5 данной работе как крутильно-баллистический маятник; снаряд (стальной цилиндрик); линейка. МАЯТНИКА

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5
(ФМ-15)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ СНАРЯДА С ПОМОЩЬЮ КРУТИЛЬНО-БАЛЛИСТИЧЕСКОГО
МАЯТНИКА
Приборы и принадлежности: лабораторная установка ФМ 15 «Унифилярный подвес», используемая в
данной работе как крутильно-баллистический маятник; снаряд (стальной цилиндрик); линейка.
Цель работы: определение скорости снаряда с помощью крутильно-баллистического маятника, определение момента инерции маятника с помощью крутильных колебаний, а также изучение крутильных
(вращательных) гармонических колебаний и явления абсолютно неупругого удара.
Краткая теория
Крутильно-баллистический маятник представляет собой массивное твёрдое тело с известным моментом инерции, которое может совершать крутильные колебания вокруг оси вращения и имеет устройство
для остановки «снарядов» при неупругом ударе. Если момент инерции маятника неизвестен, то для его
нахождения должна быть предусмотрена возможность изменения момента инерции. Момент инерции маятника можно изменять двумя способами: 1) путем перемещения массивных грузов (m1) вдоль прямой,
перпендикулярной оси вращения маятника, при этом меняется расстояние r грузов от оси вращения
(рис. 5.1а); 2) путем удаления или установки массивных грузов (m1) укрепленных на равном и неизменном
расстоянии r от оси вращения маятника (рис. 5.2а).
а
б
Рис. 5.1
В данной работе на установке ФМ-15 «Унифилярный подвес с пружинной пушкой» реализуется второй
способ изменения момента инерции. Крутильно-баллистический маятник этой установки представляет собой рамку, на которой установлены съемная мишень (чашка с пластилином) с противовесом и массивные
грузы m1, которые можно снимать с маятника (рис. 5.2а). Вся система подвешена на двух натянутых упругих проволоках. Если маятник повернуть на угол  (рис. 5.2б), а затем отпустить, то он под действием
упругого момента проволоки начнет совершать крутильные (вращательные) гармонические колебания.
O
m1
m1
r
Мишень
Противовес

m1
OO1
R

 сн
mсн
O1
а
б
Рис. 5.2
1
m1
Используя основной закон динамики вращательного движения М = Iм·м, выведем закон движения маятника. Упругий момент проволоки по закону Гука равен М = k, где k  коэффициент пропорциональности (постоянная кручения, модуль кручения), а знак минус указывает, что момент действует противоположно направлению увеличения угла закручивания. Если известен закон изменения угла закручивания
d 2
(t), то угловое ускорение  м  2 и после подстановки в исходное уравнение и преобразований будем
dt
иметь
d 2 k
   0.
dt 2 I м
k
2
  0 , окончательно получим
Обозначив
Iм
d 2
2
  0   0.
(5.1)
2
dt
Уравнение (5.1) является дифференциальным уравнением гармонических колебаний, решение которого, как известно из математики, имеет вид
(5.2)
   0 sin  0t ,
а его циклическая (круговая) частота связана с периодом колебаний соотношением
2
k
(5.3)
0 

