metodichkax - Всероссийский фестиваль педагогического

Титульный лист
Всероссийский фестиваль педагогического творчества
(2015-2016 учебного года)
Номинация: педагогические идеи и технологии: профессиональное образование
Название работы: Учебно-методическое пособие для самостоятельной работы курсантов «Основы тригонометрии»
Автор: Зеленская Ольга Юрьевна
Место выполнения: Институт водного транспорта имени Г.Я.Седова - филиал
ФГБОУ «Государственный морской университет имени адмирала Ф.Ф.Ушакова»
города Ростова-на-Дону.
1
Основы тригонометрии. Сборник задач и упражнений.
Рассмотрено цикловой комиссией физико-математических и
естественнонаучных дисциплин.
Настоящие учебное пособие содержит задачи и упражнения по основным
разделам тригонометрии. Даются краткие теоретические сведения, решение
типовых примеров, а так же задания для самостоятельной работы курсантов.
Разработано для специальностей 26.02.03 «судовождение» и 26.02.05 «эксплуатация транспортных энергетических установок (по видам транспорта)».
Составитель: Зеленская О.Ю.
Рецензент: Препод. первой категории Моисеева Т.В.
Ассистент кафедры алгебры и мат. анализа ЮФУ Давиденко Л.В.
2
Содержание:
§1. Радианная мера угла. ................................................... 4
§2. Единичная числовая окружность. Поворот точки. ........ 5
§3 Тригонометрические функции числового аргумента. .... 6
§4. Основные свойства тригонометрических функ ций. ..... 7
§4.1. Знаки и значения тригонометрических функций. .................................... 7
§4.2.Четность и нечетность тригонометрических функций. .......................... 9
§4.3. Периодичность тригонометрических функций. ................................... 11
§ 5. Основные т р и г о н о м е т р и ч е с к и е
ф о р м у л ы . ............ 12
§5.1. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того
же аргумента. ................................................................................................................. 12
§5.2. Формулы приведения................................................................................. 14
§6.Формулы сложения и следствия из них. ...................... 16
§6.1. Формулы сложения. ................................................................................... 16
§6.2. Формулы кратных аргументов .................................................................. 20
§6.3. Формулы половинного аргумента........................................................... 21
§6.4. Формулы преобразования сумм или разностей в произведения: ........ 22
§6.5. Преобразование произведений в суммы или разности.......................... 24
Приложение 1 .................................................................... 25
Дополнительные задачи ....................................................... 26
Список литературы ............................................................. 28
3
§1. Радианная мера угла .
В радианной системе измерения1 дуг (и соответствующих им центральных
углов) в качестве единицы измерения берется дуга, длина которой равна радиусу
этой окружности. Так как длина окружности равна 2πR, то дуга, принятая за единицу измерения составляет
1
2π
− ю часть данной
окружности. Введенную единицу измерения дуг
называют радиан. Сокращенно обозначают «рад». За
единицу измерения углов в радианной системе принимают центральный угол, соответствующий дуге в
один радиан.
Так как окружность содержит 360° и в то же время 2 π радиан, то один
радиан соответствует
1рад =
180°
π
360°
2π
=
180°
π
:
, так как π ≈ 3,14, то1 рад ≈ 57,3°.
Формула преобразования углов из градусной меры в радианную:
𝛂°∙𝛑
𝛂 рад = 𝟏𝟖𝟎°.
Формула преобразования углов из радианной меры в градусную:
𝛂° =
𝛂 рад ∙ 𝟏𝟖𝟎°
.
𝛑
Пример 1. Найти радианную меру угла, равного150.
Решение: 15° =
π
180°
∙ 15° =
π
12
рад.
Пример 2. Найти градусную меру угла, равного
3π
Решение:
4
рад =
3π∙180°
4π
3𝜋
4
рад.
= 135°.
Задание1. Выразите в радианной мере величины углов:
а) 30˚, 36˚, 180˚;
Задание2.
а)
π π 5π
, ,
3 2 36
;
б) 120˚, 310˚, 360˚;
Выразите
б)
в
градусной
2π 3π
3
,
4
,−
мере
величины
углов:
π
9
Радианная система измерения дуг и углов используется наряду с градусной системой измерения, которая основана на делении окружности на 360 градусов, каждого градуса на 60 минут и каждой минуты на 60 секунд.
4
1
§2. Единичная числовая окружность. Поворот точки.
Окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 1, называется единичной окружностью. Как известно из курса планиметрии уравнение единичной окружности имеет вид x 2 + y 2 = 1.
Примем точку А(1;0) единичной окружности за начало отсчета дуг. Пусть
дан произвольный угол α, его можно изобразить как угол поворота радиус-вектора
⃗⃗⃗⃗⃗
ОА в заданном направлении, где точка О(0;0) – начало координат. При этом повороте точка А(1,0) перейдет в некоторую точку окружности М(x,y), такую, что
̌ = α. В зависимости от того, в какой четверти находиться точка М(x,y), угол
АМ
АОМ называют углом этой четверти.
Нужно отметить, что движение точки М(x,y) вдоль окружности против движения часовой стрелки называют положительным обy
ходом, по часовой –отрицательным.
Существует бесконечное множество дуг, имею-
α
щих данное начало А и данный конец М. Множество
этих дуг (углов), как положительных, так и отрицательных,
выражается
формулой
0
А(1,0)
М(x,y)
𝛼 = 2𝜋к +
𝛼1 , или 𝛼 = 360°к + 𝛼1 , где 0 < 𝛼 < 2𝜋 .
