подготовка к ЕГЭ (логика)

Разбор заданий демо-версий - логика
A7 (2009)
Для какого из указанных значений X истинно высказывание
Здесь мы сразу переписали логическое выражение, применяя альтернативные
обозначения логических операций.
Варианты ответа:
1) 1
1) 2
1) 3
1) 4
Решение
Для решения задачи можно применить несколько различных подходов.
1-й подход
Перебираем все варианты ответа и для каждого вычисляем значение логического
выражения
X>2
X>3
(X > 2) —> (X > 3)
X=1
0
0
1
0
X=2
0
0
1
0
X=3
1
0
0
1
X=4
1
1
1
0
Мы видим, что заданное выражение истинно только в одном случае — при X = 3.
Ответ: 3
2-й подход
Второй подход использует тот факт, что логическое выражение A —> B равносильно
выражению ¬A + B. Преобразуем заданное выражение:
Применим теперь закон де Моргана и закон двойного отрицания:
Обратите внимание: отрицанием высказывания X > 3 является высказывание X <=
3. То есть, применяя отрицание, «больше» надо заменить на «небольше, меньше или
равно», а «меньше» — на «неменьше, больше или равно».
Теперь решение найти нетрудно. Логическое умножение истинно только в одном случае
— когда оба высказывания истинны: X > 2 и X <=3. Единственное число, которое
удовлетворяет этому требованию: X = 3.
Ответ: 3
3-й подход
И, наконец, третий подход, самый короткий, основанный на рассуждениях и определении
логических операций.
Заданное выражение является отрицанием выражения (X > 2) —> (X > 3), и если оно
истинно, то (X > 2) —> (X > 3) ложно. Мы знаем, что импликация может быть ложной
только в одном случае: когда посылка (X > 2) истинна, а заключение (X > 3) ложно. Если
выражение X > 3 ложно, то его отрицание истинно. Как уже говорилось выше,
отрицанием выражения X > 3 является выражение X <=3. Таким образом, для истинности
заданного выражения необходимо, чтобы выполнялось: X > 2 и X <= 3.
Единственное число, которое удовлетворяет этому требованию: X = 3.
Ответ: 3
Разбор заданий демо-версий. A9
Демо-версия 2009 года
Умение строить таблицы истинности и логические схемы
Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений
от трех аргументов: X, Y, Z.
Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:
X
Y
Z
F
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
Какое выражение соответствует F?
1
2
3
4
Решение
Для решения задачи нужно найти значения логических выражений, данных как
возможные варианты ответа, и сравнить их со значениями F. Выражение, значения
которого совпадают со значениями F, и является искомым. Очевидно, нам не нужно
вычислять значения выражений для всех возможных восьми комбинаций значений X, Y,
Z, следует ограничиться теми тремя комбинациями, которые заданы таблицей.
И так, достраиваем заданную таблицу и определяем значения соответствующих
выражений:
X
Y
Z
F
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
Мы видим, что заданному выражению F соответствует 4-й вариант ответа.
Ответ: 4
Разбор заданий демо-версий и тренировочных вариантов. В4 (2009) и B2
(2006—2008)
Умение строить и преобразовывать логические выражения. Высокий уровень
сложности, 10 минут
Обратите внимание на то, что формулировки заданий этого раздела в демо-версиях и
тренировочных вариантах разных лет различны и, соответственно, различны
подходы к поиску решения.
Демо-версия 2009 года
Каково наибольшее целое число X, при котором истинно высказывание
(50<X·X) → (50>(X+1) ·(X+1))?
Решение
1-й способ
Этот способ решения основан на рассуждениях и определении импликации.
Перепишем заданное выражение в виде: (X2 > 50) → (X + 1)2 < 50.
Когда импликация истинна? В трех из четырех возможных случаях: посылка ложна,
заключение ложно; посылка ложна, заключение истинно и посылка истинна, заключение
истинно. Рассмотрим эти случаи.
1. Посылка ложна, заключение ложно, то есть X2 > 50 ложно и (X + 1)2 < 50 ложно. Это
означает, что X2 <= 50 истинно и (X + 1)2 >= 50 истинно. Другими словами, надо найти
значения X, для которых выполнено: X2 <= 50 <= (X + 1)2. При каких целых значениях X
это возможно? При X = 7.
