Семинар№4 Вопросы: Группа, кольцо, поле. Порождающие элементы, примитивные полиномы Расширенный алгоритм Эвклида, обратный элемент. Операции в группах полях и кольцах. Китайская теорема об остатках. Функции Эйлера, Ферма. Функция F(a) называется мультипликативной если она удовлетворяет двум следующим условиям: 1. эта функция определена для всех целых положительных a и не равна нулю по меньшей мере при одном таком a. 2. Для любых положительных взаимно простых a1 и a2 имеем: F(a1 a2)=F(a1)F(a2) Группой называется набор чисел с определенными на данном наборе ,бинарными операциями. Элементы группы обладают следующими свойствами: 1. Включения – если A B елементы группы то при AB=C где C – тоже элемент группы 2. Ассоциативность умножения – для любых ABC G, (AB)C=A(BC) 3. В группе есть единичный элемент – (E) любой элемент группы A=AE 4. Все элементы группы имеют обратный элемент он определяется как AA-1=E Кольцом называется набор чисел содержащий единицу с определенными на данном наборе двумя ассоциативными операциями сложения и умножения. Операции сложения и умножения должны связаны следующими законами: 1) (a b)c ab bc И (a b)c ab bc ). 2) (a b) c a (b c ) 3) a+b=b+a 4)0+a=a+0 5) a +(-a)=(-a)+a=0 6) (a*b)*c=a*(b*c) Пример: Кольцо всех целых натуральных чисел N , +, , 1 Полем называется набор чисел с определенными на данном наборе мультипликативными операциями: Сложения: пусть a, b GF(P) a + b = r, где r – остаток после деления результата сложения на заданную размерность поля. Например, для простого поля Галуа GF(p) p – простое число определяющее размерность поля, само поле состоит из элементов {0,1,2,..., p1}, Так же эта операция называется сложением по модулю P (mod Р).; Умножения: пусть a, b GF(P), то ab = s, где s - остаток от деления ab на P. s [0, Р1].Так же эта операция называется умножением по модулю P (mod Р). Первичный элемент (генератор поля): пусть GF(P)* поле содержащее все ненулевые элементы поля GF(P) в поле GF(P) существует хотя бы один такой элемент g что любой элемент поля GF(P)* может быть вычислен как степень числа g. Таким образом GF(P)* = {gi : 0 i Р 2}. Мультипликативная инверсия a = gi GF(P)* , де 0 i Р 2 :a-1 = gР-1-i Пример: Конечное поле GF(2). GF(2) = {0, 1}. Таблицы сложения и умножения + 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 Поле GF(2m), полиномиальный базис поля. Пусть f(x)= xm+ fm-1xm-1+ …+ f2x2+ f1x+ f0 (де fi GF(2) для i = 0, ..., m-1) – полином степени m неприводимый над полем GF(2m), то есть f(x) не может быть представлен как результат умножения двух и более полиномов над полем GF(2) степени которых меньше чем m – такой полином называют примитивным. Пример: поле GF(22) содержит следующие элементы {00, 01, 10, 11} Алгоритм Эвклида: нахождение наибольшего общего делителя. Пусть a и b положительные целые числа и a>b существует теорема согласно которой какие бы ни были целые числа всегда существует пара чисел q и r такая что a=qb+r, 0<r<b a = bq0 + r1, 0 r1 < b Согласно этой же теореме если b не делится на r b = r1q1 + r2, 0 < r2 < r1 Если r1 не делится на r2 то r1 = r2 q 2 + r3 , 0 < r3 < r2 Этот процесс не может продолжатся бесконечно так как это противоречит принципу наименьшего числа (в ряде целых чисел меньше b не может быть больше чем b слагаемых). Следовательно существует такое n при котором rn-1 делится на rn и этот процесс заканчивается на шаге n+1. В результате получаем систему сравнений a = bq0 + r1, b = r1q1 + r2, ........... (2) rn2 = rn1qn1 + rn, rn1 = rnqn. Рассматривая эти уравнения сверху вниз множество общих делителей a и b совпадает с множествами делителей пар чисел b и r1, r1 и r2, r2 и r3 и т.