Пример 3. Углом какой четверти является углы α = 38°, α1 = 758° и α2 =
5π
6
.
Решение:
Угол α = 38° является углом I четверти(0° < 𝛼 < 90°) и угол α1 = 758°
также является углом I четверти, так как α1 = 758° = 38° + 2 ∙ 360° и радиус⃗⃗⃗⃗⃗ , повернувшись в положительном направлении на угол 38°, затем совервектор АО
шит еще два полных оборота и вновь совпадет с радиус-вектором ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
ОМ.
Для определения четверти угла α2 , переведем его для удобства в градусную
меру: α2 =
5π
∙180°
6
π
= 150°. Таким образом, радиус-вектор ⃗⃗⃗⃗⃗
АО, повернувшись в по-
ложительном направлении на указанный угол окажется во I I четверти.
5
x
Задание 3. Углом какой четверти является угол α, если:
а)α = 283˚;
г) 𝛼 =
5𝜋
6
;
б)α = 100˚;
д) α =
в) α =–110˚;
2π
3
е) α =
;
31π
18
.
§3 Тригонометрические функции числового аргумента.
Абсцисса Х точки М𝛼 числовой единичной окружности называется косинусом числа 𝛼:
Х=cos 𝛼.
Ордината Х точки М𝛼 числовой единичной окружности называется синусом числа 𝛼:
Y=sin 𝛼.
Областью определения синуса и косинуса служит множество всех действительных чисел.
Отношение синуса числа 𝛼 к его косинусу называется тангенсом числа 𝛼:
𝑡𝑔𝛼 =
sin 𝛼
cos 𝛼
.
Область определения тангенса - множество всех действительных чисел,
𝜋
за исключением чисел вида + 𝜋к, к ∈ 𝑍.
2
Отношение косинуса числа 𝛼 к его синусу называется котангенсом числа 𝛼:
𝑐𝑡𝑔𝛼 =
cos 𝛼
sin 𝛼
.
Область определения котангенса - множество всех действительных чисел, за исключением чисел вида 𝜋к, к ∈ 𝑍.
Величина, обратная косинусу числа 𝛼, называется секансом числа 𝛼:
𝑠𝑒𝑐𝛼 =
1
.
cos 𝛼
Область определения секанса - множество всех действительных чисел,
𝜋
за исключением чисел вида + 𝜋к, к ∈ 𝑍.
2
Величина, обратная синусу числа 𝛼, называется косекансом числа 𝛼:
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝛼 =
1
.
sin 𝛼
Область определения секанса - множество всех действительных чисел,
за исключением чисел вида 𝜋к, к ∈ 𝑍.
6
Функции sin 𝛼 и cos 𝛼 ограничены, так как −1 ≤ Е(cos𝛼) ≤ 1 и
−1 ≤ Е(sin𝛼) ≤ 1.
Функции tgα и ctgα не ограничены, так как каждая из них может принимать
любое действительное значение, т.е. Е(tgα)=R и Е(сtgα)=R.
Пример 4. Найти наибольшее и наименьшее значение функций 𝑦 = 1 +
sin 𝛼 и 𝑦 = 2 − cos 𝛼.
Решение: Поскольку −1 ≤ sin 𝛼 ≤ 1, то прибавив к левой и правой части 1: −1 + 1 ≤ sin 𝛼 + 1 ≤ 1 + 1, преобразуем 0 ≤ 1 + sin 𝛼 ≤ 2.
Таким образом, наибольшее значение функции 𝑦 = 1 + sin 𝛼 равно 2, а
наименьшее – 0.
Аналогично первой функции начнем с того, что функция косинуса так
же ограничена, т.е. −1 ≤ cos 𝛼 ≤ 1. Умножив на -1 исходное двойное неравенство, получим −1 ≤ −𝑐𝑜s 𝛼 ≤ 1, теперь прибавим к левой и правой части
2: 2 − 1 ≤ 2 − cos 𝛼 ≤ 1 + 2, преобразуем 1 ≤ 2 − cos 𝛼 ≤ 3.
Таким образом, наибольшее значение функции 𝑦 = 2 − 𝑐𝑜𝑠𝛼 равно 3, а
наименьшее равно 1.
Задание 4. Найти наибольшее и наименьшее значение функций:
а)𝑦 = 1 − sin 𝛼;
б)𝑦 = 2 + cos 𝛼.
§4. Основные свойства тригонометрических функций.
§4.1. Знаки и значения тригонометрических функций.
Выясним, какие знаки принимают тригонометрические функции в каждой
из координатной четвертей.
⃗⃗⃗⃗⃗ точка А перешла в точку В, с коорПусть при повороте радиус-вектора ОА
динатами x,y.Т.к. y=sin 𝛼, то знак синуса зависит от знака y: в I и II четвертях y>0,
значит, если угол поворота 𝛼 является углом I или II, то sin 𝛼 >0.
Аналогичные рассуждения приводят к тому, что в III и IV четвертях y< 0, а
значит и sin𝛼 < 0.
Пусть при повороте радиус-вектора ⃗⃗⃗⃗⃗
ОА точка А перешла в точку В, с коор7
динатами x,y. Т.к. x=cos 𝛼, то знак косинуса зависит от знака x: в I и IV четвертях
x>0, значит, если угол поворота 𝛼 является углом I или IV, то cos 𝛼 >0.
