устойчивость

4-1
4 часть
УСТОЙЧИВОСТЬ
4.1 Устойчивое и неустойчивое положение равновесия твердого тела.
Положение тела может быть устойчивым и неустойчивымю. В этом
можем убедиться рассматривая твердое тело – стержень(см.рис.4.1). Как в
случае закрепления 1, так и в случае 2 силы, приложенные к стержню,
1
находятся в равновесии, т.е. F = N и обе силы
2
направлены по одной линии друг против друга.
F
Все же удовлетворение условиям равновесия не
F
гарантирует, что стержень в этом положении и
N
будет находиться. Условия равновесия – только
необходимые условия. Что
произойдёт
со
стержнем, если на него действует какое-нибудь
небольшое возмущение (см. рис. 4-2) ? Если
N
стержень
немного
вывести из
состояния
равновесия , тогда в варианте 2 он немного
F
поколеблется
и
вернётся назад , приняв
состояние равновесия. Наоборот, в варианте 1
стержень
в
начальное
положение
не
F
возвращается. Т.е. положение 1 является не
устойчивым.
Конструкцию
необходимо
проектировать
так, чтобы
она
всегда
находилась в устойчивом состоянии равновесия.
Рис.4.1
Задачей
этого
раздела является поиск
устойчивых состояний равновесия.
1
Чтобы проверить устойчиво ли
положение твердого тела,
a)надо немного вывести его из
положения равновесия
b)рассмотреть систему сил в этом
положении.
Если система сил показывает движение
к положению равновесия, значит
положение равновесия устойчиво,
Если система сил движется от положения
равновесия, то оно неустойчиво.
2
F
A
f
F
Рис.4.2
В примере, который показан на рис.4.2 в правой части ( вариант 2 ), в
отклоненном положении момент силы F относительно A , т.е.
M  Ff
стремится вернуться обратно в положение равновесия, значит оно устойчиво.
В левой части рис.4-2 (вариант 1 ) этот момент поворачивает тело от положения
равновесия, т.е. равновесие неустойчиво.
4-2
9.2. 4.2. Формы устойчивого и неустойчивого положения равновесия
деформированного тела.
Самая простая модель деформированного тела показана на рис.4-3.
Будем считать, что все упругие свойства тела сконцентрированы только в
пружине 2 . Применим метод исследования устойчивости положения
F
равновесия – выведем систему из положения
f
равновесия (см.положение стержня штриховой
1
линией) на величину
f и посмотрим, что
R
произойдет после снятия нагрузки. Если бы не
было пружины, положение равновесия было бы

2
неустойчивым.
Сейчас
же
приложена
a L
дополнительная сила пружины, которая стремится
вернуть тело в положение равновесия. Сила F
относительноA дает момент
Ff, который
стремится еще больше удалить стержень от
A
положения равновесия. Вернуть в положение
равновесия стремится момент упругой силы
Рис.4.3
пружины Ra.
Если момент Ra больше, то стержень возвращается в вертикальное
положение равновесия и конструкцию рассматривают как устойчивую. Если
больше момент Ff , то стержень удаляется от положения равновесия , это
означает , что вертикальное положение стержня является неустойчивым. Если
оба момента одинаковы, то это второе положение равновесия
деформированной системы . Значение силы F, при котором устанавливается
второе состояние равновесия, называют критической силой Fk:
Fk f  Ra;
Fk 
Ra
f
Сила пружины R пропорциональна её растяжению , но, как видно на
рис.4.3, определяется из подобных треугольников
 a

f L
Обозначив жесткость пружины (коэффициент пропорциональности ) c,
можно записать
R =c= c
fa
.
L
После подстановки Fk и сокращения на f , получаем
a2
Fk  c
L
(4-1)
Видим что значение критической силы Fk не зависит от того , как велико
возмущение f , а только от упругости стержня
( c ) и геометрических
характеристик ( a, L ) .
4-3
Вывод
Положение равновесия деформируемого тела устойчиво, если приложенная
сила F меньше критического значения Fk.
Можем сделать и другой вывод. Если сила меньше критического
значения, тело всегда возвращается в положение равновесия, в нашем примере –
в вертикальное.
Этот вывод находится в противоречии с экспериментами, т.к. каждой
реальной определенной силе стержня соответствует определенный изгиб. Что
мы не учли при получении выражения критической силы? .Во-первых,
рассмотрели только небольшие деформации. Во- вторых, геометрия стержня
была абсолютно идеальной Какую точность можем получить , предположив,
что деформация стержня может быть большой и геометрия стержня не
является идеальной?
4.2.1 Влияние реальной геометрии стержня.
На практике стержень не является идеально прямым, сила приложена
не вдоль оси стержня, опора не находится на оси стержня и т.д.
Предположим , что, в связи с ошибкой в изготовлении конструкции,
пружина в недеформированном состоянии находится не только , когда у
стержня
вертикальное положение, но и тогда , когда конец пружины
находится на расстоянии е справа от точки В (см.рис.9.3.).
F
Тогда сила в пружине R = c(   e). Из
f
уравнения равновесия Ff=Ra, подставив в
выражение значения R и  , получаем
R
e
соотношение силы и f
F=ac(
a e
 )
L f

