Кейс &quot

СЦЕНАРИЙ ТВОРЧЕСКОГО УРОКА.
Автор: Кирьянова Марина Владимировна.
Образовательное учреждение: МОУ СОШ №3 села Кочубеевское
Кочубеевского района Ставропольского края
Предмет: геометрия
Тема урока: «Теорема Пифагора».
Класс:8.
Учебно-методическое обеспечение:
1.Геометрия 7-9: Учебник для общеобразовательных учреждений А.В.Погорелов
и др.-12-е изд.-М.: «Просвещение», 2011.
2. Геометрия. Дидактические материалы.8 класс. Б.Г. Зив., В.М. Мейлер.-13-е
изд.- М.: Просвещение,2010.
Время реализации занятия: 2-3 урока.
Данная разработка предусматривает проведение одного или двух
заключительных уроков по теме «Теорема Пифагора». После этого урока
предполагается еще один час на решение задач и затем контрольная работа.
Особенностью этих уроков является использование методов сравнения,
сопоставления, противопоставления, умения выделять общее и различия, а
также приобщение обучающихся к поиску и отбору информации, что
способствует
развитию исследовательских навыков и познавательной
активности. Подобраны также интересные задачи по теме с практической
направленностью, исторический материал, что приводит к значительному
повышению учебной мотивации.
Все обучающиеся класса разбиты на 3 группы: историки, теоретики и
практики, каждая группа получила задания (см. содержание кейсов).
Тема: Кейс « Помогла теорема Пифагора»
Оборудование:
компьютер, мультимедийный проектор, компьютерная презентация;
раздаточный материал.
Цели педагогической деятельности:
1) Создать условия для групповой деятельности, для достижения
совместного результата деятельности обучающихся.
2)Показать исторические истоки теоремы.
3) Научить учащихся применять полученные знания к решению прикладных
задач.
4) Развивать самостоятельность и познавательный интерес при обучении
геометрии.
Задачи:
1) Помогать учащимся в формировании умений и навыков работы с
дополнительной информацией, умений обобщать и самостоятельно
делать выводы.
2) Создавать условия для развития логического мышления, «гибкости ума».
3) Продолжить формировать навыки анализа, умения строить
доказательства при изучении теоремы.
4) Помогать учащимся в нахождении значений применяемости теоремы
для человека в жизни.
5) Воспитывать эстетический вкус у учащихся через восприятие картин и
исторических задач.
6) Создавать условия для развития познавательного интереса к изучению
геометрии.
7) Продолжить формирование умений представлять результаты своей
работы.
Тип урока: урок представления результатов исследовательской деятельности
группы обучающихся.
Форма урока: работа с кейсом.
План проведения урока:
Этапы урока
Организационная деятельность.
Устный счёт.
Актуализация знаний учащихся.
Работа с кейсом. Анализ.
Физ. пауза.
Самостоятельная работа учащихся.
Домашнее задание.
Итог урока.
Рефлексия. Заполнить оценочный лист.
Временная
реализация
1-2 мин.
4-6 мин.
2-3 мин.
15 мин.
2-3 мин.
5-6 мин.
2-3 мин.
2-3 мин.
2-3 мин.
ПЛАН УРОКА
(слайды 1-2)
«Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – теорема Пифагора,
другое - золотое сечение, и если первое из них можно сравнить с мерой золота,
то второе – с драгоценным камнем…».
И. Кеплер
Живи с людьми так, чтобы твои друзья не стали недругами, а недруги стали
друзьями. Пифагор
Суть истины вся в том, что нам она – навечно
Когда хоть раз в прозрении ее увидим свет,
И теорема Пифагора через столько лет
Для нас, как для него, бесспорна, безупречна…
(отрывок из стихотворения немецкого писателя А. Шамиссо)
Основные этапы урока.
1. Организационная деятельность. Слово учителя.
Знакомство с ходом урока.
2. Устный счёт. Блиц–опрос.
3. Актуализация знаний учащихся. Практическая работа.
4. Работа с кейсом. Анализ.
5. Физ. пауза.
6. Самостоятельная работа учащихся.
7. Домашнее задание.
8. Итог урока.
9. Рефлексия. Заполнить оценочный лист.
Ход урока.
1. Организационный момент.
-Вступительное слово учителя:
Сегодня на уроке мы будем работать с так называемым «кейсом». Под
кейсом понимается пакет материалов, который включает информацию по
рассматриваемой теме, задания, презентации, видеоматериал, оценочные
листы для самооценки и взаимооценки вашей деятельности на уроке.
На работу с данным кейсом отводится 3 занятия.
1 занятие посвящено знакомству с ситуацией и первичному анализу
информации, распределению обязанностей между участниками группы. В
ходе этого занятия сформировали 3 группы: историки, теоретики,
практики из числа учащихся.