.
T
Iм
Снаряд, вылетевший из стреляющего устройства, обладает импульсом p  mсн сн . С одной стороны,
попав в чашечку с пластилином, снаряд начинает двигаться по окружности радиусом R, и импульс поступательного движения «преобразуется» в момент импульса вращательного движения снаряда
L  p  R  mсн сн  R.
С другой стороны, снаряд, попав в пластилин, останавливается в нем и начинает двигаться с маятником
как одно целое, т.е. происходит абсолютно неупругий удар. На основании закона сохранения момента импульса имеем (до и после удара, с учетом того, что L  I ):
mсн  сн  R  ( I м  I сн ) м ,
(5.4)
где  м  угловая скорость маятника вместе со снарядом сразу после удара (максимальная); Iм – момент
инерции маятника относительно оси вращения ОО1; Iсн  момент инерции снаряда относительно оси вращения ОО1; υcн  линейная скорость снаряда; mсн  масса снаряда; R  расстояние от центра снаряда, застрявшего в пластилине, до оси вращения мятника ОО1.
Так как mсн<<mм, то Iсн<<Iм и величиной Iсн можно пренебречь. При этих условиях из уравнения (5.4)
имеем
I 
 сн  м м .
(5.5)
mсн  R
Величины mсн и R могут быть определены путем непосредственного измерения. Для определения Iм и м
воспользуемся законом сохранения энергии (или теоремой о кинетической энергии для вращательного
движения).
Элементарная работа сил упругости проволоки при ее закручивании равна
dA  M  d  k  d.
Интегрируя данное выражение при условии  0  0 получим
A
m
0
0
 dA    k d , где m – максимальный угол
закручивания. Тогда полная работа сил упругости проволоки при ее закручивании на m равна по модулю
k m2
A
 Ep ,
(5.6)
2
где Ep – потенциальная энергия упругой деформации проволоки. В то же время кинетическая энергия вращательного движения маятника в начальный момент
2
I 
Ek  м м .
(5.7)
2
По закону сохранения энергии кинетическая энергия превращается в потенциальную (расходуется на совершение работы) Ek=Ep=А:
2
I м  м
k m2