Аналогичные рассуждения приводят к тому, что во II и III четвертях x< 0, а
значит и cos𝛼 < 0.
Для определения знаков tg 𝛼 и ctg 𝛼 достаточно вспомнить, что 𝑡𝑔𝛼 =
и 𝑐𝑡𝑔𝛼 =
cos 𝛼
sin 𝛼
sin 𝛼
cos 𝛼
, ведь зная знаки синуса и косинуса по четвертям можно определить
знаки тангенса и котангенса (сделать самостоятельно).
Таким образом, определение знаков тригонометрических функций по четвертям отображено ниже :
Значения тригонометрических функций основных углов
Пример 5. Определить какой знак имеет выражение: sin 230°.
Решение:
sin 230° < 0, т.к. угол, равный 230° ∈ 𝐼𝐼𝐼 четверти, а синус в III четверти
отрицательный.
Задание 5. Определить знаки выражений:
8
а) sin 179°;
б) cos 280 °;
г) sin(−75°);
в) tg175 °;
д) cos(−116) °;
е) ctg(−210)°;
Пример 6. Определить какой знак имеет выражение соs 77° ∙ 𝑠𝑖𝑛143°.
Решение:
77° ∈ 𝐼 четверти → с𝑜𝑠77° > 0;
143° ∈ 𝐼𝐼 четверти → sin 143° > 0, значит
с𝑜𝑠77° ∙ 𝑠𝑖𝑛143° > 0.
Задание 6. Определите знак выражений:
а) с𝑜𝑠300° ∙ 𝑠𝑖𝑛100°;
б)𝑠𝑖𝑛190° ∙ 𝑡𝑔200°;
в)с𝑜𝑠320° ∙ 𝑡𝑔17°;
г) 𝑡𝑔170° ∙ cos 400°;
д)sin 1 cos 2
е)sin 7 cos(−
π
7π
5
);
Пример 7. Найти значение выражения, используя таблицу значений:
𝜋
𝜋
3
4
𝜋
𝜋
4
3
б)𝑠𝑖𝑛2 + 𝑠𝑖𝑛2 ;
а)2 cos + 𝑡𝑔 ;
𝜋
3𝜋
2
2
в)𝑐𝑜s − 𝑠𝑖𝑛
.
Решение:
𝜋
𝜋
1
3
4
2
а)2 cos + 𝑡𝑔 = 2 ∙ + 1 = 1 + 1 = 2;
𝜋
𝜋
√2
2
√3
2
2
3
5
б)𝑠𝑖𝑛2 + 𝑠𝑖𝑛2 = ( ) + ( ) = + = ;
4
3
2
2
4
4
4
𝜋
3𝜋
2
2
в)𝑐𝑜s − 𝑠𝑖𝑛
= 0 − (−1) = 0 + 1 = 1.
Задание 7. Найти значение выражения, используя таблицу значений:
𝜋
а)2 cos + 𝑡𝑔𝜋;
3
𝜋
𝜋
6
4
б)𝑐𝑜𝑠 2 + 𝑐𝑜𝑠 2 ;
𝜋
в)𝑐𝑜s 𝜋 − 2𝑠𝑖𝑛 .
6
§4.2.Четность и нечетность тригонометрических функций.
Рассмотрим свойства четности и нечетности тригонометрических функций.
Напомним, что функция y=f(x) называется нечетной, если она удовлетворяет следующим двум условиям:
1. Область определения данной функции должна быть симметрична относительно точки О. То есть если некоторая точка a принадлежит области определения функции, то соответствующая точка -a тоже должна принадлежать области
определения заданной функции.
9
2. Для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = -f(x).
График нечетной функции симметричен относительно точки О – начала координат.
Функция y=f(x) называется четной, если она удовлетворяет следующим
двум условиям:
1. Область определения данной функции должна быть симметрична относительно точки О. То есть если некоторая точка a принадлежит области определения функции, то соответствующая точка -a тоже должна принадлежать области
определения заданной функции.
2. Значение функции в точке х, принадлежащей области определения функции должно равняться значению функции в точке -х. что означает, что для любой
точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = f(-x).
Если построить график четной функции, он будет симметричен относительно оси Оу.
Таким образом, функции синуса, тангенса и котангенса являются нечетными, а функция косинуса – четная. Эти свойства четности и нечетности тригонометрических функций можно выразить следующими формулами:
sin(−𝛼) = − sin 𝛼;
cos(−𝛼) = cos 𝛼;
𝑡𝑔(−𝛼) = −𝑡𝑔𝛼;
с𝑡𝑔(−𝛼) = −с𝑡𝑔𝛼.
Пример 8.Найти значение выражения, используя свойства четности и не𝜋
четности функций: а)cos(−30°); б)𝑡𝑔(−60°); в)𝑠𝑖𝑛2 (− ) .
6
Решение:
а)cos(−30°) = cos 30° =
√3
;
2
б)𝑡𝑔(−60°) = −tg 60° = −√3;
10
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
1
1
1
в)𝑠𝑖𝑛2 (− ) = sin (− ) ∙ sin (− ) = − 𝑠𝑖𝑛 ∙ (−𝑠𝑖𝑛 ) = − ∙ (− ) = .
