом силлогизме Кэрролла следует задать количественные характеристики.
Пусть m=10 – к-во членов парламента (тогда число парламентариев-юристов равно 2), x=11 – число законотворцев, y=3 - число юристов, U=12 – кол-во людей в
зале заседаний.
Условие задачи: Amx & Iym → f(x,y).
Получено 2-вариантное заключение:
1. Все юристы – законотворцы (Ayx).
2. Все неюристы – законотворцы и все незаконотворцы – юристы (Ay’xAx’y).
Задача 3.1.12.
Среди юристов имеются профессиональные бизнесмены.
Настоящий бизнесмен не боится инфляции.
__________________________________________
Некоторые юристы не опасаются инфляции.
Решение.
Здесь Кэрролл, как всегда, некорректен: он не задал количественные характеристики. Пусть x=4 – юристы, m=4 – бизнесмены, y=6 – не боящиеся инфляции
предприниматели. Универсум U=8 – группа людей.
Условие задачи: Imx & Amy → f(x,y).
38
Получено 2-вариантное заключение:
1. Все юристы не боятся инфляции (Aхy).
2. Все неюристы не боятся инфляции и все не боящиеся инфляции предприниматели – юристы (Ax’yAy’x).
Задача 3.1.13.
Не всякий любитель насилия любит собственных детей.
Только политики верят в пользу насилия.
---------------------------------------------------------------------------------Некоторые политики не любят своих детей.
Решение.
Пусть x=4 – политики, m=4 – любители насилия, y=6 – не любящие своих детей родители. Универсум U=8 – группа людей. Условие задачи: Imx & Amy → f(x,y).
Получено 3-вариантное заключение:
1. Все политики не любят своих детей (Aхy).
2. Все неполитики не любят своих детей и все любящие своих детей родители
– политики (Ax’yAy’x).
3. Некоторые политики не любят своих детей (Iхy).
39
Задача 3.1.14.
Только в споре рождается истина.
Никто не станет спорить, кроме глупца или мошенника.
------------------------------------------------------------------------------Лишь глупец или мошенник могут достичь истины.
Решение.
Пусть x – “родители истины”, m – спорщики, y – глупец или мошенник. Универсум – люди.
Условие задачи: Axm & Amy → f(x,y).
Полученное заключение: «Родители истины» - глупцы или мошенники.
Задача 3.1.15.
Боязливый к прекрасному полу – боязлив и в жизни.
Тот, кто знает логику, не боится женщин.
---------------------------------------------------------Трус не разбирается в логике.
Решение.
Пусть x=6 – боязливый в жизни, m=4 – боящийся женщин, y=2 – знающий логику. Универсум U=8 – группа мужчин.
Условие задачи: Amх & Еmy → f(x,y).
40
Получено 3-вариантное заключение:
1.
Ни один трус не знает логику (Exy).
2.
Все логики – трусы (Ayx).
3.
Некоторые логики – трусы (Ixy).
В данном случае исходное заключение Кэрролла кардинально ошибочно.
Задача 3.1.16.
Среди болтунов нет логиков.
Все политики - болтуны.
------------------------------------------------------Ни один логик не станет политиком.
Решение.
Пусть x – логик, m – болтун, y – политик. Универсум – люди.
Условие задачи: Emх & Aym → f(x,y).
Ни один политик не является логиком.
Задача 3.1.17.
Иногда проходимец может оказаться ясновидцем.
Если ты ясновидец, то не должен лгать.
-------------------------------------------------------------------------------------Существуют проходимцы, которые обязаны говорить правду.
Решение.
Пусть x=4 – проходимец, m=4 – ясновидец, y=6 – честный. Универсум U=8 –
люди. Условие задачи: Imx & Amy → f(x,y).
41
Получено 3-вариантное заключение:
1. Все проходимцы – честные (Aхy).
2. Все непроходимцы – честные и все нечестные – проходимцы (Ax’yAy’x).
3. Некоторые проходимцы – честные (Iхy).
Задача 3.1.18.
Все лентяи – двоечники.
Ни один студент не любит получать двойки.
--------------------------------------------------------------Значит, среди студентов нет лентяев.
Решение.
Пусть x – лентяй, m – двоечник, y – студент.Универсум – учащиеся.
Условие задачи: Axm & Emy → f(x,y).
Заключение: « Ни один студент не является лентяем.
42
ЛОБАНОВ ВЛАДИМИР ИВАНОВИЧ
АВТОБИОГРАФИЯ.
Родился 1 марта 1940г. в г. Осташкове Калининской обл. на берегу оз. Селигер. Отец, Лобанов Иван Ефимович, инженер, нач. Осташковского радиоузла, погиб на фронте в мае 1942г. Мать, Лобанова Ольга Сергеевна, до войны сотрудница оборонного института, после войны няня в детских яслях. После эвакуации с
1941г. по 1946г. проживал в г.Суздаль.