д. Тогда справедливо отношение (a, b) = (b, r1) = (r1, r2) = . . . = (rn1, rn) = rn. Пример: (525, 231) 525231 4622 231 63 r1 1893 63 42 r2 42 1 4221 r3 422 0 r3 = 21 (525, 231) = 21 Расширенный алгоритм Эвклида (нахождение обратного элемента) Нахождение обратного элемента сводится к задаче решения Диафантова уравнения ax + by = 1 , при этом (а, b)=1 иначе обратный элемент отсутствует по определению кольца, где b размерность кольца. Обратным элементом будет значение x. Формулы для ri могут быть переписаны следующим образом: r1 = a + b( - q0) r2 = b - r1q1 = a( - q1) + b(1 + q1q2) (a,b) = rn = as + bt здесь s и t целые. Это представление наибольшего общего делителя называется соотношением Безу, а числа s и t — коэффициентами Безу. Китайская теорема об остатках: любое не отрицательное число которое не превышает каждого из множителей модуля можно однозначно восстановить если известны его остатки по этим модулям. Доказательство: Пусть числа M s и M s определены согласно m1m2 mk = Msms, причем M s M s 1(mod ms), s = 1, 2, . . . , k и целые числа m1 , m2 , . . . , mk попарно взаимнопростые, то есть ( mi , m j ) 1, i , j 1, 2, . . . , k Пусть b1, b2, . . . , bk тоже целые числа такие что 0 bi mi , i 1, 2, . . . , k Тогда система сравнений: x b1(mod m1), x b2(mod m2), (1) ........... x bk(mod mk) Имеет в интервале 0, M 1 где M = m1m2 mk одно общее решение x 0 M 1 M 1 b1 M 2 M 2 b2 ... M k M k bk (2) Если числа M s и M s определены из условий m1m2 mk = Msms, причем M s M s 1(mod ms), s = 1, 2, . . . , k и целые числа m1 , m2 , . . . , mk попарно взаимнопростые, то есть ( mi , m j ) 1, i , j 1, 2, . . . , k то совокупность значений x которые удовлетворяют x x 0 (mod m1 m2 mk ) где x 0 M 1 M 1 b1 + M 2 M 2 b2 ... M k M k bk ), х – в виде уравнения (2) систему (1) определяется сравнением удовлетворяет систему (1). Согласно другой теореме – если b1, b2, . . . , bk независимо друг от друга пробегают полную систему остатков по модулям m1 m2 mk . Число x0 может принять значение одного из остатков по модулю M = m1m2 mk., т.е. x 0 M 1. Докажем что для x0 из интервала 0, M 1 для разных наборов целых чисел b1, b2, . . . , bk таких что 0 bi mi , i 1, 2, . . . , k , общее решение (2) является единственным. Доказательство будет вестись от обратного допустим что существует еще один набор b1 , b2 , . . . , bk x 0 x 0 , чисел таких, что x M 1 M 1 b1 M 2 M 2 b2 ... M k M k bk Пускай для конкретности эти наборы отличаются числами что стоят на s-позиции т.е. bs bs . Но тогда мы приходим к тому что справедливы сравнения x 0 b(mod ms ) и x 0 b (mod ms ) так как по условию теоремы при всех i s выходит ms \ M i . Поэтому из равенства чисел вытекает справедливость сравнения bs bs (mod ms ) . При условии 0 bs ms это значит bs bs а это противоречит начальному условию. Следовательно решение (1) единственно. Функция Эйлера Определение: φ(a) определяется для всех целых положительных a и представляет собой число (количество) чисел ряда: 0,1, …. a-1 взаимно простых с