Задача 1. Если груз массы m = 10 г поставить на линейку на расстоянии x от её края, то линейка примет горизонтально с положение равновесия при размещении под ней упора на расстоянии y от того же края линейки (рис). Зависимость y(x) при различных размещениях груза представлена в таблице. Построив X, мм У, мм график зависимости y(x), определите массу линейки и ее длину. 10 120 Решение: 30 129 50 137 70 146 90 155 100 160 120 169 Рассмотрим систему в положении равновесия (рис. 1 Пусть М – масса линейки, а L – её длина. Запишем правило моментов относительно точки опоры: Mg (L / 2– y) = mg(y – x). Преобразовав выражение, получим: 𝑚 𝑀 y = 𝑚+𝑀x+2(𝑚+𝑀)L L/2 Mg mg Построим график зависимости y от x (рис.11). Из полученной формулы следует, что должна получиться прямая с угловым коэффициентом а=m/(М+m), пересекающая ось y в точке с ординатой yo = ML / (2m+2M). Определяем по графику указанные параметры: a = 0,445, yo= 115,3 мм. Из них получаем искомые характеристики линейки: y,мм 1−𝑎 M= 𝑎 m = 12,5 г, 2𝑦𝑜 𝐿 = 1−𝑎 = 2×115,3 = 41,5 мм. 180 1−0,445 160 140 120 100 х,мм Ответ: M = 12,5 г, 𝐿= 41,5 мм. Задача 2. Силикатный кирпич имеет следующие размеры сторон: a = 5 см, b = 10 см и с = 20 см. Два таких кирпича поставили буквой T сначала на основание a × с (рис. а), а потом в аквариум, заполненный водой, на основание а × b (рис. б). В результате оказалось, что давление кирпичей на поверхность, одинаково. Найдите массу m такого кирпича. Поскольку кирпич шершавый, вода под него подтекает. Плотность воды ρ0 = 1000 кг/м3. Решение: Пусть плотность кирпича p, тогда в первом случае давление составит: 2𝑚 p₁= 𝑎𝑐 = 2𝜌∗𝑎𝑏𝑐 𝑎𝑐 = 2𝜌 ∗ 𝑏. Во втором случае из массы кирпичей нужно вычесть массу вытесненной воды: 𝑝2 = 2𝑚−𝑚𝑏 𝑎𝑏 = 2𝜌∗𝑎𝑏𝑐−2𝜌0 ∗𝑎𝑏𝑐 𝑎𝑏 = 2(𝜌 − 𝜌0 )𝑐. Приравняв давления, получим: 𝑐 2(𝜌 − 𝜌0 )c=2p*b, откуда 𝜌 = 𝜌0 𝑐−𝑏 = 2000 кг/м3 . Наконец, найден массу кирпича: 𝑚 = 𝜌 ∗ 𝑎𝑏𝑐 = 1000 ∗ 0,005 ∗ 0,1 ∗ 0,2 ∗ м3 кг/м3 = 2 кг. Ответ: 𝑚 = 2 кг. Задача 3. Английский купец говорит русскому, что у них в Англии плотность золота 0,697 фунтов на дюйм в кубе. Русский купец отвечает, что если длину измерять в аршинах, а вес - в пудах, то плотность золота на Руси будет равна... Чему равна плотность золота на Руси? Примечание. В одном фунте 0,4536 кг, в одном футе 12 дюймов, в одном дюйме 25,4 мм, в 1 пуде 16,38 кг, в одной сажени три аршина или 2,1336 м Решение: Найдем переводной коэффициент из фунтов в пуды: 𝑎= 0,4536 ≈ 27,7 ⋅ 10−3 . 16,38 Переводной коэффициент из дюймов в аршины: 25,4 ⋅ 10−3 𝛽= ≈ 35,71 ⋅ 10−3 . 2,1336/3 В одном кубическом дюйме содержится 𝛽 3 = (35,71 ⋅ 10−3 )3 = 45,56 ⋅ 10−6 кубических аршин. Следовательно, плотность золота 𝜌 = 0,697 𝑎 27,7 ⋅ 10−3 . = ≈ 424 пуда/аршин3 𝛽 3 (35,71 ⋅ 10−3 )3 Ответ: 𝜌 ≈ 424 пуда/аршин3 Задача 4. Ко дну калориметра прикреплён плоский нагревательный элемент, над которым находится тонкий слой льда. После того, как нагревательный элемент включили на время τ1, лёд нагрелся па Δt = 2°С.. Какое время τ2, может потребоваться для увеличения температуры содержимого калориметра ещё на Δt = 2°С? Потерями теплоты в окружающую среду и теплоёмкостью калориметра можно пренебречь. Процесс теплообмена внутри калориметра можно считать достаточно быстрым. Удельная теплоёмкость льда с1 =2,1 кДж/(кг·°C), воды с2 = 4,2 кДж/(кг·°C), удельная теплота плавления льда λ = 330 кДж/кг. Решение: После первого нагревания ( в зависимости от конечной температуры льда) возможны следующие предельные варианты. 1.