2. Посылка ложна, заключение истинно, то есть X2 > 50 ложно и (X + 1)2 <
50 истинно. Это означает, что X2 <= 50 истинно и (X + 1)2 < 50 истинно. При каких целых
значениях X это возможно? При таких целых X, при которых -7 <= X <= 6 . Наибольшее
значение X = 6 «проигрывает» найденному в первом случае X = 7.
3. Посылка истинна, заключение истинно, то есть X2 > 50 истинно и (X + 1)2 <
50 истинно. Другими словами, надо найти значения X, для которых выполнено: (X+1)2 <
50 < X2. При каких целых значениях X это возможно? При X = -8. Это значение
«проигрывает» найденному в первом случае X = 7.
Ответ: 7
Проблемы, которые могут возникнуть при таком подходе
Сложность такого подхода в необходимости неоднократно решать квадратные
неравенства. Но это уже из области «обыкновенной» алгебры
2-й способ
Второй способ основан на предварительном преобразовании исходного выражения.
Вспомним, что A → B равносильно ¬A + B. Применим это к исходному выражению:
(X2 > 50) → ((X + 1)2 < 50) равносильно (X2 <= 50) + ((X + 1)2 < 50).
Последнее выражение истинно, если X2 <= 50 или (X + 1)2 < 50. Решая неравенства в
целых числах получаем: X2 <= 50 для -7 <= X <= 7. (X + 1)2 < 50 для -8 <= X <= 6.
Наибольшее значение X = 7. Важно: это значение не обязано удовлетворять обоим
неравенствам, достаточно, что оно удовлетворяет одному из них.
Ответ: 7
Демо-версия 2008 года
Сколько различных решений имеет уравнение
((K \/L) —> (L /\ M /\ N)) = 0, где K, L, M N — логические выражения.
Указать только количество решений.
Решение
Можно пойти двумя путями: преобразовать заданное выражение по формуле A —> B =
¬A + B или опираться на определение импликации, в соответствии с которым импликация
ложна только в случае истинной посылки (A) и ложного заключения (B). В конечном
итоге и тот и другой путь приведут к анализу одних и тех же выражений. То есть оба
подхода равноправны. Выберем второй.
Итак, импликация ложна, значит K + L истинно, а логическое произведение L · M · N
ложно. Можно построить полную таблицу истинности для 4 переменных — K, L, M, N —
и найти те строчки, для которых выполнено: K + L истинно, а L · M · N ложно. Такая
таблица будет содержать 16 строк — 24. Постараемся «укоротить» таблицу и не
рассматривать значения, заведомо не удовлетворяющих нашим условиям. Это пара K = 0,
L = 0 (в этом случае и только в этом логическая сумма K и L будет ложной). Также не
будем рассматривать строки, в которых L = 1, M = 1, N = 1 (в этом случае и только в этом
L · M · N истинно).
Таким образом, получаем таблицу:
K
L
M
N
K+L
L·M·N
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
В таблице 10 строк, мы ничего не пропустили и ичего не потеряли.
Ответ: 10
Тренировочный вариант 2007 года
A, B, C — целые числа, для которых истинно высказывание
¬(A = B) /\ ((A > B) —> (B > C)) /\ ((B > A) —> (C > B))
Чему равно B, если A = 45, C = 43?
Решение
Логическое произведение трех множителей истинно только тогда, когда истинныы все три
множителя.
Таким образом, надо найти такое значение B, для которого выполнены три условия:
1) A не равно В, то есть B не равно 45;
2) (A > B) —> (B > C) истинно, то есть (45 > B) —> (B > 43) истинно;
3) (B > A) —> (C > B) истинно? то есть (B > 45) —> (43 > B) истинно.
Вспомним, что A —> B равносильно выражению ¬A + B. Применим это к пунктам 2 и 3.
2) (45 <= B) + (B > 43) истинно. Не забываем, что отрицанием «больше» является «НЕ
больше», то есть «меньше или равно», а отрицанием «меньше» является «НЕ меньше»,
то есть «больше или равно».
3) (B <= 45) + (43 > B) истинно.
Перепишем выражения в более наглядной и ясной форме:
2) (B >= 45) + (B > 43)
3) (B <= 45) + (B < 43)
Выражение 2) истинно для любого B > 43 (при этом условии по крайней мере одно
слагаемое в логической сумме истинно) и ложно для любого B <= 43 (оба слагаемых
ложны).
