Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных выражений вида z x yi (x, y – действительные числа, i некоторый символ), на котором введены операции сложения и умножения по следующим правилам: 1) x1 y1i x 2 y2i x1 x 2 y1 y2 i , 2) x 1 y1i x 2 y 2 i x1x 2 y1y 2 x1y 2 x 2 y1 i . Из определения следует, что i 2 1 . Множество всех комплексных чисел обозначают символом C . Два комплексных числа z1 x1 y1i и z 2 x 2 y 2i считаются равными, если x1 x 2 , y1 y 2 . Действительные числа x и y называют соответственно действительной и мнимой частями числа z x yi , при этом x Re z, y Im z . Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают всеми свойствами этих операций на множестве действительных чисел R , являющимся подмножеством C z x yi R, если Im z y 0 . Разностью чисел z1 и z2 называют число z z1 1 z 2 , при этом z z1 z 2 . Частным от деления числа z1 на число z2 называют решение уравнения z 2 z z1 , при этом z z1 z 2 . Деление возможно, если делитель z2 отличен от 0. Комплексные числа z x yi могут быть отождествлены с точками Mx, y плоскости с введённой прямоугольной системой координат; при таком отождествлении плоскость называют y комплексной плоскостью. Можно сказать, что устанавливается взаимно однозначное M соответствие между комплексными числами z x yi и векторами OMx, y . Число OM x 2 y 2 называют модулем числа z и обозначают |z| . Угол между вектором OM и положительным направлением оси 0x называют аргументом числа z и обозначают x Arg z . Аргумент числа, в отличие от модуля, определяется неоднозначно: все аргументы 0 числа отличаются друг от друга на 2n , n Z . Договариваются о главном значении аргумента Arg z ; обычно берут 0 arg z 2 или arg z . Если z = x + yi и x 0 , то при y 0, 0 при x 0, 2 y Если же x = 0 , то arg z Аргумент , где 1 при x 0 . 2 при y 0. x числа z = 0 не определён. Из определения z и arg z следует x cos , y sin , где z , arg z . Отсюда получаем arg z arctg (1) z cos i sin . Это есть тригонометрическая форма числа z . Число x yi называется сопряжённым к числу z x yi ; при этом пишут x yi z . Имеет место равенство 2 z z x 2 y2 z . Операция сопряжения оказывается полезной при делении чисел: z1 z 2 z1 z 2 z 2 z 2 z1 z 2 z 2 2 . i Обозначим e cos i sin (формула Эйлера). С помощью этой формулы из тригонометрической формы (1) получаем показательную форму z ei числа z. В частности, e 2i 1 , e i 1 , e i , как функция от , является периодической с периодом 2. Справедливы формулы z1 z 2 z1 z 2 , z1 z 2 z1 z 2 , argz1 z 2 arg z1 arg z 2 , argz1 z 2 arg z1 arg z 2 . Это делает удобным использование тригонометрической и показательной форм при умножении и делении чисел. Из этих формул следуют формулы Муавра в тригонометрической z n n cos n i sin n и показательной z n n ein формах. Число w re i называется корнем n-й степени числа z ei , если w n z . Любое ненулевое число z ei имеет ровно n различных корней n-й степени. Эти корни находятся по формулам 2k 2k w k n cos i sin , n n где k пробегает значения 0, 1, 2, …, n-1; n – арифметический корень n–ой степени из положительного числа . Модуль разности z1 z 2 чисел равен расстоянию между точками z1 и z2 комплексной плоскости. Числовой последовательностью называют правило, по которому каждому натуральному числу n N ставится в соответствие действительное (комплексное) число x n R z n C . Последовательность обозначают символом x n n 1 ( z n n 1 ). Можно сказать, что последовательность является функцией f : N R ( f : N Z ). Очевидным образом определяются сумма, произведение, частное двух последовательностей. В этом разделе мы будем иметь дело лишь с последовательностями действительных чисел. Число a R называется