Тема: Расположение корней квадратного уравнения

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРАМИ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ
МАТЕМАТИКИ
Данная тема в школьном курсе математики практически отсутствует, но на экзаменах по
математике задания с параметрами встречаются постоянно. Поэтому встал вопрос "Как научить
учащихся решать такие задачи?" В этом мне помогают занятия спецкурса "Методы решения
математических задач различной степени сложности". В данном курсе рассматриваются именно те
вопросы, которые отсутствуют или изучаются в незначительном объеме в школьном курсе
математики. Одна из таких тем "Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений с
параметрами", на изучение которой отводится 11 ч (это тоже не так много, но все-таки какое-то
представление о заданиях с параметрами можно дать).
Основная задача первых уроков по этой темы состоит в том, чтобы у учащихся были
сформированы первые представления о решении уравнений с параметром, в частности, чтобы
ученики понимали, что решение уравнений с параметром зависит от значений параметра. Учащиеся
должны привыкнуть к записи – "при а = … х = …".
Следующие три темы этой главы позволяют, используя свойства квадратного трехчлена и его
графика, изучить вопросы, связанные с решением квадратных уравнений и неравенств с
параметрами, применяя графический, так и аналитический методы решения.
Уравнения и неравенства с модулем целесообразно решать графическим способом; для этого
выражения, содержащие параметр, обособляют в одной части уравнения (неравенства) и строят
графики левой и правой частей уравнения (неравенства).
Системы тоже целесообразно решать графически, для этого надо построить в одной системе
координат графики каждого из уравнений системы.
При обучении и закреплении решения различных задач с параметрами можно использовать
мультимедийные уроки, которые имеются на CD-ROM диске [1]. В этом электронном пособии вы
найдете различные по степени сложности задачи с параметрами, которые можно решить за
компьютером.
При решении задач данной темы (особенно при решении графическим методом) очень удобно
для построения графиков использовать программное обеспечение "MATHEMATICA 4.2.
Компьютерная математика" [4], которая позволит быстро построить график указанной функции, а
учащимся потом только провести исследование относительно параметра. При решении простейших
уравнений с параметрами также можно использовать данное программное обеспечение.
В работе представлены полностью все уроки по данной теме, т.к. разработка одного урока не
даст полного представления о том, что имелось в виду при изучении данной темы.
Тема: Первые шаги к параметрам
Математика – это инструмент, специально
приспособленный для работы с отвлеченными
понятиями всех типов, и поэтому …
её возможности неограниченны
П. Дирак
Цель: сформировать у учащихся представление о задачах с параметром на стандартных задачах;
развивать логическое мышление, внимание, сообразительность, наблюдательность
I.
Орг. момент
II.
Мотивация
Известный педагог - математик Д. Пойа писал: "Недостаточно лишь понять задачу,
необходимо желание решить её. Без сильного желания решить трудную задачу невозможно,
но при наличии такового – возможно. Где есть желание, найдется путь!" Хотелось бы, чтобы
его слова стали эпиграфом сегодняшнего урока.
III.
Объяснение нового материала
Принадлежащая Анри Пуанкаре мысль о том, что математика – это искусство давать разным
вещам одно и то же название, является ключом к пониманию многих сложных вопросов,
которые возникают при изучении математики. Эту идею можно воплощать на стандартных
задачах, где следует избегать прямых вычислений, а то и вовсе их не делать. В таких задачах
удобно вводить буквенные обозначения, т.е. выполнить переход от числа к символу
(параметру) и выполнить действия с переменной.
Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 1. Сравнить, какое из чисел 200320032003  200720072007 и 2005200520052 больше.
Введем обозначение а = 200520052005. Тогда первое число равно (а – 2)(а + 2) = а2 – 4. Второе
число а2. Следовательно, второе число больше.
Пример 2.



 3
2
1
Выяснить, рационально ли число  3
3
  25  3 10  3 4 ?
3
3
3
3
9 6 4
 25  15  9
3
3
3
Введем обозначения: à  5 , b  3 , c  2 . Тогда данное число можно представить в виде:
2
1

 2
 2
 a  ac  c 2 .
 2
2
2 
b  bc  c 
 a  ab  b
Преобразовав данное выражение, получим
2
1
bc  ac
2

 2
 2(a  b)
 2
 a  ac  c 2    3
 3
 3
 (a  b  b  c) 
 2,
 2
2
2 
3
3 
3
ac
b  bc  c 
b c  a c
 a  ab  b
 a b
следовательно, данное число натуральное.
 2
1  2  2 2  2 



Пример 3. Вычислить 
 1  2  2  1 
2
2
2



Данное задание можно выполнить как обычно, выполнив порядок действий с корнями, а
можно избавиться от квадратных корней, введя обозначение a  2 , и получив обычные
1  a 2  a a 2  a 
 a
 . Преобразовать это выражение для учащихся
рациональные дроби  2  3 

a  1 
a  1  a
a
не составит ни какого труда. После всех преобразований получим, что данное выражение
4
равно:  . Выполнив обратную подстановку, получаем, что исходное выражение равно:
a
4
4 2


 2 2 .
2
2
Пример 4. Сравните меньший корень уравнения х 2  3( 14  5 ) х  2( 14  5 ) 2  0 с
числом
3
52 6
15  6 6

2 6 5
.
Введем обозначение а  14  5 , b  2 , c  3 , d  5 . Тогда уравнение примет более
краткую запись: x 2  3ax  2a 2  0 (даже этот вид уравнение оправдывает введение символа).
3a  a
3a  a
 a , x2 
 2a .
Решим это уравнение. D  (3a) 2  4  1  2a 2  9a 2  8a 2  a 2 , x1 
2
2
3
Преобразуем число
m
52 6

15  6 6
2 6 5
; введя обозначения получаем


c d 2  b 3c 3
1
1
d 2  b 3c  d 2  b 3c



 c

  c
2
3
b 3c  d 2
d 2  b 3c
d 2  b 3c 
d 4  b6c 2
 d b c
c
2
Так как d 4  b 6 c 2  25  8  3  1 , то m  c 
d
2

 b 3c  d 2  b 3c ,
 d
тогда m 2  c 

2
 b 3c  d 2  b 3c

 , m
2
2


 c 2 d 2  b 3c  2 d 2  b 3c  d 2  b 3c  d 2  b 3c


m 2  c 2 2d 2  2 d 4  b 6 c 2 , m 2  c 2 2d 2  2 . Выполняя обратную замену, получим
m 2  32  5  2  36 , тогда m  6 .
Сравним числа а и т. Так как a > 0 и m > 0, то сравним их квадраты. Имеем
2
2 70  17 2 70  17
a 2  m 2  14  5  6 2  14  2  14  5  5  36  2 70  17 

2 70  17

2

70

2


 17 2
2 70  17

4  70  289
2 70  17



9
2 70  17
Так как выражение 2 70  17  0 , то разность квадратов отрицательна, следовательно, a < m,
т.е. меньший корень меньше данного числа.
Пример 5. Найдите наибольшее целое k, при котором уравнение x 2  x  k  0 не имеет
действительных корней.
Так как речь идет о количестве корней уравнения, то в этом задании предпочтительнее
выделить полный квадрат, а не выписывать неравенство для дискриминанта.
2
2
1
1
1 
1
1
1
1

Имеем x  2   x   k    x    k  и уравнение примет вид  x    k   0 ,
2
4
4 
2
4
2
4

2
2
1
1

тогда  x    k  . Получившееся уравнение не имеет действительных корней, когда
2
4

1
1
k   0 , т.е. k   . Наибольшее целое k, удовлетворяющее этому условию, равно -1.
4
4
IV.
Закрепление
1. Сравнить, какое из чисел 199819981998  199819982002 и 1998199820002 меньше
 2
 2
1
1
 2 3 
 2 3


2. Вычислить 



3
2
3
2




1
1
 2
 3
15  3 6
2
3

3. Вычислить
1,5  1
19 3
4.
Сравните больший корень уравнения
õ 2  (6  2 ) õ  8  2 2  0
с числом
7 3
5.
1
 (9  21)
7 3 2
Найдите наименьшее целое а, при котором уравнение x 2  2(a  2) x  12  a 2  0
имеет два различных корня
V.
Итог урока
"Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или
ином деле" (А.Н. Крылов).
Я надеюсь, что идеи, которые мы применяли при решении задач на сегодняшнем занятии, не
пройдут мимо вас, и вы будете по мере возможности ими пользоваться.
Ведь "если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой,
пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей
работе" (М.И. Калинин)
VI.
Домашнее задание
Задачи для домашней работы можно составить самим по образу и подобию тех, которые
решались на занятии.
Тема: Простейшие уравнения и неравенства с параметрами
Цель: сформировать у учащихся представление о решении простейших уравнений и неравенств с
параметрами; развивать исследовательскую и познавательную деятельность учащихся.
I.
Орг. момент
Задачи с параметрами относятся к наиболее трудным заданиям, предлагаемым на
вступительных экзаменах. Это связано с тем, что они требуют хорошего понимания "глубинных"
свойств функций, и их решение носит творческий характер. Однако знание некоторых простых
правил и алгоритмов решения необходимо.
II.
Актуализация знаний
1) Рассмотрим уравнения: 2х = 5, -4х = 0, 3х = 3х – 7, 5(х – 7) = 3(х – 4) – 27.
2) Как называются эти уравнения?
3) Решить уравнения и исследовать количество корней в зависимости от коэффициента,
стоящего при х.
4) Как записывается линейное уравнение в общем виде?
5) Решить уравнение в зависимости от коэффициентов.
6) Решить неравенства 2x < 5, -3x >6 , 2x > 2x – 5, 7 – 3x < 5 – 3x
7) Вспомнить основные свойства простейших линейных неравенств.
III.
Новая тема.
Таким образом, мы подошли с вами к уравнению, в котором кроме переменной х присутствуют и
другие буквенные переменные.
Если уравнение содержит буквенные компоненты, то они называются параметрами, а уравнение –
уравнением с параметром. Решение таких уравнений зависит от значений параметров.
Решить уравнение с параметром – это значит, для каждого значения параметра найти значения
параметра найти значение переменной, удовлетворяющие этому уравнению.
Примечание. Начинать решать уравнения с параметрами следует с уравнений, решения которых
не подразумевает ветвлений.
х
а
х–а=0
5х = а
2х + а = 0
3х – а = 2а
2
х  6а
 6а  2( х  3а)
6(х + а) = 12а
12х + 4а = 8(а + х)
3
Затем рассмотреть уравнение, в котором параметр находится при неизвестной переменной.
Рассмотрим уравнение (а – 2)х = 5.
Видим, что это линейное уравнение. Чтобы найти х надо 5 разделить на (а – 2).
Вопрос. При всех ли а мы можем разделить уравнение на (а – 2)?
При а = 2 выражение а – 2 = 0 и уравнение принимает вид 0х = 5, решений нет.
5
При а ≠ 2 выражение а – 2 ≠ 0, тогда х 
.
а2
Рассмотреть решение уравнений:
ах = 5
(а – 1)х = 6
2ах = 1 – х
3 – ах = х
ха2 = а + х
4а – а2х = 2ах
(а2 – 4)х = а2 + а – 6
Рассмотрим неравенство ах < 5.
Каким может быть число а?
Оно может быть положительным, отрицательным или равным 0. Рассмотрим все случаи.
При а = 0 неравенство примет вид 0х < 5. Это неравенство верно при любом х.
5
При а < 0 решением неравенства будут х >
а
5
При а > 0 решением неравенства служат х < .
а
На закрепление можно решить неравенства вида:
(а – 1)х = 6
IV.
V.
2ах = 1 – х
2а(а – 2)х < а – 2
ха2 = а + х
Итог занятия
Домашнее задание
5х  а 6 х  1

3
4
Решить неравенство: (а – 2)х > 10 – 5х
Решить уравнения:
(а2 – 5)х + а = а(а – 4х)
Тема: Исследование квадратных уравнений, содержащих параметр
Цель: повторить формулы нахождения корней квадратного уравнения; формировать умение у
учащихся решать квадратные уравнения, содержащих параметры; развивать логическое
мышление, способность самостоятельно решать учебные задачи и работать с дополнительной
литературой; развивать исследовательскую и познавательную деятельность учащихся;
прививать интерес к предмету, формировать коммуникативные навыки и волевые качества
личности
I.
Орг. момент
II.
Мотивация на изучение нового материала
Однажды Сократ, окружённый учениками, поднимался к храму. Навстречу им
спускалась известная афинская гетера. “Вот ты гордишься своими учениками, Сократ, улыбнулась она ему, - но стоит мне только легонько поманить их, как они покинут тебя и
пойдут вслед за мной”. Мудрец же ответил так: “Да, но ты зовёшь их вниз, в тёплую весёлую
долину, а я веду их вверх, к неприступным, чистым вершинам”.
Вот и мы с вами сегодня должны подняться на одну ступеньку вверх, “преодолевая”
задачи, которые будут рассмотрены на сегодняшнем уроке.
III.
Актуализация знаний
Вспомним основные формулы, связанные с квадратным уравнением.
1) Определение квадратного уравнения
2) Формулы корней квадратного уравнения
Задание 1. Сколько корней имеет уравнение:
2х 2  4х  5  0
х 2  4х  3  0
4х 2  4х  1  0
Задание 2. Изобразить схематически график квадратичной функции
у  х 2  4х  4
у  х 2  6х  5
у  х 2  4х  5
у  х 2  4х  8
у  х 2  4х  6
Задание 3. Линейным или квадратным является уравнение 5а(а  2) х 2  (5а  2) х  16  0
относительно х при: а = 1; при а = 2; при а = 0,4; при а = 0?
IV.
Изучение нового материала
Сегодня на уроке мы научимся находим значение параметра в квадратных уравнениях
используя известные нам формулы из уроков алгебры 8 класса, а также решать квадратные
уравнения, содержащие параметр.
Пример 1. При каких значениях параметра а уравнение ах(ах + 3) + 6 = х(ах – 6) является
квадратным, неполным квадратным, линейным?
Вопрос: что необходимо сделать для того, чтобы ответить на поставленный вопрос?
Ответ: привести данное уравнение к виду ах2 + вх + с = 0.
Выполним это, для этого раскроем скобки и сгруппируем слагаемые при х2, при х и свободные
коэффициенты:
а2х2 + 3ах + 6 = ах2 – 6х, а2х2 - ах2 + 3ах + 6х + 6 = 0,
(а2 – а)х2 + (3а + 6)х + 6 = 0,
Вопрос: при каких условиях квадратное уравнение ах2 + вх + с = 0 является полным,
неполным, линейным?
Ответ: уравнение вида ах2 + вх + с = 0 является полным квадратным, если а ≠ 0 и в ≠ 0;
является неполным квадратным, если а ≠ 0 и в = 0; является линейным, если а = 0 и в ≠ 0
Исходя из полученных выводов найдем условие на параметр а для каждого случая.
а 2  а  0
1) Уравнение является полным квадратным, если 
, тогда
а