Выражение 3) истинно для любого B <= 45 при этом условии по крайней мере одно
слагаемое в логической сумме истинно) и ложно для любого B > 45 (оба слагаемых
ложны).
Таким образом, для есть два целых значения, при которых выражения 2) и 3) истинны: B =
44 и B = 45. Но значение B = 45 не удовлетворяет первому условию. Остается одно
значение: B = 44.
Ответ: 44
Демо-версия 2006 года
Укажите значения переменных K, L, M, N, при которых логическое выражение (¬K \/ M)
—> (¬L \/ M \/ N) ложно. Ответ запишите в виде строки из четырех символов: значений
переменных K, L, M, N (в указанном порядке). Так, например, строка 1101 соответствует
тому, что K = 1, L = 1, M = 0, N = 1.
Решение
Исходное выражение — импликация, а мы знаем, что импликация ложна только в одном
случае: когда посылка истинна, а заключение ложно.
Таким образом:
¬K + M истинно, а ¬L + M + N ложно. Первое утверждение нам не дает достаточно
информации для решения, а вот второе говорит о том, что логическая сумма ложна, что
возможно только при условии, что все логические слагаемые ложны: ¬L ложно (и значит
L истинно), M ложно и N ложно. Теперь у нас достаточно информации, чтобы
«разобраться» с первым утверждением. Так как M ложно, то ¬K должно быть истинным
(а K ложным), иначе сумма ¬K + M не будет истинной. В итоге мы получаем: K ложно, L
истинно, M ложно, N ложно.
Ответ: 0100
Разбор заданий демо-версий. B6
B6. Демо-версия 2009 года
Классный руководитель пожаловался директору, что у него в классе появилась компания
из 3-х учеников, один из которых всегда говорит правду, другой всегда лжет, а третий
говорит через раз то ложь, то правду.
Директор знает, что их зовут Коля, Саша и Миша, но не знает, кто из них правдив, а кто
— нет. Однажды все трое прогуляли урок астрономии. Директор знает, что никогда
раньше никто из них не прогуливал астрономию. Он вызвал всех троих в кабинет и
поговорил с мальчиками.
Коля сказал: "Я всегда прогуливаю астрономию. Не верьте тому, что скажет Саша".
Саша сказал: "Это был мой первый прогул этого предмета".
Миша сказал: "Все, что говорит Коля, – правда".
Директор понял, кто из них кто. Расположите первые буквы имен мальчиков в порядке:
"говорит всегда правду", "всегда лжет", "говорит правду через раз". (Пример: если бы
имена мальчиков были Рома, Толя и Вася, ответ мог бы быть: РТВ)
Решение
Задачи такого типа можно решать разными способами, мы рассмотрим некоторые из них в
этом разделе, применяя к каждой задаче наиболее подходящий.
Для задачи про Сашу, Мишу и Колю напрашивается «метод рассуждений». (Название
это, конечно, условно. Трудно найти задачу, которую удается решить без каких-либо
рассуждений.)
Читаем внимательно высказывания мальчиков и делаем выводы:
1. Так как урок был прогулен впервые, то первое высказывание Коли, очевидно, ложно.
2. Второе высказывание Коли относится к высказыванию Саши. Саша сказал чистую
правду, так как, действительно, урок был прогулен впервые. Следовательно, и второе
утверждение Коли — ложь. Вывод: Коля — лжец.
3. Мы знаем, что Саша сказал правду, но окончательный вывод относительно Саши делать
рано. Возможно, это тот человек, который говорит правду через раз.
4. Миша сказал очевидную ложь. Место «полного» лжеца уже занято, следовательно,
Миша — «лжец через раз».
5. Место «правдолюбца» достается Саше.
Ответ: СКМ
B6. Демо-версия 2006 года
Три школьника, Миша (М), Коля (К) и Сергей (С), остававшиеся в классе на перемене,
были вызваны к директору по поводу разбитого в это время окна в кабинете. На вопрос
директора о том, кто это сделал, мальчики ответили следующее:
Миша: «Я не бил окно, и Коля тоже…»
Коля: «Миша не разбивал окно, это Сергей разбил футбольным мячом!»
Сергей: «Я не делал этого, стекло разбил Миша».