(4-2)
B
a
L
Как видно , учитывая только одно
отступление от идеальной схемы
(отклонение е ), получаем соотношение
A
между F и концом отклонения стержня f .
Это соотношение графически отображено
Рис. 4.4
на рис. 4.5. На вертикальной оси отложено
.
отношение силы к значению
F
критической силы Fk , которая
вычисляется из выражения (4-2). На
k
Fk
горизонтальной оси отложено
отношение перемещения конца
стержня f к его длине L. Из
формулы (4-2) получаем , что F = 0
тогда,
f
f
e

L
a
4-4
. Толстая линия соответствует случаю идеального стержня. Пока сила
меньше
критической
(
F
 1), вертикальное (недеформированное)
Fk
положение стержня
является устойчивым и f=0. При значении силы,
превышающей критическое значение , стержень теряет устойчивость, т.е.
отклонение f становится бесконечно большим.
В реальном стержне никакой бесконечности нет, нет также устойчивого
вертикального положения. Каждому значению силы отвечает свое
отклонение. Но всё же мы видим , что, пока сила невелика, отклонение тоже
маленькое и что отклонение стремительно возрастает, если значение силы
превышает критическую.
4.2.2. Расчет устойчивости деформируемых конструкций
Если кроме устойчивого положения равновесия, для которого
проектируется конструкция , у системы может быть еще другое
равновесное состояние, тогда необходимо найти значение критической
силы, при которой устанавливается второе положение равновесия.
Допустимое значение нагружения конструкции F определяется делением
критической силы на запас устойчивости k:
 
F   Fk
k
(4-3)
Запас устойчивости должен быть больше 1. Чем он
больше, тем с большим запасом изготовлена
конструкция. Это тоже один из основных моментов
расчета на устойчивость.
Zīm.4.5
В современных конструкциях широко применяются тонкостенные
конструкции (оболочки). Почти все они могут терять устойчивость. В
качестве примера упомянем все виды резервуаров , у которых внешнее
давление больше, чем внутреннее , вагоны, кузов автомобиля , корпус
самолета и т.д
Самый простой элемент конструкции, который может потерять
устойчивость - стержень под нагрузкой (см. рис.4.5). В начальном положении
равновесия этот стержень прямой. При увеличении нагрузки реальный стержень
начинает понемногу изгибаться. Второе положение равновесия, которому
соответствует значение критической силы, будет изогнутое (см. штриховую
линию на рис.4.5)
4-5
Проверте свою логику! В случае приложения какой силы балка,
защемленная с одного конца, можетпотерять устойчивость? И если
может, то каким будет второе деформированное положение равновесия?
Рис.4.6
4.3 Устойчивость движения.
Решая дифференциальные уравнения движения, определяем, что тело
(тела) движутся. Как пример, можем рассмотреть задачу про движение планет
(см.рис.2.7). Приходим к выводу, что планеты движутся по определенным
орбитам. Устойчиво ли это движение и их траектория? Не нарушится ли вся
наша солнечная система, если какой-нибудь метеорит попадет по планете?
Как для проверки любой устойчивости, так и для устойчивости движения
используется один и тот же метод – выводим из траектории и исследуем, что
происходит с системой. В случае движения обычно исследуем это, моделируя
на специальных компьютерных программах. После того, как получили, что
планеты движутся по своим орбитам, приложим к какой-нибудь планете
возмущение, (удар или в виде изменения орбиты) и проследим, вернется ли
планета на свою прежнюю орбиту. Устойчиво ли движение, выйдет ли планета
из солнечной системы и что произойдет с остальными планетами?
4-6
4.4 Устойчивые и частично устойчивые конструкции.
Многие конструкции (движения) не совсем устойчивые, а устойчивы до
определенной величины силы воздействия. Фактически это было видно и в
устойчивости деформируемого тела. Система была устойчива не при любом
воздействии, а только при действии силы, меньше критической. Рассмотрим
подобный пример на рис. 4.7.
Рис.4.7a
Рис.4.7b
Рис.4.7c
Рис.4.7d
Карандашна незаточенном конце (рис.4.7a) установить невозможно. Установить
карандаш на заточенном конце можно (рис.4.7b), но даже легкое прикосновение
его опрокинет. Если карандаш совсем короткий, (рис.4.7c), он держится
довольно устойчиво. И, наконец, если мы создадим конструкцию, пропорции
которой будут как на рис..4.7d, ее мы можем рассматривать как устойчивую.
4-7
Вопросы для проверки:
1. Каков метод исследования устойчивости?
2. Как определить, устойчиво или нет положение твердого тела?
3. Как определить, устойчиво или нет положение деформируемого тела?
4. Что такое критическая сила?
5. Выведите формулу критической силы для простой модели деформируемого
тела.
6. Как влияет на критическую силу деформируемого тела реальная
погрешность при изготовлении?
7. Расчет на устойчивость деформируемого тела.
8. Как теряет устойчивость при изгибе балка, защемленная с одного конца?
9. Как определить устойчивость движения?
10. Как на устойчивость влияет величина воздействия?