6
6
6
6
6
2
2
4
Задание 8. Найти значение выражения, используя свойства четности и нечетности функций:
𝜋
а)cos (− ) ;
3
б)𝑐𝑡𝑔(−30°);
в)𝑠𝑖𝑛2 (−45°).
§4.3. Периодичность тригонометрических функций.
Функция у=f (х)называется периодической, если существует некоторое число Т ≠0 (называемое периодом функции у=f (х) ), такое что при любом значении
х, принадлежащем области определения функции, числа х+Т и х-Т также принадлежат области определения функции и выполняется равенство f(x)=f(x+T)=f(x-T).
Следует понимать, что если Т - период функции, то число k∙T, где k любое
целое число отличное от нуля, также будет являться периодом функции. Исходя
из вышесказанного, получаем, что любая периодическая функции имеет бесконечно много периодов. Чаще всего разговор ведется о наименьшем периоде
функции.
Тригонометрические функции sinx и cosx являются периодическими, с
наименьшим положительным периодом равным 2π.
Тригонометрические функции tgx и ctgx являются периодическими, с
наименьшим положительным периодом равным π.
Свойство периодичности тригонометрических функций можно выразить
тождествами:
sin 𝛼 = sin(𝛼 + 2𝜋𝑘), 𝑘 ∈ 𝑍;
cos 𝛼 = cos(𝛼 + 2𝜋𝑘), 𝑘 ∈ 𝑍;
𝑡𝑔𝛼 = 𝑡𝑔(𝛼 + 𝜋𝑘), 𝑘 ∈ 𝑍;
с𝑡𝑔𝛼 = с𝑡𝑔(𝛼 + 𝜋𝑘), 𝑘 ∈ 𝑍.
Пример 9. Вычислить а) соs 3660° и б) 2 cos 4,5𝜋 + sin (
19𝜋
3
).
Решение: На основании свойства периодичности косинуса и синуса получим:
11
1
а)соs 3660° = cos(360° ∙ 10 + 60°) = cos 60° = ;
2
19𝜋
𝜋
б)2 cos 4,5𝜋 + sin (
) = 2 cos(2 ∙ 2𝜋 + 0,5𝜋) + sin (3 ∙ 2𝜋 + ) =
3
3
𝜋
𝜋
√3
= 2 cos + sin = 0 +
2
3
2
Задание 9. Вычислить:
а) sin 7230°;
б) cos 900 °;
в) tg540 °;
21π
13𝜋
)
+
𝑡𝑔
(
)
4
4 ;
г) sin(−1845°);
д) sin 6,5𝜋 + cos 4,5𝜋; е) ctg(
Пример 10. Найти период функции y = sin 3x.
Решение:
Обозначив искомый период через Т, получим: sin 3(x + T) =
sin 3x, или sin(3x + 3T) = sin 3x. Отсюда заключаем, что 3Т = 2π, т. е. Т =
2π
3
.
Задание 10. Найти периоды функций:
x
а)y = 𝑐𝑜𝑠 3x;
в) y = 𝑡𝑔2𝑥.
б)y = sin ;
2
§5. Основные т р и г о н о м е т р и ч е с к и е ф о р м у л ы .
§5.1. Соотношения между тригонометрическими функциями
одного и того же аргумента.
Рассмотрим как связаны между собой синус и косинус одного угла.
Пусть при повороте радиус-вектора ⃗⃗⃗⃗⃗
ОА вокруг точки О на угол 𝛼, получили точку
В, с координатами x,y, где x=cos 𝛼 и y=sin 𝛼, по определению.
Так как точка В принадлежит окружности с центром в начале координат и
радиусом, равным 1,то ее координаты удовлетворяют уравнению x 2 + y 2 = 1, подставив
в
это
уравнение
вместо
x
и
y
x=cos 𝛼
и
y=sin 𝛼,
получим
𝐬𝐢𝐧𝟐 𝜶 + 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝜶 = 𝟏. Это равенство называется основным тригонометрическим
тождеством, оно верно при любых значениях 𝛼.
Теперь выясним, как связаны между собой тангенс, синус и косинус одного и того же угла.
𝑥
𝒙
𝐬𝐢𝐧 𝜶
𝑦
𝒚
𝐜𝐨𝐬 𝜶
По определению tg 𝛼 = . Так как x=cos 𝛼 и y=sin 𝛼,то 𝐭𝐠 𝜶 = =
12
.
𝒚
𝐜𝐨𝐬 𝜶
𝒙
𝐬𝐢𝐧 𝜶
Аналогично с𝐭𝐠 𝜶 = =
с𝐭𝐠 𝜶 =
𝐬𝐢𝐧 𝜶
𝐜𝐨𝐬 𝜶
∙
𝐜𝐨𝐬 𝜶
𝐬𝐢𝐧 𝜶
, а значит легко получить еще одну формулу 𝐭𝐠 𝜶 ∙
=1.
Выведем теперь формулы, которые выражают соотношения между тангенсом и
косинусом, а так же между синусом и тангенсом одного и того же угла.
Разделив обе части основного тригонометрического тождества на 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼, получим 𝟏 + 𝒕𝒈𝟐 𝜶 =
𝟏
𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜶
. Если разделить основное тригонометрическое тождество
на 𝑠𝑖𝑛2 𝛼, то будем иметь: 𝟏 + 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝜶 =
𝟏
𝒔𝒊𝒏𝟐 𝜶
.