Если получился лёд при температуре меньшей -2˚С, то на повторный нагрев понадобится столько же теплоты и времени, сколько было затрачено на первый , а именно: 𝑄 = 𝑚𝑐1 ∆𝑡 2. Если получился лёд при температуре 0˚С, тогда сначала придётся его расплавить, а затем нагреть полученную воду на 2˚С, то есть затратить Q=mˠ+mcQ = mλ + m𝑐2 Δ𝑡 теплоты. Подставляя значение m из (1), найдем 𝑄1 = 𝑄(ʎ+𝑐2𝛥𝑡 ) 𝑐1𝛥𝑡 = 80,6𝑄 Ответ: Искомое время нагревания лежит в диапазоне 𝜏 1 < 𝜏 < 80,6𝜏 . Задача 5. Пауки Stegodyphus раcificus, обитающие в Южной Азии, создают самую топкую в мире паутину. Ее диаметр 10 нм (1 нм = 10-9 м). Оцените длину паутины, которую мог бы сделать такой паук массой 0,2 г. Масса вещества, из которого образуется паутина, составляет 10% от массы наука. Плотность паука и паутины считайте приблизительно равными 10-3 кг/м3. Примечание. В физике понятие «оценить» означает, что вычисления следует делать приближенно. Например, оценим объем шара диаметром 3 см. Искомый объем немного меньше объёма куба со стороной 3 см. Объём куба равен 27 см3. Следовательно, оценочно, объём шара 10 см3. Решение: Масса вещества паутины M= m * 10% = 0,02 . Следовательно , максимальный объём паутины. V= 𝑀 0,02∗ 10−3 кг 𝑃 = 103 кг/м3 = 2*10−8 м3 . Объём паутины равен произведению её длины L на площадь сечения S. Для оценки площадь сечения S можно полагать равной оценочно. 𝑑 2 . Тогда объём паутинки V =LS =L𝑑 2 , откуда её длина L= 𝑣 𝑑2 = 2∗10−8 (10−8 ) =2*108 м = 200000 км- максимальная длина L=2*108 м Ответ: Задача 6. Турист первую треть всего времени движения шёл но грунтовой дороге со скоростью ν 1 = 2 км/ч, затем треть всего пути перемещался по шоссе со Скоростью ν2. В конце второго участка пути он встретил грузовик, на котором и вернулся в исходную точку по той же дороге. Известно, что на грузовике он ехал с постоянной скоростью ν3. Вычислите среднюю (путевую) скорость ν0 туриста. Укажите минимальное возможное значение скорости ν2. Решение: Пусть a – расстояние, пройденное туристом по грунтовой дороге, b – по шоссе. Тогда на грузовике турист проезжает расстояние a + b. По условию справедливо a + b + ( a + b ) = 3b, откуда b = 2a. Время, за которое турист проходит грунтовую дорогу, 𝑡1 =а / 𝑣1 . Пусть полное время движения Т. По условию Т = 3𝑡1 . Тогда среднепутевая скорость: 𝑣= 𝑎+𝑏+(𝑎+𝑏) Т 6𝑎 𝑎 1 1 = 3𝑡 = 2 ∗ 𝑡 = 2𝑣1 = 4км\ч. При этом время , которое турист идёт по шоссе , 𝑡2 < T- 𝑡1 = 2 𝑡1 . Поскольку 𝑡2 = b / 𝑣2 то 𝑣2 = Ответ: 𝑏 𝑡₂ 𝑎 𝑎 𝑡₂ 2𝑡₂ = 2* > 2* = 𝑣1 = 2 км / ч 𝑣1 = 2 км / ч Задача 7. Маугли принимал у удава Каа зачёт по развороту на 180о. Техника разворота такова: Каа, вытянувшись в линию, ползёт к Маугли со скоростью ν1,; как только голова удава касается ног мальчика, удав поворачивает ее на 180о и начинает выполнять разворот; при этом голова Каа удаляется от Маугли со скоростью ν2 > ν1, а хвост продолжает движение в прежнем направлении и с прежней скоростью (рис.). За какое время tо удав выполнит разворот? На каком расстоянии от ног мальчика окажется хвост удава сразу же после выполнения разворота? Считайте, что длина L удава Каа во время разворота не меняется. Решение: Введем систему координат, в которой начало отсчета расположено у ног Маугли, ось 𝑥 сонаправлена с вектором 𝑣₂ , а время 𝑡 отсчитывается от момента начала поворота. Пока поворот не закончился, координата 𝑥₁ хвоста и 𝑥₂ головы Каа зависят от времени следующим образом: х₁ = 𝐿 − 𝑣₁𝑡 , х₂ = 𝑣₂𝑡 , Конец поворота – это момент времени 𝑡₀, когда удав снова вытянулся вдоль оси х, то есть х₂ (𝑡₀) − 𝑥₁ (𝑡₀) = 𝐿 откуда после подстановки 𝑥₁ и 𝑥₂ найдем 2𝐿 𝑡₀ = 𝑣₁+𝑣₂ Координата хвоста в этот момент: х₀ = х₁ (𝑡₀) = 𝐿 − 𝑣₁ 𝑡₀ = 𝑣₂− 𝑣₁ 𝑣₁+𝑣₂ 𝐿 М х Ответ: х₀ = 𝑣₂− 𝑣₁ 𝑣₁+𝑣₂ 𝐿 Задача 8. В боковой стенке бутылки проделано маленькое отверстие, в которое вставлена затычка. В бутылку начиняют воду и закрывают её