Математика - Воронежский государственный архитектурно

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ
Государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
Воронежский государственный архитектурно – строительный университет
Кафедра высшей математики
Н.Н. Некрасова
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
(с программой)
для студентов 1-го курса заочной ускоренной формы обучения
всех специальностей (кроме специальности ТВ)
Часть 1
Воронеж 2009
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ………………………………………………….……………………….4
Программа первого семестра ……………………….……………………….…...4
Библиографический список рекомендуемой литературы………………………5
Определители ……………….. …………….. ………......………......………......6
Решение систем линейных алгебраических уравнений …….………...….........8
Аналитическая геометрия в пространстве ……………………….........…...... 10
Пределы………………………………………………………………………….. 14
Непрерывность функций ………………………………………………………19
Дифференцирование функций …………………………………………………22
Табличное дифференцирование ……………………….........………………… 24
Построение графика функции по результатам ее исследования………........ 27
Функции многих переменных …………………………………………………29
Варианты контрольных заданий. Контрольная работа № 1 ………………… 36
Контрольная работа №2 ………………………………………………………… 40
3
Введение
Основной целью данных методических указаний является оказание
помощи в самостоятельном изучении основ аналитической геометрии,
векторной и линейной алгебры, введения в математический анализ
(контрольная работа №1), а также дифференциального исчисления функций
одной и нескольких переменных (контрольная работа №2). В брошюре такого
объема невозможно обсудить все темы, обозначенные в программе. Для их
изучения советуем обратиться к учебникам, перечисленным в списке
рекомендуемой литературы. Основное внимание сосредоточено на тех
сведениях, которые нужны для выполнения ваших контрольных заданий.
Кроме того, мы приводим решение примеров, подобных задачам из ваших
контрольных работ.
Контрольные работы должны быть выполнены в тетради, аккуратно и
четко с подробными пояснениями хода решения. Вариант задания
совпадает с последней цифрой зачетной книжки студента.
Тетрадь с работой сдается или присылается на кафедру высшей
математики в отведенные для этого сроки для проверки и рецензирования.
Неверно решенные задачи должны быть переделаны в той же тетради и сданы
для повторной проверки. Зачтенные контрольные работы необходимо
сохранить и предъявить при сдаче экзамена.
Библиографический список рекомендуемой литературы
1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.- 4-е
изд. – М.: Наука, 1980. – 225 с.
2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов.
Т.1– М.: Наука, 1985. - 432 с.
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах. Ч.1 – М.: Высшая школа, 1999. – 304 с.
4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Элементы линейной
алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука, 1990. – 176 с.
5. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и
интегральное исчисление. – М.: Наука, 1990. – 185 с.
6. Элементы линейной алгебры, аналитическая геометрия и введение в
математический анализ. Учебное пособие/ А.А. Седаев, Н.Н. Некрасова:
Воронеж. гос. арх.-строит. ун-т. – Воронеж, 2007 г. – 184 с.
4
Программа первого семестра
1. Определители и системы линейных уравнений. Определители второго и
третьего порядка, их свойства и вычисление. Определители n-порядка.
Системы линейных однородных и неоднородных уравнений. Правило
Крамера. Метод Гаусса.
2. Векторная алгебра. Векторные и скалярные величины. Линейные
операции над векторами. Базис. Проекции и координаты (компоненты)
вектора. Скалярное, векторное и смешанное произведение; их свойства и
геометрический смысл, вычисление через координаты сомножителей в
базисе i, j, k.
3. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве. Уравнение
линии на плоскости в декартовых координатах. Полярная система
координат и ее связь с декартовой системой. Уравнение линии в полярных
координатах. Прямая линия и ее уравнения. Общее уравнение линии
второго порядка. Канонические уравнения окружности, эллипса, гиперболы
и параболы. Преобразование декартовых координат при повороте и
переносе осей. Системы координат в пространстве и связь между ними.
Уравнение поверхности. Цилиндрические поверхности. Поверхности
вращения. Плоскость. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до
плоскости. Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и
плоскости. Канонические уравнения поверхностей второго порядка.
4. Введение в математический анализ. Вещественные числа. Числовые
последовательности. Предел последовательности и его свойства. Признаки
существования предела монотонной числовой последовательности. Число
е. Функция одной переменной. Предел функции и его свойства. Бесконечно
малые и бесконечно большие величины, их свойства. Сравнение
бесконечно малых. Непрерывность. Свойства функций, непрерывных на
отрезке. Сложная функция. Односторонние пределы. Разрывы функций.
Асимптоты функции и их нахождение.
5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Задачи,
приводящие к понятию производной. Производная функции, ее
геометрический и механический смысл. Производная суммы, произведения
и частного. Таблица производных. Производная сложной, обратной и
неявной функции. Дифференциал функции. Его применение для
приближенного вычисления значений функции. Теорема Лагранжа.
Производные высших порядков. Правило Лопиталя. Формулы Тейлора и
Маклорена. Их применение для приближенных вычислений.
6. Исследование функции и построение ее графика. Условия возрастания и
убывания функции. Точки экстремума. Необходимые и достаточные
условия экстремума. Вычисление наибольшего и наименьшего значений
функции, непрерывной на отрезке. Выпуклость и вогнутость графика
функции. Общая схема исследования функции и построение ее графика.
5
Приближенное решение уравнений. Графический метод, метод проб,
методы хорд и касательных.
7. Функции нескольких переменных. Функции двух и трех переменных.
Область определения, предел и непрерывность. Частные производные и
полный дифференциал. Градиент функции и его свойства. Производная по
направлению. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Частные
производные высших порядков. Формула Тейлора. Экстремум функции
двух переменных. Нахождение наибольшего и наименьшего значений
функции двух переменных, непрерывной на замкнутой, ограниченной
области. Метод наименьших квадратов.
1. Определители
Рассмотрим квадратную матрицу (таблицу), составленную из чисел
a12 
a
A   11
 .
 a21 a22 
Определителем второго порядка, полученным из матрицы А, называется
число , определяемое равенством:
a
a12
  11
 a11a22  a12 a21 .
a21 a22
Определитель обозначается постановкой матрицы между двумя
вертикальными чертами. Например:
1 3

 1  2  5   3  2  15  17 .
5 2
Определитель третьего порядка, составленный из элементов матрицы
 a11 a12 a13 


A   a21 a22 a23  , также есть число, но определяемое равенством
a

 31 a32 a33 
a11
a12
a13
  a21
a22
a23  a11a22 a33  a21a32 a31  a12 a23 a31  a13 a22 a31  a23 a32 a11  a12 a21a33 .
a31
a32
a33
Следовательно, определитель третьего порядка — это число, состоящее из
суммы шести произведений, три из которых взяты со своим знаком, а три — с
противоположным знаком. Правило составления произведений и слагаемых в
этой формуле видно из следующей схемы и называется правилом Саррюса
(рис.1):
Произведения со своим знаком
Произведения с противоположным знаком
6
Рис.1
Пример. Вычислить определитель:
2 1 3
 1 3 0  2  3   2    1  4   3  1  0  5  5  3   3  4  0  2   1 1   2 
5 4 2
 12  12  0  45  0  2  43 .
Определители третьего, четвертого и т.д. порядков можно вычислить
другим способом, разлагая определитель по элементам строки (или столбца).
В определителе n-го порядка
A
a11
a12
... a1n
a21
...
a22 ... a2 n
... ... ...
an1
an 2
(1.1)
... ann
минором M ij элемента aij называется определитель (n-1)-го порядка, который
получится, если из исходной матрицы вычеркнуть i-ю строку и j-й столбец, на
пересечении которых стоит элемент aij.
Алгебраическое дополнение элемента aij находится по формуле
A ij   1
i j
M ij ,
где i - номер строки, а j - номер столбца, на пересечении которых стоит
элемент aij.
Определитель n-го порядка можно вычислить как сумму произведений
элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Если
выбрать i-ю строку, то
  ai1 Ai1  ai 2 Ai 2  ai 3 Ai 3  ...  ain Ain .
(1.2)
Пример. Вычислить определитель четвертого порядка, разложив его по
элементам четвертой строки:
1 2 3
4
2 3 4
2 0 2 2
5

 a41 A41  a42 A42  a43 A43  a44 A44  3   1 0  2 2 
1 1 5
3
1 5 3
3 0 1 3
7
1
3 4
1 2 4
1 2 3
6
7
8
 0   1 2  2 2  1   1 2 0 2  3   1 2 0  2 
1 5 3
1 1 3
1 1 5
 3   12  6  8  20  1 8  4  2  12  3  6  4  2  20  54  10  24  88 .
Вычисление упрощается, если воспользоваться элементами второго
столбца, т.к. там есть два нуля. Определитель не изменится, если его строку
(столбец) заменить на ее сумму с другой строкой (столбцом), умноженной на
любое число. Поэтому определитель можно найти проще, если третью строку
умножить на (-2) и сложить с первой строкой, получив новый нуль вместо
двойки. Тогда, разлагая определитель по элементам второго столбца и
преобразуя получившийся определитель третьего порядка, получая в нем
новые нули с помощью вычитания или прибавления второго столбца, будем
иметь
3 0 7 2
3 7 2
1 7 2
1  7  23
2 0 2 2
5

  1 2  2 2   4  2 2   4  2  4 
1 1 5
3
3 1 3
0 1 3
0 1
0
3 0 1 3
=   15
1  23
4
4
 4  92  88.
2. Решение систем линейных алгебраических уравнений
Одним из методов решения системы уравнений
a11 x  a12 y  a13 z  b1 ,

(2.1)
a21 x  a22 y  a23 z  b2 ,
a x  a y  a z  b
 31
32
13
3
является метод Крамера, при котором неизвестные можно найти по формулам
x
где

-
x
,

главный
y
y

, z
z

(если 0),
определитель системы
(2.1).
Он
(2.2)
составляется
из
коэффициентов при неизвестных. Дополнительные определители x, y, z
получаются, соответственно, из главного определителя заменой первого,
второго и третьего столбцов столбцом свободных членов.
При решении системы возможны три случая:
1) если   0, то система имеет единственное решение;
2) если  = 0, но хотя бы один из определителей x, y, z не равен нулю, то
система не имеет решений;
8
3) если  = 0, x = 0, y = 0, z = 0, то система либо не имеет решений, либо
имеет бесчисленное множество решений.
Система называется однородной, если b1 =0, b2 =0, b3 =0. Справедлив
следующий результат: если 0, то система имеет единственное решение
х=0, у=0, z=0, (т.к. x=y= z=0); если  = 0, то система имеет
бесчисленное множество решений.
Пример. Решить систему уравнений методом Крамера
5 x  y  2 z  2

2 x  3 y  4 z  19 .
 x  2 y  3z  1

Найдем главный определитель системы:
5 1 2
  2 3  4  45  8  4  6  40  6  97  0.
1 2
3
Так как 0, то система имеет единственное решение.
Найдем дополнительные определители:
 2 1 2
 x  19 3  4  97,
1
2
3
Тогда x 
 x 97

 1,
 97
5 2 2
 y  2 19  4  291,
1 1
3
y
y


5 1  2
 z  2 3 19  194.
1 2
1

291
 194
 3, z  z 
 2.
97

97
Пример. Решить систему уравнений методом Крамера
3x  4 y  z  1

 x  2 y  3z  3 .
 x  3 y  2 z  1

3 4 1
  1 2  3  12  3  12  2  27  8  32  32  0,
1 3 2
1 4 1
x  3
2  3  4  9  12  2  9  24  30  30  0,
1  3 2
9
3
1
1
 y  1 3  3  18  1  3  3  9  2  18  18  0,
1 1 2
3 4
1
z  1 2
3  6  3  12  2  27  4  27  27  0.
1  3 1
Так как все определители равны нулю, то система либо не имеет решений,
либо имеет бесчисленное множество решений.
Чтобы выяснить этот вопрос, заметим, что определитель
3 4
 0.
1 2
Предположим z=C, СR, и отбросим последнее уравнение, так как оно равно
разности первых двух, деленной на 2. Тогда
3x  4 y  C  1
 3x  4 y  1  C

, или 
.
 x  2 y  3C  3
 x  2 y  3  3C
Продолжим решение методом Крамера:
3 4
1 C  4

 6  4  10,  x 
 2  2C  12  12C  10C  14,
1 2
3  3C 2
3 1 C
y 
 9  9C  1  C  10C  8.
1 3  3C
Следовательно,
x
 x 10C  14

 C  1,4;

10
y
y


10C  8
 C  0,8; z  C , C  R.
10
Пример. Решить систему уравнений методом Крамера
x  2 y  z  1

2 x  y  3 z  3 .
3x  y  2 z  2

1 2 1
Имеем   2 1  3  2  2  18  3  3  8  18  18  0,
3 1  2
1
x  2
2
2
1
1
 3  2  3  12  2  3  12  2  32  0.
1  2
Так как  x  0 , то находить  y и  z нет смысла, поскольку система не
имеет решений.
10
3. Аналитическая геометрия в пространстве
Уравнение плоскости в общем виде в декартовых прямоугольных
координатах выглядит следующим образом:
Ax + By + Cz + D = 0,
(3.1)
где А, В и С координаты вектора, перпендикулярного данной плоскости. Он
называется нормальным вектором и обозначается n  A; B; C.
Существуют различные виды уравнений, вытекающие из того, что
известно о данной плоскости.
1) Уравнение плоскости в отрезках:
x y z
(3.2)
   1,
a b c
где а, b и с - отрезки, отсекаемые плоскостью соответственно на осях ОХ, OY,
OZ.
2) Уравнение плоскости, проходящей через данную точку М (х0, y0, z0)
перпендикулярно известному вектору n  A; B; C:
А(х - х0)+ В(у – у0)+ С(z - z0) = 0.
(3.3)
3) Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки M1 (x1, y1, z1), M2
(x2, y2, z2), M3 (x3, y3, z3) (если они не лежат на одной прямой):
x  x1
y  y1 z  z1
x2  x1 y2  y1 z2  z1  0 .
(3.4)
x3  x1 y3  y1 z3  z1
4) Уравнение плоскости в нормальном виде
xcos + ycos + zcos - p = 0.
(3.5)
Здесь (х, у, z) - координаты произвольной
точки М, лежащей на плоскости,
n0  cos , cos  , cos   - единичный вектор,
направленный от начала системы
координат перпендикулярно к плоскости,
р – длина перпендикуляра, опущенного
из начала координат на плоскость (см.
Рис. 2).
Рис. 2
Расстояние от точки до плоскости. Если уравнение плоскости задано в
виде (3.5), то расстояние от точки М(х0,y0,z0) до плоскости находится по
формуле
d  x0 cos  y 0 cos   z 0 cos y  p .
(3.6)
Если уравнение плоскости задано в общем виде (3.1), то
Ax 0  By0  Cz0  D
d
.
(3.7)
A2  B 2  C 2
11
Угол между двумя плоскостями, заданными уравнениями
A1x + B1y + C1z + D1 = 0, и A2x + B2y + C2z + D2 = 0 , находится по формуле
n n
cos  1 2 ,
(3.8)
n1  n2
n1 A1 , B1 , C1 ,
n2 A2 , B2 , C 2  - векторы, перпендикулярные к
где
соответствующим плоскостям.
Условие параллельности двух плоскостей есть n1  n2 или
A1 B1 C1
.
(3.9)


A2 B2 C 2
Условие перпендикулярности двух плоскостей есть n1  n2 или
А1А2 + В1В2 + С1С2 = 0.
(3.10)
Прямая линия в пространстве
Прямая в пространстве задается следующими способами.
1) Каноническое уравнение прямой линии
x  x0 y  y 0 z  z 0


,
(3.11)
m
n
p
где М(х0,y0,z0) - точка, лежащая на прямой, S (m,n,p) – вектор, параллельный
прямой - направляющий вектор прямой.
2) Прямая как линия пересечения двух не параллельных плоскостей
 A1 x  B1 y  C1 z  D1  0
.
(3.12)

A
x

B
y

C
z

D

0
 2
2
2
2
3) Уравнение прямой проходящей через две точки
x  x1
y  y1
z  z1


.
(3.13)
x2  x1 y2  y1 z 2  z1
4) Уравнение прямой в векторном виде
r  r0  ts ,
(3.14)
r - радиус-вектор с координатами r x, y, z; r0 - радиус-вектор с координатами
r0 x0 , y0 , z 0 ;
s
- направляющий вектор
s =(m,n,p); t - переменный параметр.
Если знаменатель в (3.11) или (3.13) равен 0, то и числитель равен 0,
что приводит к системе (3.12).
Пусть S1, S2 направляющие векторы двух прямых.
Угол между двумя прямыми находится по формуле
cos 
s1  s2
s1  s2
.
Условие перпендикулярности двух прямых:
(3.15)
12
если
s1  s 2 , то s1  s2  0  m1m2 + n1n2 + p1p2 = 0.
(3.16)
Условие параллельности двух прямых:
s1  s2  m1  n1  p1 .
m2 n2 p 2
Угол между прямой и плоскостью находится по формуле
sin  
(3.17)
s n
,
sn
(3.18)
где s  m, n, p - направляющий вектор прямой, n  A, B, C - нормальный
вектор плоскости.
Если прямая и плоскость параллельны, то s  n и, следовательно, s  n  0 .
Условие параллельности прямой и плоскостип имеет вид
(3.19)
Am  Bn  Cp  0 .
Если прямая и плоскость перпендикулярны, то s  n .
Условие перпендикулярности прямой и плоскости можно записать в
виде
m n p
  .
(3.20)
A B C
Пример. Даны вершины пирамиды А (4,7,8); В (-1,13,0); С (2,4,9);
D(1,8,9) (рис. 3) составить: а) уравнение ребра АВ, б) уравнение грани ABC, в)
уравнение высоты DE, г) уравнение прямой, проходящей через точку D
параллельно ребру АВ, д) уравнение плоскости перпендикулярно ребру АВ .
Вычислить: е) длину ребра ВС, ж) угол между ребром CD и плоскостью ABC, з)
угол между координатной плоскостью OXY и плоскостью ABC.
а) т.к. известны координаты точек А и В, то воспользуемся уравнением
(3.13):
x4
y 7 z 8


или
 1  4 13  7 0  8
x 4 y 7 z 8


.
5
6
8
б) Так как известны координаты трех
точек, то воспользуемся уравнением
(3.4):
x4
Рис. 3
y7
z 8
 1  4 13  7 0  8  0
2 4 47 98
или
13
x 4 y 7 z 8
5
6
 8  0. Раскрывая определитель по первой строке, получаем
2
3
9
уравнение грани ABC 6х - 7у – 9z + 97 = 0 .
в) Высота DE перпендикулярна плоскости ABC. Направляющий
вектор s =(m, n, p) этой прямой параллелен нормальному вектору плоскости
n ={6; -7; -9}. Так как вектор s параллелен DE, то в качестве этого вектора
берем вектор n , т.е. s ={6; -7; -9}.
По известной точке D (1; 8; 9) и s ={6; -7; -9} по формуле (3.11) уравнение
высоты DE запишется в виде
x 6 y 8 z 9


.
6
7
9
г) Направляющий вектор s ={-5; 6; -8} прямой АВ будет являться
направляющим вектором искомой прямой в силу их параллельности. Поэтому
уравнение последней будет следующим
x 1 y  8 z  9


.
6
7
8
д) Ребро АВ имеет направляющий вектор s ={-5; 6; -8}. Вектор s
перпендикулярен искомой плоскости, следовательно, параллелен нормальному
вектору искомой плоскости n ={А, В, С}. Тогда в качестве нормального
вектора n можно взять вектор s , т.е. n ={- 5; 6; - 8}.
Используя уравнение плоскости (3.3) имеем  5x  1  6 y  8  8z  9  0 или
5x  6 y  8z  29  0 .
е) Для нахождения длины ребра ВС воспользуемся формулой
BC 
xc  xb 2   yc  yb 2  zc  zb 2 .
BC  2  12  4  132  9  02  9  81  81  171 .
ж) Для нахождения угла между ребром CD и плоскостью основания АВС
найдем sin  , воспользовавшись формулой (3.18).
S CD - направляющий вектор ребра CD, SCD  xD  xC , yD  yC , zD  zC  или
SCD   1;4;0. В то же время n  6,7,9. Тогда скалярное произведение
SCD  n  1  6  4   7  0   9  6  28  34 , а длины векторов равны
SCD 
 12  42  02
 34
 1  16  17 ,
n  6 2   7    9  166 .
2
2
34
34

 0,64,
  arcsin 0,64 .
17  166
2822 53,122
з) Вычислим косинус угла между координатной плоскостью OXY и
плоскостью основания АВС пирамиды. Воспользуемся формулой (3.8).
sin  

14
n1  6;7;9 – нормальный вектор грани АВС; n2  0; 0; 1 – нормальный
вектор плоскости OXY. Отсюда
2
2
2
2
2
n1  n2  6  0  7  0  9  1  9, n1  6 2   7    9  166 , n2  0  0  1  1,
9
cos 
 0,7,
    arccos0,7.
166
4. Пределы
Напомним простейшие свойства пределов. Если существуют lim f1  x  и
x a
lim f 2 x  , то имеют место следующие формулы:
xa
1) lim  f1 x   f 2 x   lim f1 x   lim f 2 x  ;
x a
x a
x a
2) lim  f1 x  f 2 x   lim f1 x   lim f 2 x ;
x a
x a
x a
3) lim  f1 x  / f 2 x   lim f1 x  / lim f 2 x  , если  lim f 2 x   0  .
x a
x a
x a
 x a

Верен даже более общий результат. Если функция задана некоторой
f  x  равен
формулой y=f(x), и в точке x=a функция f(a) существует, то lim
x a
просто f(a) . Этот результат называют Теорема о непрерывности всех
элементарных функций.
Частое применение находят следующие пределы:
sin x
lim
 1 (первый замечательный предел)
x 0 x
x
 1
и lim 1    e  2,71828 ... (второй замечательный предел)
x  
x
При решении примеров полезно иметь в виду следующие равенства:
ln 1  x 
lim
 1,
x 0
x
ax 1
lim
 ln a ,
x 0
x
lim
x 0
1  x m  1  m .
x
Вычисление пределов начинают с непосредственного предельного
перехода и установления типов неопределённостей. Тип неопределённости
0
0
1. Неопределённость
 


 ,    , 1 ,

 0
типа   , полученная
 0
обозначается символами:  ,
0 ,  .
0   ,
0
0
от отношения двух
многочленов, раскрывается разложением многочленов
множители и сокращением на общий множитель.
на
простейшие
15
x  2x  3  lim ( x  2)  1
x2  5x  6  0 
lim
    lim
.
x 3
x 3
x 3
 0  x 3 x  3

  , полученная от отношения двух

многочленов, раскрывается делением числителя и знаменателя на наивысшую
степень переменной х. При этом, если степени числителя и знаменателя
одинаковы, то предел равен отношению коэффициентов при старших степенях,
если степень числителя больше степени знаменателя, то предел равен , если
меньше, то предел равен 0.
Примеры.
2. Неопределённость типа
а) lim
100 x 3  8 x  197
есть неопределенность типа

. Для ее раскрытия

5x 4  1
поделим числитель и знаменатель на старшую степень x 4 .
100 8 197


3
3
x
100 x  8 x  197
x
x4 .
Тогда lim
 lim
1
x
x
5x 4  1
5
x4
10 8 197 1
, 3 , 4 , 4  0 при x   , то наша дробь стремится к 0  0 .
Так как
x x
x x
5
x
100 x 3  8 x  197
0.
Окончательно lim
x 
5x 4  1
Аналогично
5 x 3  3x 2  5 5
 ;
б) lim
x 8x3  2 x  1
8
3x 5  2 x 3  5 x
 ;
в) lim
x   2 x 3  3x  1
3x 3  5 x  1
 0.
г) lim
x  6 x 5  2 x 2  5x
 0
3. Неопределённость типа   , получаемая из отношений, содержащих
 0
иррациональные выражения, раскрывается умножением и делением на
выражение, сопряжённое данному.
Выражения
a b и
a  b называются сопряжёнными. Их
произведение не содержит корней: a  b a  b  a  b .
Примеры.
6 x x
 0
а) lim
есть неопределенность типа   . Здесь надо сначала
x3 x 3  27
 0
избавиться от корня в числителе. С этой целью умножим числитель и







16
знаменатель на выражение
6  x  x , сопряженное числителю. Тогда по
формуле «разности квадратов» в числителе будет
Знаменатель при этом примет вид
6  x  x2
x3  27  6  x  x



x
3

 27 

6 x

2  x 2  6  x  x 2 .
6  x  x . Далее выражение
преобразуем, раскладывая числитель и знаменатель на
множители.
По теореме Виета 6  x  x 2  ( x  x1 )  ( x  x 2 ) , где x1 и x 2 – корни
уравнения
x2  x  6  0.
Так
как
x1  3, x 2  2 ,
то
6  x  x 2  ( x  3)  ( x  2) .
В свою очередь x 3  27 разложим по формуле сокращенного умножения
a 3  b 3  (a  b)  (a 2  ab  b 2 ) : x 3  27  ( x  3)  ( x 2  3x  9) .
Окончательно
lim
6 x x
 lim
6  x  x2

x  27
( x  27)  ( 6  x  x)
( x  3)  ( x  2)
x2
  lim


lim
.
x  3 ( x  3)  ( x 2  3x  9)  ( 6  x  x )
x  3 ( x 2  3 x  9)  ( 6  x  x )
x 3
3
x 3
3
Если теперь устремить x  3, то по теореме о непрерывности
элементарных функций, в последнем выражении неопределенность не
возникает. При x=3 числитель равен 5, а знаменатель
6 x x
5
.

(32  3  3  9)  ( 6  3  3)  27  6  162 . Поэтому lim
x3 x 3  27
162
Аналогично
x 1  2
x 1  2 x 1  2
x 1 4
1
б) lim
 lim
 lim
 .
x 3
x 3
x 3  x  3 x  1  2
x3
4
x  3 x  1  2

 0
4. Неопределённость ( - ) приводится к   или   после

 0
предварительных алгебраических преобразований.
Пример.
1
x  2 1
x3
1
 1

0
lim 
 2
    lim
  1.
  lim 2
x  3 x  3 x  5 x  6  x 3 x  5 x  6  0  x  3  x  2  x  5 1
 0
5. Неопределённость 0    приводится также к классическим типам  
 0
1
1

или   с использованием свойств  0 и   .

