Задачи с параметрами в курсе основной школы

Методическая разработка
Задачи с параметрами в курсе основной школы
учитель математики МОУ «Гимназия № 8» г. Шумерля Колегова Г.В.
Содержание:
1. Введение
2. Цели и задачи работы
3. Методические разработки по классам: 7 класс, 8 класс, 9 класс
4. Литература
5. Приложение: План урока в 9-м классе
Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и
математической культуры учащихся. Решение задач с параметрами открывает перед учениками
большое число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития,
применимых в исследованиях и в любом другом математическом материале. Они имеют
принципиально исследовательский характер, и с этим связаны как методическое значение таких
задач, так и трудности выработки навыков их решения. Именно в терминах параметров происходит
описание свойств математических объектов: функций, уравнений, неравенств.
Задачи с параметрами для учеников массовой школы являются непривычными, а для многих
из них сложными. Недостаточно механического применения формул, необходимо понимание
закономерностей, навыки анализа конкретного случая на основе известных общих свойств объекта,
системность и последовательность в решении, умение объединить рассматриваемые частные случаи
в единый результат. Часто изобилие всевозможных вариантов и подвариантов, на которые
распадается основной ход решения, вызывают трудности в выписывании ответа. Решение задач с
параметрами требует исследования, даже если это слово не упомянуто в формулировке задачи.
Этим обусловлены трудности, возникающие у учащихся при решении таких задач,
В последние годы задачи с параметрами (и прежде всего уравнения и неравенства с одним
параметром) постоянно встречаются на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения.
Таким образом, очевидна необходимость отработки приемов решения различных задач с
параметрами. К сожалению, программа не дает ответа на вопрос, в какое время и как школьник
должен осваивать решение задач с параметрами.
Цель настоящей работы состоит в том, чтобы рассмотреть возможности введения понятия
«параметр» с 7 – го класса, не выходя за рамки программы.
7 класс
Впервые знакомиться с параметрами полезно в 7-м классе при изучении линейных
уравнений, чтобы ученики привыкли к понятию «параметр» и не испытывали затруднений при
изучении этой темы в старших классах. Кроме того, задачи с параметрами хорошо развивают
логическое мышление, тренируют внимание и память.
Прежде чем ввести понятие «параметр» ученикам необходимо напомнить роль буквы в
алгебре и предложить задания в которых надо выразить одну переменную через другую.
Выразите х через другие переменные:
а)
г)
2a
5
 2b ; б) y  (
 9d ) 13a ;
3x  1
bx  c
2 y  9a ax  13
(2 x  5b)

 k ; д)
4
8
d
18
y
в)
y  3k 
2x  3
 15c
8
Семиклассники хорошо решают линейные уравнения с параметрами.
Вспомним, что называется линейным уравнение с одной переменной.
Определение: Уравнение вида ax = b, где х – переменная, a и b – некоторые числа, называется
линейным уравнением с одной переменной.
Алгоритм решения уравнения ax = b.
1) если а  0, то
x
b
;
a
2) если а = 0, b  0, то корней нет (0x = b)
3) если а = 0, то х – любое (0x = 0)
Повторив на простых примерах, что значит решить уравнение, обратим внимание учащихся на
то, что мы выразили неизвестное через числа.
Однако, в уравнении помимо неизвестного могут быть введены другие буквы и буквенные
выражения.
Например: ax = a – 1
При этом, как всегда в алгебре, мы полагаем, что буквы могут принимать любые числовые
значения.
Например, задавая произвольно значения а для уравнения ax = a – 1, получим:
2x = 2 – 1 при а = 2;
3x = 3 – 1 при а = 3;
0x = – 1 при а = 0;
– 4x = – 4 – 1 при а = – 4.
Пример 1: Решите уравнение х + 2 = а + 7 относительно х.
Переменную, которую надо найти, будем называть неизвестной, а переменную, через которую
будем выражать искомую неизвестную, назовем параметром.
Решить уравнение с параметром – это значит для каждого значения параметра найти значение
неизвестной переменной, удовлетворяющее этому уравнению.
х + 2 = а + 7; х = 5 + а
Значение х находится по формуле х = 5 + а, подставляя в нее задаваемые значения параметра а.
Заметим, что значения параметра а задаем произвольно.
В нашем примере: при а = 3 х = 8; при а = 0 х = 5; при а = –4 х = 1.
Ответ запишем так: при любом значении параметра а х = 5 + а.
Когда начинать решать такие уравнения? В зависимости от уровня класса, на уроках в течение
всего года. Параллельно решаем задачу, обратную данной.
Пример 2: При каком значении параметра а х = 2,5 является корнем уравнения х + 2 = а + 7?
Решение: Т.к. х = 2,5 корень уравнения х + 2 = а + 7, то при подстановке х = 2,5 в уравнение
получим верное равенство: 2,5 + 2 = а + 7
а = – 2,5
Ответ: при а = – 2,5.
Можно предложить ученикам придумать линейное уравнение с параметром и решить его.
Пример 3: Решите уравнение ах = 1
В 7 классе начинаем обращать внимание учеников на запись ответа.
1) при а …. х ….
2) если а …. , то х ….
В нашем примере можно записать следующим образом
Ответ:
если а = 0, то корней нет, если а  0, то x 
1
.
a
Пример 4: Решите уравнение ах + 8 = а (а – параметр)
Ответ:
при а = 0 – нет корней,
при а  0 x 
a 8
.
a
Пример 5: Решите уравнение (а – 1)х = 12
Ответ:
если а = 1, то корней нет, если а  1, то x 
12
a 1
.
Пример 6: Решите уравнение х(а + 2) – а(1 – х) = 3
Решение: х(а + 2) – а(1 – х) = 3
ах + 2х – а – ах = 3; 2ах + 2х – 3 = а; 2х(а + 1) – 3 = а; x 
Ответ:
3a
2(a  1)
если а = – 1, то корней нет,
2
если а  – 1, то x 
3 a
.
2(a  1)
Самостоятельная работа (обучающая)
1) Найдите значение а, при котором число 2 является корнем уравнения х(а – 2) – а(1 – х) = 3
1
3
Ответ: a  2 .
2) Решите уравнения:
а) 2х – 3(х – а) = 3 + а;
Ответ: х = 2а – 3
б) ах – 3(1 + х) = 5;
Ответ:
в)
ax  2 3  ax

