Уравнения, допускающие понижение порядка

Уравнения, допускающие понижение порядка
1.
Если уравнение имеет вид F ( x, y ( k ) ,, y ( n ) )  0, то его порядок можно понизить на к
единиц заменой переменных z ( x)  y ( k ) ( x).
Пример 1. Найти общее решение уравнения 4 y   y  2  4 xy .
Введем замену z ( x)  y , тогда придём к уравнению
4 z  z2  4 xz .
Это уравнение
Клеро, следовательно, для получения общего решения достаточно формально заменить
величину z  константой. Тогда z  Cx 
C2
, откуда
4
2
x 2 C1 x
y  C1

 C 2 . Уравнение
2
4
Клеро имеет также особое решение. В данном случае это y   z  x 2  y 
x3 ~
 C.
3
2. Если уравнение имеет вид F ( y, y ,, y ( n ) )  0, то порядок уравнения можно понизить
на единицу, взяв за новую независимую переменную величину y, а за искомую функцию
y  u ( y ).
Пример 2. Найти общее решение уравнения 2 yy   y  2  1.
Положим y  u ( y ). Тогда y 
du dy
 uu. Подставляя эти выражения в уравнение,
dy dx
получаем 2 yuu  u 2  1. Решая полученное уравнение, найдем u   C1 y  1  y. Из этого
уравнения находим 4(C1 y  1)  C12 ( x  C2 ).
3. Если уравнение однородно относительно искомой функции и ее производных, т.е. не
меняется при одновременной замене y, y,, y ( n) на ky, ky,, ky( n) , то порядок уравнения
понижается на единицу подстановкой y   yz , где z (x ) новая искомая функция.
Пример 3. Найти общее решение уравнения xyy   xy  2  yy   0.
Положим y   yz , тогда y   y( z 2  z ). Преобразованное уравнение принимает вид
y 2 (2 xz 2  xz   z )  0. Приравнивая нулю выражение в скобке, получаем уравнение
Бернулли z  
x
y
z
 2 z 2 , решая которое, получаем z  2
 . Решая полученное
x
y
x  C1
уравнение относительно y, находим y  C 2 x 2  C1 . Заметим, что решение y  0 также
входит в общее решение при C2  0 .
4. Порядок уравнения понижается, если оно является однородным относительно x и y в
обобщенном смысле, т.е. не меняется при одновременной замене вида
x  kx, y  k m y, y  k m 1 y,, y ( n )  k n  m y ( n ) .
(5)
Чтобы узнать, будет ли уравнение обобщенно-однородным и найти число m, надо
приравнять показатели степеней, в которых число k будет входить в уравнение после
указанной замены.
Если число m определяется, надо сделать замену переменных
x  e t , y  z (t )e mt , после
чего
получится
уравнение,
не
содержащее
независимой
переменной t , и его порядок может быть далее понижен на единицу. Если же полученные
уравнения для m окажутся несовместными, то уравнение не является
обобщенно-
однородным.
Пример 4. Найти общее решение уравнения x 3 y   2 xyy   x 2 y  2  y 2  0.
Сделаем замену (5). Приравняем показатели степеней, в которых число k будет входить в
уравнение после указанной замены. Получим систему для определения m.
3  (m  2)  1  m  (m  1)  2  2(m  1)  2m.
Равенства удовлетворяются при m  1. Делаем в исходном уравнении замену искомой
функции и независимой переменной по формулам x  e t ; y  z (t )e t . Пересчитывая
производные по новому аргументу, получаем y x  z t  z; y x  ( z t  z t )e t . Подставляя в
уравнение все новые величины, получаем e 2t ( z   z   z  2 )  0. Уравнение z   z   z  2  0
не содержит независимой переменной. Согласно п.2 введем новую искомую функцию
u ( z )  z . Относительно новой функции получим уравнение u z u  u  u 2  0. Сократим на
u, при этом мы можем «потерять» решение u  0. После сокращения получаем линейное
неоднородное уравнение u  u  1  0. Решая его, получаем u ( z )  C1e z  1. Но u ( z )  z t ,
 C2 e t
значит, z t  C1e z  1. Отсюда z  ln 
t
 1  C1C 2 e

 . Возвращаясь к исходным величинам,

 C2 x 
. Далее, решение u  0
получаем окончательный вид общего решения y  x ln 
 1  C1C 2 x 
приводит к z   0  z  Cˆ , откуда получаем семейство особых решений, зависящее от
одной произвольной константы y  Cˆ x.
5. Порядок уравнения понижается, если его можно преобразовать к такому виду, чтобы
обе его части являлись полными производными от каких-нибудь функций.
Пример 5. Найти общее решение уравнения xy  y  2 yy  0 .
Перепишем уравнение в виде
xy  y 2  .
получаем
xy  y  2 yy , тогда его можно представить как
xy  y 2  C1 . Разделяя переменные в последнем уравнении,
Отсюда
dy
dy
dx
 C2 . Теперь необходимо рассмотреть три

, откуда ln x   2
y  C1
y  C1
x
2
случая:
1) C1  0 , тогда ln x  
1
 C2 ;
y
2) C1  0 , тогда ln x 
1
y
arctg
 C2 ;
C1
C1
3) C1  0 , тогда ln x 
y   C1
1
ln
 C2 .
2  C1 y   C1
Объединение трёх полученных семейств даст общее решение исходного уравнения.