горлышко пробкой, через которую пропущена трубка. Длина трубки подобрана таким образом, что её нижний конец находится выше отверстия в стенке бутылки, но ниже поверхности воды, а верхний конец сообщается с атмосферой. Затычку из отверстия в боковой стенке вынимают, и из него начинает вытекать вода. Через некоторое время поток воды из отверстия устанавливается, и вода вытекает с постоянной скоростью. Найдите давление воздуха P, находящегося в бутылке, в тот момент, когда нижний конец трубки находится на глубине h = 5 см от поверхности воды. Плотность воды ρ = 1000 кг/м3. атмосферное давление P0 = 100000 Па., ускорение свободного падения g = 9.8 м/с2. Решение: Если в любой момент времени давление в жидкости на уровне нижнего конца трубки равно 𝑝 + 𝜌𝑔 , где p – давление воздуха в бутылке, h – глубина, на которую погружен нижний конец трубки, то до вынимания затычки давление воздуха в бутылке было равно атмосферному давлению po. Значит, давление на уровне нижнего конца трубки было равно 𝑝𝑜 + 𝜌𝑔ℎ . Давление на уровне отверстия в боковой стенке было ещё больше т.к. оно находится глубже нижнего конца трубки, поэтому после вынимания затычки вода начинает вытекать из бутылки, объем воздуха над поверхностью воды увеличивается, и давление воздуха в бутылке постепенно падает . Так будет продолжаться до тех пор, пока давление на уровне нижнего конца трубки не станет равно атмосферному. Как только это случится, через трубку в бутылку станут входить пузырьки воздуха, и вода станет вытекать из отверстия с постоянной скоростью. Значит, начиная с этого момента справедливо соотношение 𝑝𝑜 = 𝑝 + 𝜌𝑔ℎ , откуда для момента, когда нижний конец трубки находится на глубине h = 5 см, получаем, что 𝑝 = 𝑝𝑜 − 𝜌𝑔ℎ = 99 510 Па. 𝑝𝑜 Ответ: 𝑝 = 99 510 Па. ℎ 𝑝 Задача 9. На горизонтальную поверхность льда при комнатной температуре T1 = 0 0С кладут копеечную монету, нагретую до температуры T2 = 50 °С.. Монета проплавляет лёд и опускается в образовавшуюся лунку. На какую часть своей толщины она погрузится в лёд? Удельная теплоёмкость материала монеты C = 380 Дж/(кг·°С), плотность его ρ = 8,9 гр./см3, удельная теплота плавления льда λ = 3,4·105 Дж/кг, плотность льда ρ0 = 0,9 гр./см3. Решение: Если считать монету цилиндром с площадью основания S и высотой h, то при ее остывании до температуры 𝑇1 = 0°С выделяется количество тепла Q = CpSh ( 𝑇2 - 𝑇1 ), которое достаточно для того, чтобы расплавить лед объемом Sx, где x – глубина, на которую погрузится монета: Q = λpoSx Отсюда 𝑥 𝐶 𝑝 380 8900 ( 𝑇2 − 𝑇1 ) = = (50 − 0) 0,55, ℎ 𝜆 𝑝𝑜 340000 900 То есть монета погрузится в лёд на 55% своей толщины Заметим, что если считать, что вода, выплавленная и нагретая монетой, растекается по поверхности льда и плавит его в стороне от монеты, то глубина ее погружения в лед получится немного меньше: 𝑥⁄ℎ ≈ 0,48 Ответ: 𝑥⁄ ≈ 0,48 ℎ Задача 10. В люстре 6 одинаковых лампочек. Она управляется двумя выключателями, имеющими два положения «включено» и «выключено». От коробки с выключателями к люстре идут три провода. Лампочки в люстре либо: Из условия следует, что при замыкании одного выключателя на все лампочки должно подаваться напряжение, меньшее напряжения в сети. При замыкании же второго выключателя на при лампочки должно подаваться полное напряжение сети, а три остальные лампочки должны либо отключаться от сети, либо подключаться к сети так, чтобы напряжение между их контактами было равно нулю. Поэтому ясно, что нужно собрать две одинаковые схемы, состоящие из трёх параллельно соединенных лампочек каждая, а затем соединить эти две схемы друг с другом и подключить к источнику напряжения. Это можно сделать двумя способами Решение: