ТЕМА 2. ДИНАМИКА ЧАСТИЦЫ И ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 2.1. Законы Ньютона

ТЕМА 2. ДИНАМИКА ЧАСТИЦЫ И ПОСТУПАТЕЛЬНОГО
ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
2.1. Законы Ньютона
В основе классической нерелятивистской механики лежат три закона
Ньютона. Для того чтобы их сформулировать, необходимо дать
определение массы и силы.
Силой называется векторная физическая величина, которая
характеризует меру воздействия одного тела на другое, в результате
которого тело приобретает ускорение либо деформируется. При этом
имеется в виду как непосредственное воздействие одного тела на другое при
их контакте, так и воздействие посредством различных полей
(гравитационного, электромагнитного и т.п.). Единицей измерения силы в
системе СИ является 1 Ньютон (1 Н). Сила определена, если задан ее
модуль, направление и точка приложения. Прямая, вдоль которой направлен
вектор силы, называется линией действия силы. Опыт показывает, что если к
частице приложены несколько сил, то любая из них оказывает на частицу
такое же действие, как если бы она была единственной силой. Этот факт
лежит о основе принципа суперпозиции: если на частицу действуют
одновременно несколько сил F1 , F2 ,...Fn , их можно заменить одной,
которая называется равнодействующей (результирующей) силой:
F0  F1  F2  ...  Fn . Масса тела – это скалярная физическая величина,
характеризующая меру его инертности. Единицей измерения массы в
системе СИ является 1 килограмм (1 кг).
Согласно первому закону Ньютона, в природе существуют системы
отсчета, называемые инерциальными, относительно которых любое
тело покоится либо движется прямолинейно и равномерно, если
равнодействующая всех сил, приложенных к нему, равна нулю. Любая
система
отсчета, которая покоится либо движется прямолинейно и
равномерно относительно некоторой инерциальной системы отсчета, также
является инерциальной. Действительно, пусть система отсчета K ' движется
относительно инерциальной системы K равномерно и прямолинейно со
скоростью V (рис.2.1). Положение частицы M в этих системах отсчета
характеризуется радиус-векторами r ' и r , которые связаны очевидным
равенством r0  r '  r (здесь r0 - вектор, определяющий положение системы
K ' относительно K ). В результате дифференцирования этого равенства по
времени получим:
d r0 d r ' d r
,


dt
dt
dt
т.е. V   '   . Поскольку система отсчета K инерциальная, скорость частицы
1
Z'
K'
M

Z
r'
r
K
r0
Y
O
V
O'
Y'
X'
X
Рис.2.1
в этой системе неизменна (  const ). Поскольку V - постоянный вектор,
скорость частицы в системе K ' также остается неизменной, т.е. система
отсчета K ' является инерциальной.
Следует отметить, что в природе не существует идеальных
инерциальных систем отсчета. Опыт показывает, что наиболее близкой к
идеальной из числа доступных нам является гелиоцентрическая система
отсчета, в которой в качестве тела отсчета используется Солнце, а
координатные оси направлены на определенные звезды. Вместе с тем, для
решения подавляющего большинства задач механики на Земле вполне
достаточно использовать т.н. лабораторную систему отсчета, в которой телом
отсчета является сама Земля.
Согласно второму закону Ньютона, сумма всех сил, действующих на
частицу, равна произведению ее массы и ускорения:
N
m a   Fi .
(2.2)
i 1
Поскольку
a
d
,
dt
равенство (2.2) принимает вид:
m
N
d
  Fi .
dt
i 1
(2.3)
Поскольку масса тела – величина постоянная, левую часть (2.3) можно
преобразовать следующим образом:
N
d
(m )   Fi .
dt
i 1
(2.4)
Произведение массы частицы и скорости ее движения называется
импульсом: m  p . Из определения следует, что размерность импульса в
системе СИ - 1 кг∙м/с. Используя импульс частицы, выражение (2.4) можно
представить так:
2
N
dp
  Fi .
dt
i 1
(2.5)
Следовательно, быстрота изменения импульса частицы равна сумме всех
действующих на нее сил. Умножим равенство (2.5) на dt :
N
d p   Fi dt .
(2.6)
i 1
Произведение вектора силы на время ее действия называется импульсом
силы. Таким образом, изменение импульса частицы равно импульсу
действующих на нее сил. Любое из утверждений (2.5) и (2.6) также
рассматривается как формулировка второго закона Ньютона.
Согласно третьему закону, векторы сил
взаимодействия двух
частиц равны по модулю, противоположны по направлению и лежат на
одной прямой. Следует отметить, что это справедливо не только в случае
контактного воздействия одной частицы на другую, но и для взаимодействия
их посредством различных полей.
2.2. Основное уравнение динамики поступательного движения
Основное уравнение динамики частицы фактически представляет
собой второй закон Ньютона, сформулированный в виде равенства (2.5).
Теперь представим некоторое твердое тело, движущееся поступательно, в
виде совокупности n частиц, взаимодействующих между собой. Для i -ой
частицы
d
(mi  i )  Fi ,
dt
(2.7)
где mi и  i - ее масса и скорость,
Fi  Fi
внш
n
F