В 1947г поступил в среднюю школу №63 г. Осташкова. Был отличником, пионером, комсомольцем. В 1957г. поступил в Осташковский механический техникум
(ОМТ).
В 1960г. окончил теплотехническое отделение ОМТ. Диплом с отличием. Работал теплотехником (г. Сталинабад). 1960 – 1963 гг. – служба в Советской Армии
(группа глубинной разведки, спецназ, в/ч 77701, г. Ош, ТуркВО). Был отличником
Советской Армии, старшим разведчиком. Горжусь службой в спецназе. В армии
был принят кандидатом в члены КПСС.
В 1963г. поступил в Ивановский энергетический институт (ИЭИ). В 1964г. при43
нят в члены КПСС. Занимался спортом – имел разряды по лыжам, лёгкой атлетике, волейболу, ручному мячу, военному троеборью, фигурному катанию (парное и
спортивные танцы на льду). Был солистом танцевальных ансамблей ИДНТ и ИЭИ.
Окончил ИЭИ в 1968г по специальности инженер по автоматизации теплоэнергетических процессов. Ленинский стипендиат, диплом с отличием. Работал старшим инженером-наладчиком в тресте ОРГРЭС (г. Горловка). Налаживал автоматику горения энергоблоков 300МВт на Новочеркасской ГРЭС. Возглавлял бригаду
специалистов по наладке автоматики ТЭЦ ВАЗ (г. Тольятти).
С 1972 по 1973 гг. обучение в аспирантуре ВТИ им. Дзержинского(г. Москва).
Сдал все экзамены кандидатского минимума, но работа над диссертацией показалась бесперспективной.
1973 - 1979 гг. работал ведущим инженером НИИРТА (НПО «Импульс») по созданию систем управления оборонного назначения.
С 1979г. по 1995г. возглавлял отдел 450 ЦНИИ "Циклон", головной институт
МЭП СССР. Внедрение микроэлектроники и вычислительной техники в народное
хозяйство. Защитил кандидатскую диссертацию. Имею более 90 научных публикаций. В 2001г. издал книгу "Азбука разработчика цифровых устройств", в которой
значительно расширил методологию цифровых разработок, а также решил проблему создания логики здравого смысла, т.е. Русской логики. В 2002г. издал книги
«Русская логика против классической» и «Решебник по Русской логике». Впервые
в мире решены проблемы Лейбница и при этом были доказаны некорректность и
неполнота силлогистики Аристотеля, а также подвергнуто критике кванторное исчисление, т.е. дана отрицательная оценка мировой математической науки в области теории множеств и предложены пути преодоления указанных недостатков. Результаты по Русской логике были доложены на общероссийских и международных
конференциях в Москве и Санкт-Петербурге (СпбГУ) в 1998-2000гг, а также в ИЕН
РАН и на конференции «Эволюция и иносферы» в Президиуме РАН(28.03.2001).
Мною прочитаны курсы лекций по русской логике во Всероссийском обществе
«Знание»(1999-2000гг.), а также в ТВАТ(1995-2001гг.) и других лицеях, колледжах
и вузах. Все мои работы по Русской логике, т.е. фактически по алгебре множеств,
за 1998 – 1999гг. переведены в США. В течение 2004 - 2009 гг. издал книги «Русская логика для школьников (и академиков), «Русская логика для «физиков» и
«лириков», «Русская логика для школьников и умных академиков», «Русская вероятностная логика». Было доказано, что не существует кванторного исчисления,
что алгебра множеств и алгебра логики – синонимы, что нет логики предикатов,
44
что
вся
логика
вероятностна.
Были
обнаружены
и
устранены
ошибки
П.С.Порецкого в методике решения логических уравнений. Лекции по Русской логике транслировались по спутниковому телевидению на канале СГУ-ТВ.
С 1995 по 1998гг. возглавлял (по конкурсу) отдел автоматики в фирме "РоссЭко". За время работы в НИИРТА создал в рамках ОКР несколько приборов
для систем бортового управления, доведя их до выпуска опытных партий (в их
числе пр.20 изделия 83В6 и др.). Проводил обучение ведущих специалистов
НИИРТА инженерным методам разработки цифровых устройств.
В ЦНИИ "Циклон" мною лично или под моим руководством были разработаны
в результате проведения НИОКР следующие устройства и системы: УУ УКВтюнером, УУ
всеволновым тюнером (на
КР 580ИК80),система
автоконтроля
таксофонов(на КР1801ВЕ1), микроконтроллерный регулятор(на i8048)-прообраз
ПРОТАРа МЗТА, отладочное устройство "Техника" для TMS270, оригинальные
запатентованные
адаптируемые
отладочные
системы АОС-
6502, АОС-1814, АОС-1868, АОС-1801; автоматизированная система централизованной охраны и обороны ОНХ и квартир граждан, диагностический процессор,
инструментальные системы контроля и диагностики цифровых устройств.