Приведенные равенства являются тождествами. Их называют основными
тригонометрическими тождествами.
𝐬𝐢𝐧𝟐 𝜶 + 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝜶 = 𝟏
𝒕𝒈𝜶 ∙ 𝒄𝒕𝒈𝜶 = 𝟏
𝟏
𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜶
𝒕𝒈𝜶 =
𝐬𝐢𝐧 𝜶
𝐜𝐨𝐬 𝜶
𝟏 + 𝒕𝒈𝟐 𝜶 =
𝒄𝒕𝒈𝜶 =
𝐜𝐨𝐬 𝜶
𝐬𝐢𝐧 𝜶
𝟏 + 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝜶 =
𝟏
𝒔𝒊𝒏𝟐 𝜶
Пример 11. По заданному значению функции найдите значения остальных
4
𝜋
5
2
тригонометрических функций: sin 𝑡 = , 0 < 𝑡 < .
Решение:
При решении данного примера необходимо использовать следующие формулы:
𝑠𝑖𝑛2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 = 1;
𝑐𝑜𝑠𝛼 = ±√1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝛼;
𝑡𝑔𝛼 =
sin 𝛼
cos 𝛼
; 𝑡𝑔𝛼 =
cos 𝛼
sin 𝛼
;
4
16
9
3
cost = ±√1 − ( )2 = ±√1 −
= ±√ = ± .
5
25
25
5
3
𝑡 ∈ 𝐼 четверти, то cos 𝑡 = ,
5
13
4
4
3
𝑡𝑔𝑡 = 5 = , а 𝑐𝑡𝑔𝑡 = .
3 3
4
5
Задание 11. По заданному значению функции найдите значения остальных
тригонометрических функций:
4
а) sin 𝑡 = − 5 ; 𝜋 < 𝑡 <
г) cos t = −0,28;
π
2
3𝜋
5
𝜋
𝜋
в) sin 𝑡 = −0,6; − 2 < 𝑡 < 0
б) sin 𝑡 = 13 ; 0 < 𝑡 < 2
2
𝜋
д) cos 𝑡 = 0,8; 0 < 𝑡 < 2
< 𝑡 <π
е) cos 𝑡 = 0,6;
3𝜋
2
< 𝑡 < 2𝜋
Пример 12. Упростить выражения:
а) 1 − cos 2 α;
б)sin2 α + 2cos 2 α − 1.
Решение:
а) 1 − cos 2 α = 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 − cos 2 α = 𝑠𝑖𝑛2 𝛼.
б)sin2 α + 2cos 2 α − 1 = sin2 α + 2cos2 α − (sin2 α + cos 2 α) = sin2 α +
2cos 2 α − 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 = cos 2 α.
Задание 12. Упростить выражения:
а)𝑠𝑖𝑛2 𝛼 − 1
б) cos 2 α + (1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝛼)
в)(cos 𝛼 − 1)(cos 𝛼 + 1)
г)(1 − sin α) (1 + sin α)
§5.2. Формулы приведения.
Формулами приведения называются формулы для преобразования выражений вида:
𝝅𝒏
𝝅𝒏
𝐬𝐢𝐧 (
± 𝜶) , 𝐜𝐨𝐬 (
± 𝜶) ,
𝟐
𝟐
𝝅𝒏
𝝅𝒏
𝒕𝒈 (
± 𝜶) , 𝒄𝒕𝒈 (
± 𝜶) , 𝒏 ∈ 𝒁.
𝟐
𝟐
Для запоминания этих формул удобно пользоваться мнемоническим правилом:
1.
Если угол α откладывается от горизонтальной оси, то название
функции не меняется.
2.
Если угол α откладывается от вертикальной оси, то название
функции меняется
на кофункцию. (Кофункциями синуса, косинуса,
14
тангенса и котангенса называются соответственно косинус, синус, котангенс и тангенс).
3.
Перед приведенной функцией ставится тот знак, который
π
имеет исходная функция, если считать, что 0 < α < .
2
Пример 13. Замените тригонометрической функцией угла α выражение
3
cos ( π − α).
2
Решение: Так как угол α откладывается от вертикальной оси, то название
функции измениться на кофункцию. Считая α углом I четверти, находим, что
3
2
𝜋 − 𝛼 является углом третьей четверти, в которой исходная функция косинус имеет
отрицательный знак.
3
Окончательно получаем: cos ( 𝜋 − 𝛼) = − sin 𝛼 .
2
Задание 13. Замените тригонометрической функцией угла α:
3𝜋
3𝜋
а) sin (𝜋 − 𝛼)
б)
в)
sin
+
𝛼)
𝑡𝑔
− 𝛼)
(
(
2
2
2
г) ctg(π + α)
д) cos(2𝜋 − 𝛼)
е) sin(2𝜋 + 𝛼)
Пример 14. Найти значение выражения а) cos 240°; б)sin
Решение:
Воспользуемся формулами приведения:
15
11𝜋
6
1
а)cos 240° = cos(270° − 30°) = − sin 30° = − ;
2
Можно воспользоваться другой формулой:
1
cos 240° = cos(180 + 60°) = − cos 60° = − .
2
б) sin
11𝜋
6
𝜋
𝜋
1
= sin (2𝜋 − ) = − sin = − .