,
2
2
2
Откуда
I м m

.
(5.8)
k м
Из уравнения (5.3) имеем период колебаний крутильного маятника
2
I
T
 2 м .
0
k
Учитывая это, из уравнения (5.8) окончательно находим угловую скорость маятника сразу после удара
2
м 
m,
(5.9)
Т
где период колебаний Т маятника и максимальный угол закручивания  m маятника после попадания в него снаряда могут быть получены путем непосредственных измерений.
Для определения Iм воспользуемся выражением (5.3), записанным в виде
2
(5.10)
T1 k  4 2 I м ,
откуда
4 2 I м
k
,
(5.11)
2
Т1
где Т1 – период колебаний маятника когда грузы m1 укреплены на маятнике (рамке). Если эти грузы снять,
то момент инерции Iм изменится и будет равен
I 2  I м  2m1r 2 ,
где r – расстояние от оси вращения до центра масс груза m1. Уравнение (5.10) для нового момента инерции
будет иметь вид
2
(5.12)
T2 k  4 2 ( I м  2m1r 2 ).
Подставив в уравнение (5.12) значение k из уравнения (5.11), после преобразований окончательно получим момент инерции маятника (с грузами m1)
2m1r 2
.
(5.13)
Iм 
2
 T2 
1   
 T1 
Подставив в (5.5) формулы (5.13) и (5.9) можно рассчитать скорость полета снаряда по результатам
прямых измерений:
4m1 mT1r 2
сн 
.
(5.14)
mсн R(T12  T22 )
Зная Iм и Т1 можно по (5.11) рассчитать постоянную кручения k.
Описание лабораторной установки
Установка (рис. 5.3) состоит из основания 1, на котором укреплена вертикальная стойка (колонка) 10.
На ней неподвижно крепятся нижний 2, средний 17 и верхний 9 кронштейны. Верхний и нижний кронштейны предназначены для крепления узлов подвески и натяжения торсиона (стальной проволоки) 3 и 8, с
которым связана металлическая рамка 6 с грузами 7, предназначенная для установки съемной мишени 5 с
противовесом 11 или исследуемых образцов (последние устанавливаются в рамку 6 при выполнении на
данной установке лабораторной работы «Определение моментов инерции твердых тел с помощью крутильных колебаний»). На среднем кронштейне 17 нанесена шкала отсчета угла закручивания торсиона
(шкала угловых перемещений) и расположены: стреляющее устройство 12 (пружинная пушка) со спусковым устройством 13, предназначенное для производства «выстрела»; электромагнит 15, предназначенный
для удерживания рамки 6 в исходном положении и ее освобождения (при этом возникают крутильные колебания рамки вокруг вертикальной оси); фотодатчик 4, предназначенный для определения периода колебаний рамки 6.
Силу электромагнита 15 можно регулировать винтом 14. Электромагнит может перемещаться вдоль
шкалы угловых перемещений по специальной направляющей и закрепляться гайкой 16.
Съемная мишень 5 (чашка с пластилином) предназначена для попадания «снарядов» после выстрела.
3
7
9
8
10
6
5
11
12
13
14
15
16
17
4
3
2
1
Рис. 5.3
Установка работает от блока электронного ФМ 1/1. На его передней панели располагаются:
счетчик колебаний – световое табло, на котором высвечивается число n полных колебаний;
секундомер  световое табло, на котором высвечивается общее время n колебаний в секундах;
кнопка ''ПУСК'' – при нажатии кнопки выключается электромагнит и, после пересечения флажком рамки луча фотоэлектрического датчика, включаются счетчик колебаний и секундомер;
кнопка ''СТОП'' – при нажатии кнопки останавливаются счетчик колебаний и секундомер и включается
электромагнит.
На задней панели блока электронного расположен выключатель ''01'' (''Сеть'') – при включении выключателя на блок электронный подается питание, на табло счетчика колебаний и на табло секундомера высвечиваются «минусы», и включается электромагнит. Далее после пересечения флажком рамки луча фотоэлектрического датчика, включаются счетчик колебаний и секундомер.
Техника безопасности
!!! ПРЕДОСТЕРЕЖЕНИЕ !!! Чтобы не сбить настройку прибора на ноль, запрещается поворачивать
рамку 6 на угол больше 40º. Не допускать опрокидывание установки (установка имеет всего три опоры).
Подключение установки к блоку электронному ФМ-1/1 разрешается только лаборанту в соответствие с
паспортом к установке.
Порядок выполнения работы
1. Установите грузы 7 (m1) на рамку. Убедитесь, что мишень 5 находится на линии «выстрела», флажок
рамки пересекает оптическую ось (луч) фотодатчика 4, флажок красного цвета на рамке показывает на
ноль шкалы угловых перемещений (рамка находится в исходном положении). До пп. 7 включать установку
в сеть не требуется.
2. Установить электромагнит 15 так, чтобы его ближняя торцевая плоскость показывала угол на шкале
не менее 30 (чтобы после выстрела рамка 6 не билась об электромагнит).
3. Установите снаряд на направляющий стержень 12 стреляющего устройства, взвести пружину (до
первого щелчка). Проверить настройку шкалы на ноль. Небольшое несовпадение красного флажка на рам-
4
ке с нулем шкалы можно устранить малым поворотом среднего кронштейна 17 вокруг вертикальной стойки 10. Произвести «выстрел», повернув ручку 13 спускового устройства к себе или от себя.
4. Визуально определите максимальный угол m отклонения рамки по шкале угловых перемещений с
помощью красного флажка, закрепленного на рамке. При этом голову нужно держать так, чтобы при максимальном угле m было видно красный флажок (смотреть сверху установки). Если снаряд два раза подряд
не прилип к пластилину и отвалился, осторожно заровняйте вмятины от снаряда на пластилине.
5. Измерьте при помощи линейки расстояние R от оси вращения рамки до центра «снаряда», застрявшего в мишени. Это удобно сделать, расположив линейку ниже снаряда.
6. Извлеките снаряд из пластилина и повторите 5 раз пп. 3-5. Результаты измерений занесите в
табл. 5.1.
7. Включите установку в сеть, нажав кнопку ''01'' (''Сеть'') на задней панели блока электронного. При
этом на табло секундомера и счетчика колебаний появятся «минусы».
8. Отклоните рамку на угол 30 и зафиксируйте с помощью электромагнита. Сердечник электромагнита
должен входить немного вовнутрь электромагнита (для уменьшения влияния остаточной намагниченности
на колебания рамки).
9. Нажать кнопку «ПУСК» блока.
10. По показаниям секундомера и счетчика колебаний блока определите значение времени t1 десяти колебаний (n1=10) рамки, нажав на кнопку «СТОП», когда на табло счетчика колебаний появится число 10.
Результаты измерения занесите в табл. 5.1.
11. Повторите 5 раз измерения по пп. 8-10. После нажатия кнопки «СТОП» магнит включается.
12. Снимите грузы 7 (m1) с рамки и повторите 5 раз пп. 8-10, занося результаты измерения времени t2
десяти колебаний (n2=10) рамки в табл. 5.1.
13. Для любого замера (строки) из табл. 5.1 вычислить скорость полета снаряда по формуле (5.14), в которой m1 – масса груза, кг (выбита на грузе 7 в граммах); m – максимальный угол отклонения рамки, рад;
t
t
T1  1 и T2  2 – периоды колебаний рамки соответственно с грузами m1 и без них, с;
n2
n1
r=(0,0525±0,0005) м – расстояние от оси вращения рамки до центра масс груза m1; mсн – масса «снаряда»,
кг (выбита на «снаряде» в граммах); R – расстояние от оси вращения рамки до центра масс «снаряда», застрявшего в мишени. Подойдите к преподавателю на проверку.
Таблица 5.1
Номер
замера
1
2
3
4
5
mсн=…
R