0

ctgx   
sin x  0 
    lim
  .
Пример. lim sin x  ctgx  0     lim
x 0
x 0 1
   x 0 1
0
sin x
ctgx







17

 0
6. Неопределённость типа   или   от выражений, содержащих

 0
тригонометрические функции, раскрывается при помощи 1-го замечательного
предела.
1  c o s2 x
0
Пример. lim
есть неопределенность типа , составленная из
0
x0 s in2 5 x
тригонометрических функций. Преобразуем это выражение так, чтобы можно
sin z
было воспользоваться 1-м замечательным пределом
lim
 1:
z 0 z
1  cos 2 x
2 sin 2 x
2 sin 2 x  x 2 25
lim
 lim
 lim
 (мы умножили числитель и
x  0 sin 2 5 x
x  0 sin 2 5 x x  0 25 x 2  sin 2 5 x
2
2
 sin x   5 x  1
2
знаменатель на 25x )  lim 2
 
  .
25
x  0  x   sin 5 x 
В силу 1-го замечательного предела при x  0 первая и вторая скобки
2
2
стремятся к 1, а всё выражение к 2  .
25
5
  раскрывается при помощи выделения 2-го

7. Неопределённость типа 1
замечательного предела.
Пример.
 x 1
lim 

x  x  3 
3x
– неопределенность типа 1 .
Применим 2-й
x
1

замечательный предел lim 1    e . Для этого постараемся привести
x 0 
x
 x 1
величину 
  1 при x   к виду (1  a ) , где a  0 . Это делается
 x  3
выделением x  3 в числителе:
x  1 ( x  3)  3  1 x  3
2
2



1
.
x  3 x  3
x3
x3
x3
Здесь a  
 x 1


 x  3
2
0
x3
при x   . После этого
x
3x
в виде
 1
1   :
x

 x 1


 x  3
3x
представляем выражение

2 

 1 

 x  3 

 x 3 


 2 




 2 

3 x
 x 3 
.
18
Так как по 2-му замечательному пределу выражение в квадратных скобках
стремится к e при x   , а  

 x 1 
lim

то x 
 x  3
2 
x
1
 6 
 6 при x   ,
  3x  6 
3
x  3
x3
1
x
3x
 e 6 .
Следует заметить, что последние три неопределённости сводятся, как
правило, предварительным логарифмированием к неопределённости типа
0    , а затем от неё переходят либо к  0  либо    .

 0
Пример. lim 1  x  x
x1
к неопределенности
u  (1  x) x
2
2
1
. Это неопределенность вида 0 0 , которая сводится

с помощью логарифмирования. Для этого положим

1
и вычислим ln u  ( x 2  1) ln(1  x) . При x  1 1  x  0 .
1
1
Обозначим
  , а из соотношения
 1  x . Тогда при x  1 z 
x 1
z
1
1
1  x  будем иметь x   1 . Заменяя x его выражением через z , получаем
z
z
11
ln z  1
 1

ln u  ( x 2  1) ln(1  x)  ( x  1)  ( x  1) ln(1  x)    2  ln  
   2
zz
z z
 z

ln z
1

Так как при z  
 0, а
  2   2 , то ln u  0 , откуда
z
z

ln lim u  0 .
u 0
Окончательно lim 1  x  x
2
1
x1
 1.
Иногда при отыскании пределов также
эквивалентности бесконечно малых величин.
используется
понятие
5. Непрерывность функций
1. Определение непрерывности. Функция f(x) называется непрерывной при
х = а (или "в точке а "), если: 1) эта функция определена в точке а, т.е.
существует число f(а); 2) существует конечный предел lim f x ; 3) этот предел
x a
равен значению функции в точке а, т.е.
lim f x   f a .
x a
Полагая
x = а + а, где а  0, условие (25) можно переписать так:
(5.1)
19
lim f a   lim  f a  a   f a   0,
 a
a a
(5.2)
т.е. функция f(x) непрерывна в точке тогда и только тогда, когда в этой точке
бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое
приращение функции.
Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области
(промежутка, сегмента и т.п.), то она называется непрерывной в этой области.
Пример. Доказать, что функция
значения аргумента х.
Имеем:
y  sin  x  x   sin x  2 sin
x
2 1
и
x
2
sin
Так как lim
x 0
y = sin x непрерывна для любого
x
x 

cos x   
2
2 

x
2  cos x  x   x .
x
2 

2
sin
x 

cos x    1 , то при любом x имеем:
2 

lim y  0 .
x0
Следовательно, функция sin x непрерывна при - < х < +.
2. Точки разрыва функции. Точки, в которых нарушается непрерывность
функции, называются точками разрыва. Если для функции f(x) существуют
конечные пределы
lim f x   f x0  0 и lim f x   f x0  0 ,
xx0 0
xx0 0
причем не все три числа f(x0), f(x0 -0), f(x0 +0) равны между собой, то x0
называется точкой разрыва 1-го рода. В частности, если f(x0 -0) = f(x0 +0),
то х0 называется устранимой точкой разрыва.
Для непрерывности функции f(x) в точке х0 необходимо и достаточно,
чтобы f(x0) = f(x0 -0) = f(x0 +0).
Точки разрыва функции, не являющиеся точками разрыва 1-го рода,
называются точками разрыва 2-го рода. К точкам разрыва 2-го рода относятся
также точки бесконечного разрыва, т.е. такие точки х0, для которых хотя бы
один из односторонних пределов f(х0 - 0) или f(x0 + 0) равен .
Примеры.
а) Функция f x  
1
разрывна при х=1. Эта функция не определена
1  x 2
в точке х=1, и, как бы мы ни выбрали число f(1), пополненная функция f(x) не
будет непрерывной при х=1 (рис. 4,а).
20
y
y
1
y
1  x 2
y=E(x)
2
2
1
-1
0
2
1
0
x
2
-1
а)
1
2
3
x
2
б)
Рис. 4
б) Функция f x  
sin x
имеет разрыв 1-го рода при x=0. В самом деле,
x
sin x
sin x
 1 , f  0   lim
 1 .
здесь f  0  lim
x 0
x0
x
x
в) Функция у = Е(х), где Е(х) обозначает целую часть числа х (т.е. Е(х) есть
целое число, удовлетворяющее равенству x = E(x) + q, где 0  q < 1 ), разрывна
(рис. 4,б) в каждой целочисленной точке: х = 0,1, 2,..., причем все точки
разрыва 1-го рода.
В самом деле, если n - целое, то Е(n-0) = n-1 и Е(n+0) = n. Во всех
остальных точках эта функция, очевидно, непрерывна.
x2 , x  0

г) Исследовать функцию на непрерывность y   3x, 0  x   .
sin x, x  

Как известно, элементарные функции, которые задаются некоторой
формулой, по теореме о непрерывности элементарных функций
непрерывны всюду, где определены. Наша функция совпадает с
элементарными функциями x 2 и (3x) на промежутках    , 0 , 0 ,   ,
sin x на
промежутке  ,  . Следовательно, во всех точках этих
промежутков наша функция непрерывна так же, как и перечисленные
элементарные функции.
Остаются только две точки x  0 и x   , где происходит стыковка
разных функций и где непрерывность не гарантирована.
21
Рассмотрим точку x  0 . По определению, функция y (x) непрерывна в
точке x  a , если левый предел в этой точке y (a  0) равен правому пределу
y (a  0) и равен значению y (a ) . Вычислим все три величины для x  0 .
y (0  0)  lim y ( x)  lim x 2  0
(т.к. при x  0 y( x)  x 2 );
y(0  0)  lim y ( x)  lim (3x)  0
(т.к. при x  0 y( x)  3x );
y(0)  0 2  0
(т.к. при x  0 y( x)  x 2 ).
x 0
x0
x 0
x 0
x 0
x 0
Все три числа равны, следовательно, функция непрерывна в точке x  0 .
Проверим точку
x  :
y(  0)  lim y ( x)  lim (3x)  3 ; y (  0)  lim y ( x)  lim sin x  0 ;
x 
x 
x 
x 
x 
x 
y ( )  sin   0 .
Левый предел не равен правому, значит, функция имеет разрыв первого рода в
точке x   . График функции y (x) приведен на рис. 5.
0
1