2
4
Ответ:
если а = 3, то корней нет,
если а  3, то x 
если а  0, то x 
если а = 0, то корней нет,
8
.
a 3
7
3a
Далее можно ввести и алгоритм решения уравнений с параметром; продолжить работу по
формированию умений решать линейные уравнения с параметром.
Условия для поиска значения параметра а
Характеристика множества корней
1. k(a) не имеет смысла
корней нет
2. b(a) не имеет смысла
корней нет
корней нет
k ( a )  0
3. 
 b (a )  0
k (a )  0

4. 
b(a )  имеет смысл
k ( a )  0
 b (a )  0
5. 
один корень
x
.
b(a)
k (a)
х – любое число
Применим этот алгоритм к решению уравнений.
Пример 1: Решите уравнение
a2
a2  4
x 
a2
a 3
a2
a2  4
Решение: k (a ) 
, b (a ) 
a2
a 3
1)
2)
k(a) не имеет смысла при а = 2
b(a) не имеет смысла при а = – 3
 a2
 a  2  0
3)
, система решений не имеет
 2
a  4  0
 a  3
a  2
a  2

0 
4)  a  2
,  a  2 , если а  – 2, а  – 3, а  2, то
 a  3 a  3

( a  2) 2
a2  4 a  2
, x
x
:
a 3
a 3 a 2
 a2
 a  2  0
5)  2
, система имеет единственное решение при а = – 2.
a  4  0
 a  3
3
Ответ: если а = 2, а = – 3, то решений нет; если а  – 2, а  – 3, а  2, то x 
( a  2) 2
;
a 3
если а = – 2, то х – любое число.
Пример 2: Решите уравнение (k2 – 1)x = k + 1
Решение: 1) k + 1 имеет смысл при любом k.
2) k2 – 1 имеет смысл при любом k.
k 2  1  0 (k  1)( k  1)  0
, 
при k = 1 исходное уравнение решений не имеет
k 1  0
 k  1  0 
3) 
4) (k2 – 1)  0, (k – 1) (k + 1)  0; если k  1, k  – 1, то
x
k 1
, x
1
.
k 1
(k  1)( k  1)
(k  1)( k  1)  0
5) 
, если k = – 1, то х – любое число.
k 1  0