n1
m1=…
t1
n2
Без m1
t2
14. Для выбранной в пп. 13 строки из табл. 5.1 выполните оценочный расчет момента инерции маятника по формуле (5.13), его начальной угловой скорости по (5.9) и скорости снаряда по (5.5) , взяв в формуле
(5.9) в качестве периода T период T1. Подойдите к преподавателю на проверку.
Отчет о работе
15. При оформлении отчета на основании данных эксперимента вычислите абсолютные погрешности
величин , R, t1, t2 по методу Стьюдента, рассчитайте абсолютные погрешности периодов Т1 и Т2 по фор1
1
t 2 (считая n1 и n2 как постоянные) и затем рассчитайте относительные помулам T1  t1 и T2 
n2
n1
грешности   ,  R ,  T1 ,  T2 . Занесите результаты в табл. 5.2.
16. По формулам (5.9), (5.13) и (5.5) вычислите средние значения  м , I м и  сн , определите абсолютные
погрешности вычислений по следующим формулам (все относительные погрешности при подстановке их
в формулы для расчета абсолютной погрешности всегда следует брать по абсолютной величине, а не в
процентах):
м  м 2   T21 ;
5
 I   m2  4 r2 
м
1
4
 T 

  1   1
  T2 



2
2
( T21   T22 )  2 r , т.к.  T1   r ,  T2   r и  m1   r ;
сн  сн  I2м   2 м   m2 сн   R2 .
Результаты вычислений занесите в табл. 5.2.
Таблица 5.2
Величины
R

T1
T2
м
Iм
υсн
Среднее
значение
Абсолютная
погрешность
Относительная
погрешность,%
Контрольные вопросы
1. Какие колебания называются гармоническими? Приведите уравнение гармонических колебаний.
2. Дайте определения величин, входящих в уравнение гармонических колебаний.
3. Какой удар называется абсолютно упругим, абсолютно неупругим?
4. Дайте определения и напишите формулы момента силы, момента импульса, и момента инерции.
5. Сформулируйте закон сохранения момента импульса и напишите его математическое выражение.
6. Приведите формулы для определения работы и кинетической энергии при вращательном движении тела относительно неподвижной оси.
7. Какая из формул (I=mr2, M=I, M=k, I=const) выражает основной закон динамики вращательного движения?
8. Дайте определение периода гармонических колебаний.
9. Приведите формулу, связывающую период и круговую частоту гармонических колебаний.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Трофимова Т. И. Курс физики: Учеб. пособ. для втузов. – М.: Высш. шк., 1998, § 15-19, с. 30-41; § 140-142,
с. 255-261.
2. Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики: Учеб. пособ. для втузов. – М.: Высш. шк., 2000, § 4.2, 4.3, с. 50-58;
§ 5.1, 5.2, 5.3, с. 59-67; § 27.1, 27.2, с. 358-363.
Составил преп. Харитонов Д.В., 23.05.2011
6