Элективный курс «Элементы математической логики» Разработан: учителем школы № 853 Кондратьевой Антониной Ивановной 1. Высказывания 2. Операции над высказываниями 3. Неопределенные высказывания 4. Знаки общности и существования 1. Высказывания 1. Примеры высказываний: Число 27 делится на 9, Число 27 делится на 7, 6 меньше 25, формула у=ах²+вх+с=0 задает линейную функцию. Записывать высказывания принято таким образом: А= { Число 27 делится на 9}, D= {6 меньше 25 }. Высказыванием будем называть утверждение, про которое можно точно сказать, истинно оно или нет. Являются ли высказыванием утверждения: Число 252369 очень велико, Существует ли треугольник.с углом 181º? Х ≥ 3, Катя -красивая девушка! В реке Сходня плавает крокодил, В килограмме гречки 569219359 крупинок? Последние два утверждения трудно проверить на истинность. 2 Закон исключенного третьего. Любое высказывание либо истинно, либо ложно. 3.Закон противоречия. Никакое высказывание не может одновременно быть истинным и ложным. В пятидесятых годах прошлого века была предпринята попытка создать математику ,в которой этот закон не выполняется. Пока не получилось… 2. Операции над высказываниями Отрицание Утверждение о том, что высказывание А не верно, называется отрицанием А и обозначается ¬А или А . Говорят, А не имеет места или а не выполняется. Составьте отрицания к высказываниям: А {23 делится на 7}, В {3>5}, С {5+3=8}, D {30 есть простое число}. Какие из предложенных высказываний истинны. Рассмотрим высказывание А {11 делится на 3}. Чтобы составить высказывание, поставим не перед сказуемым. Но если высказывание содержит частицу не перед сказуемым, например, В {8 не делится на 5}, то для отрицания надо частицу не перед сказуемым отбросить. ¬(¬)А=А Получили таблицу истинности: А И Л А Л И Конъюнкция Конъюнкцией двух высказываний А и В (обозначается символом А В, читается «А и В») называется высказывание, которое является высказывание, которое является истинным тогда и только тогда, когда А ложно. Составьте конъюнкцию таких высказываний: 1) Е {мама просила меня сходить в магазин} и S {мама просила меня сделать уроки}. 2) А {в четырехугольнике МРКТ МР КТ}, В {РК ТМ}. Дизъюнкция Дизъюнкцией высказываний А и В (обозначается символом А В, читается «А или В») называется высказывание, которое истинно в тех случаях, когда истинно хотя бы одно из высказываний А или В, и ложно, если ложны оба высказывания А и В. Составьте дизъюнкцию приведенных выше высказываний. Замечание: Дизъюнкция («или») понимается в смысле, отличном от бытового: логическая операция дизъюнкции не является «разделительным или». Дизъюнкция двух высказываний является истинной не только тогда, когда одно из высказываний истинно, а другое ложно, но и в том случае, когда истинны оба. Эквиваленция Эквиваленцией высказываний А и В (обозначается А В, читается «А эквивалентно В») называется такое высказывание, которое истинно, если оба высказывания А и В истинны или оба ложны, и ложно, если одно из этих высказываний истинно, а другое ложно. Рассмотрим высказывание С {в четырехугольнике МРКТ противоположные стороны равны}. Тогда высказывания С и А В эвивалентны. Импликация Импликацией высказываний А и В (обозначается А В, читается «если А, то В» или «А следует из В», «А влечет за собой В») называется высказывание, которое ложно лишь в том случае, когда А истинно, а В ложно. А {C - рыба}, В {С - селедка}. Высказывание А В ложно, В А истинно. D {Сейчас на улице дождь}, Е {Сейчас на улице лужи}. Получилась таблица: A И И Л Л B И Л И Л АВ И Л Л Л А В И И И Л А В И Л Л И АВ И Л И И Свойства операций 1) Коммутативность: А В=В А, А В=В А. 2) Ассоциативность: А (В С)=(А В) С, А (В С)=(А В) С. 3) Дистрибутивность: А (В С)=(А В) (А С), А (В С)=(А В) (А С). 