Ответ: если k = 1, то решений нет; если k = – 1, то х – любое число; если k  1, k  – 1, то
x
1
.
k 1
Пример 4: При каких значениях параметров m и n уравнение 2m – nx = 1 не имеет решений?
1
2m  1
Ответ: если n = 0 и m  , то корней нет; если n  0 и m любое число, то x 
;
2
n
1
если n = 0 и m  , то х любое число.
2
Для самостоятельной работы:
Решите уравнения:
а) ( x  a )  (2 x  3a )  a
Ответ: х = а.
б) ax  3  b
3 b
Ответ:
если а = 0 и b  – 3, то корней нет; если а = 0 и b – любое число, то x 
;
a
если а = 0 и b = – 3, то х любое число.
Задания для закрепления:
Решите уравнения:
а) (2b – 3x) + (x – 5b) = 4x + 6b; б) (2x – c) – (5c – x) = 3c; в) 6(x – a) = 7(х + b); г) 5(x + b) = 3(a – x)
1
3
Ответы: а) х = b ; б) х = 3с; в) х = – (7b + 6a); г) х = (3a  5b)
8
2
д)При каких значениях
уравнение
имеет положительное решение?
е) При каких значениях
уравнение
имеет отрицательное решение?
ж) При каких значениях
уравнение
имеет одно положительное решение?
з) При каких значениях
уравнение
имеет решения, удовлетворяющее условию
?
8 класс
Решение квадратных и дробно-рациональных уравнений, содержащих параметры – один из
труднейших разделов школьной математики. Здесь, кроме использования определенных алгоритмов
решения уравнений, приходится думать об удачной классификации. Квадратные и дробнорациональные уравнения с параметрами – это тема, на которой проверяется подлинное понимание
учащимися изученного материала.
Что должны знать восьмиклассники?
4
Определение: квадратным уравнением называется уравнение вида ax 2  bx  c  0 , где х –
переменная, а, b и с – некоторые числа, при чем а  0.
Определение: если в квадратном уравнении ax 2  bx  c  0 хотя бы один из коэффициентов b
или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.
Выражение b 2  4ac называется дискриминантом квадратного уравнения ax 2  bx  c  0 .
Если D > 0, то уравнение ax 2  bx  c  0 имеет два корня
x1 
b D
2a
и
x2 
b D
2a
.
Если D = 0, то уравнение
ax 2  bx  c  0 имеет один корень x  
Если D < 0, то уравнение
ax 2  bx  c  0 не имеет корней
b
.
2a
Упражнения:
Пример 1: Линейным или квадратным является уравнение 5b(b  2) x 2
относительно х, при : а) b = 1; б) b = 2; в) b = 0,4; г) b = 0?
Решение:
а) b = 1;  5 x 2  3x  16  0 – квадратное уравнение;
б) b = 2; 0 x 2  8 x  16  0
8x  16  0 – линейное уравнение;
в) b = 0,4; 2(1,6) x 2  0 x  16  0
 (5b  2) x  16  0
 3,8x 2 16  0 – неполное квадратное уравнение;
г) b = 0; 0 x 2  2 x  16  0
 2x  16  0 –линейное уравнение.
Итак, в зависимости от значений параметра b, уравнение может быть квадратным, линейным или
неполным квадратным уравнением.
Пример 2: При каких значениях параметра а уравнение ax(ax  3)  6  x(ax  6) является:
а) квадратным; б) неполным квадратным; в) линейным?
Решение:
ax (ax  3)  6  x (ax  6)
a 2 x 2  3ax  6  ax 2  6 x
x 2 (a 2  a )  3x (a  2)  6  0
а) Уравнение является неполным квадратным, если:
a 2  a  0   a  1
  a  0

 a  2  0
a  2

если а  (– ; – 2)  (– 2; 0)  (0; 1)  (1; + ), то исходное уравнение является квадратным.
a 2  a  0   a  1
  a  0 при а = 0 или а = 1.
б) Уравнение является линейным, если 
 a  2  0
a  2

Пример 3: При каких значениях параметра b уравнение
а) имеет корни; б) не имеет корней?
bx 2  bx  b  0 ; D =  3b 2
Решение:
bx 2  bx  b  0
а)  3b 2  0 : (3) b 2  0 , но b 2  0 , следовательно,
b 0;
если b  0 , то уравнение корни имеет.
2
2
б)  3b  0 : (3) b  0 – при любых значениях b, кроме нуля;
если b  (– ; 0)  (0; + ), то исходное уравнение корней не имеет.
Для закрепления можно предложить следующие упражнения:
Пример 1: Решите относительно х уравнение x 2  ax  0
5
x 2  ax  0
Решение:
x  0
x( x  a )  0  
 x  a
Ответ: если а = 0, то х = 0;
если а  0, то х1 = 0; х2 = а;
Пример 2: Решите относительно х уравнение x 2  2 x  c  0
Решение: x 2  2 x  c  0 , D = 4 – 4с
Алгоритм: рассмотреть случаи, когда: D > 0, D = 0, D < 0.
1) 4 – 4с > 0, с < 0,
x1 
x2 
2  4  4c
2
2  4  4c
 1 1 c
 1 1 c
2
2) 4 – 4с = 0, с = 1
x=1
3) с > 1 исходное уравнение корней не имеет.
x1  1  1  c
Ответ: если с  (– ; 1), то
x2  1 1 c .
если с = 1, то х = 1
если с  (1; + ), то корней нет.
Пример 3: Решите относительно х уравнение mx 2  6x  1  0
Решение mx 2  6x  1  0
В первую очередь, обратить внимание учащихся на коэффициент перед х2.
1) если m = 0, то  6x  1  0
x
1
6
2) если m  0, то D = 36 – 4m
а) 36 – 4m > 0
m  9