2 занятие посвящено обсуждению и решению задач по теме, а так же
предложенной практической ситуации для каждой группы и принятию
коллективного решения. Предполагается предварительная обработка
информации дома.
3 занятие посвящается представлению предложений и сопоставлению
результатов, полученных в группах.
В ходе работы вы имели возможность, ознакомившись с представленными
материалами, провести их обсуждение внутри группы, задать вопросы учителю
и разработать начальный вариант подхода к разрешению проблемы.
2.Устный счёт.
(слайды 3-6)
Разминка.
1) Назовите гипотенузу и катеты. Запишите к каждому треугольнику равенство,
выражающее теорему Пифагора.
2)Найти MN.
3)Найдите острый угол.
4) Найти BC.
5) Найти острые углы
прямоугольного треугольника
Блиц –опрос. В тетради записывайте только ответы. (слайды 7-8)
-Один из углов прямоугольного треугольника равен 25⁰. Чему равны остальные
углы?(65⁰, 900)
-Один из углов прямоугольного треугольника равен 30⁰, катет противолежащий ему,
равен 11 см. Чему равна гипотенуза? (22см)
-Катет прямоугольного треугольника равен 6 дм, гипотенуза равна 12 дм. Найдите
углы треугольника? (30⁰,60⁰)
- Сторона квадрата равна 1,5 м. Найдите площадь квадрата? (2,25 м2)
-Если сторона квадрата равна 13 см, то чему равна его площадь? (169 см2)
-Площадь квадрата равна 121 см2 , чему равна сторона квадрата? (11 см)
- Катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 8 см. Найдите площадь
прямоугольного треугольника? (20 см 2)
-Площадь квадрата равна 5 см. Найдите длину стороны квадрата (√5см)
-Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника равна 4,5 см. Найдите
катеты этого треугольника.(3 и 3 см).
-Площадь квадрата равна -36 см2 . найдите длину стороны квадрата (задача не имеет
решения).
Проверить результаты блиц-опроса.
поставить себе оценку. (слайд 9)
Количество плюсов поделить на два и
У кого «5» , «4», «3» и «2» ставим на полях тетради.
3.Актуализация знаний учащихся.
Практическая работа. (слайды 10-12)
Историки: постройте прямоугольный треугольник с катетами 12см и 5 см и измерьте
гипотенузу.
Теоретики: постройте прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см и измерьте
гипотенузу.
Практики: постройте прямоугольный треугольник с катетами 8 см и 15 см и измерьте
гипотенузу.
Результаты мы занесем в таблицу
а
12
6
3
в
5
8
4
c
13
10
5
Выразите формулой зависимость между длинами катетов и гипотенузой в
прямоугольных треугольниках. Результаты запишите в таблицу.
2
а
144
36
9
2
в
25
64
16
2
с
169
100
25
4.Работа с кейсом. Анализ.
У вас на столах лежит кейс «Помогла теорема Пифагора». см. Приложения №1-3.
Откройте его и прочитайте текст кейса. По тексту кейса сформулируйте цели
полезного использования кейса.(в тексте!)
Взаимопроверка теоретического материала( в парах):
1. Дайте определение прямоугольного треугольника.
2. Названия сторон, соотношения между ними.
3. Свойство острых углов прямоугольного треугольника.
4.Свойство прямоугольного треугольника с углом в 30.
5. Свойство прямоугольного треугольника с углом в 45.
1)Выступление группы историков, см. Приложение №4. (слайды 13-21)
1. Найти и подготовить информацию о жизни Пифагора.
2.О пифагорейском союзе.
3.Об истории возникновения теоремы Пифагора.
4.Где мы встречаем и используем теорему Пифагора.
5. Рассмотреть ситуацию.
2) Выступление группы теоретиков, см. Приложение №5. (слайды 22-33)
1.Геометрическая формулировка.
2.Алгебраическая формулировка.
3. Откуда взялись «пифагоровы штаны».
4. Почему эту теорему называли «мостом ослов» или «теоремой невесты».
5.Где мы встречаем и используем теорему Пифагора.
6. Рассмотреть ситуацию.
В фильме «Приключение Электроника» Электроник доказывал эту теорему 25
способами.
3) Выступление группы практиков, см. приложение 6.( слайды 34-41)
1.Найти и подготовить информацию о пифагоровых тройках.
2. Выполнить практическое задание построение прямого угла при помощи
шнура.
3. Где мы встречаем и используем теорему Пифагора.
5. Рассмотреть ситуацию.
5. Физ.пауза. (слайд 42)
Раз – подняться, подтянуться,
Два – согнуться, разогнуться,
Три – в ладоши три хлопка,
Головою – три кивка,
На четыре – руки шире,
Пять – руками помахать,
Шесть – за парту сесть опять.
6.Самостоятельная работа учащихся. (слайд 43)
1.Найдите гипотенузу треугольника по данным катетам a и b.
И) а=6, b=8
Т) а=5, b=6
П) а=2, b=7
Ответ: И)10
Т) √61
П) √53
2.Найдите сторону ромба, если его диагонали равны
10см и 24см.
Ответ:13см.
3.Выясните, является ли треугольник прямоугольным, если его стороны
выражаются числами:
И)5,6,7
Т)9,12,15
П) 10, 24, 26
Ответ: И) нет; Т) да; П) да.
Тест по теме: «Теорема Пифагора» (резерв)
1)
А) 7
Б) 13
В) 17
Г) 169
2)
А) 2
Б) 164
В) 18
Г) 6
3)
А)24
Б) 6
В) 24
Г) 306
4)
5)
Sквадрата=25см2.
Найти: диагональ.
А) 50
Б) 25
В) 5
Г) 10
Квадрат с площадью 36 см2 вписан круг.
Найти радиус круга.
А) 72
В) 36
Б)
72
2
Г)
36
2
7.Домашнее задание. (слайд 44)
Оформить в виде доклада не более 3 доказательств теоремы Пифагора, решить задачу
и сделать к ней красивый рисунок, определить, к какой стране относится эта задача.
Задача выдается каждому учащемуся на карточке.
Задача. “На глубине 12 футов растет лотос с 13-футовым стеблем. Определите, на
какое расстояние цветок может отклониться от вертикали, проходящей через
точку крепления стебля ко дну”.
8.Итог урока. (слайды 45-46)
Теорема Пифагора издавна широко применялась в различных областях науки, техники
и практической жизни. Даже те, кто в своей жизни навсегда «распрощался» с
математикой, сохраняют воспоминания о «пифагоровых штанах». Причина
объясняется ее простотой, красотой и значимостью. О том, что в наши дни
необходима теорема Пифагора можно узнать из строк немецкого поэта Альберта фон
Шамиссо:
И теорема та, что дал нам Пифагор,
Верна теперь, как в день ее рождения.
И закончить урок я бы хотела словами Пифагора:
«Как хорошо, когда благоденствие человека основано на законах разума».
Будьте благоразумными. Урок окончен. Всем спасибо.
9.Рефлексия. Заполнить оценочный лист. (слайд 47)
Задачи для решения:
1.Найдите катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 600, если
гипотенуза равна 16.
2.В прямоугольнике АВСД найдите АД, если АВ=7, АС=13.
3.Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 17см, а основание равно
20см. Найдите высоту, проведенную к основанию.
4.Выясните, является ли треугольник прямоугольным, если его стороны
выражаются числами: 26; 24; 10.
5.Найдите высоты треугольника со сторонами 10см, 10см и 10см.
Литература.
1.Акимова С. Занимательная математика Санкт-Петербург.: «Тригон», 1997.
2.Геометрия 7-9: Учебник для общеобразовательных учреждений А.В.Погорелов и др.12-е изд.-М.: «Просвещение», 2010.
3.Геометрия7-9: Учебник для общеобразовательных учреждений
Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, СБ. Кадомцев и др.-12-е изд.-М.: «Просвещение», 2002.
4.Глейзер Г.И. История математики в школе. - М.: «Просвещение», 1981.
5.Еленьский Ш. По следам Пифагора, М., 1961.
6.Журнал «Математика в школе» № 4, 1991.
7. Литцман В. Теорема Пифагора. М., 1960.
8. Скопец З.А. Геометрические миниатюры. М., 1990.
9.Энциклопедический словарь юного математика/ Сост. А.П. Савин.-3-е изд., испр. и
доп. - М.: Педагогика-Пресс, 1997.
10.Энциклопедия для детей. Т.П. Математика /Главный редактор М.Д.Аксенова. М.:Аванта+»,1998.
12. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика. - М., 1997
13.В.К Смышляев О математике и математиках Марийское книжное
издательство1977г.
14.Интернет сайты.
15.История теоремы Пифагора
16.http://th-pif.narod.ru/pract.htm
Приложение №1.
ДЛЯ ГРУППЫ «ИСТОРИКИ»
Кейс «Помогла теорема Пифагора».
По выражению известного ученого Иоганна Кеплера, «Геометрия владеет двумя
сокровищами: одно из них – теорема Пифагора, другое - золотое сечение, и если
первое из них можно сравнить с мерой золота, то второе – с драгоценным камнем…».
Теорема Пифагора – одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема
геометрии. Значение ее состоит в том, что из нее или с ее помощью можно доказать
большинство теорем геометрии, при решении задач эту теорему используют
буквально на «каждом шагу».
Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии,
устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это
всем давно известная теорема, многие знают её и все прекрасно знают, что её открыл
Пифагор. Все прекрасно знают и самого Пифагора и теорему, но не многие знают
биографию Пифагора, а также различные способы доказательства этой непростой
теоремы. Наша работа и поможет поближе познакомиться с ними.
Даже те, кто не понимают математику, или она не пригодилась им в жизни, знают о
«пифагоровых штанах». Теорема Пифагора очень популярна и причиной такой
популярности является её простота. На самом деле, теорема проста, но не очевидна.
Один американский математик, наш современник, около 20 лет собирал различные
способы доказательства теоремы Пифагора, и сейчас его «коллекция» содержит
около 300 различных доказательств. Это говорит о том, что древняя теорема
актуальна и интересна людям до сих пор.
Итак, что для решения большинства геометрических задач с применением теоремы
Пифагора и обратной ей теоремы необходимо знать:
o Какой треугольник называется прямоугольным.
o Как называются его стороны.
o Как найти площадь прямоугольного треугольника.
o Как найти площадь квадрата.
o Как найти сторону квадрата по его площади.
o Свойства площадей многоугольников.
o Свойство острых углов прямоугольного треугольника.
o Свойство прямоугольного треугольника с углом в 30.
o Свойство прямоугольного треугольника с углом в 45.
Помимо проблемы итоговой аттестации возникают вопросы и сомнения, в какой мере
приобретаемые в этой области знания могут и будут востребованы в дальнейшем,
насколько оправданы как затраты времени, так и здоровья на изучение этой темы.
Перед собой поставьте вопрос: зачем нужна теорема Пифагора? Где мы
встречаемся и используем её? Можно ли без нее обойтись в математике и не
только?
ЗАДАНИЯ:
1. Найти и подготовить информацию о жизни Пифагора.
2.О пифагорейском союзе.
3.Об истории возникновения теоремы Пифагора.
4.Где мы встречаем и используем теорему Пифагора.
5. Рассмотреть ситуацию.
Цели: закрепить изучаемый материал; показать применение теоремы Пифагора в
жизненной ситуации.
Лиса Алиса сказала коту Базилио, чтобы найти клад, надо протии 5м вперёд,
потом повернуть налево и пройти еще 12м, а сама побежала напрямик. Кто
первый доберётся до клада и на сколько его путь будет короче?
1. Проанализируйте ситуацию.
2. Выявите моменты, указывающие на возможность применения теоремы
Пифагора.
Решите задачи:
1. Найдите катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 600, если
гипотенуза равна 18.
2. В прямоугольнике АВСД найдите АД, если АВ=5, АС=13.
3. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 17см, а основание равно
16см. Найдите высоту, проведенную к основанию.
4. Выясните, является ли треугольник прямоугольным, если его стороны
выражаются числами : 6; 8; 10.
5. Найдите высоты треугольника со сторонами 10см, 10см и 12см.
ОЦЕНОЧНЫЙ ЛИСТ
учителя
оценка
Итоговая
ученик)
(ставит
Оценка
работа
Самостоятельная
Устное решение задач
при решении задач
Пифагора
Применение теоремы
сведения
Теоретические
Ф.И. учащегося
№ п/п
по теме «Применение теоремы Пифагора».
1.
2.
Условные знаки для самодиагностики учащегося.
+ Отлично изучил тему.
+, – Есть пробелы, но я. их решу самостоятельно.
–, + Были пробелы, но я их решил на уроке или с помощью одноклассников.
– Тема усвоена непрочно, нужна помощь учителя.
P.S. Колонки оценочного листа, заполняемые самими учениками (см. условные обозначения), не
влияют на оценку ученика за урок.
Приложение №2.
ДЛЯ ГРУППЫ «ТЕОРЕТИКИ»
Кейс «Помогла теорема Пифагора».
По выражению известного ученого Иоганна Кеплера, «Геометрия владеет двумя
сокровищами: одно из них – теорема Пифагора, другое - золотое сечение, и если
первое из них можно сравнить с мерой золота, то второе – с драгоценным камнем…».
Теорема Пифагора – одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема
геометрии. Значение ее состоит в том, что из нее или с ее помощью можно доказать
большинство теорем геометрии, при решении задач эту теорему используют
буквально на «каждом шагу».
Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии,
устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это
всем давно известная теорема, многие знают её и все прекрасно знают, что её открыл
Пифагор. Все прекрасно знают и самого Пифагора и теорему, но не многие знают
биографию Пифагора, а также различные способы доказательства этой непростой
теоремы. Наша работа и поможет поближе познакомиться с ними.
Даже те, кто не понимают математику, или она не пригодилась им в жизни, знают о
«пифагоровых штанах». Теорема Пифагора очень популярна и причиной такой
популярности является её простота. На самом деле, теорема проста, но не очевидна.
Один американский математик, наш современник, около 20 лет собирал различные
способы доказательства теоремы Пифагора, и сейчас его «коллекция» содержит
около 300 различных доказательств. Это говорит о том, что древняя теорема
актуальна и интересна людям до сих пор.
Итак, что для решения большинства геометрических задач с применением теоремы
Пифагора и обратной ей теоремы необходимо знать:
o Какой треугольник называется прямоугольным.
o Как называются его стороны.
o Как найти площадь прямоугольного треугольника.
o Как найти площадь квадрата.
o Как найти сторону квадрата по его площади.
o Свойства площадей многоугольников.
o Свойство острых углов прямоугольного треугольника.
o Свойство прямоугольного треугольника с углом в 30.
o Свойство прямоугольного треугольника с углом в 45.
Помимо проблемы итоговой аттестации возникают вопросы и сомнения, в какой мере
приобретаемые в этой области знания могут и будут востребованы в дальнейшем,
насколько оправданы как затраты времени, так и здоровья на изучение этой темы.
Перед собой поставьте вопрос: зачем нужна теорема Пифагора? Где мы
встречаемся и используем её? Можно ли без нее обойтись в математике и не
только?
ЗАДАНИЯ:
1.Рассмотреть различные доказательства теоремы Пифагора.
2.Геометрическая формулировка.
3.Алгебраическая формулировка.
4. Откуда взялись «пифагоровы штаны».
5. Почему эту теорему называли «мостом ослов» или «теоремой невесты».
6.Где мы встречаем и используем теорему Пифагора.
7. Рассмотреть ситуацию.
Цели: закрепить изучаемый материал; показать применение теоремы Пифагора в
жизненной ситуации.
Высота дерева 8м, котёнок сидит в 6м от дерева. Как далеко от котёнка воробей,
сидящий на вершине дерева?
1. Проанализируйте ситуацию.
2. Выявите моменты, указывающие на возможность применения теоремы
Пифагора.
Решите задачи:
1. Найдите катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 30 0, если
гипотенуза равна 18.
2.В прямоугольнике АВСД найдите АД, если АВ=6, АС=13.
3.Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 18см, а основание равно
16см. Найдите высоту, проведенную к основанию.
4.Выясните, является ли треугольник прямоугольным, если его стороны
выражаются числами : 6; 5; 7.
5.Найдите высоты треугольника со сторонами 12см, 12см и 12см.
ОЦЕНОЧНЫЙ ЛИСТ
1.
2.
3.
Итоговая оценка учителя
Оценка (ставит ученик)
Тест
при решениизадач
Устное решение задач
Пифагора
теоремы
Применение
Теоретические сведения
Ф.И. учащегося
№ п/п
по теме «Применение теоремы Пифагора».
Условные знаки для самодиагностики учащегося.
+ Отлично изучил тему.
+, – Есть пробелы, но я. их решу самостоятельно.
–, + Были пробелы, но я их решил на уроке или с помощью одноклассников.
– Тема усвоена непрочно, нужна помощь учителя.
P.S. Колонки оценочного листа, заполняемые самими учениками (см. условные
обозначения), не влияют на оценку ученика за урок.
Приложение №3.
ДЛЯ ГРУППЫ «ПРАКТИКИ»
Кейс «Помогла теорема Пифагора».
По выражению известного ученого Иоганна Кеплера, «Геометрия владеет двумя
сокровищами: одно из них – теорема Пифагора, другое - золотое сечение, и если
первое из них можно сравнить с мерой золота, то второе – с драгоценным камнем…».
Теорема Пифагора – одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема
геометрии. Значение ее состоит в том, что из нее или с ее помощью можно доказать
большинство теорем геометрии, при решении задач эту теорему используют
буквально на «каждом шагу».
Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии,
устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это
всем давно известная теорема, многие знают её и все прекрасно знают, что её открыл
Пифагор. Все прекрасно знают и самого Пифагора и теорему, но не многие знают
биографию Пифагора, а также различные способы доказательства этой непростой
теоремы. Наша работа и поможет поближе познакомиться с ними.
Даже те, кто не понимают математику, или она не пригодилась им в жизни, знают о
«пифагоровых штанах». Теорема Пифагора очень популярна и причиной такой
популярности является её простота. На самом деле, теорема проста, но не очевидна.
Один американский математик, наш современник, около 20 лет собирал различные
способы доказательства теоремы Пифагора, и сейчас его «коллекция» содержит
около 300 различных доказательств. Это говорит о том, что древняя теорема
актуальна и интересна людям до сих пор.
Итак, что для решения большинства геометрических задач с применением теоремы
Пифагора и обратной ей теоремы необходимо знать:
o Какой треугольник называется прямоугольным.
o Как называются его стороны.
o Как найти площадь прямоугольного треугольника.
o Как найти площадь квадрата.
o Как найти сторону квадрата по его площади.
o Свойства площадей многоугольников.
o Свойство острых углов прямоугольного треугольника.
o Свойство прямоугольного треугольника с углом в 30.
o Свойство прямоугольного треугольника с углом в 45.
Помимо проблемы итоговой аттестации возникают вопросы и сомнения, в какой мере
приобретаемые в этой области знания могут и будут востребованы в дальнейшем,
насколько оправданы как затраты времени, так и здоровья на изучение этой темы.
Перед собой поставьте вопрос: зачем нужна теорема Пифагора? Где мы
встречаемся и используем её? Можно ли без нее обойтись в математике и не
только?
ЗАДАНИЯ:
1.Найти и подготовить информацию о пифагоровых тройках.
2. Выполнить практическое задание: шнур разделите узлами на 12 равных частей.
Сложите треугольник таким образом, чтобы его стороны состояли 3, 4 и 5 частей.
Определите вид получившегося треугольника. Проверьте равенство. (Сложите
треугольник таким образом, чтобы его стороны были пропорциональны числам 3, 4 и
5 . Определите вид получившегося треугольника. Проверьте равенство: а2 + в2 = с2.)
3. Где мы встречаем и используем теорему Пифагора.
5. Рассмотреть ситуацию.
Цели: закрепить изучаемый материал; показать применение теоремы Пифагора в
жизненной ситуации.
Длина телескопической удочки 5м, а длина лески до поплавка 3м. На каком
расстоянии от рыбака находится поплавок?
3. Проанализируйте ситуацию.
4. Выявите моменты, указывающие на возможность применения теоремы
Пифагора.
Решите задачи:
1.Найдите катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 450, если
гипотенуза равна 18.
2.В прямоугольнике АВСД найдите АД, если АВ=5, АС=12.
3.Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 17см, а основание равно
18см. Найдите высоту, проведенную к основанию.
4.Выясните, является ли треугольник прямоугольным, если его стороны
выражаются числами : 9; 12; 15.
5.Найдите высоты треугольника со сторонами 10см, 12см и 12см.
ОЦЕНОЧНЫЙ ЛИСТ
по теме «Применение теоремы Пифагора».
Итоговая оценка учителя
Оценка (ставит ученик)
Тест
при решении задач
Устное решение задач
Пифагора
теоремы
Применение
Теоретические сведения
Ф.И. учащегося
№ п/п
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Условные знаки для самодиагностики учащегося.
+ Отлично изучил тему.
+, – Есть пробелы, но я. их решу самостоятельно.
–, + Были пробелы, но я их решил на уроке или с помощью одноклассников.
– Тема усвоена непрочно, нужна помощь учителя.
P.S. Колонки оценочного листа, заполняемые самими учениками (см. условные обозначения),
не влияют на оценку ученика за урок.
Приложение №4.
Представление кейса. Историки.
«О великом Пифагоре»
О жизни Пифагора известно немного. Он родился в 580 г . до н.э. в Древней
Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии,
поэтому его называют Пифагором Самосским.
Родился Пифагор в семье Мнесарха - резчика по камню, который сыскал скорее
славу, чем богатство. Имя матери Пифагора не сохранилось. Некоторые называли её
Пифаидой, дочерью рода Анкея – основателя Самоса. Другие утверждали, будто бы
сам Мнесарх назвал жену Пифаидой, а сына – Пифагором в честь дельфийской
прорицательницы Пифии. Сделал же так Мнесарх после того, как получил от
Дельфийского оракула весть о том, что жена подарит ему необыкновенного сына.
Наконец, многие, имея на то основания, считали, что Пифагор – это не имя, а
прозвище. Поскольку мудрый учитель высказывал истину столь же постоянно и
авторитетно, как и дельфийская Пифия, он был прозван Пифагором.
Слово Пифагор можно перевести как вещающий (прорицающий) как Пифия.
Версия о том, что Пифагор это имя не собственное, а прозвище, представляется
наиболее правдоподобной.
Ещё в детстве он проявлял незаурядные способности, и когда подрос,
неугомонному воображению юноши стало тесно на маленьком острове.
Пифагор перебрался в город Милет и стал учеником Фалеса, которому в то время
шёл восьмой десяток. Мудрый учёный посоветовал юноше отправиться в Египет, где
сам, когда-то изучал науки.
Когда Пифагор постиг науку египетских жрецов, то засобирался домой, чтобы там
создать свою школу. Жрецы, не желавшие распространения своих знаний за пределы
храмов, не хотели его отпускать. С большим трудом ему удалось преодолеть эту
преграду.
Однако по дороге домой, Пифагор попал в плен и оказался в Вавилоне.
Вавилоняне ценили умных людей, поэтому он нашёл своё место среди вавилонских
мудрецов. Наука Вавилона была более развитой, нежели египетская.
Пифагор прожил в Вавилоне около десяти лет и в сорокалетнем возрасте вернулся
на родину. Но на острове Самос он оставался недолго. В знак протеста против тирана
Поликрата, который тогда правил островом, поселился в одной из греческих колоний
Южной Италии в городе Кротоне.
Там в 530 г. до н.э. Пифагор организовал тайный союз молодёжи из
представителей аристократии. В этот союз принимались с большими церемониями
после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал
клятву хранить в тайне учения основателя. Пифагорейцы, как их позднее стали
называть, занимались математикой, философией, естественными науками. В школе
существовал декрет, по которому авторство всех математических работ
приписывалось учителю.
Заповеди Пифагора и его учеников актуальны и сейчас и могут быть приемлемы
для любого здравомыслящего человека. Вот некоторые из них!




Делать то, что впоследствии не огорчит тебя и не принудит раскаиваться;
Не делай никогда того, что не знаешь, но научись всему, что следует знать;
Не пренебрегай здоровьем своего тела;
Приучайся жить просто и без роскоши.
Известно также, что кроме духовного и нравственного развития учеников
Пифагора заботило их физическое развитие. Он не только сам участвовал в
Олимпийских играх и два раза побеждал в кулачных боях, но и воспитал плеяду
великих олимпийцев.
Около сорока лет учёный посвятил созданной им школе и, по одной из версий, в
возрасте восьмидесяти лет Пифагор был убит в уличной схватке во время народного
восстания.
По другой версии, однажды к Пифагору пришёл Килон, человек богатый, но злой,
желавший спьяну вступить в братство. Но получив отказ, Килон начинает борьбу с
Пифагором и поджигает его дом. При пожаре пифагорейцы спасли жизнь своему
учителю, вскоре после этого Пифагор покончил жизнь самоубийством.
Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связывается с именем
Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах она встречается
за 1200 лет до Пифагора. По-видимому, он первым нашёл её доказательство.
Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву
богам быка, по другим свидетельствам – даже сто быков. Это, однако, противоречит
сведениям о моральных и религиозных воззрениях Пифагора. В литературных
источниках можно прочитать, что он «запрещал даже убивать животных, а тем более
ими кормиться, ибо животные имеют душу, как и мы». В связи с этим более
правдоподобной можно считать следующую запись: «… когда он открыл, что в
прямоугольном треугольнике гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принес в
жертву быка, сделанного из пшеничного теста».
Приложение №5.
Представление кейса. Теоретики
«Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии,
устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника» .
Теорема Пифагора (без доказательства) встречается еще в вавилонских текстах,
написанных за 1200 лет до Пифагора. Она была известна в Китае и Индии. Одно из
древнейших доказательств теоремы Пифагора, очень громоздкое и трудное, дано
Евклидом.
На протяжении последующих веков были найдены другие доказательства
теоремы Пифагора. В настоящее время их насчитывается более ста. Большинство
способов её доказательства сводятся к разбиению квадратов на более мелкие части.
1. Найти площадь не заштрихованной фигуры. Сделать вывод, учитывая
обозначение сторон прямоугольного треугольника.
2.Доказательство теоремы Пифагора, предложенное древними индусами
Для первого квадрата:
(a + b)2 = c2 + 4SABC .
Для второго квадрата:
(a + b)2 = a2 + b2 +4SABC.
Следовательно, c2+4SABC = a2+b2+4SABC. с2 = a2 + b2.
Древние индусы не записывали доказательство, а свои рисунки сопровождали словом
«СМОТРИ».
Теорема Пифагора доказана более чем 367 способами. Мы познакомились с тремя
способами доказательства теоремы. Приведём наиболее простое геометрическое
доказательство этой теоремы: площадь квадрата, построенного на гипотенузе
прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его
катетах.
3.Пифагоровы штаны— шуточное название пифагоровой теоремы, возникающее в
силу того, что построенные на сторонах прямоугольного треугольника и
расходящиеся в разные стороны квадраты напоминают покрой штанов.
Так звучала теорема во времена Пифагора: «Площадь квадрата построенного на
гипотенузе прямоугольного треугольника равна сумме площадей квадратов,
построенных на его катетах».
Дерево Пифагора— разновидность основанная на фигуре, известной как «Пифагоровы
штаны».
Одним из свойств дерева Пифагора является то, что, если площадь первого
квадрата равна единице, то на каждом уровне сумма площадей квадратов тоже будет
равна единице.
В Германии и Франции эту теорему называли «мостом ослов». Доказательство
теоремы Пифагора считалось в кругах учащихся средних веков очень трудным и
называлось иногда Pons Asinorum “ослиный мост” или elefuga – “бегство убогих”,
так как некоторые “убогие” ученики, не имевшие серьезной математической
подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучивающие теоремы наизусть,
без понимания, и прозванные поэтому “ослами”, были не в состоянии преодолеть
теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста.
У математиков арабского востока эта теорема получила название "теоремы невесты".
Дело в том, что в некоторых списках "Начал" Евклида эта теорема называлась
"теоремой нимфы" за сходство чертежа с пчелкой, бабочкой, что по-гречески
называлось нимфой. Но словом этим греки называли еще некоторых богинь, а также
вообще молодых женщин и невест. При переводе с греческого арабский переводчик,
не обратив внимания на чертеж, перевел слово "нимфа" как "невеста", а не "бабочка".
Так появилось ласковое название знаменитой теоремы - "теорема невесты".
Про эту теорему сочиняли стихи и рисовали шаржи.
***
Если дан нам треугольник
И притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдём:
Катеты в квадрат возводим,
Сумму степеней находим
И таким простым путём
К результату мы придём.
Приложение №6.
Представление кейса. ПРАКТИКИ.
Теорема Пифагора действительно занимает важное место в математике, с ее помощью
можно вывести большинство теорем геометрии и решить множество не только
математических задач.
В настоящее время всеобщее признание получило то, что успех развития многих
областей науки и техники зависит от развития различных направлений математики.
Так, например, на рынке мобильной связи идёт большая конкуренция среди
операторов. Чем надёжнее связь, тем больше операторов. При строительстве вышки
(антенны) часто приходится решать задачу об определении наибольшей высоты
антенны, используя теорему Пифагора Самосского. Это еще раз доказывает
значимость данной теоремы.
Прошло уже много лет с того момента, когда эта теорема была впервые открыта и
доказана, но она до сих пор продолжает привлекать внимание многих исследователей,
учёных, учеников.
Вопрос о количестве доказательств теоремы Пифагора является сегодня довольно
актуальным.
Пифагоровы тройки
Мы рассмотрели простые способы формирования пифагоровых троек.
Пифагоровы тройки – это тройки (x, y, z) натуральных чисел x, y, z, для которых
выполняется равенство
Пифагоровы тройки находят прямое применение в проектировании множества вещей,
окружающих нас в повседневной жизни. А умы учёных продолжают искать новые
варианты доказательств теоремы Пифагора.
Способ 1.
• Обычно пользуются таким приемом подбора решений:
произвольные взаимно простые числа m и n, (m,n)=1, m >n одно из них четное, а
другое нечетное, и формируют триаду
(m²- n²; 2mn; m²+ n²)
Способ 2.
Следующий способ возник из наблюдений над некоторыми свойствами триад.
а) Пусть первое число триады (длина одного катета) – нечетное, тогда, например, для
триады
(3; 4; 5) наблюдаем: 3² =4+5,
(5; 12; 13) наблюдаем: 5² =12+13,
(7; 24; 25) - 7² =24+25 и т. д.
Эти наблюдения показывают приём подбора:
взять нечетное число, возвести его в квадрат и результат представить в виде
суммы двух последовательных чисел; слагаемые будут вторым и третьим
членами триады.
Пример: триада (13;84;85), 13²=84+85, действительно, 13² + 84² = 85².
б) пусть первое число триады – четное. Тогда, например, для триады (3; 4; 5)
наблюдаем: 42=2(3+5), для триады (8;15;17)
82=2(15+17) и т.д. Наблюдения
показывают прием подбора:
Взять число, кратное 4, его квадрат разделить на 2 и результат представить как
сумму двух последовательных нечетных чисел; слагаемые будут вторым и третьим
членами триады.
Пример: (16; 63; 65) 16 ²=2(63+65)
Свойства пифагоровых троек
Свойство 1. Числа, входящие в простейшую пифагорову тройку, попарно взаимно
просты.
• Действительно, если два из них, например x и y имеют простой общий
делитель p, то на p делится и третье число z. Это противоречит тому, что тройка
– простейшая.
Следствие. В простейшей пифагоровой тройке только одно число может быть
чётным.
Свойство 2. В простейшей пифагоровой тройке числа x и y не могут быть
одновременно нечётными.
Способ 3.
Из данного пифагорова треугольника со сторонами (а, b, с) можно получить
бесконечное множество подобных ему треугольников со сторонами (kа, kb, kс) , где k
– произвольное натуральное число.
Практическое задание.
Постройте с помощью шнура прямой угол. Группе историков выдать шнур длиной 24
см, группе теоретиков выдать шнур длиной 36 см.
Подсказка : шнур разделите узлами на 12 равных частей. Сложите треугольник таким
образом, чтобы его стороны состояли 3, 4 и 5 частей. Определите вид получившегося
треугольника. Проверьте равенство: а2 + в2 = с2.
В Индии теорему Пифагора называли «правилом верёвки». Это выходит с того, что
когда они что-то строили, то для постройки прямого угла они пользовались верёвкой,
которую разбивали на три части. К примеру, брали 12 м и с одного конца привязывали
цветную полоску через 3 м, а с другого через 4 м, то есть 3 и 4 метры – это будут
катеты (стороны прямого угла), а 5 м – гипотенуза .
О прямоугольном треугольнике со сторонами 3,4,5 единиц длины за 200 лет до н.э.
знали и египтяне, считая его магическим. Поэтому такой треугольник называют
египетским.