Задания III тура олимпиады &quot

Дорогой друг!
Совсем скоро наша страна будет отмечать особый праздник – 70-ю годовщину Победы
в Великой Отечественной войне. В этот день мы отдаём дань глубокого уважения
героизму и самоотверженности защитников Отечества. День Победы остаётся для нас понастоящему великим и жизнеутверждающим праздником, символом мужества, величия и
силы духа нашего народа, бессмертного подвига воинов и тружеников тыла.
В памяти народа навсегда останутся ратные подвиги воинов армии и флота. В годы
суровых испытаний с невиданной силой проявились сила духа и героизм советского
солдата, его бесстрашие, боевая отвага и находчивость. Миллионы наших
соотечественников пали на этом нелёгком пути к Победе. Вечная им память и
благодарность человечества.
Сегодня мы предлагаем тебе проявить смекалку и находчивость при решении заданий
III тура олимпиады «Математический марафон», посвященного Дню Победы. Будем рады,
если в олимпиаде примут участие твои друзья, увлекающиеся математикой. Однако
работы с признаками списывания и «коллективного творчества» рассматриваться не
будут. Среди задач есть весьма трудные, так что присылай свою работу, даже если
удалось решить лишь две-три задачи. Помни, что решение задачи должно включать не
только правильный ответ, но и полное его обоснование.
Просим оформить работу в обыкновенной школьной тетради в клетку. На титульном
листе обязательно укажи фамилию и имя, класс. Условия задач переписывать не нужно.
Решение каждой задачи начинай с новой страницы.
III тур олимпиады «Математический марафон» проводится с 26 марта по 10 апреля
2015 года. Решения заочного тура можно сдать несколькими способами:
а) сдать тетрадь с решениями по адресу: ул. Мира, д. 460, корпус 2, каб. 17, отделение
математики;
б) отправить отсканированный вариант работы по электронной почте math@stavpoisk.ru.
Вопросы по условиям задач можно задавать по телефону 35-70-55 или по электронной
почте math@stavpoisk.ru.
Желаем успеха!
Жюри олимпиады
Задания
Задание 1. В годы Великой Отечественной войны командиры танковых дивизий должны
были быстро переправлять танки через реки. Для переправы 160 танков через реку
шириной 720 м имеется одно переправочное средство. Продолжительность одного рейса
переправочного средства – 15 мин, обратно переправочное средство возвращается пустым
за 5 минут. Одновременно переправляются два танка. Для сокращения времени переправы
часть танков можно переправить под водой по одной трассе. Скорость движения танков
под водой – 72 м/мин. Определите время переправы танков через реку.
Задание 2. Ночью для облегчения работы артиллерийских орудий солдаты включали
мощные прожекторы, которые освещали небо. Умение правильно расставить прожекторы
ценилось высоко. Изобразите на рисунке, как надо расположить два прожектора, чтобы
общая освещаемая ими площадь имела вид: а) угла; б) четырехугольника; в) луча; г)
отрезка.
Задание 3. Восемь солдат охраняли большой склад с оружием. Солдаты были
расставлены по двое с каждой стороны склада. Затем пришёл приказ усилить охрану
склада, не привлекая новых солдат. Возможно ли это? Если возможно, то покажите, как
надо расположить солдат, чтобы выполнить условие приказа.
Задание 4. Ученик 5-го класса рассказал, что прочитал интересную книгу о героях
Великой Отечественной войны, которая была очень толстая. Для нумерации всех страниц
книги потребовались 104 цифры. Можете ли вы определить, прав пятиклассник или нет,
не видя самой книги?
Задание 5. После отражения атаки фашистов два солдата решили посчитать гильзы.
Оказалось, что первый солдат собрал столько же гильз, сколько второй собрал процентов
от общего числа собранных ими гильз и наоборот, второй солдат собрал столько же гильз,
сколько первый собрал процентов от общего числа собранных ими гильз. Сколько гильз
собрал каждый из них?
Задание 6. Иногда после боя солдаты мечтали о мирной жизни.
Один солдат рассказал, что у него в саду есть четыре
пересекающихся тропинки (смотри рисунок), и он хочет
высадить в сад четыре фруктовых дерева, причем так, чтобы по
обе стороны от каждой тропинки было поровну фруктовых
деревьев.
Покажите возможные варианты расположения деревьев в саду.
Задание 7. Один из бойцов мечтал о том, что когда он вернётся домой, то всех ребятишек,
живущих на его улице, накормит фруктами из своего сада. Сделать детей счастливыми, по
его мнению, просто: надо угостить каждого тремя разными фруктами. Какое наибольшее
количество ребят может сделать счастливыми солдат, если соберёт в саду 20 груш, 30
яблок, 40 персиков и 50 слив?
Задание 8. Зона боевых действий имеет вид шестиугольника (смотри рисунок). Нужно
разделить её на четыре равные части. Покажите, как это можно сделать, если деление
следует производить только по линиям сетки.