пределом последовательности x n n 1 , если для любого 0 найдётся номер n 0 N такой, что для любого n n 0 выполняется неравенство x n a . При этом пишут lim x n a или n x n a и говорят, что последовательность x n n 1 сходится к числу a . Если lim x n a , lim y n b , то: 1) lim c x n c a ; n n 2) lim x n y n a b ; n n 3) lim x n y n a b ; n 4) lim x n y n a b при ( y n 0, b 0 ). n К элементарным функциям относятся: 1) простейшие элементарные функции: постоянная с, степенная x , показательная a x , логарифмическая log a x , тригонометрическая cos x , обратные тригонометрические arc cos x, arc tg x ; 2) все функции, получающиеся из простейших элементарных функций путем применения конечного числа следующих четырех операций: сложение, умножение, деление, суперпозиция функций (сложная функция). Пусть функция f x определена во всех точках интервала a , b , за исключением, быть может, точки x 0 a, b . Число А называется пределом функции f x в точке x 0 , если для любого 0 существует число 0 такое, что для любого x, удовлетворяющего неравенству 0 x x 0 , выполняется неравенство f x A , при этом пишут lim f x A . Можно дать другое, равносильное приведенному, xx 0 определение: число A называется пределом функции f x в точке x0, если для любой последовательности чисел x n n 1 a; b , сходящейся к x 0 , x n x 0 , lim f x n A . n Если f x определена в интервале a, ,то число A называется пределом f x при x , если для любого 0 существует число b a , такое, что неравенство x b влечет за собой неравенство f x A . При этом пишут lim f x A или f A . Аналогично определяется lim f x A . x Число A называют пределом функции f x в точке x 0 слева (справа) и пишут x lim f x A или x x 0 0 f x 0 0 A ( lim f x A , или f x 0 0 A ) , если для любого 0 найдется 0 такое, что для всех x x 0 0 x x 0 ; x 0 (для всех x x 0 ; x 0 ) справедливо неравенство f x A . Число A является f x в точке x 0 , если совпадают пределы f x в этой точке слева и справа: f x 0 0 f x 0 0 A . Если функция f x определена в интервале a; x 0 (в интервале x 0 ; b ) и для любого M существует пределом 0 такое, что для любого x x 0 ; x 0 (для любого x x 0 ; x 0 справедливо неравенство f x M , то говорят, что левый (правый) предел функции f x в точке x 0 равен , и при этом пишут lim f x или x x 0 0 lim f x и x x 0 0 f x 0 0 ( lim f x или f x 0 0 ) . Аналогично определяются x x 0 0 lim f x . x x 0 0 Предел функции обладает теми же свойствами, что и предел последовательности: если lim f x A , xx 0 lim gx B , то x x 0 1) lim c f x c A; x x 0 2) lim f x gx A B; x x 0 3) lim f x gx A B; x x 0 4) lim f x gx A B x x 0 (последнее при gx 0, B 0 ). То же верно для односторонних пределов. f x , определённая в некоторой окрестности непрерывной в точке x 0 , если lim f x f x 0 . Функция x 0 , x 0 точки x 0 , называется x x 0 Другими словами, f x непрерывна в точке x0, если выполнены два условия: 1) f x определена в некотором интервале, содержащем точку x 0 , 2) бесконечно малому приращению аргумента x x x 0 отвечает бесконечно малое приращение функции f f x 0 x f x 0 . Функция f x непрерывна в точке x 0 в том и только том случае, если f x 0 0 f x 0 0 f x 0 . Если функция f x непрерывна в каждой точке числового множества X, то говорят, что f x непрерывна на множестве X . Сумма, произведение, частное (при неравенстве нулю знаменателя), суперпозиция непрерывных функций также являются непрерывными функциями. Функция f x терпит разрыв в точке x 0 в одном из следующих случаев: 1) lim f x lim f x A , но f x 0 A , либо f x 0 не определено (рис.1); в этом случае говорят, x x 0 0 x x 0 0 что x0 – точка устранимого разрыва; 2) f x 0 0, f x 0 0 – конечные, но не равные между собой пределы; такая точка называется точкой разрыва первого рода (говорят, что f x терпит в точке x 0 скачок) (рис.2); 3) по крайней мере одного из односторонних пределов f x в точке x 0 не существует (т.