Задачи на комбинаторику и вероятности

Комбинаторные задачи.
1.Сколькими способами колода в 52 карты может быть роздана 13-ти
игрокам так, чтобы каждый игрок получил по одной карте каждой масти? L
2. Сколькими способами можно расставить 10 книг на полке так, чтобы
две определённые книги не стояли рядом? Чтобы три, четыре определенные
книги не стояли рядом?
3. Сколькими различными способами можно рассадить за круглым
столом 10 гостей? Один способ отличается от другого, если у кого-то из гостей
меняется хотя бы один сосед.
4. Имеется пять кусков материи разных цветов. Сколько различных
флагов можно скроить из этих кусков, если каждый флаг состоит из трёх
горизонтальных полос разного цвета?
5. Каждая из n различных коммерческих организаций намеревается
принять на работу одного из n выпускников коммерческого отделения
факультета МЭО. В каждой из этих организаций выпускнику предлагается на
выбор одна из k должностей. Сколько существует вариантов распределения
этих n выпускников на работу?
5. Сколько можно составить различных семизначных телефонных
номеров? Сколько будет номеров, у которых все цифры разные?
6. Каждый участник лотереи “6 из 49” должен записать в специальной
карточке 6 любых чисел от 1 до 49. При розыгрыше лотереи комиссия
случайным образом отбирает 6 чисел из чисел 1,2,,49. Участник, правильно
угадавший все 6 чисел, получает большой приз. Участник, угадавший лишь 5
чисел, получает малый приз. Участник, угадавший лишь 4 числа, получает
поощрительный приз. Сколькими различными способами можно заполнить
карточку, чтобы получить малый приз? Чтобы получить поощрительный приз?
7. У одного человека есть 7 книг, а у другого — 9 книг. Сколькими
способами они могут обменять три книги одного на три книги другого?
8. Бригада строителей состоит из 16-ти штукатуров и 4-х маляров.
Сколькими способами бригаду можно разделить на две бригады, чтобы в одной
из них было 10 штукатуров и 2 маляра, а в другой 6 штукатуров и 2 маляра?
9. Из отряда солдат в 50 человек, среди которых есть два рядовых–
однофамильца Ивановы, назначают в караул 4-х человек. Сколькими
различными способами может быть составлен караул? В скольких случаях в
карауле будут два Ивановых? В скольких случаях в карауле будет один
Иванов? Хотя бы один Иванов?
10. Сколькими способами можно разложить 10 книг на 5 бандеролей по
две книги в каждой (порядок бандеролей не принимается во внимание)?
11. У Деда Мороза в мешке 10 различных подарков. Сколькими способами эти подарки могут быть розданы 7-ми детям? Решить ту же задачу в
предположении, что все подарки одинаковы.
12. Сколькими способами можно разложить 6 одинаковых шаров по трём
ящикам, если каждый ящик может вместить все шары?
13. В почтовом отделении продаются открытки 10 сортов. Сколькими
способами можно купить в нём 12 открыток?
14. Нужно провести 4 экзамена по различным дисциплинам в течение
20-ти дней. Сколько существует вариантов расписания экзаменов, если
временной промежуток между экзаменами должен быть не меньше 3-х дней?
4
(4! C11
)
Классическое определение вероятности.
1. Колода из 32-х карт тщательно перетасована. Найти вероятность того,
что все четыре туза лежат в колоде один за другим, не перемежаясь другими
картами.
Решение. Число всех возможных способов расположения карт в колоде
равно 32! Чтобы подсчитать число благоприятных исходов, сначала представим
себе, что четыре туза располагаются каким-то образом один за другим и
склеиваются между собой так, что они, как бы составляют одну карту (неважно,
что она оказалась толще, чем все остальные). В полученной колоде стало 32 – 4
+ 1 = 29 карт. Карты в этой колоде можно расположить числом способов,
равным 29! Количество всех благоприятных исходов получается, если это
число умножить на 4! – число возможных способов упорядочения четырёх
29 ! 4!
1
тузов. Отсюда получаем ответ задачи:
.