Стало известно, что один из ребят сказал чистую правду, второй в одной части заявления
соврал, а другое его высказывание истинно, а третий оба факта исказил. Зная это,
директор смог докопаться до истины.
Кто разбил стекло в классе? В ответе запишите только первую букву имени.
Решение
Решим эту задачу, используя «метод перебора возможных решений». Предположим, что
окно разбил, например, Коля и проанализируем высказывания мальчиков при этом
предположении — определим, какие из них истинны, какие ложны. Если условия задачи
будут выполнены — высказывания одного истинны, второго ложны, тетьего истинны
наполовину, то предположение верно, и задача решена. Если условие задачи нарушено, то
делаем второе предположение, а затем и третье.
Максимальное число предположений для данной задачи небольшое, и такой подход
вполне имеет смысл.
Оформим поиск решения в виде таблицы, в которой укажем значения высказываний
мальчиков при том или ином предположении (первая строка — предположения):
предположение/высказывания
Коля
Сережа
Миша
Миша
истина ложь истина истина ложь истина
Коля
истина истина истина истина ложь
Сергей
вывод
ложь
ложь истина ложь истина истина истина
неверно
неверно
верно
Мы видим, что только при третьем предположении все условия задачи выполнены.
Ответ: М
B6. Демо-версия 2008 года
Перед началом Турнира Четырех болельщики высказали следующие
предположения по поводу своих кумиров:
А) Макс победит, Билл — второй;
В) Билл — третий, Ник — первый;
С) Макс — последний, а первый — Джон.
Когда соревнования закончились, оказалось, что каждый из болельщиков
был прав только в одном из своих прогнозов.
Какое место на турнире заняли Джон, Ник, Билл, Макс?
(В ответе перечислите подряд без пробелов места участников в указанном порядке имен.)
Решение
Для решения этой задачи метод перебора возможных решений неуместен — слишком
много (24!) придется делать предположений относительно возможного ответа.
Можно применить метод рассуждений: если первое высказывание болельщика A истинно
(а второе ложно), то первое высказывание болельщика C ложно и, следовательно, второе
— истинно, но это противоречит первому высказыванию A и т. д. Доведите это решение
до конца самостоятельно, а мы остановимся на другом методе, основанном на
построении и преобразовании логических выражений.
Формализуем задачу, обозначив высказывания болельщиков буквой (первая буква имени
спортсмена) и числом (номер места):
A: М1, Б2
B: Б3, H1
С: М4, Д1
Из каждой пары высказываний болельщиков одно истинно, а второе ложно. Возможно,
первое истинно И второе ложно, ИЛИ наоборот — первое ложно И второе истинно, то
есть :
M1 · ¬Б2 + ¬М1 · Б2 = 1
Б3 · ¬Н1 + ¬Б3 · Н1 = 1
M4 · ¬Д1 + ¬М4 · Д1 = 1
Произведение истинных выражений истинно: (M1 · ¬Б2 + ¬М1 · Б2) · (Б3 · ¬Н1 + ¬Б3 ·
Н1) · (M4 · ¬Д1 + ¬М4 · Д1) = 1
На первый взгляд, выражение выглядит громоздким, и перспективы его преобразования
не радуют. На самом деле нам предстоят совсем несложные преобразования.
Заметим, что при перемножении первых двух скобок будут равны 0 слагаемые,
содержащие множители M1 · Н1, Б3 · Б2 (события, в каждой паре не могут выполняться
одновременно), и вместо первых двух скобок мы получим: M1 · ¬Б2 · Б3 · ¬Н1 + ¬М1 · Б2
· ¬Б3 · Н1. При умножении этого выражения на третью скобку, мы не будем учитывать
равные нулю слагаемые, содержащие множители M1 · М4, M1 · Д1, Н1 · Д1. У нас
остается одно слагаемое: ¬М1 · Б2 · ¬Б3 · Н1 · M4 · ¬Д1. Оно равно 1 только тогда, когда
Н1 = 1, Б2 = 1, М4 = 1,то есть Ник занял первое место, Билл — второе, Макс — четвертое.
Для Джона осталось одно незанятое место — третье.
Ответ: 3124
Замечание: при таком подходе к решению возможны случайные ошибки, всегда
соседствующие с преобразованиями громоздких логических выражений. Поэтому,
получив ответ, следует выполнить обязательную проверку и уедиться, что он
удовлетворяет условиям задачи.