е. не существует конечного предела); в таком случае говорят, что x0 – точка разрыва второго рода (рис.3). y y 0 x0 Рис.1 x 0 x0 Рис.2 x y x0 0 x Рис. 3 Все элементарные функции непрерывны в области их определения. Матрицей порядка m n называется прямоугольная таблица чисел a11 a12 a 22 a A 21 a m1 a m 2 (1) , состоящая из m строк и n столбцов, рассматриваемая как единый алгебраический объект, над которым могут производиться определенные алгебраические действия. Часто пишут A aij , 1 i m , 1 j n . a1n a 2n a mn обозначим M mn , множество всех квадратных матриц Множество всех матриц порядка m n порядка n n – через M n . Произведением матрицы A aij M mn на число (действительное или комплексное) называют матрицу B (b ij ) M mn , определяемую по правилу bi j ai j ; при этом пишут B A . Суммой матриц A (aij ) M mn , B (bij ) M mn называют матрицу C (cij ) M mn , определяемую по правилу cij aij bij ; при этом пишут C A B . Складывать можно лишь матрицы одинакового порядка. Произведением матрицы A (aij ) M mk на матрицу B (bij ) M kn матрицу C (cij ) M mn , элементы которой определяются по правилу cij называют a b il l j ; при этом пишут l 1 C AB . Произведение матриц определено, если количество столбцов первого множителя А совпадает с количеством строк второго множителя В. (Можно сказать, что элемент ci j матрицы C AB есть результат скалярного произведения i-й строки матрицы А на j-й столбец матрицы В). Введенные операции над матрицами обладают всеми известными свойствами суммы и произведения чисел (A B B A, (A B) A B, ( )A A A, A(B C) AB AC,), кроме одного: вообще говоря, AB BA. Матрицу a11 a21 a31 am1 a12 a22 a32 am2 B a 1n a2n a3n amn называют транспонированной к матрице (1) и пишут B A ; A получается из А переменой ролей столбцов и строк. Каждой квадратной матрице A M n ставится в соответствие число, называемое определителем и обозначаемое det A (иногда A ). Теорема 1. Назовем неупорядоченный набор из n элементов 1, 2,, n матрицы A (ai j ) Mn правильным, матрицы A. расположить способами и если никакие два элемента этого набора не принадлежат одному столбцу или одной строке Тогда, используя лишь операции перестановки столбцов и перестановки строк, можно элементы правильного набора на главной диагонали. Более того, если сделать это двумя k 1 – число использованных операций (перестановок столбцов и строк) при первом способе, а k k 2 – при втором способе, то (k1 k 2 ) является четным числом, т.е. (1) k 1 (1) 2 . Определение. Каждому правильному набору 1 , 2 , , n поставим в соответствие вполне определенное число (1)k – знак набора 1, 2 , , n , где k – число операций, необходимых для размещения элементов 1, 2 , , n на главной диагонали. Определителем матрицы определителем n-го порядка) называется число det A (1) k 1 2 n , A M n (или где суммирование производится по всем различным правильным наборам. Пользуются и другим обозначением определителя матрица A (a i j ) M n : det A a11 a12 a1n a21 a22 a2n . an1 an2 ann Определитель обладает следующими свойствами: 1) det A det A ; 2) при перестановке двух столбцов (строк) меняется знак определителя; 3) определитель матрицы, имеющей два одинаковых столбца (две одинаковые строки), равен нулю; 4) общий множитель столбца (строки) можно вынести за знак определителя (отсюда следует, что если один из столбцов (одна из строк) матрицы A M n состоит из нулей, то det A 0 ); 5) если к элементам некоторого столбца (строки) некоторой