32!
35960
2. Между двумя игроками проводится n партий, причем каждая партия
кончается или выигрышем, или проигрышем, и всевозможные исходы партий
равновероятны. Найти вероятность того, что определённый игрок выиграет
ровно m партий, 0  m  n.
Решение. Каждая партия имеет два исхода – выигрыш одного или
другого участника. Для двух партий имеется 22 = 4 исходов, для трёх партий –
23 =8 исходов, для n партий – 2n исходов. Среди них ровно Cnm исходов
соответствуют выигрышу одного из игроков m партий. Таким образом, искомая
Cnm
вероятность равна n .
2
3. Бросается n игральных костей. Найти вероятность того, что на всех
костях выпало одинаковое количество очков.
Решение. Общее число исходов здесь равно 6n. Число благоприятных
1
исходов – 6. Ответ задачи: n1 .
6
4. В урне a белых и b чёрных шаров (a  2; b  2). Из урны без
возвращения извлекаются 2 шара. Найти вероятность того, что шары одного
цвета.
Ca2  Cb2 aa  1  bb  1
Решение. Эта вероятность равна

a  ba  b  1
Ca2 b
5. В урне находятся a белых и b черных шаров. Шары без возвращения
извлекаются из урны. Найти вероятность того, что k-й вынутый шар оказался
белым.
Решение. Представим процесс случайного извлечения шаров из урны
следующим образом: шары произвольным образом размещены по
расположенным в ряд ячейкам, и извлекаются из ячеек один за другим слева
направо. Тогда благоприятный исход наступает в том случае, когда в k-й ячейке
лежит белый шар.
Всего возможно (a + b)! различных способов расположения шаров по
ячейкам. Займём k-ю ячейку одним из белых шаров, что можно сделать a
различными способами. Тогда остальные ячейки можно заполнить (a + b – 1)!
способами, и получается, что число благоприятных исходов равно (a + b – 1)!a,
a
а искомая вероятность –
.
ab
6. Найти вероятность того, что при размещении n различимых шаров по N
ящикам заданный ящик будет содержать ровно k (0  k  n) шаров (все
различимые размещения равновероятны).
Решение. Первый шар может быть размещён N различными способами,
второй шар – тоже N различными способами, а два шара могут быть размещены
по N ящикам числом способов, равным N2. Всего существует Nn вариантов
размещения n различимых шаров по N ящикам. Выбрав определенный ящик,
можно найти C nk способов заполнить его набором k шаров, выбранных из
множества n шаров. Остальные ящиков можно заполнить оставшимися n – k
шарами числом способов, равным (N–1)n–k. Таким образом получаем, что число
благоприятных исходов в задаче равно C nk (N–1)n–k, а интересующая нас
вероятность равна
Cnk  N  1
n k
.
Nk
7. 10 букв разрезной азбуки: А,А,А,Е,И,К,М,М,Т,Т произвольным
образом выкладываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово
МАТЕМАТИКА?
Решение. 10 букв можно расположить в ряд числом способов, равным 10!
Чтобы получить число благоприятных исходов, нужно взять слово
МАТЕМАТИКА и убедиться в том, что его можно получить, переставляя
местами 3 буквы А, 2 буквы М и 2 буквы Т, что можно сделать 3!2!2!
способами Ответ задачи: 3!2!2!/10!.
8. Брошено 10 игральных костей. Предполагается, что все комбинации
выпавших очков равновероятны. Найти вероятность того, что выпала хотя бы
одна “6”.
Решение. Общее число исходов здесь равно 610. К благоприятным
исходам следует отнести выпадение одной, двух, трёх и т. д. шестёрок. Проще
подсчитать число неблагоприятных исходов, то есть исходов, когда не выпало
ни одной шестёрки. Их, очевидно, 510, и число благоприятных исходов равно
510
10
10
6 – 5 . Искомая вероятность равна 1 – 10 .
6
9. В мешке находятся 10 различных пар обуви. Из мешка наугад
извлекаются 6 единиц обуви. Найти вероятность того, что в выборку не попадёт
двух единиц обуви, составляющих одну пару.
Решение. Общее число исходов – это количество возможных выборок
6
объёмом в 6 единиц из общего числа в 20 единиц, то есть C 20
– число
сочетаний из двадцати по шесть. Подсчитаем число благоприятных исходов.
Очевидно, что все возможные выборки, удовлетворяющие условию задачи,
можно составить следующим образом: выбрать 6 пар обуви, что
6
осуществляется числом способов, равным C10
, затем из каждой пары выбрать
одну единицу. Из одной пары это можно сделать двумя способами, из двух –
6 6
2
четырьмя, из трёх – восемью и т. д. Таким образом можно перебрать все C10
шестёрок, удовлетворяющих условию задачи. Искомая вероятность равна
6 6
C10
2
.
6
C 20
1.а. В условиях задачи 1. подсчитать вероятность того, что при раздаче
карт по одной по кругу четырём игрокам каждому достанется один туз.
134 4 ! 48 !
13  13  13
134 4 !
(
0,1055,
)

4
52 !
17  25  49
C52 4 !
1.б. В условиях предыдущей задачи подсчитать вероятность того, что все
тузы достанутся одному игроку.
1.в. n лиц рассаживаются в ряд в случайном порядке. Какова вероятность,
что два определенных лица окажутся рядом? Найти соответствующую
вероятность, если те же лица садятся за круглый стол.
2.а. Решите задачу 2. при условии, что каждая партия кончается либо
выигрышем одного из участников, либо ничьей, и всевозможные исходы
партий равновероятны.
2.б. В лифт 8-этажного дома на первом этаже вошли 5 человек.
Предположим, что каждый из них с равной вероятностью может выйти на
любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятность того, что все пятеро
выйдут на разных этажах.
3.а. Брошены шесть игральных костей. Найти вероятность следующих
событий:
а) на всех костях выпало разное количество очков;
б) суммарное количество выпавших очков равно 7.
3.б. Найти вероятность того, что среди произвольно выбранных 12-ти
человек все имеют дни рождения в разные месяцы.
4.а. В условиях задачи 4. найти вероятность того, что шары разноцветные.
5.а. В кармане лежат 10 ключей, из которых к данному замку подходит
лишь один, но неизвестно, какой. Из кармана извлекаются ключи случайным
образом один за другим, и делается попытка открыть замок. Найти вероятность
того, что замок будет открыт с 7-й попытки.
5.б. Студент Иванов при подготовке к экзамену из 30-и билетов выучил
лишь 20. Группа сдающих экзамен студентов состоит из 16-и человек, причём
каждый по очереди берёт один билет, не возвращая его. В каком случае студент
Иванов с большей вероятностью сдаст экзамен: если он будет в этой очереди
первым или если он будет последним?
5.в. Партия из 25-и приборов содержит один неисправный прибор. Из
этой партии для контроля выбраны случайным образом 6 приборов. Найти
вероятность того, что неисправный прибор попал в выборку.
5.г. Ящик содержит 90 годных и 10 дефектных шурупов. Если
использовать 10 шурупов, какова вероятность того, что ни один из них не
окажется дефектным? Какова вероятность того, что среди них окажется 4
дефектных шурупа?
6.а. В n ящиках размещают n шаров так, что для каждого шара
равновозможно попадание в любой ящик. Найти вероятность того, что ни один
ящик не пуст.
6.б. Каждая из n палок разламывается на две части – длинную и
короткую. Затем 2n обломков объединяются в n пар, каждая из которых
образует новую “палку”. Найти вероятность того, что а)части будут соединены
в первоначальном порядке; б) все длинные части будут соединены с короткими.
6.в. Для уменьшения общего количества игр 2n команд спортсменов
разбиваются на две подгруппы. Определить вероятность того, что две наиболее
сильные команды окажутся: а) в разных подгруппах, б) в одной подгруппе.
Ответ: а) n/(2n-1); б) (n–1)/(2n-1);
7.а. Из букв разрезной азбуки составлено слово СТАТИСТИКА. Затем из
этих букв случайным образом без возвращения отобрано 5 букв. Найти
вероятность того, что из отобранных букв можно составить слово ТАКСИ.
Ответ 2/21.
8.а. Чему равна вероятность того, что два бросания трёх игральных
костей дадут один и тот же результат, если а) кости различимы, б) кости
неразличимы. Ответ: 1/216; 83/3888.
8.б. Из 28 костей домино случайным образом выбираются две. Найти
вероятность того, что из них можно составить “цепочку” согласно правилам
игры. Ответ: 7/18.
8.в. Брошено 10 игральных костей. Найти вероятность событий: а) выпало
ровно 3 шестёрки, б) выпало хотя бы две шестёрки.
9.а. Два игрока независимым образом подбрасывают (каждый свою)
монеты. Найти вероятность того, что после n подбрасываний у них будет одно
C 2nn
и то же число гербов. Ответ: 2n .
2
Решение задачи 1.а.
1-й способ. При перетасовке колоды карты в ней можно расположить 32!
различными способами. Первый игрок получит туза определённой масти
(например, туза пик), если этот туз лежит в колоде на 1-м, 5-м, 9-м и т. д.
местах. Иначе говоря, туз пик попадает к первому игроку, если он занимает в
колоде одну из восьми возможных позиций. Аналогичным образом другой туз,
например масти треф, достаётся второму игроку, если он в колоде лежит
вторым, шестым, десятым и т. д., то есть также занимает в колоде одну из
восьми возможных позиций. Рассуждая аналогичным образом, получаем, что
для выполнения условия задачи карты в колоде должны быть расположены
одним из 844!28! возможных способов. Отсюда следует, искомая вероятность
равна
8 4 4 ! 28 !
512

 0,114
32 !
31  5  29
2-й способ. Разобьём колоду на 4 части по 8 карт в каждой. Это можно
8
8
сделать числом способов, равным C32
C24
C168 . Первую из этих частей при
условии, что в неё попадает один и только один туз, например туз пик, можно
составить числом способов, равным C287 . Вторую часть при условии попадания
в неё единственного туза можно составить числом способов, равным C217 .
Таким образом, разделить колоду на 4 части, удовлетворяющие условию
7
7
задачи, можно числом способов, равным C28
C21
C147 4 ! . Отсюда следует, что
искомая вероятность равна
7
7
C28
C21
C147 4 !
512

 0,114
8
8
31  5  29
C32
C24
C168
111. При игре в покер из колоды в 52 карты игроку выдаётся 5 карт.
Какова вероятность того, что игрок получит комбинацию из одной тройки (три
карты одной номинации) и одной двойки (две карты одной номинации). (Такая
комбинация называется full house).
112. В условиях предыдущей задачи подсчитать вероятность получения
игроком одной двойки, двух двоек.
113. В условиях задачи 111 подсчитать вероятность получения игроком
комбинации straight, то есть пяти карт последовательной номинации, но не всех
одной масти (например, 5 треф, 6 пик, 7 треф, 8 червей, 9 бубен или валет пик,
дама пик, король пик, туз червей, двойка треф)
3 3
13C43  12C42 13C42 C12
4 10  4 5  40
;
;
.
5
5
5
C52
C52
C52
Теоремы сложения и умножения вероятностей. Независимость
событий. Условная вероятность.
1. Три стрелка стреляют по одной мишени, и каждый попадает или
промахивается независимо от результатов выстрелов других стрелков.
Вероятности попадания в мишень для каждого из стрелков, соответственно,
равны: 0,8; 0,7; 0,5. Определить вероятности следующих событий:
а) все три стрелка попали в мишень;
б) хотя бы один стрелок попал в мишень;
в) в мишень попали два стрелка.
Решение.
а) Так как здесь рассматриваются независимые события, вероятность
попадания в мишень всех трёх стрелков равна произведению вероятностей
попадания каждого:
P = 0,80,70,5 = 0,28
б) Обозначим это событие А. Ему благоприятствует несколько
несовместимых исходов, например, такой: {первый стрелок попал в мишень,
второй не попал, третий попал}. Вместо того, чтобы рассматривать все эти
исходы, возьмём событие A – дополнение события А или, иначе, событие,
противоположное событию А. Оно состоит в том, что все три стрелка не
попали в мишень. Его вероятность равна:
(1 – 0,8)  (1 – 0,7)  (1 – 0,5) = 0,5
Теперь можно определить вероятность интересующего нас события:
Р(А) = 1 – Р( A ) = 1 – 0,5 = 0,5
в) Этому событию благоприятствуют три исхода:
* {первый попал, второй попал, третий не попал} – c вероятностью
0,8  0,7  (1 – 0,5) = 0,28
** {первый попал, второй не попал, третий попал} – c вероятностью
0,8  (1 – 0,7)  0,5 = 0,12
*** {первый не попал, второй попал, третий попал} – c вероятностью
(1 – 0,8)  0,7  0,5 = 0,07
Очевидно, что эти исходы несовместимы, и поэтому вероятность их
объединения, представляющего собой событие А, равна сумме их вероятностей:
Р(А) = 0,28 + 0,12 + 0,07 = 0,47
2. Брошено три игральных кости. Найти вероятности следующих
событий:
а) выпало три шестёрки;
б) выпало три шестёрки, если известно, что на одной из костей выпала
шестёрка.
Решение.
1
а) Здесь ответ очевиден:  
3
6
б) Обозначим через А событие, состоящее в выпадении трёх шестёрок, а
через В – в выпадении шестёрки хотя бы на одной кости. Тогда Р(А/В) –
искомая вероятность. Событие АВ в данном случае совпадает с событием А,
3
1
откуда следует: Р(АВ) =   . Вероятность события В равна разности
6
единицы и вероятности события B , противоположного событию В, то есть
3
 5
выпадения трёх чисел, отличных от шестёрки. Вероятность B равна   .
 6
91
Отсюда следует: Р(В) =
. В результате получается:
216
Р(А/В) =
P A  B  1

