Раздел_ 01_«Элементы теории множеств

Раздел 1. Множества
Определение1.1: Множество - это совокупность
определенных различаемых объектов, таких, что для любого
объекта можно установить, принадлежит этот объект данному множеству или не принадлежит. Объекты множества
называются так же элементами множества.
Множества можно специфицировать (задать) четырьмя способами:
1) Если множество конечно, перечислением элементов.
Например:
A = {7, 8, 9}
2) Множество можно охарактеризовать свойствами элементов: Например:
A = {x | x Z, 6 < x < 10}
3) Задается порождающая процедура. Например: Множество

всех корней уравнения соs x = 0
2
 k  , k  012
, , ...
4) Образование множеств из других множеств с помощью
операций над множествами.
Для графического изображения результатов операций
над множествами служат диаграммы Эйлера - Венна.
Определение 1.2: Пересечением множеств A и B
называется множество всех элементов, принадлежащих и A и
B
5
AB =  x | x  A и x B
Данное определение можно обобщить для n множеств.
1
A2 ... An= x | x  A1, x A2, ... , x  An=
=x | x  Ai , i = 1, 2,..., n }
Определение 1.3: Пустое множество (обозначается
) есть множество, обладающее свойствами x для любого элемента x.
Определение 1.4: Два множества A и B не пересекаются, если AB=.
Определение 1.5: Объединением множеств A и B
называется множество, элементы которого принадлежат хотя
бы одному из множеств A или B или обоим одновременно
AB= x | x  A или x B
Данное определение можно обобщить для n множеств:
A1A2... An= x | x  A1 или x A2 или ... или x  An
={x |  Ai, x  Ai , i=1,2,...,n}
Определение 1.6: Разностью множеств A и B (также
называемая дополнением B до А) называется множество,
элементы которого принадлежат A и не принадлежат B
A\B= A-B={x | x  A и x  B}
Замечание 1.1:
aAB  a A или а B
aAB  a A и а B
6
a A\B
 a A или а B
Определение 1.7: Симметрической разностью множеств A и B называется множество, которое равно
AB=(AB)\ (AB) = (A\ B) (B\ A)
Для симметрической разности имеет место свойство
ассоциативности:
(A  B) С=A  (B  С)
Определение 1.8: Универсальное множество U есть
множество всех рассматриваемых в задаче элементов.
Определение 1.9: B каждом случае, когда U задано,
определим дополнение множества A до универсального как
A =A’= U\ A={x | x  U, x  A}
Замечание 1.2: Относительно данного множества U
дополнение любого множества A до универсального
единственно.
Приоритет операций над множествами следующий:
1) в скобках
2) ’ (дополнение)
3) , , \, 
Пример: Пусть U={1, 2, 3, 4}
A={1, 3, 4}, B={2, 3}, C={1, 4}
(A’  (B  С))’
Вычислить выражение
7
A’
(A’  (B  С))’ = ( ({1,2,3,4} \ {1,3,4})  ({2,3}  {1,4}) )’=
({2} )’= ({2})’ = { 1,2,3,4} \ {2} = { 1,3,4}
Определение 1.10: Пусть множества A и B таковы,
что из того, что xA следует, что xB. Тогда говорят, что A
есть подмножество B и обозначается AB или B A
Определение 1.11: Если AB и существует элемент
yB такой, что yA, то A называется собственным подмножеством B (Рис.1.7.). Обозначается A  B или B  A
Определение 1.12: Множества A и B эквивалентны
A=B, если A B, BA. Т.е. все элементы A являются элементами B, а все элементы B - элементами A.
Определение 1.13: Два множества A и B неэквивалентны, если они не эквивалентны или, что равносильно тому A\ B   или B \ A  .
Определение 1.14:
Множество всех подмножеств
данного множества Х называется степенью множества Х.
P(X) = {Y | Y  X}.
Т.к.   Х и Х  Х, то Р(Х), ХР(Х).
Замечание 1.3: Если |X| = n, то | P(X) | = 2 n
Например,
Х={1, 2} |X| = 2
P(X) = {{1}, {2},{1,2}, } | P(X) | = 2 2 = 4
Свойства операций над множествами
8
A  A  A
 Идемпотентный закон.
A  A  A
(1.1)
(A  B)  C  A  (B  C) Ассоциативный