6
6
2
Задание 14. Найдите значение выражения:
а) sin 240°
б) 𝑡𝑔300°
в) 𝑐𝑡𝑔(−225°)
г)
д)
е)
31𝜋
3
21π
4
59𝜋
)
6
ж) 𝑡𝑔1800° − sin 495° + cos 945°
49𝜋
21𝜋
з)
cos 9𝜋 − 2 sin
+ 𝑐𝑡𝑔
6
4
Пример 15. Упростить выражения, используя формулы приведения:
π
а)sin2 ( + t) + sin2 (π − t)
2
𝜋
𝑐𝑜𝑠( − 𝑡) ctg(−𝑡)
2
б)
𝜋
sin( + 𝑡)
2
Решение:
cos
sin
𝑡𝑔(−
π
1.
sin2 ( + t) + sin2 (π − t) = cos 2 t + sin2 t = 1,
2.
𝜋
𝑐𝑜𝑠( −𝑡) ctg(−𝑡)
2
𝜋
sin( +𝑡)
2
2
=
sin 𝑡∙(−𝑐𝑡𝑔𝑡)
cos 𝑡
= 𝑡𝑔𝑡 ∙ (−𝑐𝑡𝑔𝑡) = −1.
Задание 15. Упростите выражения, используя формулы приведения:
в) tg 2 (π + α)
2
а)
sin2 (π + α)
г)
cos(−𝛼) cos(180° + 𝛼) д)
sin(−𝛼)с𝑡𝑔(−𝛼)
е)
sin(−𝛼) sin(90° + 𝛼)
cos(360° − 𝛼)𝑡𝑔(180° + 𝛼)
б)
cos2 (
3π
− α)
2
sin(𝜋 + 𝛼) cos(2𝜋 − 𝛼)
𝑡𝑔(𝜋 − 𝛼) cos(𝛼 − 𝜋)
ж) sin(90° − α) + cos(180° + α) +tg(270° + α) + ctg(360° + α)
з)
π
5π
sin ( + α) − cos(α − π) +tg(π − α) + ctg ( − α)
2
2
§6.Формулы сложения и следствия из них.
§6.1. Формулы сложения.
16
Для нахождения тригонометрических функций суммы и разности двух аргументов применяются следующие формулы:
𝐬𝐢𝐧(𝜶 + 𝜷) = 𝐬𝐢𝐧 𝜶 𝐜𝐨𝐬 𝜷 + 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝐬𝐢𝐧 𝜷
𝐬𝐢𝐧(𝜶 − 𝜷) = 𝐬𝐢𝐧 𝜶 𝐜𝐨𝐬 𝜷 − 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝐬𝐢𝐧 𝜷
𝐜𝐨𝐬(𝜶 + 𝜷) = 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝐜𝐨𝐬 𝜷 − 𝐬𝐢𝐧 𝜶 𝐬𝐢𝐧 𝜷
𝐜𝐨𝐬(𝜶 − 𝜷) = 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝐜𝐨𝐬 𝜷 + 𝐬𝐢𝐧 𝜶 𝐬𝐢𝐧 𝜷
𝒕𝐠(𝛂 + 𝛃) =
𝐭𝐠𝛂 + 𝐭𝐠𝛃
𝟏 − 𝐭𝐠𝛂 ∙ 𝐭𝐠𝛃
𝐭𝐠(𝛂 − 𝛃) =
𝐭𝐠𝛂 − 𝐭𝐠𝛃
𝟏 + 𝐭𝐠𝛂 ∙ 𝐭𝐠𝛃
Пример 16. Вычислить, используя формулы сложения 𝑠𝑖𝑛15°,cos15°, 𝑡𝑔15°.
Решение:
Представим угол 15°в виде разности 15° = 45° − 30°. Используя формулы
разности получим:
𝑠𝑖𝑛15° = s𝑖𝑛(45° − 30°) = 𝑠𝑖𝑛45° ∙ cos30° − cos 45° ∙ sin 30° =
=
√2 √3 √2 1 √6 − √2
∙
−
∙ =
;
2 2
2 2
4
cos15° = cos(45° − 30°) = cos45° ∙ cos30° + sin 45° ∙ sin 30° =
=
√2 √3 √2 1 √6 + √2
∙
+
∙ =
;
2 2
2 2
4
√3
1−
tg45° − tg30°
3 = 1 − √3 .
𝑡𝑔15° =
=
1 + tg45° ∙ tg30°
√3 1 + √3
1+1∙ 3
Задание 16.
а) Представив 105° как сумму 60° + 45°, вычислить sin 105°, cos 105° и 𝑡𝑔105°.
б) Представив 75° как сумму 30°+45°, вычислить sin 75° , cos 75° и 𝑡𝑔75°.
Пример 17. С помощью формул сложения преобразуйте выражение:
sin(45° + 𝑥).
Решение:
17
sin(45° + 𝑥) = sin 45° cos 𝑥 + cos 45° 𝑠𝑖𝑛𝑥 =
=
√2
√2
√2
cos 𝑥 +
𝑠𝑖𝑛𝑥 =
(cos 𝑥 + sin 𝑥).
2
2
2
Задание 17. С помощью формул сложения преобразуйте выражение:
а)
г)
𝜋
cos ( − 𝜑)
4
𝜋
sin (𝜑 − )
4
б)
𝜋
s𝑖𝑛 (𝜑 + )
4
в)
𝜋
cos ( + 𝜑)
4
д)
sin(60° − 𝜑)
е)
cos(𝜑 − 30°)
Пример 18.Упростить выражение:
1
2
𝜋
cos 𝑥 − sin( + 𝑥).