2

0

а  0

а  1 , т.о. если а (-; -2)(-2; 0)(0; 1)(1; +), то уравнение является
а  2

полным квадратным.
а 2  а  0
2) Уравнение является неполным квадратным, если 
, тогда
а

2

0

а  0

а  1 , т.о. при а = -2 исходное уравнение является неполным квадратным.
 а  2

а  0
а 2  а  0

3) Уравнение является линейным, если 
, тогда а  1 , т.о. если а =
а  2  0
а  2

0 или а = 1, то уравнение исходное уравнение является линейным.
Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение ах2 – ах + а = 0 имеет корни? не имеет
корней?
Вопрос: при каких условиях уравнение вида ах2 + вх + с = 0 имеет корни и сколько? не имеет
корней?
Ответ: если D  0, то уравнение имеет два или один корень; если D < 0, то уравнение не имеет
действительных корней.
Используя полученные выводы, ответим на вопросы задачи, для этого составим выражение
для дискриминанта.
D = (-a)2 – 4  a  a = a2 – 4a2 = -3a2.
Так как а2 > 0 при любых значениях а, то выражение -3а2 будет всегда отрицательным и лишь
при а = 0 дискриминант будет равен 0. Т.о. при а  (-; 0)  (0; +) D < 0 и исходное
уравнение не имеет корней; при а = 0 D = 0 и исходное уравнение имеет единственный корень.
Следующим нашим шагом при изучении данной темы – это решение квадратных уравнений с
параметром, не содержащих параметра при старшем коэффициенте.
Пример 3. Решить уравнение х2 – 4х + а = 0.
При решении таких заданий используется алгоритм решения квадратных уравнений.
D = (-4)2 – 4  1  a = 16 – 4a.
1) Рассмотрим случай, когда D > 0, т.е. 16 – 4а > 0, тогда -4а > -16, а < 4.
Т.к. D > 0, то исходное уравнение имеет два корня, которые находим по формуле:
4  16  4а 4  2 4  а
4  16  4а 4  2 4  а
х1 

 2  4  а , х2 

 2 4а
2
2
2
2
2) Рассмотрим случай, когда D = 0, т.е. 16 – 4а = 0, тогда а = 4.
Т.к. D = 0, то исходное уравнение имеет один корень, который находим по формуле:
4
х   2.
2
3) Рассмотрим случай, когда D < 0, т.е. 16 – 4а < 0, тогда -4а < -16, а > 4. Т.к. D < 0, то
исходное уравнение не имеет корней.
Ответ: при а < 4 х1, 2  2  4  а ; при а = 4 х = 2; при а > 4 корней нет.
Рассмотрим квадратное уравнение, которое содержит параметр при старшем коэффициенте.
Пример 4. Решить уравнение ах2 – 3х + 9 = 0.
Вопрос: всегда ли это уравнение будет квадратным?
Ответ: если а = 0, то исходное уравнение не является квадратным.
Определим вид исходного уравнения при а = 0, получаем -3х + 9 = 0 – это линейное
уравнение, которое имеет решение х = 3.
Рассмотрим случай когда а ≠ 0.
При а ≠ 0 исходное уравнение является квадратным, а значит, можем применить алгоритм
решения квадратного уравнения.
D = (-3)2 – 4  a  9 = 9 – 36a
1
1) Рассмотрим случай, когда D > 0, т.е. 9 – 36а > 0, тогда -36а > -9, а < .
4
Т.к. D > 0, то исходное уравнение имеет два корня, которые находим по формуле:
3  9  36а 3  3 1  4а
3  9  36а 3  3 1  4а
х1 


, х2 
2а
2а
2а
2а
1
2) Рассмотрим случай, когда D = 0, т.е. 9 – 36а = 0, тогда а = .
4
Т.к. D = 0, то исходное уравнение имеет один корень, который находим по формуле:
3
х
.
2а
1
3) Рассмотрим случай, когда D < 0, т.е. 9 – 36а > 0, тогда -36а > -9, а > . Т.к. D < 0, то
4
исходное уравнение не имеет корней.
3  3 1  4а
3
1
1
х1, 2 
Ответ: при а <
; при а = 4 х 
; при а > корней нет.
4
4
2а
2а
V.
Закрепление изученного материала
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: Доп. главы к шк. учеб.: Учеб. пособие для учащихся
шк. и классов с углубл. изуч. математики / Под ред. Дорофеева Г.В. – М.: Просвещение, 1998
с. 166, № 586, 587
VI.
Итог урока
Проверочная работа
1 вариант
1. Линейным или квадратным является
2 вариант
6. Линейным или квадратным является
уравнение а(а - 5)х2 + (6а – 3)х – 18 = 0
относительно х при:
а = 6; а = 0; а = 0,5; а = 5 ?
2. Решить уравнение относительно х
6х2 – 5ах + а2 = 0
VII.
уравнение а(а + 3)х2 + (4а – 20)х + 7 = 0
относительно х при:
а = -4; а = 0; а = 5; а = -3 ?
7. Решить уравнение относительно х
12х2 + 7ах + а2 = 0
Домашнее задание
Норин А.В. и др. Сборник задач по математике для поступающих в вузы: Учебное пособие. –
СПб.: Питер, 2003.
стр. 209 № 5 – 7.
Тема: Применение теоремы Виета и ей обратной для исследования квадратных уравнений с
параметрами
Цель: повторить формулы нахождения корней квадратных уравнений, теорему Виета, научить
применять теорему Виета и ей обратную для исследования квадратных уравнений с
параметрами; развивать умение анализировать, сравнивать, логическое мышление,
способность самостоятельно решать учебные задачи; прививать интерес к предмету,
формировать коммуникативные навыки
I.
Орг. момент
Не всегда уравненья разрешают сомненья,
Но итогом сомненья может быть озаренье.
А.Н. Колмогоров
Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное здание
алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении уравнений и
неравенств в старших классах.
II.
Актуализация знаний учащихся.
1) Общий вид квадратного уравнения.
2) Формулы для решения квадратного уравнения
3) т. Виета
В результате получается таблица
общий вид
квадратного
уравнения
ах2 + bx + c = 0,
a≠0
формулы для решения КВУР
D = b2 – 4ac,
b D
если D > 0 , то х1, 2 
2a
b
если D = 0 , то х  
2a
если D < 0 , то корней нет
т. Виета
Числа х1 и х2 являются корнями
квадратного уравнения ах2 + bx +
c = 0, a ≠ 0 тогда и только тогда,
когда
х1  х2  
х1  х2 
b
a
c
a
III. Новая тема.
1. Рассмотрим квадратный трехчлен ах2 + bx + c в общем виде и исследуем зависимость
между корнями и коэффициентами квадратного уравнения.
1.1. Задача. При каких значениях параметров a, b, c корни соответствующего
квадратного уравнения существуют и положительны?
Обсуждение с учащимися:
Вопрос. Что значит, корни квадратного уравнения существуют?
Ответ. Значит, дискриминант – положителен.
Вопрос. Какими равенствами нужно задать второе условие задачи: корни
положительны? При этом постараться избежать нахождения самих корней.
Ответ. Можно воспользоваться теоремой Виета. Так как корни положительны, то
их сумма и произведение также будут положительны.
Действительно, для решения поставленной задачи достаточно составить
следующую систему:
D  0