m  0
, x 
3 9m
1
m
б) 36 – 4m = 0, m = 9, х =
, x2 
3 9m
m
1
3
в) 36 – 4m < 0, m > 9, исходное уравнение корней не имеет.
Ответ: если m  (– ; 0)  (0; – 9), то x 
3 9m
1
если m = 0, то х =
m
, x2 
3 9m
m
1
6
если m  (9; + ), то корней нет.
4 cy 2  8  2 y 2  4c
5 b( y 2  7)  b( y  5)  2b
6 y 2  3y  a 2  3a
7) ay 2  6 y  a  3(2 y  a )
Ответы:
4)
если с = 2, то y – любое число;
если с  2, то y1 = – 2; y2 = 2.
5)
если b = 0, то y – любое число;
6
если b  0, то y1 = 0; y2 = 1.
6)
при любом а y1 = – а; y2 = а + 3.
7)
при а = 0 y – любое число;
при а  0 корней нет.
8. Решите уравнения:
I.
а)
; в)
б)
II.
; г)
.
а)
; в)
б)
III.
; г)
а)
б)
; в)
; г)
.
Уже в 8 классе можно решать квадратные уравнения, содержащие параметр, с ограничением на
корни.
Выделим задачи, в которых благодаря параметрам на переменную накладываются какие-либо
искусственные ограничения. Для таких задач характерны следующие формулировки: при каком
значении параметра уравнение имеет одно решение, два, бесконечно много, ни одного; уравнение
имеет два различных корня, положительные корни и т.д.
Пример 1: При каких а уравнение ax 2  x  3  0 имеет единственное решение?
Решение: естественно начать решение со случая а = 0. Итак, если а = 0, то очевидно, что данное
уравнение имеет единственное решение. Если же а  0, то имеем дело с квадратным уравнением.
1
Его дискриминант 1 – 2а принимает значение, равное нулю, при а =
.
12
1
Ответ: а = 0 или а =
.
12
Пример 2: При каких а уравнение ax 2  2x  1  0 имеет два различных корня?
Решение: данное уравнение является квадратным относительно переменной х при а  0 и имеет
D
различные корни, когда его дискриминант
 1  a  0 , т.е. при а < 1. Кроме того, при а = 0
4
получается уравнение 2 x  1  0 , имеющее один корень. Таким образом, а  (– ; 0)  (0; 1).
Ответ: а  (– ; 0)  (0; 1).
Рассмотрим несколько примеров, где значения параметра расставляют «ловушки».
Пример 3: При каких а уравнение ax 2  4x  a  3  0 имеет более одного корня?
Решение: при а = 0 уравнение имеет единственный корень, что не удовлетворяет условию. При а  0
исходное уравнение, будучи квадратным, имеет два корня, если его дискриминант
D  16  4a 2  12a – положительный. Отсюда получаем:  4  a  1 . Однако в полученный
промежуток (– 4; 1) входит число 0, которое, как мы уже проверили, неприемлемо.
Ответ:  4  a  0 или 0  a  1.
Пример 4 (для самостоятельного решения): При каких а уравнение
a (a  3)x 2  (2a  6)x  3a  9  0 имеет более одного корня?
Решение: Стандартный шаг – начать со случаев а = 0 и а = – 3. При а = 0 уравнение имеет
единственное решение. Любопытно, что при а = – 3 решением уравнения является любое
действительное число. При а  0 и а  – 3, разделив обе части данного уравнения на а + 3, получим
7
квадратное уравнение
а>–
1
ax 2  2 x  3  0 , дискриминант которого D  4(1  3a ) положителен при
.
3
Опыт решения предыдущего примера подсказывает, что из промежутка ( –
1
; + ) надо исключить
3
точку а = 0, а в ответ не забыть включить а = – 3.
1
Ответ: а = – 3, или – < а < 0 или а > 0.
3
К этой группе задач примыкают задачи, содержащие параметр, решаемые с использованием
теоремы Виета.
Теорема Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму
коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно
свободному члену.
x 2  px  g  0
D  p 2  4g
D > 0: x 
1
x1  x 2 
p D
2
p D
, x2 

p D
p D
2
2
 p
2
2
2
 p  D  p  D (  p)  ( D )
4g



g
2
2
4
4
Итак x  x  p , x  x  g .
1
2
1 2
x1  x 2 
Решение задач.
Пример 1: При каких значениях параметра b уравнение (b  1) x 2  2bx  b  1  0 имеет:
а) два положительных корня;
б) два отрицательных корня;
в) единственный корень?
Решение:
(b  1) x 2  2bx  b  1  0
2b
b 1
x
0
если b  1, то x 2 
b 1
b 1
b 1
0

b

1
а) согласно теореме Виета 
, b  (– ; – 1)  ( – 1; + )
2b

0
 b  1
b 1
0

b

1
б) 
, решений нет
2b

0
 b  1
в) если b = 1, то –2х + 2 = 0; х = 1; b  1; D  4b 2  4(b 2  1)  4b 2  4b 2  4  4  0 .
Ответ: а) b  (– ; – 1)  ( – 1; + ); б) таких b не существует; в) х = 1.
1.При каких значениях параметра а уравнение x 2  (2a  1) x  a 2  a  6  0 имеет:
а) два положительных корня;
б) два отрицательных корня;
в) корни разных знаков?
8
Ответ: а) а  (2; + ); б) а  (– ; – 3); в) а  (– 3; 2).
2. При каких значениях параметра b уравнение y 2  (2b  1) y  b 2  b  2  0 имеет:
а) два положительных корня;
б) два отрицательных корня;
в) корни разных знаков?
Ответ: а) b  (2; + ); б) b  (– ; – 1); в) b  (– 1; 2).
Пример 2: При каком значении q один корень уравнения 4x 2  15x  4q 3  0 равен квадрату
второго?
Решение: Если корни x1 и x2 уравнения связаны соотношением x2  x12 , то по теореме Виета
x1  x12  q 3
x1 + x12 =
15
.
4
Тогда, q 2  q 
15
 0, q
1,2 
4
1  1  15

2
1 4
2
; q  2,5 ; q
1
.
2  1,5
Пример 3:
5. При каких значениях па x  q раметра с уравнение x 2  cx  16  0 имеет:
1
а) два положительных корня;
б) два отрицательных корня;
в) единственный корень?
6. При каких значениях параметра с уравнение ( x  3c  2) 2  ( x  3c  2) 2  40
а) имеет корни;
б) не имеет корней;
в) имеет положительный корень;
г) имеет отрицательный корень?
Ответы: 1) а) При с > 8; б) при с < – 8; в) с = – 8 или с = 8.
2
2
2
2
2
2)
а) с  (– ; – )  (– ; + );
б) с = – );
в) с  (– ; + );
г) с  (– ; – ).
3
3
3
3
3
Для закрепления:
1. При каких значениях k произведение корней квадратного уравнения
равно нулю?
2. При каких значениях
сумма корней квадратного уравнения
равна нулю?
3. В уравнении
сумма квадратов корней равна 16. Найти a.
4. В уравнении
квадрат разности корней равен 16. Найти a.
5. При каких значениях a сумма корней уравнения
корней?
6. При каком значении параметра m сумма квадратов корней уравнения
равна сумме квадратов
наименьшая?
7. При каком значении параметра m сумма квадратов корней уравнения
наибольшая?
8. При каких значениях параметра a один из корней квадратного уравнения
в два раза больше другого?
9.При каких значениях a уравнение
имеет корни разных знаков?
9
10. При каких значениях a уравнение
имеет корни x1 и x2 такие, что
?
Тестирование
1. Тест состоит из 5-ти заданий, последнее из них более сложное. Для каждого задания
предлагается три ответа, один из которых правильный, а два другие – неверные. Класс делится на 2
варианта. Каждому ученику дается карточка с заданиями соответствующего варианта.
Вариант 1
1. Решите уравнение mx  2  1 относительно х.
а) x  
3
, при m  0.
m
б)
1) при m = 0 корней нет;
2) при m  0 x 
1
;
m
в)
1) при m = 0 корней нет;
2) при m  0 x  
3
.
m
2. Решите уравнение 2a (a  2) x  a 2  5a  6 относительно х.
а)
1) при a  2 x  R ;
2) при a  0 корней нет;
3) при a  0 и a  2
б)
2a (a  3)
1) при a  2 x  R ;
2) при a  0 корней нет;
3) при a  0 и a  2
в)
(a  3)(a  2)
x
x
a 3
2a
1) при a  2 x  R ;
2) при a  0 корней нет;
3) при a  3 и a  0 ;
4) при a  2, a  0, a  3
x
a 3
2a
3. При каких значениях b уравнение 1  2x  bx  4  x имеет отрицательное решение?
а) при b < 1; б) при b > 1; в) при b < –2.
4. При каких значениях а произведение корней уравнения x 2  4 x  a 2  3a  2  0 равно нулю?
а) при a  1, a  2 ; б) при a  1, a  2 ; в) при a  2, a  4 .
5. При каком значении b сумма квадратов корней уравнения
наименьшее значение?
а) таких значений нет; б) при b  9 ; в) при b  1 .
Ответы
Номер задания
Код верного ответа
1
в
2
б
x 2  (b  2) x  b  3  0
3
б
4
б
принимает
5
в
При формировании умения решать простейшие дробно-рациональные уравнения, содержащие
параметр необходимо провести подготовительную работу. Это может быть решение простых
уравнений, нахождение ОДЗ уравнений.
10
Решить устно:
а)
y 8
y5
 0 ; б)
2x  4
 0 ; в)
x 5
x7