матрицы А прибавить соответствующие элементы другого столбца (другой строки), предварительно умноженные на одно и то же число, то определитель новой матрицы В будет равен det A; 6) если какой-либо столбец (какая-либо строка) является линейной комбинацией других столбцов (других строк) матрицы А, то det A 0; 7) обозначим через M i j определитель матрицы порядка (n 1) (n 1), получающейся из матрицы A (ai j ) Mn путем зачеркивания i-й строки и j-го столбца; число A i j ( 1) i j M i j называется алгебраическим дополнением элемента ai j ; для любого k, 1 k n справедливы равенства: аk1A k1 ak2 A k 2 akn A kn det A , a1k A1k a2k A 2k ank A nk det A (разложение определителя по k-му столбцу); 8) det(AB) det A det B. Определитель матрицы порядка 11 A (a) равен элементу матрицы: det A a. Определитель второго порядка вычисляется по формуле a11 a12 a21 a22 a11a22 a12 a21. Определитель третьего порядка вычисляется по формуле a11 a12 a13 a 21 a 22 a23 a 11 a 22 a 33 a 12 a 23 a 31 a 21 a 32 a 13 a31 a32 a33 a 31 a 22 a 13 a 11 a 23 a 32 a 33 a 12 a 21. Для вычисления определителя третьего порядка лучше пользоваться правилом Саррюса или правилом «3 5». + – а б Рис. 1 Рис. 2 Правило Саррюса использует схему, изображенную на рис. 1. Правило состоит в том, что девять чисел, составляющих определитель, разбиваются на шесть троек по схеме (каждый элемент участвует дважды). Каждой тройке придается знак «+», если элементы, входящие в нее, расположены на главной диагонали или в вершинах равнобедренного треугольника с основанием, параллельным главной диагонали (рис.1, а); или «–», если элементы, входящие в тройку, расположены на побочной диагонали или в вершинах равнобедренного треугольника с основанием, параллельным побочной диагонали (рис.1, б) (побочная диагональ тянется справа-сверху-влево-вниз). Затем берется сумма произведений элементов троек с учетом их знаков. Правило «3 5» использует схему (к матрице A (ai j ) M3 добавлены первые два столбца). Элементы матрицы соединены шестью отрезками, как показано на рис.2. Произведению элементов, составляющих тройку и лежащих на одном отрезке, придается знак «+», если отрезок параллелен главной диагонали, и «–», если отрезок параллелен побочной диагонали. Определитель A равен сумме произведений элементов троек с учетом их знаков. Определитель треугольной, в том числе и диагональной матрицы равен произведению элементов главной диагонали: 0 a 12 a 1n a 22 a 2n 0 0 0 a nn a11 a 11 a 22 a nn. Для вычисления определителя иногда оказывается удобным приведение матрицы к треугольному виду с использованием свойств определителя. Выберем в матрице A M mn k строк и k столбцов (k m, k n) . Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов составим определитель k-го порядка, который назовем минором k–го порядка матрицы . Пример 5. Найти минор 2-го порядка матрицы v v 2 3 1 5 4 A 0 6 2 7 3 v 8 1 4 3 9 v (выбранные строки и столбцы отмечены знаком « v »). Решение. Имеем 6 7 25 . 1 3 Рангом матрицы A называется неотрицательное целое число r, удовлетворяющее двум условиям: 1) существует по крайней мере один минор порядка r матрицы A, отличный от нуля; 2) все миноры порядка (r+1) матрицы равны нулю. При этом пишут rank = r. Если rank = r, то любой отличный от нуля минор порядка r матрицы называется базисным минором. Теорема 2. Максимальное число линейно независимых столбцов матрицы равно максимальному числу линейно независимых строк матрицы . Больше того, это число равно рангу матрицы . Не изменяют ранга матрицы нижеследующие операции: 1) перестановка столбцов или строк; 2) умножение столбца (строки) на число, отличное от нуля; 3) прибавление к столбцу (строке) другого