 x1  x2  0
x  x  0
 1 2
Решив полученную систему, найдем решение поставленной задачи.
Пример 1. При каких значениях параметра а квадратное уравнение х2 – (2а – 1)х +
1 – а = 0 имеет два различных положительных корня?
Имеем, D = (2a – 1)2 – 4(1 –a) = 4a2 – 3; x1 + x2 = 2a – 1; x1 ∙ x2 = 1 – a.
Получаем систему неравенств:
(2а  3 )( 2a  3 )  0
4 а 2  3  0


2a  1  0 , тогда
a  0,5
1  a  0
a  1


Наносим решение на числовые оси
-
+

+
3
2
3
2
0,5
а
а
1
Из полученного чертежа видим, что решением данной системы неравенств
 3 
;1 .
является интервал 
 2 
Рассуждая аналогичным образом, можно составить и решить следующие задачи.
1.2. Задача. При каких значениях параметров a, b, c корни соответствующего
квадратного уравнения существуют и отрицательны?
D  0
Получим систему  x1  x2  0
x  x  0
 1 2
1.3. Задача. При каких значениях параметров a, b, c корни соответствующего
квадратного уравнения существуют и разных знаков?
Для решения задачи составим следующую систему D  0
 x1  x2  0
Если в эту задачу добавить условие, что по модулю один из корней больше или
меньше, то в указанную систему добавим неравенство, которое связывает сумму
корней.
2.
Следующим этапом можно перейти к исследованию квадратных неравенств.
2.1. Задача. При каких значениях параметров a, b, c неравенство ах2 + bx + c > 0
выполняется на всей числовой оси?
Для ответа на этот вопрос необходимо вспомнить график квадратичной функции.
Рассмотрим функцию у = ах2 + bx + c. Графиком данной функции является
парабола. Направление ветвей параболы зависит от коэффициента а.
Т.о. мы получили новую задачу: при каких значениях параметров a, b, c график
квадратичной функции расположен выше оси х?
Это выполнимо, если у графика нет точек пересечения с осью х и ветви
направлены вверх.
Что значит, график не имеет точек пересечения с осью х? Это значит, что
соответствующее квадратное уравнение не имеет корней, т.е. D < 0.
Ветви параболы направлены вверх, если коэффициент a > 0.
В итоге получаем систему неравенств D  0 .
a  0
2.2. Рассуждая аналогичным образом, можно решить следующую задачу. При каких
значениях параметров a, b, c неравенство ах2 + bx + c < 0 выполняется на всей
числовой оси?
3.
На занятиях по данной теме можно также рассмотреть задания следующего характера.
3.1. Не решая уравнения 3х2 + 3х – 1 = 0, найти
1 1

и т.д.
х12  х22
х13  х23
х14  х24
х1 х23  х2 х13
х1 х2
Напомнить учащимся, что при исследовании можно использовать теорему
Виета.
3.2. После того, когда такие задания отработаны, можно предложить задания с
параметрами.
Пример 2. При каких значениях параметра а корни уравнения х2 – 3ах + а2 = 0
удовлетворяют условию х12  х22 =1,75?
Решение.
Проверим для исходного уравнения наличие корней: D = (-3а)2 – 4 · а2 = 5а2. При
любых значениях параметра а дискриминант D > 0.
Имеем х12  х22  ( х1  х2 ) 2  2 х1 х2 .
По теореме Виета х1 + х2 = 3а, х1 · х2 = а2.
Подставляя в полученные результаты в условие, получаем равенство:
(3а)2 – 2 · а2 = 1,75
Решив уравнение, получаем а = ± 0,5.
IV.
V.
VI.
Решение задач.
Для подборки заданий по данной теме можно воспользоваться следующей литературой
1) Галицкий М.Л. и др. Сборник задач по алгебре для 8 – 9 классов: Учеб. пособие для
учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики. – М.: Просвещение, 1994
стр. 53 – 56.
2) Норин А.В. и др. Сборник задач по математике для поступающих в вузы: Учебное
пособие. – СПб: Питер, 2003
стр. 209 – 210.
3) "Математика" приложение к газете "1 сентября", № 30 – 2003, № 27 – 28 – 2002, № 29 –
2003, № 22 – 2002, № 2 – 2003
Итог занятия.
Домашняя работа
В зависимости от того, что сделано на занятии, на дом можно задать упражнения из тех
же сборников.
Тема: Расположение корней квадратного уравнения относительно заданных точек
Цель: повторить определение квадратного трехчлена, его свойства и график; формировать умение у
учащихся решать квадратные уравнения, содержащих параметры, используя свойства
квадратного трехчлена; развивать исследовательскую и познавательную деятельность
учащихся; прививать интерес к предмету, формировать коммуникативные навыки и волевые
качества личности
I.
Орг. момент.
II.
Актуализация знаний
Повторить основные понятия, связанные с квадратным трехчленом.
1) Определение
Квадратный трехчлен ах2 + bx + c – это многочлен второй степени; а ≠ 0 – первый
коэффициент; b – второй коэффициент; с – свободный член.
2) График
График функции
f ( x)  ax 2  bx  c - парабола; координаты вершины x0  
b
,
2a
b2
b2
b2 b2
b 2  4ac
D
 b 
 b 
,
y0  f ( x0 )  a   
c 