ax
x7
2
a  2a  1
a 1
 0.
Решение задач.

2x  5  a
;
x7
x 5
 0 ; г)
a 8
x
Пример 1: Решите уравнение
Решение:
2
a  49
x7
ax
x7
.

2 x  5  a
,

x

7

0

 0;
a

x  2,5 

2
 x  7
Найдем недопустимые значения а:
2,5 
1
a  7, a  19 .
2
Ответ: если a  19, то x  2,5 
1
a; если a  19, то корней нет.
2
Задания для самостоятельного решения:
x 3

ax

2a  ax
а)
Ответы:
если a  2 , то х любое число, кроме 3;
если a  2, то х =2.
если a  8, то корней нет;
если a  2, то корней нет;
а)
б)
x5
x5
б)
2x  4
Решите уравнения:
;
x 3
если a  8 и a  2 , то x 
x 3
 7a  6
8a
.
В данных примерах дроби имели одинаковые знаменатели.
Теперь рассмотрим решение примера, в котором дроби необходимо привести к общему
знаменателю.
Пример 2: Решите уравнение
Решение:
1
x 5
x  10  a
 x  5

  x  a

2
xa
;
1

2
x 5 x a
x  a  2x  10
( x  5)( x  a )
0
Найдем недопустимые значения параметра а.
10  a  5, a  5
10  a  a , a  5
Ответ: если a  5 , то уравнение теряет смысл; если a  5, то x  10  a .
Решите уравнение:
Ответ:
a 3
a2
Задания для самостоятельного решения:

2
x

5
(a  2) x
при a  3, a  2, a  0,5
x
2a  1
a 3
;
при a  3, a  2, a  0,5
решений нет.
Для закрепления:
Решите уравнения:
11
а)
xa
x2
x2
0
Ответ:
0
xa
a
3
в)  8 
x
x
1 x
a
г)

1 x a 1
б)
если
a  2, то x  a ;
если a  2, то решений нет.
Ответ:
если a  2, то x  2 ; если a  2, то решений нет.
Ответ:
если a  3, то корней нет;
если a  3, то x 
1
Ответ: если a  1, то уравнение теряет смысл; если a   , то корней нет.
2
д) Решите уравнение 3xy  5x  5y  7
1
1
2
2a  1
.
а) относительно x; б) относительно y.
5
если x   , то корней нет;
3
5
7  5x
3
3x  5
если x   , то y 
б)
.
8
если a  1, a   , то x 
Ответ: а)
a 3
если y 
5
.
, то корней нет;
3
если
5
7  5y
.
y  , то x 
3
3y  5
9 класс
Решение уравнений на расположение корней квадратного уравнения, графический метод решения
уравнений с параметрами, в том числе, уравнений с модулями.
2
Пример 1: Найдите число решений уравнения x  2x  3  a в зависимости от параметра а.
2
Решение: Построим график функции y  x  2x  3 .
2
2
Выделим полный квадрат x  2x  3  ( x  1)  4
2
Уравнение x  2x  3  a имеет столько решений, сколько раз прямая
ya
2
пересекает график функции y  x  2x  3 . На рисунке видно:
1) если a  0 , то графики не имеют общих точек, т.е. нет решения;
2) если a  0 , то графики имеют две общие точки, т.е. два решения;
3) если 0  a  4 , то графики пересекаются в четырех точках – что дает
четыре решения;
4) если a  4 , то графики имеют три общие точки , т.е. три решения;
5) если a  4 , то графики имеют две общие точки , т.е. два решения.
Пример 2: Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
имеет не менее трех корней.
Решение: При x  0 имеем
2x  4  x  a
2x  4  x  a , которое равносильно совокупности уравнений
 2x  4  x  a при х  2
 x  4  a при x  2
 2x  4  x  a при 0  х  2 или  3x  4  a при 0  х  2


12
При
x0
исходное уравнение будет иметь вид
 2x  4  x  a . Это равносильно
  2x  4  x  a при х  2
  3x  4  a при х  2
2x  4  x  a при  2  х  0 , или  x  4  a при  2  х  0


Построим графики левых частей полученных четырех уравнений
y  x  4 при х  2
y  3x  4  a при 0  х  2
y  3x  4  a при x  2
y  x  4  a при  2  х  0
На рисунке видно, что данное уравнение имеет не менее трех
решений, если прямая y  a пересекает график в трех или в четырех
точках.
Это достигается в том случае, если 2  а  4
Ответ: при 2  а  4 уравнение имеет не менее трех корней.
Задания на расположение корней квадратного уравнения:
1. При каких значениях
условию
уравнение
имеет решения, удовлетворяющее
?
2. При каких значениях
знаков?
уравнение
3. При каких значениях
уравнение
имеет корни разных
имеет корни
что
4. Найдите все значения
?
, при которых корни уравнения
5. Найдите все значения
меньше, чем 1.
, при которых один из корней уравнения
и
такие,
меньше 1, а другой больше 1.
Приложение
Урок в 9 классе
Тема: «Уравнения с параметрами»
Цель и задачи урока:
1.Учиться исследовать задачу , развивать познавательную деятельность учеников.
2.Развивать творческую сторону мышления
3.Формировать умение применять свойства квадратичной функции при решении уравнений с
параметрами.
План урока:
• Почему так важна эта тема?
• Подготовимся к изучению нового (устные упражнения)
• Это мы умеем (линейные и квадратные уравнения с параметрами)
• Чему мы должны научиться сегодня (типы заданий с параметрами)
• Учимся на образцах
• Работаем самостоятельно (с тьюторами)
13
• Проверим, чему научились (проверочная работа)
Ход урока:
1. Вступительное слово учителя об актуальности темы
Обращаю внимание на 1)Изучение многих физических процессов и геометрических
закономерностей приводит к решению задач с параметрами; 2)Задачи с параметрами непременный атрибут ЕГЭ.
Задачи с параметрами – исследовательские, потому что в них речь идет не просто об уравнениях
и неравенствах, а об уравнениях и неравенствах с меняющимися коэффициентами.
Цель нашего урока – научиться исследовать задачи, а исследование всегда предполагает
творчество, творческое мышление. Ну, а конкретная задача – научиться применять свойства
Устно:
Устно:
квадратичной функции при решении уравнений
с параметрами.
2. УстныеУстно
(или полуустные) упражнения:
Решить неравенство: 25 — а2 >0 ;
Найти абсциссу вершины параболы Найти корни по теореме Виета:
5 — а2 < 0;
а2 — 4 > 0 ;
у = х2 - 2х + 5;
(а — 3)2 > 0
а2 + 1 > 0
у = ах2 + х - 7;
у=
х2
х2 +5х - 6 =0;
х2 - 3х + 2 = 0;
Назвать сумму и произведение корней:
+ ах - 1
х2 + (а + 1)х - а2 + 1 =0
3. «Это мы умеем!»
С заданиями, содержащими параметры мы немного знакомы: решали несложные линейные
Это мы умеем!
Это мы умеем!
уравнения
и встречали квадратные уравнения с параметром:
• Решить уравнение:
ах = 3;
(а - 4 )х = 3;
(а – 1)х = а2 –1
Это мы умеем!
При каких значениях параметра а
уравнение х2 + ах + 1 = 0
• имеет один корень;
• имеет 2 корня;
• не имеет корней ?
При каких значениях а
уравнение
х2 + ах + а + 1 =0
 имеет корни одного знака;
 разных знаков?
Обращаем внимание на то, что решение зависит от знака дискриминанта, выполняем проверку
при необходимости.
4. Какие задачи учимся решать сегодня?
Вообще, задач с квадратными уравнениями, содержащими параметр много:
Квадратные
уравнения
с параметром
Вычисление значений
с помощью
теоремы Виета
Расположение корней
относительно
двух чисел
Решить уравнение
с параметром
Определить
количество корней
Исследовать
знаки корней
Расположение корней
относительно
одного числа
Мы рассмотрим задачи на расположение корней относительно одного числа.
5. «Учимся на образцах»
Пример 1 разбирает учитель, пример 2 – «тьютор» (ученик, посещающий дополнительные
занятия, более подготовленный, чем остальные). Решение ведется на доске с применением
слайдов (презентация прилагается).
14
Пример 1
Пример 2
При каких значениях параметра а
число 3 заключено между корнями
уравнения
При каких значениях параметра
уравнение х2 + а х + 1 = 0
имеет два различных корня,
меньших
х2 + а х + 1 = 0 ?
а
3?
Дополнительный вопрос при решении 1 примера: «Может кто-то увидит в системе лишнее
условие?» Проиллюстрировать рисунком и сделать вывод о необязательном условии «D>0».
Аналогичный вопрос после решения примера 2.
Физкультминутка.
5.Закрепление в ходе самостоятельной работы (помогают тьюторы)
Задачи для самостоятельной работы
:
1.Сделать рисунок для анализа задачи:
а) Корни уравнения х2 + ах + 1 = 0 больше -1.
б) Корни уравнения х2 - (а +2)х - 5а = 0
расположены по разные стороны от 7.
2. Составить систему неравенств по
рисунку:
у  ах 2  х  1
у  ах 2  х  1
6. Проверочная работа.
Предлагается решить выборочно несколько заданий 5 минут.
Ученик должен правильно оценить свои возможности при выборе уровня сложности.
Часть 1 (1 балл за каждое задание)
Часть 2 (2 балла за каждое задание)
Сколько корней имеет уравнение
1 Уравнение х 2  (а  1) х  а  0 имеет один
2
х  3х  7  0 ?
корень при любом а;
1) 1
1) а = 1;
2) 2
2) а < 1;
3) нет корней
3) ни при каких а.
4) а > 1
Знаки корней уравнения
2 Корни уравнения х 2  ах  а  5  0
одинаковые знаки при а = 0
х 2  0,5  1,75  0
1) а > 0; 2) а < 0; 3) а > 5; 4) а < 5
1) Оба положительны
2) Оба отрицательны
3) Имеют разные знаки
4) Один из корней равен
Найти абсциссу вершины
3 Выбрать систему неравенств, соответствующую
2
рисунку
параболы у  2х  ах  7
1) а
2) 
3)
а
4
а
4
4) а - 5
1) D  0
x в  1
a  0
a  0
D  0