6
Решение:
Применяя формулу синуса суммы и табличные значения sin
𝜋
6
𝜋
и cos ,
6
получим:
1
𝜋
1
𝜋
𝜋
cos 𝑥 − sin ( + 𝑥) = cos 𝑥 − (sin ∙ cos 𝑥 + cos ∙ sin 𝑥) =
2
6
2
6
6
1
1
√3
√3
= cos 𝑥 − ∙ cos 𝑥 −
sin 𝑥 = −
sin 𝑥.
2
2
2
2
Задание 18. Упростите выражение:
а) sin(𝛼 + 𝛽) − sin 𝛼 cos 𝛽
б) sin (𝜋 − 𝛼) − 1 cos 𝛼
6
2
в) √3
𝜋
sin 𝛼 + cos (𝛼 − )
2
3
г)
д) 2 cos (𝜋 − 𝛼) − √3 s𝑖𝑛 𝛼
3
е) √3 cos 𝛼 − 2 cos (𝛼 − 𝜋)
6
𝜋
√2 sin (4 + 𝛼) − cos 𝛼
Пример 19.Найти значение выражения:
sin 108° cos 78° − cos 108° sin 108°.
Решение:
Используя формулу синуса разности, преобразуем выражение и найдем ответ:
1
sin 108° cos 78° − cos 108° sin 108° = sin(108° − 78°) = sin 30° = .
2
Задание 19. Найдите значение выражения:
а) cos 107° cos 17° + sin 107° sin 17° б)
sin 63° cos 27° + cos 63° sin 27°
в) cos 36° cos 24° − sin 36° sin 24°
г)
sin 51° cos 21° −cos 51° sin 21°
д)
д)
cos 32° cos 58° − sin 32° sin 58°
cos 18° cos 63 + sin 18° sin 63°
18
Пример 20. Упростить выражение
π
π
π
π
sin (α + ) cos (α − ) − cos (α + ) sin (α − ).
3
3
3
3
Решение:
π
π
π
π
sin (α + ) cos (α − ) − cos (α + ) sin (α − ) =
3
3
3
3
π
π
π
π
2π
√3
= sin ((α + ) − (α − )) = sin (α + − α + ) = sin
=−
.
3
3
3
3
3
2
Задание 20. Упростите выражение:
а) sin (𝛼 + 𝜋) cos (𝛼 − 𝜋) +cos (𝛼 + 𝜋) sin (𝛼 − 𝜋)
6
6
6
6
в)
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
cos ( + 𝛽) cos ( − 𝛽) −sin ( + 𝛽) sin ( − 𝛽)
4
4
4
4
б)
sin(𝛼 + 𝛽) − cos 𝛼 sin 𝛽
sin(𝛼 − 𝛽) + cos 𝛼 sin 𝛽
г)
sin(𝛼 − 𝛽) + 2 cos 𝛼 sin 𝛽
2 cos 𝛼 cos 𝛽 − cos(𝛼 − 𝛽)
4
5
5
13
Пример 21. Известно, что α и β – углы I четверти и sin 𝛼 = , cos 𝛽 =
.
Найти 𝑠𝑖𝑛(𝛼 + 𝛽).
Решение:
Воспользуемся
формулой
синуса суммы:
sin(𝛼 + 𝛽) = sin 𝛼 ∙ cos 𝛽 +
4
5
5
13
cos 𝛼 ∙ sin 𝛽. Нам уже известны значения sin 𝛼 = , cos 𝛽 =
.
Необходимо найти значения cosα и sin 𝛽. Поскольку α и β – углы I четверти,
то косинус и синус соответствующих углов будут принимать положительные
значения.
4 2
16
9
3
√
cosα = 1 − ( ) = √1 −
=√ = ,
5
25
25 5
5 2
25
144 12
sin 𝛽 = √1 − ( ) = √1 −
=√
= ,
13
169
169 13
Тогда подставив найденные значения в формулу, получим:
sin(𝛼 + 𝛽) = sin 𝛼 ∙ cos 𝛽 + cos 𝛼 ∙ sin 𝛽 =
4
= ∙
5
5 13
3 12
+ ∙
5 13
=
20+36
65
=
56
.
65
Таким образом, s𝑖𝑛(𝛼 + 𝛽) =
56
65
.
19
Задание 21.
4
15
1) Известно, что 𝛼 и 𝛽 — углы II четверти и sin 𝛽 = , cos 𝛽 = − .
5
17
Найдите:
а) sin(𝛼 + 𝛽);
б)sin(𝛼 − 𝛽);
в)𝑐𝑜s(𝛼 − 𝛽);
г)𝑐𝑜s(𝛼 + 𝛽).
2) Известно, что 𝑡𝑔𝛼 =
а)
𝑡𝑔(𝛼 + 𝛽)
б)
1
2
1
и 𝑡𝑔𝛽 = . Найдите:
3
𝑡𝑔(𝛼 − 𝛽)
§6.2. Формулы кратных аргументов
Формулы сложения позволяют выразить sin 2𝛼, cos 2𝛼 и 𝑡𝑔2𝛼 через тригонометрические функции угла 𝛼, положив, что 𝛼 = 𝛽 получаем тождества:
sin 2𝛼 = 2 sin 𝛼 cos 𝛼
cos 2𝛼 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 − 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 = 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 − 1 = 1 − 2𝑠𝑖𝑛2 𝛼
2𝑡𝑔𝛼
1 − 𝑡𝑔2 𝛼
𝑡𝑔2𝛼 =
Эти тождества называются формулами двойного угла.