2
3
Рис. 5
При исследовании функции на непрерывность нужно иметь в виду
следующее:
1) сумма и произведение конечного числа функций, непрерывных в
некоторой области, есть функция, непрерывная в этой же области;
2) частное от деления двух непрерывных в некоторой области функций
есть непрерывная функция, если делитель не обращается в нуль;
22
3) если же функция f(x) непрерывна в интервале (а, b), причем множество
ее значений содержится в интервале (А, В), и функции  (х) непрерывна в
интервале (А, В), то сложная функция  [f(x)] непрерывна в интервале (а, b).
Функция f(x), непрерывная на отрезке [а, b], обладает следующими
свойствами:
1) f(x) ограничена на [а, b], т.е. существует некоторое число М такое, что
|f(х)|  М при а ≤ х ≤ b;
2) f(x) достигает на [а, b] свои наименьшее и наибольшее значения;
3) f(x) принимает все промежуточные значения между двумя данными, т.е.
если f() = А и f() = B (а   <  ≤ b), то, каково бы ни было число С,
заключенное между числами А и В, найдется по меньшей мере одно значение
х= ( <  < ) такое, что f() = C.
В частности, если f()f()<0, то уравнение f(x) = 0 имеет в интервале (,
), по меньшей мере, один вещественный корень.
6. Дифференцирование функций
Непосредственное вычисление производных
1. Приращение аргумента и приращение функции. Если х и х1 - значения
аргумента, y = f(x) и у1 = f(x1) - соответствующие значения функции, то
x = x1 – x называется приращением аргумента х на промежутке (x, x1), а y
= y1 – y или y = f(x1) - f(x) = f(x + x) - f(x) – приращением функции у на том
же промежутке (x, x1). На Рис. 6 х = МА и y = АN.
Отношение
y
 tg
x
представляет собой угловой коэффициент секущей MN графика функции y=f(x)
и называется средней скоростью изменения функции у на промежутке
(x, x+x).
Y
N(x1,y1)
T
M(x,y)
y=f(x)

0
A


x
Рис. 6
х
Х
x
x1
X
23
Примеры.
1) Для функции y  x  5x  6 вычислить x и y, соответствующие
изменению аргумента а) от x=1 до x=1,1, б) от x=3 до x=2.
2
а) x = 1,1 - 1 = 0,1, y = (1,12 - 51,1 + 6) – (12 - 51 + 6) = -0,29;
б) x = 2 - 3 = -1,
y = (22 - 52 + 6) – (32 - 53 + 6) = 0.
1
найти угловой коэффициент секущей,
x
1
 1

проходящей через точки M  3;  и N 10;  .
 3
 10 
1 1
7
y
1
 .
Здесь x=103=7 и y     . Следовательно, k 
10 3
30
x
30
dy
Производная. Производной y  
от функции y=f(x) по аргументу x
dx
y
называется предел отношения
, когда x стремится к нулю, т.е.
x
2)
Для
гиперболы
y
y
.
x  0  x
y   lim
Величина производной дает угловой коэффициент касательной МТ к
графику функции y=f(x) в точке х (рис. 6):
y  tg .
Нахождение производной у обычно называют дифференцированием
функции. Производная y=f(x) представляет собой скорость изменения функции
в точке х.
Пример. Найти производную функции y  x 2 .
y
2
2
2
 2 x  x .
Имеем y  x  x   x  2 xx  x  и
x
Следовательно, y   lim
x 0
y
 lim 2 x  x   2 x .
x x0
Табличное дифференцирование
1. Основные правила нахождения производной. Если с - постоянная и
u = (x), v = (х) - функции, имеющие производные, то
1) (u  v)' = u'  v' ;
2) (uv)' = u'v+v'u;
3) (cu)' = cu';

 u  vu 'v' u
4)   
(v  0);
v2
v
24

 c   cv'
5)    2
v
v
(v  0).
Таблица производных основных функций
1) (c)' = 0;
2) (x)' = 1;
3) (xn)' = nxn-1;
4)
 x   2 1 x ;
5) (sinx)' = cosx;
6) (cosx)' = -sinx;
7) tgx  
1
;
cos2 x
1
8) ctgx   2 ;
sin x
1
9) arcsin x  
1  x2
1
10) arccos x  
1  x2
1
11) arctgx  
;
1  x2
1
12) arcctgx   2 ;
x 1
(x<1);
(x<1);
13) (ax)' = axlna;
14) (ex)' = ex;
15) ln x  
1
x
16) log a x  
(x>0);
1
log a e

x ln a
x
(x>0, a>0);
Правило дифференцирования сложной функции
Пусть y=f(u) и u=(x), т.е. y=f[(x)] есть, так называемая, сложная
функция. Функция f , которая в выражении f[(x)] вычисляется последней,
называется внешней, а функция , которая вычисляется перед тем, как
вычисляется внешняя функция, называется внутренней.Тогда, если функции
f(u) и (x) имеют производные, то
'
y  ( x)   f  x   f ' ( ( x)) ' ( x) .
(6.1)
25
Формулу (6.1) следует запомнить, произнося ее словами: производная
сложной функции равна производной внешней функции, вычисленной от
внутренней функции и умноженной на производную внутренней функции.
Внутренняя функция сама может быть сложной, в то время как внешняя
функция всегда простая, и ее производная находится в заданной выше
таблице.
Примеры. Найти производные функций:
1)
y  4 x 5  34 x  2 .
Для нахождения производной применим формулы:
а) (u  v  w)   u   v   w;
б) (c  u )   c  u  ;
в) (u )    u 1 ;
с) (c )   0 .
Получаем
y   (4 x 5  34 x  2)  (4 x 5 )  (34 x )  (2) 
1 3
3 3
 4( x 5 )  3( 4 x )  (2)  4  5 x 4  3   x 4  0  20 x 4  x 4 .
4
4
3
2) y  ( x  4)  (5x  1) .
Применим формулу производной произведения двух функций
(u  v)   u   v  u  v  и формулы б) и в) из примера 1. В нашем случае
u  x 3  4, v  5x  1.
y   ( x 3  4) (5 x  1)  ( x 3  4)(5 x  1)   3x 2  (5 x  1)  ( x 3  4)  5 
 15 x 3  3x 2  5 x 3  20  20 x 3  3x 2  20.
3x 5
y
3)
.
2
4
a x
Воспользуемся формулой производной от частного двух функций

 u  u   v  u  v
. В данном примере u  x 5 , v  a 2  x 4 . Отсюда
  
2
v
v

 x5 
( x 5 )   (a 2  x 4 )  x 5  (a 2  x 4 ) 



y  3
 3

2
4 2
 a2  x4 
(
a

x
)


 3

5 x 4 (a 2  x 4 )  x 5 (4 x 3 )
(a 2  x 4 ) 2
15 x 4 a 2  3 x 8
.
(a 2  x 4 ) 2
cos(7 x  2)
4) y 
.
x2
 3
5x 4 a 2  5x 8  4 x 8
(a 2  x 4 ) 2
 3
5x 4 a 2  x 8
(a 2  x 4 ) 2

26
В этом примере необходимо применять формулы для производной частного
двух функций и для производной сложной функции.
(cos(7 x  2)) x 2  cos(7 x  2)( x 2 )'  sin( 7 x  2)( 7 x  2) x 2  2 x cos(7 x  2)
y 


x4
x4

 7 x 2  sin( 7 x  2)  2 x  cos(7 x  2)  7 x  sin( 7 x  2)  2 x  cos(7 x  2)

.
x4
x3
4) y  arcsin x  3 .
По формуле для производной сложной функции имеем:
1
y   (arcsin x  3) 
1


x3

2

1
 ( x  3) 
2 x3
1
1
1

1 
.
1  ( x  3) 2 x  3
2 (4  x )( x  3)
1
2
6) y  2 sin x .
Применяя формулу для производной сложной функции получим:

1
1
 12 

2
2

2
y    2 sin x   2 sin x  ln 2  sin x  2 sin x  ln 2 






1
 (2)  sin
3
x  (sin x)  2  2
1
 2
sin2 x
 ln 2 
sin2 x
 ln 2  sin 3 x  cos x 
cos x
.
sin 3 x
1

y  lg   sin 2 x  .
x

По формуле для производной сложной функции получим:



1
1
1
1   1 





y   lg  sin 2 x     sin 2 x  

   sin 2 x   
1


x
x
ln
10
x

 

 sin 2 x
 

x
x
1  1 
x
1  1





   2   2 cos 2 x   
 2  2 cos 2 x .
1  x sin 2 x ln 10   x 
1  x sin 2 x ln 10  x


7)
Построение графика функции по результатам ее исследования
При построении графика функции следует, прежде всего, найти область
27
определения этой функции и выяснить поведение функции на границе ее
области определения (в частности, найти асимптоты, если они есть). Далее,
нужно найти точки разрыва, точки экстремума функции и точки перегиба.
Найденные элементы позволяют выяснить общий характер графика функции и
получить математически правильный эскиз его. Полезно также предварительно
отметить некоторые особенности функции (если они имеются): симметрия,
периодичность, постоянство знака, монотонность и т.п.
Пример. Построить график функции y 
x
3
x 2 1
.
а) Функция существует повсюду, кроме точек х = ±1. Функция нечетная,
поэтому график функции симметричен относительно точки О(0; 0). Это
обстоятельство упрощает построение графика.
б) Точками разрыва являются точки х=-1 и х=1, причем lim y   и
x 1 0
lim
x  1 0
y   ,
следовательно,
прямые
x1
являются
вертикальными
асимптотами графика.
в) Определим наклонные асимптоты, уравнение которых у = kх+b.
k  lim
x  
y ( x)
 0,
x
b  lim y ( x)   ,
x  
следовательно, правой асимптоты нет. Из симметрии графика следует, что
левая асимптота также отсутствует.
г) Находим критические точки 1-го и 2-го рода, т.е. точки, в которых
обращается в нуль или не существует первая или соответственно вторая
производная данной функции. Имеем:
y 
y 
x2  3
33 x 2  1
4
2 x9  x 2 
(7.1)
(7.2)
9 x  1
Производные у' и у'' не существуют только при х = ±1, т.е. только в тех
точках, где не существует и сама функция у, поэтому критическими точками
будут лишь те точки, где у' или у'' обращаются в нуль. Из (7.1) и (7.2) следует,
что y '= 0 при x   3 , а у'' = 0 при х = 0 и х = ±3.
Таким образом, у' сохраняет постоянный знак в каждом из интервалов
 , 3 ,  3,1,  1,1, 1, 3  и  3,, а у" – в каждом из интервалов
3
 ,3,  3,1,  1,0, 0,1, 1,3
2
7
и 3,  .
Для того, чтобы выяснить, каковы именно знаки у' (или, соответственно,
у'') в каждом из указанных интервалов, достаточно определить знак у' (или у'') в
какой-нибудь одной точке каждого из этих интервалов.
28
Результаты такого исследования удобно свести в таблицу (таблица 1),
вычислив также ординаты характерных точек графика функции. Заметим, что
ввиду нечетности функции у вычисление достаточно провести лишь при x  0.
Левая половина графика восстанавливается по принципу нечетной симметрии.
Таблица 1
X
0
(0,1)
1
1, 3 
Y
0
-

+
y'
-
-
y''
0
-
Выво
ды
Точка
перегиба
Функция
убывает,
график
вогнут
вниз
Не
сущ.
не
сущ.
Точка
разры
ва
3  1,73
3 / 3 2  1,37


3
(3,+)
+
1,5
+
3,3
-
0
+
+
+
+
+
+
0
-
Функция
убывает,
график
вогнут
вверх
Точка
минимума
Функция
возрастает
график
вогнут
вверх
Точка
перегиба
Функция
возрастает
график
вогнут
вверх
Пользуясь результатами исследования, строим график функции (рис.7).
Рис. 7
7. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ}
Рис. 7
7. Функции многих переменных
Область определения, линии и поверхности уровня
29
Рассмотрим пример функции двух переменных: z  1  y - x .
Область определения  это те значения переменных, при которых все
действия в выражении, определяющем функцию, выполнимы.
В нашем примере область определения  это те числа x и y, для которых
2
2
I(x, y)  1  y 2 - x 2  0.
(7.1)
Например, пара чисел x=0, y=0 принадлежит области определения. Каждая
пара чисел может быть изображена точкой на координатной плоскости XOY.
Будем говорить, что точка M(x,y) удовлетворяет неравенству (7.1), если
ее координаты удовлетворяют этому неравенству.
Для того, чтобы разобраться, какие точки плоскости XOY удовлетворяют
неравенству (7.1), а значит попадают в область определения функции, найдем
сначала те из них, которые удовлетворяют уравнению I(x,y)=0 или x2-y2=1.
Это уравнение гиперболы с полуосями a=1 и b=1 (см. рис. 8 ), и, следовательно,
точки этой гиперболы  это те точки координатной плоскости, для которых
I(x,y)=0. Для остальных точек плоскости I(x,y) 0. При этом по одну сторону
от гиперболы лежат точки, для которых I(x,y)<0, а по другую сторону  точки,
для которых I(x,y)>0. В последнем случае это точки области G0, лежащей
"между" ветвями гиперболы (см. рис.8 ).
Таким образом, область определения функции есть область G0 вместе с
самой гиперболой.
Рис. 8
Область значений  это множество чисел, которые может принять
функция.
Так как z  1  y - x - арифметический корень, то z 0. При x=1,y=0 z=0.
Полагая x=0, а y  как угодно большим числом, мы видим, что z>|y|, и, значит,
область значений функции z есть [0,).
Пусть h  некоторое число из области значений.
2
2
30
Линия уровня h функции z(x,y)  это множество тех точек (x,y) из
области определения функции z, в которых она равна h. По самому определению, уравнение линии уровня h имеет вид
z(x,y)=h.
В нашем примере линии уровня существуют только для h [0,), а их уравнения имеют вид
1  y 2 - x 2 = h или, после преобразований, x2-y2=1-h2. При
0h<1  это уравнение гиперболы с полуосями a=b= 1  h
при h1 и
2 2
2
гиперболы y -x =h -1 при h>1.
Функции трех переменных имеют вид u=u(x,y,z), например u=x2+y2+z2
или t=ln(+32 – sin ).
Для функций 3-х переменных приходится говорить не о линиях, а о
поверхностях уровня. Точное определение аналогично определению линии
уровня, поэтому попробуйте сформулировать его сами. Отметим только, что
уравнение поверхности уровня h имеет вид
2
u(x,y,z)=h.
Например x2+y2+z2=h. При h<0 такая поверхность не существует, а при
h>0 уравнение определяет поверхность сферы с центром в точке (0,0,0) и
радиусом, равным h .
В заключение подчеркнем, что поверхность графика функции двух
переменных f(x,y), задаваемую уравнением z=f(x,y), можно понимать как
поверхность с уравнением f(x,y)-z=0, то есть как поверхность уровня 0 для
функции u=f(x,y)-z. Это позволяет указать единую формулу уравнения
касательной плоскости к поверхности. О ней речь пойдет в одном из
следующих разделов.
Нахождение частнызх производных
При нахождении частных производных функции нескольких переменных,
например, u(x,y,z) по y, надо помнить, что остальные переменные (в данном
случае x и z), входящие в выражение функции, считаются постоянными. Это
приводит к тому, что перед нами возникает функция одной переменной y, от
которой надо взять обычную производную. При этом заметим, что любые
выражения, содержащие только x и z и не содержащие y, будут тоже постоянными, и, следовательно, производная от них также равна нулю.
Востальном применяются обычные правила и формулы дифференцирования функции одной переменной.
Пример. Пусть u = x3+y2+z - 3xyz. Требуется найти частные производные
от u по x, y, z.
31
Имеем
u
 u' x  (x 3  y 2  z - 3xyz)' x  ( x 3 )'x ( y 2 )'x (3xyz)' x
x
Так как y2, z и 3yz постоянны, то получаем
u
 3x 2  3yz(x)' x  3x 2  3yz
x
Аналогично
u
 u' y  (x 3  y 2  z - 3xyz)' y  ( x 3 )' y ( y 2 )' y (3xyz)' y  2 y - 3xz
y
u
 u' z  (x 3  y 2  z - 3xyz)' z  ( x 3 )' z ( y 2 )' z (3xyz)' z  1 - 3xy .
z
x
Пример. Найти частные производные от z = arctg .
y
Имеем
z
 ( arctg )'x 
x
z
 ( arctg )' y 
y
/
x
1
1
  
,
2 
2
y
y
 x   x
x
1   
1   
y
 y
1
/
1
x
x


.


2
2 2
y
 x   y
x y
1  
1  
y
y
1
Операцию нахождения частных производных можно повторять несколько раз.
2
2
Так возникают вторые частные производные по x:
, по y:
, смешанная
y 2
x 2
2
производная по x и y :
и так далее, а также частные производные более
xy
высоких порядков. Найдем, для примера, некоторые из них для первой из
рассмотренных выше функций.
2u
 (3x 2  3yz)' x  6 x
2
x
 2u
 (1  3yx)' z  0
z 2
2u
 (2y  3xz)' y  2
y 2
 2u
 (3x 2  3yz)' y  3x
xy
Градиент и производная по направлению
32
Пусть дана функция трёх переменных u=f(x,y,z) и точка M0(x0,y0,z0).
Градиентом функции u в точке M0 называется вектор, координатами
которого являются значения частных производных функции в этой точке:
 f
 f
f
f
f
(M_0) j +
(M_0) , (M_0), (M_0)  
(M_0) i +
y
y
z
 x
 x
grad u(M0)=grad f(M0)= 
f
(M_0) k.
z
Для функции двух переменных z=g(x,y) и точки N0(x0,y0)
 g
 g
g
g
g
(N_0) j
(N_0) , (N_0), (N_0) 
(N_0) i +
y
y
z
 x
 x
grad g(N0)=grad g(N0)= 
Основные физические свойства градиента. Находясь в некоторой точке
M области определения функции f, мы можем двигаться из неё в разных направлениях. При этом функция f будет меняться по-разному и, следовательно,
будет иметь разную скорость изменения по разным направлениям. В связи с
этим сформулируем основные физические свойства градиента.
1. Вектор grad f(M) указывает направление наискорейшего возрастания
функции f вблизи точки M.
2. Скалярное произведение вектора grad f(M) на любой вектор a, делённое
на длину вектора a, есть число, равное мгновенной скорости изменения функции в точке M в направлении вектора a.
Последняя величина называется производной функции f в точке M в наf
(grad f(M), a)
(M_0) =
правлении вектора a и обозначается
.
a
|a|
Геометрическое свойство градиента. Уравнение касательной
плоскости к поверхности. Пусть дана некоторая функция двух переменных и
точка M из области ее определения. Так как вдоль линии уровня, проходящей
через точку M, функция не меняется, а в направлении градиента она меняется
быстрее всего, то нетрудно убедиться, что градиент в точке M и линия уровня
в точке M перпендикулярны друг другу.
То же самое верно и для функции трех переменных: градиент и поверхность уровня в точке всегда перпендикулярны друг другу. Этот факт позволяет
легко написать уравнение касательной плоскости к поверхности, проведенной
в данной точке M0(x0,y0,z0). А именно: пусть дано уравнение поверхности.
Перенесем все его члены в одну часть, тогда оно примет вид
Ф(x,y,z)=0,
а, значит, будет представлять собой уравнение поверхности уровня 0 для
функции u=Ф(x,y,z). Тогда, если точка M0(x0,y0,z0) лежит на поверхности, то в
силу сказанного выше вектор
 u

u
u
grad Ф(M0)=  (M 0 ) , (M 0 ), (M 0 )
y
z
 x

33
перпендикулярен к поверхности, а значит и к касательной плоскости к поверхности в точке M0. Отсюда уравнение касательной плоскости выписываем
по формуле уравнения плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору:
u
u
u
(M 0 )(x - x 0 )  (M 0 )(y - y 0 )  (M 0 )(z - z 0 )  0 .
x
y
z
Уравнение касательной плоскости к графику функции z=f(x,y), проведенной в
точке (x0,y0), выглядит так
z  f(x 0 , y 0 ) 
z
z
(x 0 , y 0 )(x - x 0 )  (x 0 y 0 )(y - y 0 ) .
x
y
Дифференциал функции и его применение
Рассмотрим сначала функцию u=u(x,y,z) и две точки из области ее определения M0(x,y,x) и M(x+x,y+y,z+z). Вектор r=(x, y, z) называется
вектором приращения аргумента M. Тогда число du, равное скалярному произведению вектора градиента на вектор приращения, называется полным
дифференциалом функции u в точке M0:
u
u
u
du=du(M0)=grad u(M)r= (M 0 ) x  (M 0 )y  (M 0 )z.
x
y
z
Если z=z(x,y)  функция двух переменных, то определение dz аналогично
z
z
(M 0 ) x  (M 0 )y .
x
y
Здесь M0=M0 (x,y), M(x+x,y+y), r= (x, y).
Если частные производные функции непрерывны, то важнейшим
свойством дифференциала является то, что при малом r приращение функции
приближенно равно дифференциалу. Например, для функции u=u(M) u= u(M)
- u(M0)du(M_0), и это равенство тем точнее, чем меньше r.
Отсюда получаем полезную формулу
dz=dz(M0)=grad z(M) r =
u(M)= u(M0)+du(M0),
(7.2)
которая позволяет вычислить значение функции в новой точке M через ее
значение в старой точке M0 и ее дифференциал в старой точке.
Пример. Требуется найти значение arctg (7.2/6.9).
Рассмотрим функцию двух переменных z=arctg x/y, которая очевидно
связана с этой задачей. Нам надо найти z(7.2,6.9). Воспользуемся формулой
(7.2), в которой положим M=(7.2,6.9), а M0=(7,7). Тогда x=0.2, y=-0.1.
Используя найденные ранее частные производные, получаем, что
34
z
(M 0 ) 
x
1
1

,
2
x 7, y7
y
14
x
1   
 y
z
1
x
1
(M 0 )  


.
2
2 x 7, y 7
y
14
y
x
1   
 y
Отсюда dz =
1
1
1

x – y = 3/140, z(M0) = arctg(1)= =0.785. Следовательно,
4
14
14
arctg 7.2/6.9  z(M_0)+dz(M_0) =0.785+0.021=0.796  0.8. Точное значение
равно 0,8067.
Нахождение точек максимума и минимума функции двух переменных
Существует правило: точки экстремума функции многих переменных
следует искать только среди тех точек области определения, в которых
градиент равен нулю или не существует.
Это и понятно, ибо, если градиент существует и не равен 0, то он
указывает направление, в котором функция возрастает. Тогда в
противоположном направлении функция убывает и, следовательно, в такой
точке у функции не может быть ни max ни min.
Равенство нулю вектора градиента означает, что равны нулю все его
координаты. То есть точки экстремума функции n переменных надо искать
среди тех точек, координаты которых удовлетворяют системе
 u
 x  0
 1
 ......
.
 u

0
 x n
(7.3)
Точки, удовлетворяющие такой системе уравнений, называются стационарными.
Но не всякая стационарная точка действительно будет точкой max или
min. Каждую такую точку надо специальным образом проверить. Для функции
двух переменных проверка стационарной точки M0(x0,y0) требует:
1) нахождения в этой точке значений ! старших производных
2
u
 2u
 2u
(M 0 ),
(M 0 ),
(M 0 ) , которые обозначим A, B, C, соответственно;
x 2
yx
y 2
2) определение знака B2-AC и знака A.
Если B2-AC>0, то в стационарной точке M0 нет экстремума.
35
Если B2-AC<0, то в стационарной точке M0 экстремум есть, причем min,
если A>0, и max, если A<0.
Если B2-AC=0, то с помощью вторых производных решить вопрос об
экстремуме нельзя.
Пример. Проверить, могут ли точки (0,0) и (1,0) быть точками экстремума
функции z=ln(x2+2y2+1)? Если да, то какой это экстремум  max или min?
Согласно теории, точка может быть экстремальной только если ее
координаты удовлетворяют системе (7.3) или в этой точке не все производные
существуют. Поэтому предварительно найдем частные производные функции
z:
z
2x
 2
,
x x  2y 2  1
z
4y
 2
. В точке (1,0) обе производные
y x  2y 2  1
существуют, но первая не обращается в нуль. Следовательно, в этой точке
экстремума быть не может. В точке (0,0) обе производные обращаются в нуль,
система (3) удовлетворена и, значит, в этой стационарной точке может быть
экстремум.
Для дальнейшей проверки нам понадобятся вторые и смешанная
производные функции, вычисленные в точке (0,0). Имеем
 2 z  2x 2  4 y 2  2  2 z
4x 2  8y 2  4
 2z
 8xy
 2
,
 2
,
 2
.
2
2
2
2
2
2
x
(x  2y  1)
y
(x  2y  1)
xy (x  2y 2  1) 2
2z
2z
2z
(0,0)  2  A,
(0,0)  4  C,
(0,0)  B . Отсюда
Поэтому
xy
x 2
y 2
B2-AC= - 8<0, A>0. Следовательно, в точке (0,0) функция имеет минимум.
36
Варианты контрольных заданий
Контрольная работа №1
1-10. Вычислить определители.
1.
4.
7.
1 1  2 3
1 2 2 3
2 3 1 0
2.
3.
1  2 4 1
2 3 0 6
22 1 4
2 3 2 0
4 3  2 1
3 1  2 1
6 2  10 4
57 4 1
2 4 2 6
5 0 4 2
1 1 2 1
4 1 2 0
1 1 0 3
3 2 1 1
1 2 1 3
5.
6.
3 0 5 4
1 1 1 1
4 0 1 2
3 1 2 0
5 0 6 1
2 2 1 3
3 1 2 3
4 1 2 4
1 1 1 1
2 3 4 1
4 2 3 2
3 0 2 1
1
10.
1 2 3 4
2 14 3
3  4 1 2
3 2
8.
1
9.
4 1 2 5
3 1 4 3
1 8 23
3 2 0 4
.
5  3 7 1
3
2 0 2
11-20. Исследовать систему линейных уравнений на совместность и
решить ее методом Крамера.
2 x  3 y  z  4