P B 
91
3. Истребитель атакует бомбардировщик, делает один выстрел и сбивает
бомбардировщик с вероятностью р1. Если этим выстрелом бомбардировщик не
сбит, то он стреляет по истребителю и сбивает его с вероятностью р2. Если
истребитель этим выстрелом не сбит, то он ещё раз стреляет по
бомбардировщику и сбивает его с вероятностью p3. Найти вероятности
следующих событий:
а) “сбит бомбардировщик”;
б) “сбит истребитель”;
в) “сбит хотя бы один самолёт”.
Ответ: а) р1 + (1 – p1)(1 – p2)p3; б) (1 – p1)p2; в) p1 + p2 + p3 – p1p2 – p1p2 –
p2p3 + p1p2p3.
4. Из 20 студентов, находящихся в аудитории, 8 человек курят, 12 носят
очки, а 6 и курят и носят очки. Одного из студентов вызвали к доске.
Определим события А и В следующим образом: A = {вызванный студент
курит}, B = {вызванный носит очки}.
Установить, зависимы события A и B или нет. Сделать предположение о
характере влияния курения на зрение.
Решение. Так как P( AB) 
6
8 12
 P( A) P( B) 

, то условие независимости
20
20 20
не выполняется, следовательно, события A и B зависимы.
Найдем условную вероятность того, что студент носит очки, при условии,
P( BA) 6 20 3

 . Безусловная вероятность того, что
P( A) 8 20 4
12 3
студент носит очки, равна P(B)   . Так как P( B / A)  P( B) , то делаем вывод:
20 5
что он курит: P( B / A) 
курение способствует ухудшению зрения.
6.Ф. Бросаются три игральных кости. Какова вероятность того, что на
одной из них выпадет единица, если на всех трёх костях выпали разные грани?
(0.5).
7.Ф. Известно, что при бросании десяти игральных костей выпала хотя бы
одна единица. Какова вероятность того, что выпало две или более единиц?
1 – 1059/(610-510).
8. Доказать, что если события А и В независимы, то независимы события
A и B.
9. Бросают три монеты. Событие А — выпадение герба на первой и
второй монетах. Событие В — выпадение цифры на третьей монете. Найти
Р(А∩В) и Р(АUВ).
10. В некоторой корпорации протокол принятия важнейших решений
предусматривает следующую процедуру. Предложение направляется в отдел А.
В случае одобрения предложение направляется в отделы B и C а также к вице-
президенту D. В случае одобрения вице-президентом предложение
направляется президенту корпорации P. Сюда предложение попадает и в том
случае, если после его одобрения хотя бы одним из отделов B или C его
одобрит вице-президент E. Нарисовать схему принятия решения. Считая, что
все инстанции принимают решение независимо одна от другой, и что A, D и E
одобрят предложение с вероятностью 0,6, а В, C и P — с вероятностью 0,5,
определить вероятность принятия предложения администрацией.
11. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачёт сдан, если студент
ответит не менее чем на 3 из 4-х вопросов в билете. Взглянув на первый вопрос,
студент обнаружил, что знает его. Какова вероятность, что студент сдаст зачёт?
Решение.
Пусть А – событие, заключающееся в том, что студент сдал экзамен;
В – событие, заключающееся в том, что студент знает первый вопрос в
билете.
20 4
Очевидно, что р(В) =
 . Теперь необходимо определить вероятность
25 5
4
р(АВ). Из 25-ти вопросов всего можно составить A25
различных билетов,
содержащих 4 вопроса. Все билеты, выбор которых удовлетворял бы и
событию А и событию В, должны быть составлены следующим образом: либо
4
студент знает все вопросы билета (можно составить всего A20
таких билетов),
либо студент знает первый, второй и третий вопросы, но не знает четвёртого
3
(можно составить всего 5 A20
таких билетов), либо студент знает первый,
3
второй и четвёртый вопросы, но не знает третьего (тоже 5 A20
билетов), либо
студент знает первый, третий и четвёртый вопросы, но не знает второго (тоже
3
5 A20
билетов). Отсюда получаем, что
р(АВ) =
4
3
A20
 3  5  A20
4
A25

6  8  19
5  23  11
Осталось только найти искомую вероятность р(А/В):
6  8  19
228
р(А/В) = 5  23  11 
4
253
5