Степени и корни: определения, свойства, примеры

ГЛАВА 2. СТЕПЕНИ
2.1. Степень с натуральным показателем
Определение. Степенью числа а с натуральным показателем n(n>1)
называется произведение n сомножителей, каждый из которых равен а.
a n  a  a   a , а1=а.
n  ì í î æ èò åëåé
Свойства степеней с натуральн ым показателем:
1. am  an  amn ;
4.
( а  b )n  a n  bn

a mn ,
m  n;

m
n
2. a : a  1 , m  n, (a  0);
 1
 n  m , n  m, (a  0).
a
n
3.  a m   a mn ;
5.
a
a
   n , b  0;
b b
6.
 a   
n
n
 a n , n  2k ;
n
a , n  2k  1.
n
153  212
.
352  34
153  212 (3  5)3  (3  7) 2 33  53  32  7 2 35  53  7 2

 2 2 4  4 2 2  3  5  15.
352  34
(5  7) 2 34
5 7 3
3 5 7
Пример 1. Вычислить:
Решение.
3
4
3
Пример 2. Найти значение выражения:  1, 4    3  .
 7
3
3
3
3
4
25
25
14 25
3
3
Решение.  1, 4    3    1, 4       1, 4           5  125.
7 
 7
 7 

 10 7 
3
 2    3   3 .
Пример 3. Выполнить действия:
17
16
97 15
 2    3   3
Решение.
17
16
97 15

 2      317    316
97 15

2  317  316
3   3  5
2 7

316 (6  1) 316  5

 3.
314  3  5 315  5
Пример 4. Расположить в порядке возрастания следующие числа:
3
2
2
2
 3  2
   ;    ;  0,3 ;  1, 2  .
 4  5
3
3
2
2
3
3
27
2
2
4
2
2
Решение.          ;         0,16;  0,3  0, 09;  1, 2   1, 44;
64  5   5 
25
 4
 4
3
Отсюда:
2
2
2
 3
 2
     0,3       1, 2  .
 4
 5
18
2.2. Степень с целым показателем
Обобщая понятие степени с натуральным показателем, введем степени с
нулевым и целым отрицательным показателями.
Определение: Если a≠0, то a0=1. Выражение 00 не имеет смысла.
Определение: Если a≠0, и n– натуральное, то a  n 
1
;
an
Выражение 0-n не имеет смысла.
Свойство 2 степени с натуральным показателем можно теперь, используя
понятие степени с нулевым и целым отрицательным показателем, записать в
am
 a m  n , a  0. Остальные свойства имеют ту же запись.
n
a
183  37
Пример 1. Вычислить:
;
25
183  37 25  37
25  37
25  37



 22  3  12.
Решение.
3
6
2 3
25
183
2

3
23 
виде:
Пример 2. Найти значение выражения: 1, 73  90 : 5,13  63 .
3
3
1
 1, 7  6 
6
Решение. 1, 7  9 : 5,1  6  1, 7 1: 5,1  6  
    23  .

8
3
 5,1 
3
0
3
3
Пример 3. Упростить:
Решение.
 ab 
4
a b 
2
3

3
3
 ab 
3
4
 a 2  b3 
a 4  b4
 a   b 
2 3
3
3
3
.