столбца (другой строки), умноженного предварительно на некоторое число; 4) зачеркивание нулевого столбца (строки); 5) транспонирование. Трапецеидальной матрицей называется матрица A M mn , имеющая вид a11 a12 0 a 22 A 0 0 0 0 где a11 0, a13 a 23 a33 0 a1m1 a 2m1 a3m1 0 a22 0, , amm 0. a1m a 2m a3m am m a1n a 2n a3n , a m n Другими словами, матрица A (ai j ) M mn , m n является трапецеидальной, если ai j 0 при i j и a11a22 amm 0. Ранг трапецеидальной матрицы A M mn , m n равен m. Для нахождения ранга матрицы достаточно, пользуясь преобразованиями 1)4), называемыми элементарными, привести матрицу к трапецеидальному виду. Пример 6. Найти ранг матрицы 2 1 3 1 5 1 2 2 0 3 A . 1 3 1 2 7 8 1 13 4 4 Решение. С помощью элементарных преобразований приведем матрицу A к трапецеидальному виду: 2 1 3 1 5 1 2 2 0 3 1 2 2 0 3 2 1 l 2 3l1 3 1 5 1 1 3 3 1 2 7 1 2 7 l3 l1 8 1 13 4 4 8 1 13 4 4 l 8l 1 4 3 1 2 2 0 1 0 5 1 2 10 0 0 0 5 1 2 10 l3 l 2 0 0 15 3 4 28 l 3l 4 2 2 2 5 1 0 0 0 0 3 10 0 0 10 2 0 2 3 1 2 0 2 3 1 2 2 0 0 5 1 2 10 0 5 2 1 10 . 0 0 0 10 2 0 0 10 0 2 Ранг последней матрицы, являющейся трапецеидальной, равен 3; следовательно, rank A = 3. Из определения ранга следует, что матрица A M n является невырожденной в том и только в том случае, если rang = n. 5. Системы линейных алгебраических уравнений Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система уравнений вида a11x1 a12 x 2 a1n x n b1 , a x a x a x b , 21 1 22 2 2n n 2 . am1x1 am2 x 2 amn x n bm . (3) Система (3) называется однородной, если свободные члены равны нулю: b1 b2 bm 0. Однородная система всегда является совместной она имеет решение x1 x 2 x n 0 (возможно, не единственное). Матрицы a12 a1n a11 a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2n ~ a21 a22 a2n b2 A , A называются матрицей системы (3) и a a m1 am2 amn m1 am2 amn bm расширенной матрицей системы (3) соответственно; столбцы b1 x1 b x2 X , B 2 x b n m называются столбцом неизвестных и столбцом свободных членов соответственно. С учетом этих обозначений систему (3) можно записать в матричной форме (4) AX B. Рассмотрим отдельно случай квадратной системы, когда m n, и общий случай. 1. Квадратная система. Существует три основных метода решения совместной СЛАУ a11x1 a12 x 2 a1n x n b1 , a x a x a x b , 21 1 22 2 2n n 2 (5) an1x1 an2 x 2 ann x n bn а) правило Крамера; б) матричный способ; в) метод Гаусса. а) Обозначим a11 a12 a1n b a a a 2 a21 a22 a2n an1 an2 ann a11 b1 a21 b2 , a13 a11n a23 a2n an1 bn an3 ann 1 1 12 b2 a22 a23 a2n bn an2 an3 ann , , n 13 1n , a11 a12 a21 a22 a13 b1 a23 b2 an1 an2 an3 bn (определитель i получается из заменой i-го столбца на столбец свободных членов). Правило Крамера состоит в том, что при 0 x i i , i 1, 2, , n. б) Система (5) совместна при det A 0 и имеет единственное решение – столбец X A 1B. В этом и состоит матричный способ решения системы (5). ~ в) При решении методом Гаусса расширенную матрицу A системы (5) элементарными преобразованиями приводят к треугольному виду. Вектором a называется направленный отрезок в пространстве (на плоскости). Вектор имеет две характеристики: длину, называемую также модулем и обозначаемую a , и направление. Принято также вектор обозначать двумя буквами, первая из которых указывает начало вектора, вторая – конец: a AB . Два вектора считаются равными, если они: B 1) равны по длине, 2) лежат на параллельных прямых, 3) сонаправлены. Вектор, имеющий нулевую длину (т.е. у которого совпадают начало A и конец), называется нуль-вектором или нулевым вектором и обозначается 0, нуль-вектор считается параллельным любому вектору. Вектор, модуль которого равен единице, называется единичным вектором или ортом. Суммой векторов a и b называется вектор c , определяемый по правилу: если путём параллельного переноса совместить начало вектора b с + b c =a b концом вектора a , то начало вектора c a совпадает с началом a , а конец c – с Рис.а) концом b ; при этом пишут c a b (рис. а). Векторы можно складывать и по +b b c =a «правилу параллелограмма» (рис. б). Если слагаемых больше, то используют a Рис.б) правило замыкания ломаной (рис.в) . Справедливо правило a a уничтожения средней буквы: a + + a a + AB BC AC . c= Произведением вектора a на действительное число a a называется вектор, обозначаемый a (или и a a ) Рис.в) удовлетворяющий следующим требованиям: 1) a a ; 2) a и a параллельны; 3) a и a сонаправлены при 0 и направлены в 4 4 3 2 1 3 1 2 противоположные стороны при 0 . Эти две операции обладают привычными для нас свойствами: a b b a , a b c a b c , a b a b и т.д. Единичный вектор, параллельный a и сонаправленный с ним, называется ортом вектора a и обозначается a 0 ; a 0 a a . Векторы a1 , a 2 называются коллинеарными, если они параллельны. Тройка векторов a1 , a 2 , a 3 называется компланарной, если путём параллельного переноса все три вектора удаётся поместить в одну плоскость. Система векторов a1 , a 2 , , a n называется линейно зависимой, если существуют числа 1 , 2 , , n , не n все равные нулю и такие, что 1a1 2 a 2 n an 0 . Если же равенство a j j 0 возможно лишь j 0 nj1 называется линейно независимой. при 1 2 n 0 , то система векторов a j Теорема 1. а) Векторы a1 , a 2 коллинеарны в том и только в том случае, если они линейно зависимы; б) векторы a1 , a 2 , a 3 компланарны в том и только в том случае, если они линейно зависимы. Упорядоченная тройка e1 , e 2 , e3 (двойка e1 ,e 2 ) некомпланарных (неколлинеарных) векторов пространства (плоскости) называется базисом во множестве всех векторов пространства (плоскости). Любой вектор a в пространстве может быть представлен в виде линейной комбинации векторов базиса e1 , e 2 , e3 : a X1e1 X 2 e 2 X 3 e3 , более того, такое представление единственно; числа X1 , X 2 , X3 называются координатами вектора базисе e1 , e 2 , e3 . a в При сложении векторов складываются их соответствующие координаты; при умножении вектора на число каждая координата вектора умножается на это число. Векторы a и b коллинеарны в том и только в том случае, если координаты этих векторов (в произвольном базисе) пропорциональны. Если векторы e1 , e 2 , e3 единичные и взаимно перпендикулярны, то они образуют базис, который называется ортонормированным. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов a1 , a 2 , a 3 образует правую (левую) тройку, если после совмещения их начал путём параллельного переноса, кратчайший поворот от первого вектора a1 ко второму вектору a 2 виден из конца третьего вектора a 3 совершающимся против (по) часовой стрелки. Для ортонормированного базиса e1 , e 2 , e3 , образующего правую тройку, приняты обозначения e1 i, e 2 j, e3 k . Проекцией вектора a на вектор b (или на ось, параллельную и сонаправленную b ) называют число пр ba a cos , где – угол между векторами a и b . В ортонормированном базисе координаты X, Y , Z вектора a совпадают с его проекциями на базисные орты i, j, k : X прi a, Y пр ja, Z прk a, при этом a X 2 Y 2 Z2 . Обозначим через , , углы между вектором a Xi Yj Zk и векторами i, j, k соответственно. Числа cos, cos, cos называются направляющими косинусами вектора a . Имеют место формулы cos X X 2 Y 2 Z2 Y cos , X 2 Y 2 Z2 Часто краткости ради вместо , cos Z X 2 Y 2 Z2 a Xi Yj Zk пишут . aX; Y; Z. Аналогичные определения приняты на множестве векторов плоскости. Теорема 2. Тройка векторов e1 X1; Y1; Z1 , e2 X2 ; Y2 ; Z2 , e3 X3 ; Y3 ; Z3 образует базис в том и только в том случае, если X1 Y1 Z1 X2 X3 Y2 Y3 Z2 0 . Z3 Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0. Придадим значению переменной x в точке x0 приращение x, при этом f(x) получит приращение f = f(x0 + x) – f(x0). Если существует конечный предел f x 0 x f (x 0 ) f , lim lim x 0 x x 0 x то он называется производной функции f(x) в точке x0 и обозначается f x0 . Общеприняты и другие обозначения производной функции y = f(x): dy df , ; если же y зависит от значения переменной t (времени), то часто вместо dx dx yt пишут y . Если вышеуказанный предел существует в каждой точке интервала (a, b), то f x становится функцией, определённой на (a, b). (Здесь и ниже C – постоянная величина.) C 0 ; cos x sin x ; tgx 12 ; x p px p 1 ; cos x ctgx 12 ; a x a x ln a ; sin x 1 arc sin x arc cos x 1 2 ; ; log a x x ln a 1 x sin x cos x ; arc tgx arc ctgx 1 2 . 1 x Если функции f(x) и g(x) имеют производные f x и gx , то функции C f (x) , f x gx , f x gx , f x gx также имеют производные (последняя – при условии gx 0 ), и при этом C f x C f x ; f x gx f x gx f x gx ; f x gx f x gx ; f x f x gx f x gx . gx 2 gx Производную от производной f x называют второй производной от функции f(x) и обозначают f x : f x f x . Производную от f x называют третьей производной функции f(x) и обозначают f x . Таким образом, f x f x , f x f x , . . . , f n x f n 1 x , . . . Общепринятыми являются и другие обозначения производной n-го порядка функции y = f(x): dn y или dx n d n f x . Если функция f(x) зависит от переменного t (времени), то вторую и третью производные иногда dx n обозначают x, x . Придадим аргументу x в точке x0 приращение x y = f(x) получит приращение f f x 0 x f x 0 . Если существует число А, такое, что , функция (6) f A x ox , то говорят, что f(x) дифференцируемая в точке x0 ; линейная часть A x приращения функции называется дифференциалом функции в точке x0 и обозначается df x 0 ; x или dyx 0 ; x (или просто df , dy). Если x – независимое переменное (т.е. не зависит от других переменных), то полагают dx x . Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), заданной на числовом множестве X, если Fx f x для любого x X . Совокупность всех первообразных функции f(x) называется неопределённым интегралом от f(x) и обозначается f x dx . Любые две первообразные для одной функции отличаются на константу (постоянную величину). Другими словами, имеет место равенство f x dx Fx C , где F(x) – некоторая (фиксированная) первообразная для f(x), а С пробегает всевозможные числовые значения. Не всякая функция имеет первообразную. Однако если f(x) – непрерывная функция, то она имеет первообразную. x p dx x dx a x x p 1 C, p 1 , p 1 x ln x C , dx x x a C, ln a dx a 2 2 dx a 2 2 1 x arctg C , a a 1 x a ln C , 2a x a dx arcsin a x dx 2 x a dx 2 x a 2 2 sin x dx cos x C , cos x dx sin x C , cos tgx C , shx chx C , ctgx C , chx shx C , dx sin 2 x dx 2 x sin x ln tg 2 C , dx x x 2 2 ln x x 2 a 2 C , ln x x 2 a 2 ch x thx C , dx 2 cos x ln tg 2 4 C , sh x cthx C . dx dx 2 x C, a C , 1) 2) 3) df x f x C ; k f xdx k f xdx , где k – постоянная величина; f x gxdx f x dx gxdx . (свойства 2 и 3 составляют так называемое свойство линейности). Если u(x), v(x) дифференцируемы, то справедлива формула интегрирования по частям udv uv vdu . Эту формулу следует применять в тех случаях, когда подынтегральное выражение vdu проще исходного выражения udv. Ниже приведены основные типы интегралов, берущихся по частям. I тип sin x Pn x dx cos x e x Pn x dx a x II тип m arcsin x arccos x Pn x dx arctgx arcctgx III тип (интегралы, приводящиеся к себе) sin x e x dx cos