11. 2 x  y  3z  0
3x  2 y  z  1

3x  y  z  4

14.  3x  5 y  6 z  36
 x  4 y  2 z  19

3x  y  z  9

12. 5 x  y  2 z  11
 x  2 y  4 z  19

3x  y  z  11

13. 5 x  y  2 z  8
 x  2 y  4 z  16

 3x  5 y  6 z  8

15. 3x  y  z  4
 x  4 y  2 z  9

2 x  y  3z  0

16. 3x  4 y  2 z  1
 x  5 y  z  3

37
2 x  y  3z  9

17.  x  5 y  z  20
3x  4 y  2 z  15

2 x  y  3z  9

18.  x  5 y  z  20
3x  4 y  2 z  15

2 x  y  2 z  8

19.  x  y  2 z  11
4 x  y  4 z  22

2 x  y  2 z  0

20.  x  y  4 z  6 .
x  y  2z  4

21-30. Даны координаты вершин пирамиды A, B, C, D.
Найти: а) длину ребра AB; б) угол между AB и AC;
в) площадь треугольника ABC;
д) объем пирамиды ABCD;
е) угол между ребром AD и плоскостью основания ABC;
ж) уравнение ребра AB; з) уравнение грани ABC;
и) уравнение высоты DE.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
A(2, -3, -3)
A(4, 6, 5)
A(10, 6, 6)
A(1, 8, 2)
A(7, 2, 2)
A(3, 1, 4)
A(3, 5, 5)
A(9, 5, 5)
A(0, 7, 1)
A(6, 1, 1)
B(0, 2, 2)
B(6, 9, 4)
B(-2, 8, 2)
B(5, 2, 6)
B(5, 7, 7)
B(-1, 6, 1)
B(5, 8, 6)
B(-3, 7, 1)
B(4, 1, 5)
B(4, 6, 6)
C(0, -2, -4)
C(2, 10, 10)
C(6, 8, 9)
C(5, 7, 4)
C(5, 3, 1)
C(-1, 1, 6)
C(1, 9, 9)
C(5, 7, 8)
C(4, 6, 3)
C(4, 2, 0)
D(-3, -2, 2)
D(7, 5, 9)
D(7, 10, 3)
D(4, 9, 10)
D(2, 3, 7)
D(0, 4, -1)
D(6, 4, 8)
D(6, 9, 2)
D(3, 9, 8)
D(1, 2, 6)
31-40. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
31.
32.
1) lim
1  cos2 x
;
4x 2
2x
 x  4
4) lim 
 .
x   x  2 
2) lim
x0
1) lim
x0
arctgx 2
2x
2
x 2
;
 2x  1 
4) lim 

x  4  2 x 
2) lim
x1
x
2
.
6x x
x2  4
3 x 2
x 1
2
;
;
3) lim
x 
3) lim
x 
1  3x 2
x  x2
x2  x 1
x 2
3
;
38
33.
1  cos6 x
1) lim
;
x 0 1  cos 4 x
4) lim
x 1
34.
2) lim
x1
x x
x2  x
;
3) lim
x
3x 3  x  1
x  x3  x 2  5
1
x x 1 .
x  x2
x  x2 1
arcsin 4  x 
1) lim
; 2) lim
; 3) lim
;
x 0 1  x  1  x
x  2 x 2  4
x4 sin 4  x 
4) lim 3  x x /( x  2) .
x 2
35.
 ; 2) lim
cos x  cos x 2
1) lim
x2
x 0
42  x 2
x 4
x  8  2x
;
3x  4 x 2  1
3) lim
x 
x2 1
;
4) lim xln x  2   ln x  .
x
36.
x 2  4x  4
1) lim
;
x  3x  2
2
x 2
 4x  1 
4) lim 

x  3  4 x 
x
arctgx
2) lim
x
x
2
;
sin 2 x
3) lim
x0 arcsin x 3
;
2
.
2
37.
1) lim
2x 2  x  1
x1
3 x 2
2) lim
;
arctg 2 x
x0
ln x 2
;


sin  x  
4

3) lim
;
x 
4
4) lim x ln x  ln  x  1 .
x 
2
2
16
2
x 
38.
1) lim
x 3
x 2  2x  3
x2  9
;
2) lim
x 
2x 3  4x  5
x2  x 1
; 3) lim
arctgx 2
x0 arcsin x 2
;
x3
 3x  1 
4) lim 
 .
x  4  3x 
39.
1) lim
x 0
x2  x
1 x  1 x
 x  1
4) lim 

x   x  1 
x2
.
; 2) lim
x
x5  x  1
2x 4  x 3  5
; 3) lim ctg  x  2  
x 2
1
;
x2
39
40.
1) lim
x 1
x 2  4x  5
5 x 2
 x  4
4) lim 

x   x  2 
x 6  x 3  2x  1
sin 2 x
2) lim
; 3) lim
;
x  5 x 5  x 4  2 x  1
x0

2
cos    
2

;
3x 4
.
41-50. Задана функция y  f (x) . Найти точки разрыва, если они
существуют. Сделать чертеж.
41.
43.
45.
47.
49.
 x,
x0

2
f ( x )    ( x  2) , 0  x  1 .
 x  2,
x 1

 x ,

f x    x 3 ,

 x,
x ,
 2

f ( x)   x 3  7,
2 x  3,

x 1
1  x  2.
x2
 x 2  3,

44. f  x   sin x,
x   ,

x0
0  x  .
x 
42.
x 1
1 x  2 .
x2
x2
2 x 3.
x3
x0
cos 3x,

f ( x)   x  1,
ln x,

sin 2 x,

f ( x)   x 2 ,
3x  4,

0  x 1.
x 1
cos 3x,

46. f ( x)   x  1,
ln x,

sin 2 x,
48. f ( x)  ctgx,
 x  1,

2 x ,


0  x  . 50. f ( x )   x 2  1,
2
2 x  1,


x
2
2 x 2  1,

f ( x)  cos 2 x,
 x  2,

x0
Контрольная работа №2
51-60. Найти производные
51. 1) y  3x 2  53 x  1;
dy
данных функций.
dx
2) y  ( x 2  3)  (2 x  1) ;
x0
0  x 1.
x 1
x

4
 x
x

4
.
2

2
x  1
1 x  2 .
x2
40
3) y 
52.
1) y
2x 4
b2  x4
3
 3x 2
4) y 
;


2
 x 1 ;
x
3) y  2  arccos ;
2
53.
54.
1) y  5,4 x  2 ;
3
3
3x 2  1
3) y 
;
sin x
1
1) y  x 2  4 x 3  9 ;
2
3) y  1  tg 2 x ;
55.
1)
3)
57.
1 3
 3
x
y  arcsin x 2 ;
1
y  11 x   4 3 ;
x
1
;
y
arcsin x
x3 1
4
y  0,8 x 
 ;
0,3 5
1) y 
3)
56.
1)
3) y 
58.
1
 5x 2 ;
1  x3
1  x3
1) y  1,3 x
3) y 

x5
x3  2

59.
60.
2
3
2) y  x 4  x ;
4) y 
ctgx
.
x 1
2) y  5 x 3  3x  x 2  1 ;
2



4) y  e x sin 3x .

2) y  x 2  5
4) y  x
10 ;
1 x
1 x
2
.


2) y  x  12  x 2  1 ;
4) y  x 2  log 3 x .
2) y 
3 x  1 5 x  1;
4) y 
1  ln x
.
1  ln x


2) y  x 2  1  x  4 ;
1
4) y  cos x  cos3 x .
3
;
1
3
sin( 3x  5)
.
x


 5 x  3;
2) y  x  1  x 2  5 ;
;
4) y  arctg x .
1) y  0,1x  5,2 x ;
sin x
3) y 
;
1  cos x
x
1) y  1,83 x   3 ;
5



5

2) y  1  x  1  x 3 ;
arccos x
4) y 
.
x
2) y  x 2  5 ;
41
3) y 
2x
;
arctgx
4) y  x  sin x 3 .
61-70. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию
y  f (x) и, используя результаты исследования, построить ее график.
61.
y
9
,
62.
y  x  ln x ,
x 9
x2  1
1
2
65. y  x 
, 66. y 
,
x2 1
x2
3x 2
1  2x
69. y 
, 70. y 
.
2
2
2x  1
x x2
2
63. y 
67. y 
x
x4
1
64. y 
,
x 2  2x
68. y 
,
4x
4 x
x2 1
2
x2  2
,
,
71-80. Дана функция z=f(x,y).
а) Вычислить приближенно значение функции в заданной точке, используя
полный дифференциал функции в подходящей точке (x0,y0) .
б) Написать уравнение касательной плоскости к графику функции в точке
(x0,y0) из предыдущего пункта.
в) Выяснить, может ли точка (0,0) быть точкой экстремума функции z, и
если да, то проверить эту точку на наличие в ней экстремума.
71. z 
4  x 2  y 2 , z(0,2; - 2,1)
72. z 
x 2  y 2  1, z(3,1; - 1,2)
2
2
73. z  9  x  y , z(-4,2; 0,1)
74. z  16  x  y , z(0,3; 3,1)
75. z  ln (5  x  y ), z(-1,9; 0,2)
2
2
76. z  3 x  y ,
2
2
77. z  2 x  y ,
z(-3,1; 0,2)
78. z  4 y  x ,
2
2
79. z  5 y  x ,
z(-0,1; - 3,2)
2
2
2
2
2
2
z(0,2; - 2,1)
z(0,1; 2,2)
2
2
80. z  ln (10  x  y ), z(-0,2; 3,1)