закон
(A  B)  C  A  (B  C)
(1.2)
A  (B  C)  (A  B)  (A  C) 
 Дистрибутив- (1.3)
A  (B  C)  (A  B)  (A  C) ный закон
A  B  B  A
 Коммутативный закон.
A  B  B  A
(1.4)
A  (A  B)  A 
 Закон поглощения.
A  (A  B)  A 
(1.5)
(A  B)  A   B Закон де Моргана

(A  B)  A   B для множеств
(1.6)
( A )   A
(1.7)
AU  U
AU  A
Закон двойного отрицания
A  A  
A  A  U
A   A
A   
(1.8)
Практические задания
1.1. Найдите все подмножества множества {1, 2, 3},
{} , {x}, {1,2}.
1.2. Докажите, что множество {1, 2, ..., n} имеет 2n
различных подмножеств.
9
1.3. Сколько подмножеств
из k элементов имеет
множество из n элементов ( k  n )?
1.4. Какие из утверждений верны для всех A, B и С:
1) Если A  BиB  C,тоA  C ;
2) Если A  BиB  C, тоA  C ;
3) Если A  B  CиA  C  B, тоA  C   ;
4) Если A  BиB  C, тоA  C ;
5) Если A  B  CиB  A  C, тоB   .
1.5. Найдите \\A при:
1) A={-1, 0,3,4}, B={0,4,6};
2) A=[0,2], B=[1,5];
3) A=[0,2], B={0,4,6};
4) A=]-  ; 7], B=]5,8[;
5) A=[1,3[]5,7], B=[2,6];
6) A={ x | x делится без остатка на 4 и x  40},
B={ x | x делится без остатка на 5 и x  40};
7) A={ x | x делится без остатка на 4 и x  40},
B={ x | x делится без остатка на 6 и x  40};
8) A=[4,6], B=(3,5)[6,8].
10
1.6. Пусть A - множество решений уравнения f(x:)=0,
B - множество решений уравнения g(x)=0. Выразите через А
и В множество решений:
1) уравнений
a) f(x)g(x)=0; б)
f(x)
 0;
g(x)
f(x)  0
2) системы уравнений 
g(x)  0
1.7. Как можно выразить множество действительных
корней уравнения f(x)=0,если известны множества X={x|
f(x)>0} и
Y={x| f(x)<0}?
1.8. Каким условиям должны удовлетворять множества А и В, чтобы:
1) АВ=АВ;
2) (А\В)В=А;
3) (AB)\B=A?
1.9. Докажите, что для произвольных множеств A, В и
С справедливы следующие равенства:
1) A (BC)=(AB)(AC);
2) A (BC)=(AB)(AC);
3) A (AB)=A;
4) A (AB)=A;
5) A =A;
6) A =;
11
7) (A\B)\C=(A\C)\B;
8) (A\B)\C=(A\C)\(B\C);
9)
A  B \ A  B  A \ B  B \ A ;
10) A\(A\B)=AB;
11) (BC)\A=(B\A)(C\A);
12) B(A\B)=AB;
13) B(A\B)=;
14) A\(BC)=(A\B)(A\C);
15) A\(BC)=(A\B)  (A\C);
16) A \ (A \ B)  A  B ;
17) A \ B  A \ (A  B) ;
18) A  (B \ C)  (A  B) \ (A  C)  (A  B) \ C ;
19) (A \ B) \ C  (A \ C) \ (B \ C) ;
20) A  B  A  (B \ A) ;
21) A  (B \ A)   ;
22) (A  B) \ C  (A \ C)  (B \ C) ;
23) A \ (B \ C)  (A \ B)  (A  C) ;
24) A \ (B  C)  (A \ B) \ C .
1.10. Докажите, что для любых подмножеств A и B
универсального множества U справедливы следующие равенства:
1) AU=A;
12
2) AU=U;
3) A  A  ;
4) A  A  U;
5)   U;
6) U  ;
7) A  B  A  B ;
8) A  B  A  B ;
9) A \ B  A  B;

 

10) A  B \ A  B  A  B  B  A ;
11) A \ B  A  (A  B);
12) (A  B)  A  A  B;
13) (A  B)  A  A  B;
14) (A  B)  (A  B)  (A  B)  (A  B)  A.
1.11. Верны ли следующие равенства для произвольных множеств А, В, С? Если не верны, то в какую сторону
имеет место включение?
1) (A  B) \ B  A;
2) (A \ B)  B  A;
3) A \ (B  C)  (A \ B) \ C ;
4) A  (B \ C)  (A  B) \ C;
5) (A \ B)  C  (A  C) \ B.
1.12. Докажите, что для любых множеств A, B и C:
1) A \ B  A  A  B   ;
13
Указание: чтобы доказать данное утверждение достаточно доказать, что выполняется:
если A \ B  A, то A  B   и, если A  B  , то A \ B  A .
2) (A  B) \ (A  B)    A  B ;
3) A  B  A  B  B  A  B  A ;
4) (A  B)  C  A  (B  C)  C  A ;
5) A  B  C  A \ B  C ;
6) B  A  (A \ B)  B  A ;
7) A  B    (A  B) \ B  A ;
8) A  B  A \ C  B \ C ;
9) A  B  A  C  B  C ;
10) A  B  A  C  B  C ;
11) A  B  A \ C  B \ C ;
12) A  B  C \ B  C \ A ;
13) A  B  B  A ;
14) B  A  C  A \ B  A  B  C ;
15) C  A \ B  B  C   ;
16) B  C    A  C    A \ B   ;
17) A  C  A  (B  C)  (A  B)  C ;
18) A  B    A    B   ;
19) A \ B  A  B \ A  B ;
14
20) A  B  A \ B  B   ;
21) A \ B  A  B  A   ;
22) A  B  C  A  C  B  C ;
23) C  A  B  C  A  C  B ;
24) A  B  C  A  B  B  C ;
25) A  B  C  A  CиB  C ;
26) A  B  C  A  BиA  C ;
27) A  B  C  A  B  C ;
28) A  B  C  A  B  C ;
29) (A \ B)  B  A  B  A ;
30) A  B  A  B  A  B ;
31) A  B  A  B  иA  B  U .
1.13. Докажите, что для любых подмножеств A и В
универсального множества U:
1) A  B  B  A;
2) A  B    A  B  B  A;
3) A  B  U  A  B  B  A;
4) A  B  A  B  иA  B  U.
1.14. Докажите тождество:
1) AB  BA ;
15
2) A(BC)  (AB)C ;
3) A  (BC)  (A  B)(A  C) ;
4) A(AB)  B ;
5) A  B  AB(A  B) ;
6) A \ B  A(A  B) ;
7) A  A ;
8) AA   ;
9) AU  A ;
10) A  B  (AB)  (A  B) .
1.15. Доказать, что:
a) (A1  ...  An )(B1  ...  Bn )  (A1B1 )  ...  (An Bn ) ;
б) (A1  ...  An )(B1  ...  Bn )  (A1B1 )  ...  (An Bn ) .
1.16. Доказать, что:
1) AB    A  B;
2) A  B    A  B  AB;
3) AB  C  BC  A  CA  B.
1.17. Определить операции ,,\ через:
1)  ,;
2)  ,;
3) \, .
1.18. Доказать, что нельзя определить:
16
6) \ через  и;
7)  через  и \ .
1.19. Из 100 студентов 28 изучают английский язык,
30 - немецкий, 42-французский, 8-английский и немецкий,
10- английский и французский, 5 - немецкий и французский
и 3 студента изучают все три языка. Сколько студентов не
изучают ни одного языка; изучают только французский
язык?
1.20. Из 100 студентов 24 не изучают никакого языка,
26 - немецкий, 48 - французский, 8 - французский и английский, 8 - немецкий и французский, 18 - только немецкий, 23 немецкий, но не английский. Сколько студентов изучают
только английский язык?
1.21. Решить систему уравнений
A  X  B
, где A, B и С – данные множества и B  A  C .

A  X  C
1.22. Решить систему уравнений
A \ X  B
, где A, B и С – данные множества и

X \ A  C
B  A, A  C   .
1.23. Решить систему уравнений
A \ X  B
, где A, B и С – данные множества и B  A  C .

A  X  C
1.24. Доказать, что
17
1) A  B  (A \ B)  (B \ A)  ;
2) любое уравнение относительно множества X, в правой части которого стоит
 , равносильно уравнению
(A  X)  (B  X)   , где А и В – некоторые множества, в
записи которых не содержится символ Х;
A  X  
3) система уравнений 
имеет решение тогда и
B  X  
только тогда, когда B  A ; при этом условии решением системы является любое множество Х такое, что B  X  A;
4) описать метод решения системы уравнений с одним неизвестным.
1.25. Пользуясь методом задачи 1.24. решить следующие системы:
A  X  B  X
1) 
;
A  X  C  X
A \ X  X \ B
2) 
;
X \ A  C \ X
A  X  B \ X
3) 
.
C  X  X \ A
При каких А, В и С эти системы имеют решение?
18