3
a 4  b 4 b13
 2  a 2  b13 .
6
9
a b
a
2.3. Арифметический корень n-й степени
Определение: Корнем п-й степени из числа называется число, п-я степень
которого равна а.
Если n=2, то имеем квадратный корень. Если n=3 , то корень называется
кубическим.
Если а>0 и b–корень чётной n-й степени (n=2k), то и (-b) также является
корнем n-й степени из числа а, т.к. (-b)n=(-b)2k=(b)2k=(b)n=a.
Действие нахождения корня n-й степени из числа называется извлечением
корня n-й степени. Это действие является обратным к возведению в n-ю степень.
Если a<0 , то корень чётной n-й степени из числа а не существует (на
множестве действительных чисел).
Определение:
Арифметическим
корнем
n-й
степени
из
неотрицательного числа называется неотрицательное число b, n-степень
которого равна а.
Например, числа 3 и -3 являются корнями четвёртой степени из числа 81.
При этом число 3 – арифметический корень четвёртой степени из числа 81, а
число -3 не является арифметическим корнем.
19
Арифметический корень n-й степени из числа а обозначается так: n a (a  0) ;
а называется подкоренным числом, а натуральное число n (n≥2) – показателем
корня.
Если n=2, показатель корня не пишется. Например, вместо 2 7 , пишут 7 .
Теорема. Из любого действительного числа
а≥0 можно извлечь
арифметический корень n-й степени и притом только один.
Корень чётной степени из отрицательного числа не существует.
Корень нечётной степени из отрицательного числа – число
отрицательное. b   n a , ò .å. (b)n    n a     n a   a .
n
n
Этот корень единственный и обозначается так же, как и арифметический.
3
64   3 64  4; 5 32   5 32  2 .
Корень нечётной n-й степени из отрицательного числа а связан с
арифметическим корнем из числа -а=|а| следующим равенством:
n
a   n a   n a , где a<0, n-нечётное натуральное число (n≥3).
В дальнейшем запись вида n a будет означать арифметический корень,
когда а≥0, или корень нечётной степени из отрицательного числа, когда а<0.
1.
2.
3.
Свойства арифметического корня:
Основное свойство арифметического корня: величина арифметического
корня не изменится, если показатель корня умножить на любое
натуральное число k и одновременно подкоренное выражение возвести в
степень с тем же показателем k : n a  nk a k (a  0) .
При умножении арифметических корней с одинаковыми показателями
подкоренные выражения перемножаются, а показатель корня остаётся
прежним: n a  n b  n ab (a  0, b  0) .
При делении арифметических корней с одинаковыми показателями
подкоренные выражения делятся, а показатель корня остаётся прежним:
n
n
4.
a na

b
b
(a  0, b  0) .
При возведении арифметического корня в степень с натуральным
показателем возводится в эту степень подкоренное выражение, а
показатель
корня
остаётся
прежним,
 a  a
n
m
n
m
(a  0, m  натуральное число) .
При извлечении корня из корня перемножаются показатели корней, а
подкоренное
выражение
остаётся
прежним:
m n
a  mn a . (a  0; m, n  натуральныечисла (m  2, n  2) .
6. Сравнение арифметических корней основано на следующем свойстве:
если a>b>0, то n a  n b , и обратно: если n a  n b ( a>0, b>0), то a>b.
Доказать: 0,1  3 0,1 . Для доказательства применим основное свойство
арифметического корня и приведём корни к общему показателю 6
(наименьшему
общему
кратному
показателю
данных
корней):
5.
20
0,1  6 (0,1)3 ;
3
 0,1   0,1 ,
0,1  6 (0,1) 2 . Так как
арифметических корней получим:
6
3
2
то по свойству сравнения
 0,1    0,1 èëè 0,1  0,1 .
3
2
6
3
Замечание: Для корня нечётной степени из отрицательного числа
справедлива формула: 2k 1 a  2k 1 a (a  0) .
С помощью этой формулы можно показать, что свойства 2÷ 5
арифметических корней справедливы также и для корней нечётной степени из
отрицательного числа.
В общем случае, когда в преобразованиях участвуют как арифметические,
так и корни нечётной степени из отрицательного числа, эти свойства неверны.
Например, для произведения 2  3 3 применение свойств 1. и 2. приведёт
к неверному результату: 2  3 3  6 23  6  3  6 72 .
2


Правильное решение: 2  3 3    2  3 3    6 23  6 32   6 72 .
В случае арифметического квадратного корня было доказано, что
для любого действительного числа а. Аналогично:
n
 a , åñëè n  2  ÷¸ ò í î å ÷èñëî ,
an  
a, åñëè n  3  í å÷¸ ò í î å ÷èñëî .
Например,
6
a2  a
x3 
3
3
x3  x;
4
x4  x ;
x3  x , ( x  0); 4 x 2 
6
x 6  x ; в преобразованиях:
x2 
x ; 15 x3  5 3 x3  5 x .
1
a
Пример 1. Внести множитель под знак корня в выражении: a 3 1  3 .
Решение. Так как a  3 a3 , то a 3 1  3  3 a3  3 1  3  3 a3 1  3   3 a3  1.
1
a
1
a

1
a 
Пример 2. Вынести множитель из-под знака корня в выражении:
6
1
1
,
a6
где а<0.
Решение.
6
a 6  a  a, ò .ê. a  0 , то
Пример 3. Выполнить действия:
3
3
1
6 6
1 6 a6  1 6 a6  1
a 1
.