2) 
3) D  0


 x в  7
f  7   0
f  7   0
x в  7
15
Выбрать систему неравенств,
соответствующую рисунку
D  0
D  0
x  1
 в
f (1)  0

1) f (1)  0 2) a  0


4 Выбрать рисунок, на котором изображена
парабола y = f(х), соответствующий системе
неравенств
a  0
D  0


x в  1

f (1)  0
D  0
3) 
a  0
f (1)  0

1)
3)
2)
4)
Критерии оценивания: «3» - 3 - 4 балла, «4» - 5 – 7 баллов, «5» - 8 баллов.
7. Подведение итогов урока и домашнее задание.
Сегодня мы познакомились с методом решения квадратных уравнений с параметром с помощью
графического анализа. Попробуйте дома решить задачу, в которой надо рассмотреть
расположение корней относительно двух чисел .Метод тот же.
Задача. Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения х 2  ах  1  0 различны
и лежат на отрезке 0;2. Это задание для желающих.
Домашнее задание для всех: из учебника п.1,стр.169, пр.2;№№ 493(а),494.
Литература:
1. В.В. Мочалов, В.В. Сильвестров «Уравнения и неравенства с параметрами»,Москва, 2006
2. П.И. Горнштейн, В.Б. Полонский, М.С. Якир «Задачи с параметрами», М.:«Илекса»,
Харьков: «Гимназия», 2002
3. http://mat.1september.ru./
4. В.В. Амелькин, В.Л. Рабцевич «Задачи с параметрами», Минск: «Асар», 1996
5. С.А. Тынянкин «514 задач с параметрами», Волгоград, 1991
6. Г.А. Ястребинецкий «Задачи с параметрами». М.: «Просвещение», 1986
7. М.Л. Галицкий и др. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов, М.: «Просвещение», 1999
16