c 

  b    c  a  2 
4a
2a
4a 2a
4a
4a
 2a 
 2a 
2
где D  b 2  4ac - дискриминант квадратного трехчлена
3) Корни квадратного трехчлена
D < 0 Квадратный трехчлен не имеет
корней и сохраняет знак первого
коэффициента при всех значениях
х: a  f(x) > 0
a<0
у
у
a>0
х
х0
0
х
х0
0
D=0
Квадратный трехчлен имеет один
корень х  x0  
D>0
b
2a
a<0
у
у
a>0
х0
У функции f(x) два промежутка
знакопостоянства, на каждом из
которых она сохраняет знак
первого коэффициента при всех
значениях х: a  f(x) > 0 (х ≠ х0).
Парабола касается оси абсцисс в
своей вершине
Квадратный трехчлен имеет два
корня: х1   b  D ,
2a
b D
х1 
2a
х
0
х
a<0
у
a>0
х2
0
х1
у
х2
х
х0
х0
х1
х
0
х1 > x2
У функции f(x) три промежутка
знакопостоянства.
III.
х0
0
х1 > x2
Объяснение новой темы
Для решения квадратных уравнений, содержащих параметр, очень часто используется
график квадратичной функции. Рассмотрим возможные случаи расположения графика
квадратичной функции f(x) = ах2 + bx + c и ответим на вопросы о знаках а, b, c, D, f(0).
1)
у
2)
у
3)
х
6)
7)
0
у
8)
х
0
х
0
у
х
0
у
х
0
у
4)
х
0
5)
у
у
х
0
х
0
9)
у
10)
у
11)
х
13)
14)
0
у
13)
х
0
х
0
у
х
0
у
х
0
у
11)
х
0
12)
у
у
х
0
х
0
В результате работы с предложенными графиками у учащихся появляется таблица, в
которой учащиеся показывают возможные случаи расположения графика квадратичной
функции и знаки а, b, c, D, f(0).
Например,
1)
2)
у
у
а<0
а<0
b>0
b<0
х
х
c<0
c<0
0
0
D<0
D<0
f(0) < 0
f(0) < 0
Некоторые случаи можно рассмотреть совместно с учащимися, а
некоторые дать заполнить самостоятельно.
Пример 1. При каких значениях параметра а оба корня уравнения
х2 – ах + 2 = 0 лежат в интервале (0; 3)?
у
х
0
3
Рассмотрим функцию f(x) = х2 – ах + 2. Изобразим график данной
функции, удовлетворяющей условию задачи, и опишем соответствующие условия.
Т.к. уравнение имеет два корня, то D  0. Корни уравнения – это абсциссы точек пересечения
графика функции с осью х, т.е. f(0) > 0 и f(3) > 0. Вершина параболы находится в интервале (0;
3), т.е. 0 < x0 < 3.
Т.о. получаем систему неравенств:
 f (0)  0
 f (3)  0


0  x0  3
 D  0
Составим соответствующую систему для исходного уравнения.
b
a a

 , f(0) = 02 – a  0 + 2 = 2, f(3) = 32 – a  3
Имеем D = (-a)2 – 4  1  2 = a2 – 8, x0  
2a
2 1 2
+ 2 = 9 – 3a + 2 = 11 – 3a.
В итоге получаем систему неравенств:
2  0
11

11  3a  0
a  3
 3a  11



a

0  a  6
0  a  6
0  2  3


(a  2 2 )( a  2 2 )  0
 2
(a  2 2 )( a  2 2 )  0

a  8  0
-
+
2 2
а
+
2 2
а
0
11
3
6

11 
à  2 2 ; 
3

IV.
Закрепление
1) При каких значениях параметра а оба корня уравнения х2 – ах + 2 = 0 лежат в
интервале (1; 3)?
2) При каких значениях параметра а оба корня уравнения 4х2 – 2х + а = 0 лежат в
интервале (-1; 1)?
3) При каких значениях параметра а оба корня уравнения (а – 1)х2 – 2(а + 1)х + а – 3 = 0
лежат в интервале (-1; 5)?
4) При каких значениях параметра а оба корня уравнения х2 – 6ах + 2 – 2а + 9а2 = 0
больше 3?
5) При каких значениях параметра а оба корня уравнения (а – 1)х2 – 3ах + 2а = 0, а ≠ 1
больше 1?
6) При каких значениях параметра а оба корня уравнения ах2 + х + 1 = 0, 2 разделяет
корни?
7) При каких значениях параметра а оба корня уравнения (а + 2)х2 – 2ах + 3а = 0
положительны?
V.
Итог урока
VI.
Домашнее задание
1) При каких значениях параметра а оба корня уравнения ах2 – (а3 + 2а + 1) х + а(а + 2) =
0 лежат в промежутке [0; 1]?
2) При каких значениях параметра а оба корня уравнения aх2 + 2(а – 1)х + a – 5 = 0, a ≠ 0
меньше 2?
Тема: Уравнения и неравенства с параметрами, содержащие модуль
Цель: повторить решение уравнение и неравенств с модулем графическим методом; научить
учащихся решать уравнения и неравенства с параметрами, содержащих модуль; развивать
логическое мышление, умение сравнивать, анализировать.
I.
Орг. момент.
II.
Актуализация знаний.
1) Вспомнить в чем заключается графический метод
решения уравнений и неравенств с модулем.
2) Решить графически уравнение ||x| - 3| = 3.
Строим графики функций у = ||x| - 3| и у = 3
По графику видим, что решением исходного уравнения
являются три числа -6, 0, 6
III.
у
у=| | х | – 3 |
y=3
х
-3
0
3
Новая тема
Уравнения и неравенства, содержащие модуль иногда целесообразно решать графически. Для
этого выражение, содержащее параметр, обособляют в одной части уравнения (или
неравенства) и строят графики левой и правой частей уравнения (неравенства). После чего
делается вывод о решении уравнения.
Графический метод решения уравнений наиболее удобен, когда встает вопрос о количестве
корней уравнений в зависимости от параметра.
Пример 1. Решить уравнение |x – 1| + |x – 3| = a.
у
Строим графики функций у = |x – 1| + |x – 3| и у = a.
По графику видим
у=|x - 1| + |x – 3|
при a < 2, решений нет
при а > 2 два решения
при а = 2 решением является промежуток [1; 3].
2
Найдем решения при а > 2.
Раскроем модуль на интервалах
0
1
1) (-∞; 1), – (х – 1) – (х – 3) = а; -х + 1 – х + 3 = а;
4а
-2х + 4 = а, откуда х 
2
4а
2) (3; +∞), х – 1 + х – 3 = а; 2х - 4 = а, откуда х 
2
4а
4а
Ответ: при a < 2, решений нет; при а > 2 х1 
, х2 
; при а = 2 х [1; 3].
2
2
Пример 2. Сколько корней имеет уравнение |x – 2| · (x – 2) = a в
зависимости от параметра а.
у
Строим графики функций у = |x – 2| · (x – 2) и у = a.
Из графика видим, что
4
при a < 0 и a > 4, 1 корень
при a = 0 и a = 4, 2 корня
у=|x - 2|(х-2)
при 0 < a < 4, 3 корня
0
1
y=а
y=а
х
3
y=а
y=а
y=а
y=а
y=а
3
х
y=а
IV.
Решение задач.
Для подборки заданий по данной теме можно воспользоваться
следующей литературой
1) Норин А.В. и др. Сборник задач по математике для поступающих в вузы: Учебное
пособие. – СПб: Питер, 2003
стр. 209 – 210.
2) "Математика" приложение к газете "1 сентября", № 30 – 2003, № 27 – 28 – 2002, № 29 –
2003, № 22 – 2002, № 2 – 2003
3) Фальке Л.Я. и др. Изучение сложных тем курса алгебры в средней школе: Учебнометодические материалы по математике. – М.: Илекса, 2002
Для отработки решений уравнений и неравенств с параметрами, содержащими модуль, можно
также воспользоваться сборником для проведения письменного экзамена по алгебре и началам
анализа: стр. 145 № 6.211 – 6.218
V.
VI.
Итог урока
Домашнее задание
Сборник для проведения письменного экзамена по алгебре и началам анализа: стр. 146
№ 6.221 – 6.224
Примечание. Если на данном уроке вы не ставите целью урока отработку построения графиков
функций, то эти уроки можно провести с помощью компьютера. Компьютеру отвести
роль построения графика функции или с помощью электронных таблиц Excel, или с
использованием ППП "Matematica 4.2".
Тема: Системы уравнений, содержащие параметр
Цель: сформировать у учащихся умение решать системы уравнений с параметрами, содержащими
модуль, различными методами; развивать творческую и исследовательскую деятельность,
развивать логическое мышление, внимание, сообразительность
I.
II.
Орг. момент
Мотивация
Изучение математики не бывает легким занятием, но те трудности, которые здесь
появляются, необходимо преодолевать, не скрывая их. Это оттачивает математическую мысль
и рождает новые идеи.
Древнекитайский мыслитель и философ Конфуций сказал: "Три пути ведут к знанию:
путь размышления – самый благородный, путь подражания – самый легкий и путь опыта – это
путь самый горький…" Мне хотелось бы, чтобы, изучая данную тему, вы размышляли над
решениями систем уравнений, содержащих параметры, тем самым не подражали, а
приобретали бы свой опыт в решении таких систем.
III.
Объяснение нового материала
Вспомним известные факты из курса алгебры о решении систем линейных уравнений.
а х  b1 y  c1
Пусть дана система линейных уравнений  1
.
a2 x  b2 y  c2
а
b
1) Данная система имеет единственное решение, если 1  1
а2 b2
а
b
c
2) Система имеет бесконечно много решений, если 1  1  1
а 2 b2 c2
а
b
c
3) Система не имеет решений, если 1  1  1
а 2 b2 c2
Задание 1. Определить число решений системы
5 x  2 y  13
5 x  4 y  7
7 x  3 y  13
а) 
б) 
в) 
10 x  4 y  26
10 x  8 y  14
21x  9 y  28
Решение.
5
2