a. ak a1 a2 p p ...... p Пусть a= 1 2 k - каноническое разложение числа a. Тогда φ(a)= a(1-1/p1)(1-1/p2)…(1-1/pk) Пример: φ(1)=1, φ(2)=1, φ(3)=2, φ(6)=2, φ(5)=4 Малая теорема Ферма Если p простое число a – натуральное число тогда ap≡a(mod p) следовательно если p не делится на a тогда можно найти некоторую малую экспоненту d такую что ad-1≡0(mod p) и d делит p-1 следовательно ap-1-1≡0(mod p) Построение простых чисел Все методы построения простых чисел можно разделить на 3 класса: 1) аналитические 2) "псевдопростые" 3) гипотетические (на основе гипотез) К аналитическим относятся методы, на основе которых можно построить строго простое число. Метод пробного деления Проверяемое m делится последовательно на все простые числа меньше mi m m. (3) Если m не делится на все m i , то оно простое, т.е.: m=p np m ln m Этот метод рекомендуется для коротких длин, Простые числа должны заканчиваться 1, 3, 7, 9. (4) или как дополнительный метод. Числа Эйлера m 2K 1 Где k-простое, простыми являются 2,3,5,7,11,13,17,19,31,107,127,607,…19997 и т.д. n 22 1, n 0,1,3,4 для таких n- простое. Теорема Люка Для числа m, для которого известно каноническое разложение m-1 справедлива теорема Люка: Если для (а, m) a m1 1(mod m) , то m-простое. m 1 a i 1(mod m) m 1 1x1 2x2 ...... Первый метод базируется на теореме Ферма. a m 1 1(mod m) (a m1 ) 0(mod m) m21 m21 a a 0(mod m) 1 1 Тест Лемана a 1) m 1 2 1(mod m) a m1 m-1 2 1(mod m) (5) 1(mod m) генерируется t-чисел а, Если а – первообразный элемент, то a взаимопростых с m, затем для каждого а осуществляется проверка. 2) Если на всех t – проверках одно из условий выполняется, то число m можно считать псевдопростым, это число с вероятностью PC 2 t того, что число не простое. Примитивные полиномы табулированы и известны все до 2000 степени. Тест Соловея – Штрассена. Базируется на t – испытаниях, генерируется t – раз. 1) (a i , m) , причем 1 ai m 1 , a i генерируется t –раз. 2) проверяется НСД, (ai , m) 1 , то число составное. 3) находится символ Якоби m1 Р=7 а=3 a a1 2 (mod m) - число составное m am 1 m 1(1) 2 1 2 41 2 4 1 i |01 2 3 4 5 6 ai | 1 3 2 6 4 5 1 (6) Справедливо (5). Тест Рабина - Миллера Пусть m – нечетное, простое, представим: m 1 2S t (7) m, s - нечет a t , a 2t , a 4t ,...a 2 S t (9) С учетом (7) следует: S a 2 t 1(mod n) (8) В ряде (9) каждый предыдущий элемент есть корень из последующего элемента. a i - элементы поля, может следовать -1, или S a 2 t 1, 1 1 , то ряд (9) состоит из единиц, перед которыми a t 1(mod m) (10) jt a 1(mod m) или для всех 0 j s Число m, которое удовлетворяет хотя бы одному условию, называется сильным псевдопростым в смысле Рабинера – Миллера. Если проводить t– испытаний, то вероятность того, что в каждом испытании не будет обнаружено простое число не превышает ¼. На t –испытаниях 2 t 1 PC 2 2t 4 Сравнивая с (5) видим, что сходимость теста Рабинера – Миллера намного выше. Алгоритм проверки 1. 1 ai m 1 2. НСД (a i , m) 1 m – составное 3. y 0 a it (mod m) 4. если y 0 t (mod m) m – возможно простое (mod m) до тех пор пока y j 1(mod m) 6. если y j 1(mod m) , то m – составное 5. yj y 2 j 1 если y j 1(mod m) , m – возможно простое PC1 1 / 4 Проводим t1 – экспериментов, после этого подтверждаем (11). PC 2 2t1 Список использованной литературы: Эвклид. «Начала» книга VII Виноградов „Теория чисел” (11)