4) Законы де Моргана: А В А В , А В А В . Кроме того, справедливы следующие неравенства (через И обозначено тождественно истинное высказывание): А А=А, А А=А А =А, А А =И, А И=И, А И=А. Если Л – тождественно ложное высказывание, то И =Л. А Л=А, А А =Л, А Л=Л, Замечание: знак конъюнкции, как и знак умножения в алгебраических операциях, часто опускается: А1 А2 ... Аn1 An A1 A2 ... An1 An . Для конъюнкции и дизъюнкции нескольких высказываний также выполняется законы де Моргана: A1 A2 ... An1 An A1 A2 ...An1 An , A1 A2 ...An1 An A1 A2 ... An1 An . 3. Неопределенные высказывания Обозначим через N множество всех натуральных чисел, через х обозначим произвольное натуральное число. Рассмотрим следующие предложения: А(х) {х делится на 3}, В(х) {х меньше 10}, С(х) {х – простое число}, 2 D(x) { x 2 }. Предложения А(х), В(х), С(х), D(x) высказываниями не являются, пока нам не известно число х. Но, подставляя в А(х) вместо х различные натуральные числа, мы получим высказывания о натуральных числах – иногда истинные, иногда ложные. Например А(5) {число 5 делится на 3} – истинное высказывание, А(12) {число 12 делится на 3} – истинное высказывание и т. д. Можно составить таблицу истинности для этих высказываний: А(1) Л А(2) Л А(3) И А(4) Л А(5) Л А(6) И А(7) Л А(8) Л А(9) И … … Рассмотренные нами предложения А(х), В(х), С(х), D(x), содержащие переменную х, можно назвать неопределенными высказываниями или предикатами. Примеры предикатов с двумя и большим числом переменных: А(х,у) {x<y}, B(x,y)={x+y=15}, C(x,y) {х+у – простое число}. А(1,3) {1<3} - И, А(2,5)={2<5} - И, C(5,4) {5+4 – простое число} - Л. 4. Знаки общности и существования Рассмотрим высказывание А {каждое простое число нечетное}. Каково будет отрицание этого высказывания? Многие отвечают, что отрицанием будет высказывание В {каждое простое число четно}. Но это утверждение ошибочно, поскольку каждое из высказываний А и В является ложным. Правильный ответ: A {не каждое простое число нечетно} A {найдется простое число, которое четно} или A {хотя бы одно простое число четно} – И. Сравним 2 высказывания: A {каждое простое число нечетно} и A {хотя бы одно простое число четно}. При этом первое слово «каждое», стоявшее в высказывании А заменится в высказывании A словами «хотя бы одно» или «существует», а вторая часть высказывания просто заменяется ее отрицанием. Верно и обратное. Если в начале высказывания стоят слова «хотя бы один», «найдется», «существует» и т. п., то при постановке отрицания «не» после этих слов они заменяются на «все», «каждый», «любой». Если же «не» добавить перед этими словами, то никакой замены слов не происходит. Пример: А {никакой ромб не может быть вписан в окружность} или А {не существует ромба, который может быть вписан в окружность}. В последнем высказывании частица «не» стоит впереди предложения. A {существует ромб, который может быть вписан в окружность}. Рассмотрим знак общности . х Р(х) – это предикат, заданные на множестве М, которому принадлежит х. Но как проверить его истинность? Подставить вместо х все элементы множества М не всегда возможно. Если же надо доказать, что х Р(х) – ложно, то надо найти один элемент а, такой что Р(а)=Л. Пример: С(х) {число 22 +1 - простое}. Пьер Ферма был убежден в справедливости высказывания х С(х) и пытался найти доказательства этого факта. С(1), С(2), С(3), С(4) – И (Проверьте!. Однако, другой математик, Леонард Эйлер показал, что С(5) – Л. х Р(х) и Р(х) – это не предикаты, а высказывания. x