x sinln x dx Pn x ln x m dx x ln x m dx, 1 cosln x dx 2 2 a x dx 2 2 x a dx За u принимаются подчёркнутые функции, за dv – остальная часть подынтегрального выражения. Pn (x) – многочлен степени n. Интегралы I типа берутся путём интегрирования по частям n раз, II типа – m раз, III типа (за исключением двух последних) – 2 раза (причём, в первом интеграле III типа оба раза за u можно принять как e x , так и тригонометрические функции sin x , cosx ). Интегрирование рациональной функции a x n a n 1 x n 1 a 1 x a 0 Pn x , a n b m 0 , являющейся n m Q m x b m x b m 1 x m 1 b1 x b 0 правильной дробью (т.е. при deg Pn x n deg Q m x m ), производится путём представления этой функции в виде суммы простых дробей. Если же дробь является неправильной ( deg Pn x n deg Q m x m ), то её представляют в виде суммы многочлена и правильной дроби, затем интегрируют эти слагаемые. При интегрировании функций вида sin n x cos m x лучше придерживаться следующего правила: 1) если хотя бы одно из чисел n или m нечётное положительное число, то, отделяя первую степень соответствующего множителя, подводим его под знак дифференциала, а оставшуюся часть (чётную степень) этого множителя выражаем через её ко-функцию, пользуясь тождеством sin 2 x cos 2 x 1 , и это приведёт к интегралу от степенной функции; 2) если n и m – чётные числа, то с помощью формул sin 2 x cos 2 x 1 cos 2x , 2 1 cos 2x достигается упрощение вида подынтегральной функции. 2 Пусть функция f(x) определена на отрезке [a, b]. Разобьём этот отрезок точками a = x0 < x1 < x2 < … < xn = b на n частей [xk-1; xk], 1 k ≤ n; обозначим x n x k x k 1 . Число max x k , 1 k n, назовём диаметром разбиения. Возьмём в каждом частичном отрезке [xk-1; xk] по точке tk и образуем следующую сумму, называемую интегральной: n f (t k ) x k . k 1 Если существует конечный предел интегральных сумм при 0 , предел, не зависящий ни от способа разбиения отрезка [a; b], ни от выбора точек t k [a k ; b k ] , то функция f(x) называется интегрируемой на [a; b b], а сам предел – определённым интегралом от f(x) на [a; b] и обозначается f (x )dx . a По определению положим a b a b a a f (x )dx = f (x )dx , f (x)dx 0 . Если f(x) непрерывна на [a; b], то она интегрируема на [a; b]. К интегрируемым функциям относятся также: 1) монотонно возрастающие (убывающие) и ограниченные на [a; b]; 2) ограниченные и имеющие лишь конечное число точек разрыва на [a; b] . Определённый интеграл обладает следующими свойствами: 1) если f(x) интегрируема на большем из отрезков [a; b], [b; c], [a; c], то f(x) интегрируема и на двух других и при этом c b c a a b f (x )dx = f (x )dx + f (x )dx ; 2) если f(x) и g(x) интегрируемы на [a; b], то f (x) g(x) также интегрируема на [a; b] и при этом b b b (f ( x ) g ( x )) dx = f ( x )dx + g ( x )dx ; a 3) если b a a f (x) интегрируема на [a; b], то f(x) также интегрируема на [a; b] и при этом b f ( x )dx a f (x) dx ; a b 4) если f(x) и g(x) интегрируемы на [a; b] и f(x) g(x) x [a; b] , то b f ( x )dx g ( x )dx ; a a b 5) если f(x) интегрируема на [a; b] и m f(x) M x [a; b] , то m(b a ) f ( x )dx M(b a ) . a Теорема 2. Если F(x) – первообразная функции f(x), непрерывной на [a; b], то b f (x)dx F(b) F(a) a (формула Ньютона-Лейбница). b Разность F(b) F(a ) часто обозначают F( x ) a . y Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиками функций x = a, x = b b, y = 0, y = f(x) ( f(x) 0 при x [a; b]), находится по формуле S f ( x )dx y=f(x) a 0 a b x Если фигура (D) ограничена графиками функций x = a, x = b, y = f(x), y = g(x), f(x) g(x), при x [a; b], то площадь S фигуры (D) находится по формуле b S (f ( x ) g( x )) dx . a y y 3 y=f(x) -1 0 a b x y=g(x) 1 x