Учитель:Челбаева Вера Александровна Высшая квалификационная категория 2015год Алгебра и начала математического анализа. 1. Повторение «Производная и ее применение» Определение 1. Пусть функция у = f(x) определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку х0. Дадим аргументу приращение ∆х такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции ∆у (при переходе от точки х0 к точке х0 + ∆х0) и составим отношение ∆у. Если существует предел этого отношения при ∆х —> 0, то указанный предел называют производной функции у = f(x) в точке х0 и обозначают f´(x0). Физический (механический) смысл производной состоит в следующем. Если s = s(t) — закон прямолинейного движения тела, то производная выражает мгновенную скорость в момент времени t: Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х=а можно провести касательную, непараллельную оси у, то f(a) выражает угловой коэффициент касательной: Пример1. Найти производную функции Решение. Здесь . Воспользуемся алгоритмом нахождения производной. 1) Для фиксированного значения х (разумеется, мы полагаем, что x≠0) имеем: 2) В точке х + ∆х имеем: (при этом предполагаем, что х и х + ∆х — числа одного знака, чтобы в промежутке между х и х + ∆х не оказалась точка 0). 3) 4) 5) Ответ: Формулы Пример 2. Вычислить производные: 1)у=х5 Решение: у´=5х5-1=5х4; Ответ: у´=5х4 2) f(х)=х3(х-1) Решение: f´(x)=( х3(х-1))´= (х3) ´ (х-1)+ х3(х-1) ´=3х2(х-1)+х3(1-0)=3 х3- 3х2+ х3= =4 х3- 3х2 Ответ:f´(x)=4x3-3x2 3) у=( х2+3х+1)5 Решение у ´=(( х2+3х+1)5) ´=5( х2+3х+1)4( х2+3х+1) ´=5( х2+3х+1)4(2х+3) y=f(a)+f´(a)(x-a)-уравнение касательной к графику функции у=f(х) в точке х=а(1) Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции Пример 3. Составить уравнение касательной к графику функции в точке х=1. Решение. В данном примере 1.а=1 2.f(a)= f(1)=1 3. ; 4. Подставим найденные числа а = 1, f(a) = 1, f(a) = -1 в формулу (1). Получим: у = 1 - (х - 1), т. е. у = 2 - х. Ответ: у = 2 - х. Определение 2. Точку х = х0 называют точкой минимума функции у = f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x) > f(x0). Определение 3. Точку х = х0 называют точкой максимума функции у = f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)< f(x0). Теорема 1. Если во всех точках открытого промежутка X выполняется неравенство f'(x) > 0 (причем равенство f'(x) = 0 либо не выполняется, либо выполняется лишь в конечном множестве точек), то функция у = f(x) возрастает на промежутке X. Теорема 2. Если во всех точках открытого промежутка X выполняется неравенство f'(x) < О (причем равенство f'(x) = О либо не выполняется, либо выполняется лишь в конечном множестве точек), то функция у = f(x) убывает на промежутке X. Теорема 3 . Если функция у = f(x) имеет экстремум в точке х = х0, то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует. Внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю- стационарные, а внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует, — критические. Теорема 4 (достаточные условия экстремума). Пусть функция у = f(x) непрерывна на промежутке X и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку х = х0. Тогда: а) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при х < х0 выполняется неравенство f'(x) < 0, а при х > х0 - неравенство f'(x) > 0, то х = х0 — точка минимума функции у = f(x); б) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при х < х0 выполняется неравенство f'(x) > 0, а при х > х0 — неравенство f(x) < 0, то х = х0 — точка максимума функции у = f(x); в) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и слева и справа от точки х0 знаки производной одинаковы, то в точке х0 экстремума нет. Условная схема для знаков производной: Алгоритм исследования непрерывной функции у = f(x) на монотонность и экстремумы 1. Найти производную f'(x). 2. Найти стационарные (f(x) = 0) и критические (f(x) не существует) точки функции у = f(x). 3. Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках. 4. На основании теорем 1, 2 и 4 сделать выводы о монотонности функции и о ее точках экстремума. Пример 1. Построить график функции Решение 1. Введем обозначение: функции: D(f) = (-∞; +∞). 2. Исследуем функцию на четность: Найдем область определения - нечетна. Значит, ее график симметричен относительно начала координат, а потому начнем с построения ветви графика при х > 0. 3. Найдем асимптоты. Вертикальной асимптоты нет. Для нахождения горизонтальной асимптоты надо вычислить 4. Найдем стационарные и критические точки, точки промежутки монотонности функции. экстремума и Имеем: Производная всюду существует, значит, критических точек у функции нет. Стационарные точки найдем из соотношения у' = 0. Получаем: 1 - х2 = 0, откуда находим, что х = 1 или х = -1. Поскольку мы договорились рассматривать лишь случай, когда х > 0, выберем значение х=1. При х < 1 у' > 0, а при х > 1 у´ < 0. Значит, х = 1 -точка максимума функции, причем На промежутке [0; 1] функция возрастает, на промежутке [1; +∞) функция убывает. 5. Составим таблицу значений функции при х>0 6. Отметив найденные точки на координатной плоскости, соединив их плавной кривой и учтя при этом, что — точка максимума и что у = 0 — горизонтальная асимптота, построим ветвь искомого графика при х > 0. Добавив ветвь, симметричную построенной относительно начала координат, получим весь график 1. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нем и своего наибольшего, и своего наименьшего значений (эта теорема доказывается в курсе высшей математики). 2. Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него. 3. Если наибольшее (или наименьшее) значение достигается внутри отрезка, то только в стационарной или критической точке. Алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции у = f(x) на отрезке [а; b] 1. Найти производную f(x). 2. Найти стационарные и критические точки функции, лежащие внутри отрезка [а; b]. 3. Вычислить значения функции у = f(x) в точках, отобранных на втором шаге, и в точках а и b; выбрать среди этих значений наименьшее (это будет унаим) и наибольшее (это будет унаиб). Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции у = х3 - Зх2 - 45х + 1: а) на отрезке [-4; 6]; в) на отрезке [-2; 2]. б) на отрезке [0; 6]; Решение. Воспользуемся алгоритмом. 1) у' = Зх2 -6х- 45. 2) Производная существует при всех х, значит, критических точек у функции нет. Стационарные точки найдем из условия у' = 0. Имеем: Зх2 - 6х - 45 = 0; х2 - 2х - 15 = 0; х1 = -3, х2 = 5. Дальнейшие рассуждения зависят от указанного в условии отрезка. а) Обе стационарные точки (и х = -3, и х = 5) принадлежат заданному отрезку [-4; 6]. Значит, на третьем шаге мы составим такую таблицу значений функции у = х3 - Зх2 – 45х + 1: Таким образом, унаим = -174 (достигается в точке х = 5); унаиб = 82 (достигается в точке х = -3). б) Отрезку [0; 6] принадлежит лишь одна из двух найденных стационарных точек, а именно точка х = 5. Значит, составим такую таблицу значений функции у = х3 - Зх2 - 45х + 1: Таким образом, уиаим = -174 (достигается в точке х = 5); унаиб = 1 (достигается в точке х = 0). в) Отрезку [-2; 2] не принадлежит ни одна из найденных стационарных точек, значит, достаточно вычислить значения функции в концевых точках: если х = -2, то у = 71; если х = 2, то у = -93. Таким образом, в этом случае унаим = -93, унаиб = 71. Выполнить самостоятельно: 1. 1. Найдите значение производной функции у = f(x) в точке х0, если а) х0 = 25. в) б) г) 2. Найдите скорость изменения функции а) у = 5х + 4; б) у = х – 2; в) у = 3х; г) у=4. 3. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции у = g(x) в точке с абсциссой х0, если а) g(x) = cos x, б) g(x)=Sin x, 4. 5. в) г) g(x)= х0= 0,01 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. б) 13. 14. 15. 16. 17. Литература: 1. А.Г.Мордкович. Алгебра и начала математического анализа. Часть 1. Учебник 10-11 класс. - Мнемоза. Москва 2009г. 2. А.Г.Мордкович. Алгебра и начала математического анализа. Часть 1. Задачник 10-11 класс. - Мнемоза. Москва 2009г 3. В.И. Глизбург. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Контрольные работы. Мнемоза. Москва 2009г 4. Л.А. Александрова. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Самостоятельные работы. Мнемоза. Москва 2009г 5. ЕГЭ. Универсальные материалы для подготовки учащихся. Математика 2011. Интеллект-Центр. 2010. 6. Геометрия 10-11 класс. Авторы: Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. М., «Просвещение», 2009 7. Геометрия. Дидактические материалы.11 класс. М: просвещение 2008г. 8. Ф.Ф. Лысенко .Математика. Тематические тесты. Геометрия, текстовые задачи. Легион-2010г.