Работал на нескольких десятках микропроцессоров и микро-ЭВМ. Владею несколькими
языками
программирования
высокого
уров-
ня(ALGOL,FORTRAN,FORTH,PASCAL,MODULA,C,РАЯ) и многими ассемблерами.
Программист высокой квалификации. Работал на нескольких типах ЭВМ и ПК.
С 13.10.1998г. по 31.01.2000г. работал в НПО «Химавтоматика» в должности
главного специалиста по микроэлектронике. Разрабатывал микроконтроллеры
для газовых анализаторов. С 7.02.2000г. по 12.05.2001 работал в ОАО «Импульс»
над созданием систем управления оборонного назначения (КПА-БАНКОР, БСККонтейнер, КПА-БСК).
С 22.05.2001 по 12.12.2003 работал главным специали-
стом на НПП «Редан» (ГНПП «Регион», Каширское ш., 13а) по разработке цифровых систем управления оборонного назначения. С 15.01.2004 по 31.12.2006 работал гл.специалистом на НПП «НИИДАР». Разрабатывал схемы цифрового телевидения. С 9.03.2007 по настоящее время работаю ведущим научным сотрудником в ФГУП «ЦНИИ «Комета» по разработке электронных устройств оборонного
назначения.
Являюсь изобретателем, трижды лауреатом премии ВДНХ, награжден медалью "Ветеран труда".
45
Литература.
1. Сайты
в
Internet:
http://logicrus.ru
http://matema.narod.ru/newpage113.htm,
,
http://ruslogic.narod.ru
,
http://www.mirit.narod.ru/zerkalo.htm
,
http://ito.edu.ru/, http://www.trinitas.ru, http://lord-n.narod.ru/walla.html/Книги и софт с
Walla.com, http://naztech.org/lobanov , http://www.rsl.ru и др.
2. Лобанов В.И. . Инженерные методы разработки цифровых устройств. М:НИИРТА, 1977(шифр Центр. Политехн. Библиотеки - W145 4/231)(шифр библ.
НИИРТА –-507/Л68).
3. Лобанов В.И. Азбука разработчика цифровых устройств. – М.: Горячая линия – Телеком, 2001 – 192с.
4. Лобанов В.И. Русская логика против классической (азбука математический
логики). – М.: Компания Спутник+, 2002 – 126с.
5. Лобанов В.И. Решебник по Русской логике. – М.: Компания Спутник+, 2002 –
133с.
6. Лобанов В.И. Русская логика для школьников (и академиков). – М.: Издательство «Эндемик», 2004 – 110с.
7. Лобанов В.И. Русская логика для «физиков» и «лириков». – М.: Спутник+,
2005 – 427с.
8.
Лобанов В.И. Курс лекций «Математика в логике» для спутникового обра-
зовательного телевидения. – М.: СГА, Спутниковое телевидение, канал СГУ-ТВ –
телестудия Современной Гуманитарной Академии, 2007.
9. Лобанов В.И. Русская вероятностная логика для школьников и умных академиков. – М.: 2008 – 33с.
10.
Лобанов В.И. Русская вероятностная логика. – М.: «Русская Правда»,
2009 – 320с.
11.
Порецкий П.С. О способах решения логических равенств и об одном
обратном способе математической логики. - Казань:1884.
12.
Смаллиан Р.М. Как же называется эта книга? – М.: 2008 – 272 с.
46
Оглавление.
Русская логика в информатике (Букварь математической логики). ....................................................................... 1
Предисловие................................................................................................................................................................. 1
1. Алгебра логики ................................................................................................................................................... 4
1.1 Основные положения алгебры логики........................................................................................................... 4
1.2 Основные законы алгебры Буля. ..................................................................................................................... 5
1.3. Синтез логических функций ............................................................................................................................ 8
1.4.Минимизация полностью определённых булевых функций. ........................................................................ 9
1.5. Минимизация недоопределённых булевых функций.................................................................................. 13
1.6. Практикум по синтезу и минимизации логических функций. ............................................................ 15
2. Законы логики суждений ...................................................................................................................................... 18
2.1. Практикум по логике суждений. ................................................................................................................... 21
3. Силлогистика. ........................................................................................................................................................ 26
Алгоритм «ТВАТ» (графический синтез силлогизмов) ..................................................................................... 28
3.1. Практикум по силлогистике. ..................................................................................................................... 32
ЛОБАНОВ ВЛАДИМИР ИВАНОВИЧ ............................................................................................................... 43
Литература. ................................................................................................................................................................ 46
Оглавление. ................................................................................................................................................................ 47
47