6
6
6
6
a
a
a
a
2 23 2 .
Решение. 2 3 2  3 23  2  3 24 ; 2 3 2 
Отсюда:
6
3
24  6 24  3 22 .
2 2 3 2  3 2  3 22  3 3 25  9 25  9 32 .
2.4. Степень с рациональным показателем
Понятия и свойства степени с любым целым показателем были
рассмотрены выше.
Введём теперь в рассмотрение степень с дробным показателем.
21
Определение. Если a>0 и x– рациональное число, представленное дробью
m
,
n
m
n
где m – целое, и n≥2 – натуральное число, то: a  a  n a m ; если а  0 и x>0,
то ax  0.
x
2

3

3
1
1
1

 3 при b>0.
3
4 3
b
b
b4
m
Рациональное число представляется в виде дроби
неоднозначно, так как
n
mk m
при любом натуральном k.

nk n
Например, a 5  5 a 2 при а≥0; b 4  4 b 3 или b 4  4
mk
m
mk
m
a nk  a n .
Покажем,
что:
В самом деле:
a nk  nk a mk  n a m  a n
(использовано основное свойство арифметического корня).
Свойства функции с целым показателем распространяются на степень с
любым рациональным показателем и положительным основанием, например:
ap∙aq=ap+q (a>0).
2.5. Примеры вычисления арифметических выражений со степенями
7
 71  2
Пример 1. Вычислить: 8  8  16 :16   9  .
 
1
3
1
3
1
3
Решение. 8  8  8
1 1

3 3
2
3
1
3
3
4
3
4
1
 8  8  64 ; 16 :16  16
2
3
3
3
4
1
4
 16  4 16 ;
7
1 7
1

 17  2
7 2
2
9

9

9
 9 . Отсюда:
 
 
3
64  4 16  9  4  2  3  5 .
Пример 2. Выполнить действия: (0, 04)

3
1,5
 (0,125)

4
3

1
 1  4

 .
 625 
( 2)3

1 2
Решение. (0, 04) 1,5   2   52  2  5 ( 2)  53 ;
5 
(0,125)

4
3

4

3
4

1

1
4  1 
4
1
 

1 3  1  3
 1  4 1 4
4  4
     3    23  3  24 ; 


5
5 1  4  5.



 4
8
2 
 625 
5 
Отсюда: 53∙24+5=(5∙2)3∙2+5=2000+5=2005.
Пример 3.
Пример 4.
Пример 5.
(0,1) 1  (0, 4) 0
3
2 2
2     (3)
3 3
2 5 2
6
4
6
1
2
5
4

1
2
10  1
9 3
  .
8 27
 3 6 2
3 8
 2 3  5 2  8  25  200 .
 7  3   3  7  3   7  7 3  7 3  3  10  5 .
7 3
4 2
 7  3  7  3 
52  5 52  5   52  5 52  5  52  25  3 .
7
7
3


7 3
7 3
Пример 6. 3
3
3
3
22
Пример 7. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:
7  13
7  13
7  13 7  13


7  13 7  13

7  13   7  13  7  13 .
2
49  13
2.6. Упражнения
Вычислить:
1. 3,20 + 641/6 – 0,23 ∙0,2-2 – 53 : 5;
2. 271/3 – 4,80 – 1,53 –1,5-2 + 22 : 2-3;
3. 52 : 5-1 + ( 3 ) 0 - 42 ∙ 4-3 – 272/3.
Упростить иррациональные выражения:
1
1.
3 5

1
5 3

3 2,5  1,5
2
;
3 2 74 3 ;
2.
2


2


2
3
3. 

  1  3,5 ;
5 2
 7 5
4.  3  2 2  17  2 2   3  2  7  4 3 ;
 3  2 15 3  26 ;
6. 1  2  7  5 2 ;
3
5.
3
7.
6
7  4 3  3 2  3;
8.
42 2 4 64 2 ;
9.
10  24  40  60 ;
10.
6  2 3  2 2  4,5 ;
11.  2  3  7  4 3   2  5  9  4 5 ;
 a  b  a  b :
12.
4
4
2
4
2 a  b
4
2
1
a  b3
3
 3 ab .
23
6
6