k 1,k i
ik
.
(2.8)
Первое слагаемое в правой части (2.8) – это внешняя сила, второе слагаемое –
суммарная сила взаимодействия i -ой частицами со всеми остальными
частицами тела, кроме самой себя. Сделав в (2.7) замену (2.8), получим:
n
внш
d
(mi  i )  Fi
  Fik .
dt
k 1,k  i
Теперь просуммируем последнее равенство по всем частицам тела:
n
n
d
 dt (m  )   F
i 1
i
i
i 1
внш
i
Поскольку по третьему закону Ньютона
n

n
F
i 1 k 1,k i
ik
Fik   Fki ,
.
(2.9)
суммарная сила
3
взаимодействия всех частиц тела друг с другом равна нулю:
n
n
 F
i 1 k 1, k  i
ik
 0.
(2.10)
Учитывая, что сумма производных равна производной суммы, а также
равенство (2.10), левую часть (2.9) перепишем:
n
âíø
d n
(
m

)

Fi
.


i i
dt i 1
i 1
(2.11)
Легко видеть, что левая часть (2.11) представляет собой производную по
времени импульса всего тела:
d n
dp
( mi  i ) 
.

dt i 1
dt
(2.12)
Сделав в (2.11) замену (2.12), получим:
в нш
dp
  Fi
,
dt
i
(2.12А)
т.е. быстрота изменения импульса твердого тела, движущегося
поступательно, равна суммарной внешней силе и не зависит от его
внутренних сил. Выражение (2.12А) следует рассматривать как основное
уравнение динамики поступательного движения твердого тела.
Далее выразим импульс тела через скорость его центра масс. В
соответствии с формулой (1.14)
rc 
1 n
 mi ri ,
m i 1
(2.13)
где m - масса тела. Скорость центра масс представляет собой производную
его радиус-вектора по времени:
c 
d rc
.
dt
С учетом (2.13) последнее равенство можно представить следующим
образом:
c 
d 1 n

  mi ri  .
dt  m i 1

(2.14)
Вынесем за знак производной в (2.14) постоянную величину 1 m и поменяем
местами операции дифференцирования и суммирования:
c 
dr
1 n
mi i .

m i 1
dt
Поскольку
d ri
 i
dt
(скорость движения i -ой частицы),
4
c 
1
 mi  i .
m
Сумма в правой части последнего выражения представляет собой импульс
тела; поэтому
c 
1
p,
m
т.е. p  m c .
Таким образом, поступательно движущееся твердое тело можно
рассматривать как частицу, в которой сосредоточена вся масса, а его
скорость равна скорости центра масс тела. С учетом этого основное
уравнение динамики поступательного движения можно представить
следующим образом:
внш
d
(m c )   F .
dt
i
2.3. Силы в механике
Согласно современным представлениям, все силы, существующие в
природе, обусловлены четырьмя фундаментальными взаимодействиями
(гравитационное, электромагнитное, сильное, слабое). Гравитационное
взаимодействие проявляется в том, что все тела во Вселенной притягиваются
друг к другу. Электромагнитное взаимодействие существует между телами,
обладающими электрическими зарядами. Если в некоторой системе отсчета
заряженные тела покоятся, между ними существуют электростатические
силы притяжения либо отталкивания (кулоновские силы). Если же эти тела
перемещаются, помимо кулоновских возникают магнитные силы. Сильные
взаимодействия существуют между нейтронами и протонами в ядрах атомов,
слабые взаимодействия проявляются в реакциях превращения элементарных
частиц.
В механике исследуется движение тел под действием сил гравитации,
упругости и трения. В соответствии с законом всемирного тяготения,
сформулированным Ньютоном, модуль силы притяжения двух частиц
пропорционален произведению их масс и обратно пропорционален квадрату
расстояния между ними:
F G
m1m2
.
r2
(2.15)
В качестве коэффициента пропорциональности в (2.15) используется
G  6,67  10 11 Н∙м2/кг2,
величина
которая называется универсальной
гравитационной постоянной. Векторы сил гравитационного притяжения
расположены на прямой, проходящей через частицы, и направлены в
противоположные стороны. Следует подчеркнуть, что равенство (2.15)
справедливо только по отношению к частицам и протяженным телам
сферической формы. В последнем случае следует считать, что масса тел
5
сосредоточена в центрах сфер, величина r в (2.15) – это расстояние между
их центрами.
Гравитация является причиной силы тяжести и веса тела. Силой
тяжести называется сила притяжения тела к Земле. Поскольку все тела
вблизи ее поверхности движутся примерно с одинаковым ускорением 9,8 м/с2
(ускорение свободного падения), в соответствии со вторым законом Ньютона
силу тяжести можно представить как произведение m g . Вес тела – это сила, с
которой тело действует на опору или подвес. В отличие от массы вес тела
нельзя считать его характеристикой, поскольку в некоторых ситуациях сила
веса может быть больше или меньше силы тяжести. Пусть, например, тело
массой m движется в кабине лифта с ускорением a , сонаправленным с
ускорением свободного падения (рис. 2.2). Согласно второму закону
Ньютона
(2.16)
m g  N  ma .
Спроецировав это уравнение на ось OY выбранной системы координат,
получим:
 mg  N  ma  N  m( g  a) .
(2.17)
Y
a
N

O
X
mg
Рис. 2.2
По третьему закону Ньютона модуль силы нормальной реакции кабины
лифта ( N ) равен модулю силы действия тела на кабину (весу тела P ):
P  m( g  a) . Легко видеть, что если кабина движется с ускорением,
направленным вниз, P < mg , т.е. вес тела меньше силы тяжести. Если же
a  g , вес тела равен нулю, т.е. тело находится в состоянии невесомости.
Поскольку в этом случае сила N также равна нулю, уравнение (2.16)
принимает вид:
m g  ma .
Следовательно, в состоянии невесомости тело движется только под
действием силы тяжести. При движении кабины лифта с ускорением a ,
направленным вверх,
в уравнении (2.17) необходимо изменить знак
6
проекции ускорения:
 mg  N  ma  N  m( g  a) .
Из последнего равенства видно, что в данном случае P  mg , т.е. тело
испытывает перегрузку.
Необходимо отметить, что в механике Ньютона гравитационное
взаимодействие обусловлено массой тел. Иначе говоря, источником
гравитации в ньютоновской механике является масса. Именно поэтому в
рамках механики Ньютона оказалось невозможным объяснить ряд явлений, в
том числе действие силы гравитации на световые пучки, состоящие из
фотонов – частиц с нулевой массой покоя. В современной теории, развитой
А. Эйнштейном, источником гравитации является энергия и импульс тел.
Основополагающие идеи этой теории будут рассмотрены позже.
Силы упругости, возникающие при деформации тел, обусловлены
электромагнитными взаимодействиями его атомов и молекул. Если
деформация полностью исчезает после прекращения действия силы, она
называется упругой. В отношении направления смещения частиц тела
различаются деформации растяжения, сжатия, кручения, изгиба и сдвига.
Рассмотрим более подробно деформации растяжения (сжатия) и сдвига,
поскольку деформацию любого другого вида можно представить как их
суперпозицию.
Основной закон, определяющий соотношение между величиной
упругой деформации и возникающей при этом силой упругости, называется
законом Гука:
Fy  kl .
(2.18)
Здесь F y - модуль силы упругости, l - абсолютная деформация, k коэффициент жесткости (жесткость) тела. В случае деформации растяжения
или сжатия стержня l  l  l0 , где l 0 и l - его длина до и после деформации.
Из (2.18) следует, что размерность жесткости 1 Н/м. Следует отметить, что
коэффициент жесткости характеризует упругие свойства конкретного тела,
но не материала, из которого оно изготовлено. Упругие свойства материала
при деформации растяжения либо сжатия характеризуются модулем
упругости (модулем Юнга). Закон Гука, в котором используется модуль
упругости, имеет вид:
(2.19)
  E .
Здесь  - нормальное механическое напряжение,  - относительная
деформация, E - модуль упругости материала. Применительно к растяжению
стержня   Fy / s ( F y - сила упругости, s - площадь поперечного сечения
стержня),   l / l0 . Легко видеть, что единицей измерения  служит 1 Н/м2,
т.е. 1 Па, относительная деформация – безразмерная величина.
Далее рассмотрим деформацию сдвига. Пусть тело в виде
прямоугольного параллелепипеда (бруска) закреплено на неподвижной
поверхности (рис. 2.3). Под действием силы F соседние слои бруска
7
x
F
d 
Рис. 2.3
смещаются друг относительно друга; при этом любая прямая, проходящая
через две фиксированные токи бруска перпендикулярно верхней грани,
поворачивается на некоторый угол  . При небольших деформациях для угла
 в радианном измерении имеем:

x
.
d
Этот угол называется относительным сдвигом; понятно, что он характеризует
деформацию, приходящуюся на слой единичной толщины, т.е.
относительную деформацию сдвига. Плоскость, в которой расположена
верхняя грань, называется плоскостью сдвига.
Деформация сдвига приводит к возникновению в каждом сечении тела,
параллельном
плоскости
сдвига,
тангенциального
механического
напряжения
F
   .
s
Здесь F - сила упругости, стремящаяся вернуть деформированное тело в
прежнее состояние, s - площадь сечения тела, параллельного плоскости
сдвига. Из опыта известно, что тангенциальное напряжение зависит от
относительного сдвига по линейному закону:
   G  .
(2.20)
Коэффициент пропорциональности G в последнем выражении – это модуль
сдвига, характеризующий упругие свойства материала, из которого
изготовлено тело. Легко видеть, что единицей измерения G служит 1 Па.
Силы трения, как и силы упругости, обусловлены электромагнитными
взаимодействиями атомов и молекул соприкасающихся тел. В зависимости
от условий, в которых происходит движение, возникают силы внешнего либо
внутреннего трения. Силы внешнего трения имеют место при движении
одного тела по поверхности другого или при попытке осуществить такое
движение. В первом случае, когда тело скользит по поверхности другого
тела, действует сила трения скольжения (рис. 2.4). Опытным путем
установлено, что эта сила не зависит от площади соприкосновения и
пропорциональна нормальной составляющей силы, прижимающей тело к
поверхности ( FN ). Поскольку модуль FN равен модулю силы нормальной
реакции поверхности ( N ), выражение для модуля силы трения скольжения
8
N
V
FTC

FN
Рис. 2.4
обычно записывается в виде FTC   C N . Здесь  C - коэффициент трения
скольжения, зависящий от состояния трущихся поверхностей и наличия
смазки. Если тело катится по поверхности другого тела, возникает сила
трения качения, модуль которой также пропорционален силе нормальной
реакции: FTK   K N . Здесь  K - коэффициент трения качения, который
значительно меньше  C .
Как уже отмечалось, сила трения покоя возникает при попытке двигать
тело по поверхности другого тела. Легко показать, что если тело
неподвижно, модуль силы трения покоя равен внешней силе; при ее
увеличении в такой же мере увеличивается и сила трения.
Действительно, если тело неподвижно на горизонтальной поверхности,
mg  N  0 (рис. 2.5,а). Если предположить, что в отсутствие внешнего
воздействия сила трения покоя отлична от нуля и направлена горизонтально,
равнодействующая всех сил также будет не равна нулю, и тело в
соответствии со вторым законом Ньютона должно двигаться с ускорением.
Следовательно, сила трения покоя возникает только при наличии внешней
силы, равна ей по модулю и направлена в противоположную сторону (рис.
2.5,б).
Внутреннее трение возникает в жидкостях и газах при перемещении
одних слоев относительно других, либо при движении тел в жидкой или
б)
a)
N
N

FТП
FN

F
FN
Рис. 2.5
газообразной среде. Более подробно внутреннее
рассматриваться в теме «Механика жидкостей».
трение
будет
9