а) Имеем
, значит, система имеет единственное решение.
10  4
5 4 7
  , поэтому система имеет бесконечно много
б) Для второй системы характерно
10 8 14
решений.
7  3 13


в) Для третьей системы имеем
, поэтому система не имеет решений.
21  9 28
Эти же известные факты удобно применять и при решении систем уравнений,
содержащих параметр, в которых необходимо выяснить вопрос о количестве решений
системы уравнений.
Пример 1. Определить все значения параметра а, при которых система уравнений
ах  (а  2) у  2
имеет единственное решение.

 х  3ау  3а  1
Данная система является линейной системой из двух уравнений. Если а ≠ 0, то система имеет
а
b
единственное решение, если 1  1 .
а2 b2
а а2
Составим данное отношение 
, то 3а2 ≠ а + 2, тогда 3а2 - а – 2 ≠ 0. Соответствующее
1
3а
2
квадратное уравнение 3а2 - а – 2 = 0 имеет корни а1  1 и а 2   . Значит, при а1  1 и
3
ах  (а  2) у  2
2
а 2   выполняется условие 3а2 ≠ а + 2, а, следовательно, система 
имеет
3
 х  3ау  3а  1
единственное решение.
На закрепление изученного факта предложить учащимся для самостоятельного решения:
Укажите все значения параметра а, при которых система уравнений
(а  1) х  у  а  7
имеет единственное решение.

2 х  ау  5
2) Определить все значения параметра а, при которых система уравнений
2
(2  а) х  2 у  а  4а  4
имеет бесконечно много решений.

 х  2 у  а 2  2а  2
(а  1) х  (а 2  4) у  4
3) При каком значении параметра а система уравнений 
не
х  4 у  а
имеет решений?
 х  (5а  25)  10
4) При всех значениях параметра а решите систему уравнений 
.
2
 х  (а  5а) у  2а
Следующим этапом изучения данной темы – это графический метод решения систем
уравнений, содержащих параметр.
х  у  а
Пример 2. При всех значениях параметра а решить систему уравнений 
.
у  1 х
Построим в одной системе координат график каждого
у
уравнения.
у=1-х
у = 1 – х - это прямая, проходящая через точки (1; 0) и (0; 1).
х  у  а - это квадрат, вершины которого лежат на
координатных осях в точках (а; 0), (0; а), (-а; 0) и (0; -а).
0
1
х
По графикам видим, что количество решений данной системы
зависит от параметра.
Если а = 1, то одна из сторон квадрата совпадает с частью
прямой у = 1 – х, значит решением системы является
промежуток [0; 1].
При а < 1 квадрат и прямая не имеют точек пересечения, а значит, система уравнений не имеет
решений.
При а > 1 квадрат и прямая пересекаются в двух точках. Определим координаты точек
пересечения.
 x 1 x
 х  0,

Имеем х  1  х  а . Раскрывая знак модуля получаем х  1  х  0  x  1, х  1  х =
 х  1,
х 1 х

1)
 х  0,

0  x  1,
 х  1,

 2x  1
,
1
2х  1
1 а
1 а
; 2х - 1 = а, отсюда х 2 
.
2
2
1 а 2 1 а 1 а
1 а 2 1 а 1 а




Значит, у1  1 
и у2  1 
2
2
2
2
2
2
Т.о. получаем при а = 1 х 0; 1; при а < 1 система решений не имеет; при a > 1 система имеет
1 а 1 а  1 а 1 а 
;
;
два решения 
и

2   2
2 
 2
тогда -2х + 1 = а, отсюда х1 
Пример 3. В зависимости от параметра а найти число решений системы уравнений
 х  у  1
 2
 х  у 2  а
На этот вопрос не сложно ответить используя графический метод.
В одной системе координат построим график каждого уравнения. Первое уравнение системы
определяет квадрат с вершинами в точках (1; 0), (0; 1), (-1; 0), (0; -1). Второе уравнение
системы задает окружность с центром в начале координат и радиуса а при условии à  0 .
Возможны следующие варианты взаимного расположения квадрата и окружности:
1
1)
1
2)
1
1
3)
1
1
4)
5)
6)
Теперь следует лишь аккуратно указать границы для значений параметра.
1) Если а < 0, то второе уравнение системы решений не имеет. Если а = 0, то второе
уравнение системы имеет единственное решение (0; 0), которое не является решением
первого уравнения системы.
Определим радиус окружности, когда окружность касается сторон квадрата. Радиус
a
вписанной окружности в квадрат вычисляется по формуле r  , где а – сторона квадрата.
2
2
Сторона исходного квадрата равна 2 , значит r 
2
2
2
2) Окружность находится внутри квадрата, если её радиус меньше, чем
, т.е. а 
,
2
2
1
a
2
2
1
3) Если а 
, т.е. a  , то окружность касается четырех сторон квадрата.
2
2
1
 a  1 , то окружность пересекает каждую сторону квадрата в двух точках, не
4) Если
2
являющихся вершинами.
5) Если а = 1, то окружность проходит через все вершины квадрата.
6) Если а > 1, то квадрат находится внутри круга.
1

Т.о. получаем, что система не имеет решений, если а    ;   1;  ; система имеет 4
2

1 
решения при а = 0,5 и а = 1; система имеет 8 решений при а   ;1
2 
IV.
Решение задач
На закрепление изученного материала можно предложить следующие задания:
 х  у  2
1) При каких значениях параметра а система уравнений 
имеет максимальное
 у  а  ах 2
число решений?
х 2  у 2  1
2) При каких значениях параметра а система 
имеет единственное решение?
х  у  а
 у  х  а
3) При каких значениях параметра а система  2
имеет 2 решения?
 х  у 2  1
 у  х  а
4) При каких значениях параметра а система  2
имеет 3 решения?
 х  у 2  4
V.
Итог урока
VI.
Домашнее задание
Семенов В.И. Некоторые методические и методологические аспекты углубленного изучении
математики. 9 – 11 классы: Учебное пособие. – Кемерово: ОблИУУ, 1998. – стр. 58 – 71.
Кочагин В. Курс "Уравнения и неравенства с параметрами" / Математика. – 2002. - № 33. - стр.
27
Тема: Методы решения и исследования уравнений с параметрами
Цель: продолжить формирование умений и навыков при решении уравнений с параметрами
различными методами; развивать исследовательскую и познавательную деятельность
учащихся; обеспечить условия для самостоятельной творческой работы учащихся; развивать
компьютерную грамотность учащихся.
I.
II.
III.
Орг. момент
Вступительное слово учителя.
Великий математик Карл Фридрих Гаусс в своё время назвал математику "царицей всех
наук", а академик Соболев С.Л. её называет "служанкой всех наук". "Математика скорее
добрая фея, только получить у неё можно не волшебную палочку, а надежный и точный
инструмент – математические методы" (Петровский И.Г.)
Мы на протяжении нескольких уроков изучаем математические методы решения
уравнений с параметрами: аналитический, графический, решение относительно параметра,
компьютерное решение. Овладение методикой решения уравнений с параметрами существенно
повышает уровень логической подготовки учащихся, развивает мышление, внимание. О
человеке, у которого хорошо развито логическое мышление, говорят, что он основательно
мыслит, дисциплинировано рассуждает.
Тема нашего занятия "Методы решения и исследования уравнений с параметрами",
цель которого продолжить формирование умений и навыков при решении уравнений с
параметрами различными методами.
Решение задач
1. Решить уравнения относительно х (работа в двух группах).
а) (а2 – 4) х = а2 + а – 6
б)
ах2 – 6х + 1 = 0
1
6
(а – 2)(а + 2) = (а – 2)(а + 3)
а = 0, -6х + 1 = 0, х 
а = 2, 0х = 0, х R
а = -2, 0х = -4, решений нет
а  0, D1 = 9 – а,
1) 9 – а > 0
а  + 2, х 
(а  2)( а  3) а  3

(а  2)( а  2) а  2
а  9,

a  0
x1, 2 
3 9 a
a
2) 9 – a = 0, a = 9,
x1, 2 
3
3 1
, т.е. x1, 2  
9 3
a
3) 9 – а < 0, a > 9, решений нет
2. При каком значении параметра а корни уравнения х2 + (а + 1) х + а + 4 = 0 существуют,
различны и отрицательны? (совместное обсуждение и самостоятельное решение).
Обсуждение.
т.к. корни существуют и различны, то D > 0
т.к. корни отрицательны, то х1 + х2 < 0; х1 · х2 > 0
Имеем D = a2 – 2a – 15, х1 + х2 = - (a + 1), х1 · х2 = a + 4.
а 2  2а  15  0

Получаем систему  ( a  1)  0
, решением которой является а  (5; +)
a  4  0

3. Сколько корней имеет уравнение х2 – 6х + 5 = а в зависимости от параметра?
(работа с таблицей)
х 2 ав
4. Сколько корней имеет уравнение
у
зависимости от параметра?
Обдумать ход решения данного задания.
Совместное
построение
графика
у  х  2 на доске.
2
функции
Вывод самостоятельно.
-2
Графический метод решения некоторых уравнений с
параметром весьма эффективен, когда нужно установить,
сколько корней имеет уравнений в зависимости от параметра.
IV.
0
2
-2
Практическая работа с использованием ППП "Matematica 4.0"
1 вариант
1. Решить уравнение:
ха
0
х 1
2. Сколько корней имеет уравнение х 2  2 х  3  а в зависимости от параметра а?
а) 4а – а2х = 2ах
б)
2 вариант
1. Решить уравнение:
х
0
ха
2. Сколько корней имеет уравнение х  1  х  2  а в зависимости от параметра а?
а) (а2 – 9)х = 9а2 – 10 а – 51
б)
3 вариант
1. Решить уравнение:
ах  5  х
0
х2  4
2. Сколько корней имеет уравнение х 2  4 х  3  а в зависимости от параметра а?
а) (а2 - 5а + 6) х = а4 – 16
б)
Ответы к практической работе.
1. при а ≠ 1
при а = 1
2. при а = 3
при а ≠ 3 и а ≠ - 3
при а = -3
3. при а ≠ 0
при а = 0
4. при а = 2
при а = 3
при а ≠ 3, а ≠ 2
5. при а < 0
х = а;
корней нет
х – любое число;
17  9а
х
а3
корней нет
х=0
корней нет
настойчивость
Ø
упорство
математикой
мозг
хR
х
Ø
а  2а  4а  8
а3
3
2
х
при а = 0, а < 3
при 0 < a < 1
при а = 1
при а = 3
при а > 3
6. при а < 1
при а = 1
при а > 1
7. при а ≠ -2, а ≠ 0
4 корня
8 корней
6 корней
3 решения
2 решения
корней нет
х  [-2; -1]
два решения
4
х
а2
хR
при а = 0
при а = -2
Ø
8. при а = 1, а = -1,5, а = 3,5 Ø
при других а
х
занимается
развивает
тренирует
воспитывает
5
а 1
9. при а < 0
Ø
при а = 0, а > 4
два корня
при 0 < а < 3, а = 4
четыре корня
при а = 3
пять корней
при 3 < а < 4
шесть корней
4
х
10. при а ≠ -2, а ≠ 0
а2
хR
при а = 0
11. при а < 0
Ø
при а = 0, 1 < а < 3 4 корня
при 0 < a < 1
8 корней
при а = 1
6 корней
при а = 3
3 решения
при а > 3
2 решения
внимание
достижении цели
волю
В результате выполнения практической работы и соотнесение ответов со словами учащиеся
совместно составляют высказывание Маркушевича А.И. "Кто с детских лет занимается математикой,
тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает в себе настойчивость и
упорство в достижении цели".
V.
VI.
Итог занятия
Домашнее задание.
1. При каких значениях параметра а уравнение х2 – (2а + 1)х + а2 + а – 6 = 0 имеет:
а) два положительных корня;
б) два отрицательных корня;
в) корни разных знаков?
а
2. Найдите наибольшее целое а, при котором уравнение х 4  2 х 2   0 имеет четыре корня.
8
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ КУРСА
А. Рекомендуемая литература
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
Алгебра и начала анализа. Сборник задач для подготовки и проведения итоговой аттестации за
курс средней школы / под ред. Шестакова С.А. - М.: Внешсигма – М, 2003
Башмаков М.И. и др. Алгебра и начала анализа. 10 – 11 кл.: Учебно-методическое пособие. – М.:
Дрофа, 2001
Галицкий М.Л. и др. Сборник задач по алгебре для 8 – 9 классов: Учеб. пособие для учащихся
шк. и классов с углубл. изуч. математики. – М.: Просвещение, 1994
Гольдштейн З.М. и др. Сборник задач по математике для подготовительных курсов ТУСУР. –
Томск, 1999
Горнштейн П.И. и др. Задачи с параметрами. – М.: Илекса, 2002
Горнштейн П.И. Решение конкурсных задач по математике из сборника под редакцией М.И.
Сканави. Группа В. - Киев: РИА "Текст МП "ОКО", 1992
Гусак А.А. Пособие к решению задач по высшей математике. – Минск, 1967
Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х частях. Ч. 1. – М.: Высшая
школа, 1999
Джумаева О.А. Математика: подготовка к государственному централизованному тестированию.
– Саратов: Лицей, 2002
Дорофеев Г.В. и др. Сборник заданий для подготовки и проведения письменного экзамена по
математике (курс А) и алгебре и началам анализа (курс В) за курс средней школы. 11 класс. – М.:
Дрофа, 2004
Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам
анализа для 10 – 11 классов. – М.: Илекса, 2003
Избранные вопросы математики. 9 кл. Факультативный курс. / Сост. Боковнев О.А. и др. – М.:
Просвещение, 1979
Казак В.В., Козак А.В. Тесты по математике. Тестирование и единый экзамен. - М., 2003
Клейменов В.А. Математика. Решение задач повышенной сложности. – М.: Интеллект-Центр,
2004
Капустина Т.В. Компьютерная система MATHEMATICA 3.0 // Математика в школе. - 2003, № 7
Карп А.П. "Сборник задач по алгебре и началам анализа. 10 – 11". - М.: Просвещение, 1995
Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа. 10 - 11 кл. – М.: Просвещение, 2001
Кордемский Б.А. Увлечь школьников математикой. – М.: Просвещение, 1981
Лаппо Л.Д., Попов М.А. ЕГЭ. Математика. Практикум по выполнению типовых тестовых
заданий ЕГЭ: Учебно-методическое пособие. – М.: Экзамен, 2005
Лаппо Л.Д., Попов М.А. Математика. Пособие для подготовки к ЕГЭ и централизованному
тестированию: Учебно-методическое пособие. – М.: Экзамен, 2004
Лиман М.М. Школьникам о математике и математиках. – М.: Просвещение, 1981
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: Доп. главы к шк. учеб. 8 кл. – М.: Просвещение, 1998
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: Доп. главы к шк. учеб. 9 кл. – М.: Просвещение, 1997
Мочалин А.А. Сборник задач по математике с решениями. - Саратов: Издательство "Лицей",
1998 г.
Норин А.В. и др. Сборник задач по математике для поступающих в вузы: Учебное пособие. –
СПб: Питер, 2003
Олехник С.Н. и др. Алгебра и начала анализа. Уравнения и неравенства. - Москва: "Экзамен",
1998 г.
Олехник С.Н. и др. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. 10 – 11 классы. –
М.: Дрофа, 2001
Петраков И.С. Математические кружки в 8 – 10 классах. – М.: Просвещение, 1987
Письменный Д.Т. Готовимся к экзамену по математике. – М.: АЙРИС, 1996
Предметная неделя математики. / Сост. Н.П. Токарчук. – Волгоград, 2007
Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы / Под ред М.И. Сканави. М., 1994
Семенов В.И. Некоторые методические и методологические аспекты углубленного изучения
математики. 9 – 11 классы. – Кемерово: ОблИУУ, 1998
33. Семёнов В.И. По страницам учебника М.Л. Галицкого …. - Кемерово, 1999 г.
34. Симонов А.Я. и др. Система тренировочных задач и упражнений по математике. – М.:
Просвещение, 1991
35. Тесты: Варианты и ответы централизованного тестирования. – М.: АСТ-ПРЕСС; Центр
тестирования выпускников общеобразовательных учреждений РФ, 2000
36. Фальке Л.Я. и др. Изучение сложных тем курса алгебры в средней школе: Учебно-методические
материалы по математике. – М.: Илекса, 2002
37. Черкасов О.Ю. и др. "Математика. Интенсивный курс подготовки к экзамену". - Москва, 1997
38. Шарыгин И.Ф. Математика для школьников старших классов. – М.: Дрофа, 1995
39. Шарыгин И.Ф. "Факультативный курс по математике 10 – 11 кл."
40. Шевкин А.В. Задачи с параметром. Линейные уравнения и их системы. – М.: Русское слово, 2003
41. Шевкин А.В. Итоговый тест за курс алгебры и начала анализа. В 2-х частях. Часть 1. – М.:
Русское слово, 2003
42. Шевкин А.В. Итоговый тест за курс алгебры и начала анализа. В 2-х частях. Часть 2. – М.:
Русское слово, 2003
43. 3000 конкурсных задач по математике. – М., 1997 год
44. "Математика" приложение к газете "1 сентября", № 30 – 2003, № 27 – 28 – 2002, № 29 – 2003, №
22 – 2002, № 2 – 2003
45. www. center. fio. ru
46. www. 1september. ru
47. www. profile-edu. ru
В. Мультимедийные обучающие пособия
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Математика абитуриенту. Версия 2.0
1С: Репетитор. Математика. Часть 1.
Курс математики 2000. Версия 4.5
MATHEMATICA 4.2. Компьютерная математика
1С: Репетитор. Сдаем Единый экзамен
Выпускнику и абитуриенту
Математика для школьников и студентов. Теория и практика
Электронный учебник-справочник. Алгебра. 7 – 11 класс
1С: Математика 5 – 11 классы. Практикум.
Математика 5 – 11. Новые возможности для усвоения курса математики.
Вычислительная математика и программирование. 10 – 11 классы.
Готовимся к ЕГЭ. Математика. Решение экзаменационных задач в интерактивном режиме.