Пример 22. Упростить выражение
cos 2𝑡
cos 𝑡+sin 𝑡
− cos 𝑡.
Решение: В числители дроби раскроем формулу косинуса удвоенного угла
cos 2𝑡
𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑡
− cos 𝑡 =
− cos 𝑡 =
cos 𝑡 + sin 𝑡
cos 𝑡 + sin 𝑡
(cos 𝑡 + sin 𝑡) ∙ (cos 𝑡 − sin 𝑡)
=
− 𝑐𝑜𝑠𝑡 = cos 𝑡 − sin 𝑡 − 𝑐𝑜𝑠𝑡 = −𝑠𝑖𝑛𝑡.
cos 𝑡 + sin 𝑡
Задание 22. Упростите выражение:
а) sin 2𝛼
sin 𝛼
б)
2𝑐𝑜𝑠 2 𝛼
sin 2𝛼
в)
sin 2𝛽
− sin 𝛽
cos 𝛽
г) cos 2𝛼 + 𝑠𝑖𝑛2 𝛼
д)
𝑐𝑜𝑠 2 𝛽 − cos 2𝛽
е)
cos 2𝛼
− cos 𝛼
cos 𝛼 + sin 𝛼
Задание 23. Пусть sin 𝛼 =
5
13
и α - угол II четверти.
20
Найдите: а) sin 2𝛼; б) cos 2𝛼 ; в) 𝑡𝑔2𝛼.
Решение проводится аналогично решенному ранее примеру номер 21.
Задание 24. Пусть cos 𝛼 = −0,6 и α - угол III четверти.
Найдите: а) sin 2𝛼 ; б) cos 2𝛼 ; в) 𝑡𝑔2𝛼.
Задание 25. Упростите выражение:
а)
sin 𝛼
𝛼
2𝑐𝑜𝑠 2 2
б)
sin 4𝛽
cos 2𝛽
в)
cos 𝜑
𝜑
𝜑
cos 2 + sin 2
г)
cos 2𝛼 − sin 2𝛼
cos 4𝛼
д)
sin 2𝛼 − 2 sin 𝛼
cos 𝛼 − 1
е)
cos 2𝛼 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼
1 − 𝑐𝑜𝑠 2𝛼
ж)
sin 2𝛼𝑐𝑡𝑔𝛼 − 1
з)
(𝑐𝑡𝑔𝛼 + 𝑡𝑔𝛼) sin 2𝛼
и)
0,5𝑡𝑔𝛼 sin 2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼
§6.3. Формулы половинного аргумента.
Формулы для тригонометрических функций половинного аргумента позволяют выразить функции аргумента
𝛼
2
через функции аргумента 𝛼:
В этих формулах знак «+» или « —» выбирается в зависимости от того, в
α
какой четверти находится угол .
2
𝛼
3
𝜋
2
5
2
Пример 23. Найти cos , если sin 𝛼 = , если 0 < 𝛼 < .
Решение: Для нахождения косинуса половинного угла необходимо найти
значение с𝑜𝑠 𝛼.
3
9 2
16
4
√
т. к. sin 𝛼 = , то cos 𝛼 = ± 1 − ( ) = = ±√ = ± .
5
25
25
5
4
Поскольку угол α принадлежит первой четверти, то cos 𝛼 = , тогда
5
21
α
1+cos α
2
2
cos = ±√
= +√
4
5
1+
2
9
9
= +√ 5 = +√ = +
2
10
3
√10
.
Задание 26. Найти функцию половинного аргумента:
а)
б)
в)
г)
𝛼
5 𝜋
cos , если sin 𝛼 =
, <𝛼<𝜋
2
13 2
𝛼
12 5𝜋
sin , если sin 𝛼 = − ,
< 𝛼 < 3𝜋
2
13 2
𝛼
4
3𝜋
𝑡𝑔 , если ctg 𝛼 = , 𝜋 < 𝛼 <
2
3
2
𝛼
3𝜋
𝑠𝑖𝑛 , если sin 𝛼 = −0,8, 𝜋 < 𝛼 <
2
2
Задание 27. Упростите выражение:
𝛼
а)
1 − 𝑠𝑖𝑛2
2
𝛼
2𝑐𝑜𝑠 2 − 1
2
в)
𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛4 𝑥 − cos 2𝑥
д)
1 + cos 42°
1 − sin 48°
б)
𝜋 3𝛼
2𝑠𝑖𝑛2 ( + ) − 1
4
2
г)
𝜋 3𝛼
2𝑐𝑜𝑠 2 ( − ) − 1
4
2
𝛼
1 − 2 cos + cos 𝛼
2
𝛼
1 + 2 cos + cos 𝛼
2
е)
§6.4. Формулы преобразования сумм или разностей в произведения:
Сумму и разность синусов или косинусов можно представить в виде произведения тригонометрических функций. Если в формулах сложения положить 𝛼 =
𝑥 + 𝑦 и 𝛽 = 𝑥 − 𝑦, то могут быть получены следующие формулы:
22
Пример 24. Преобразовать в произведение cos 40° + cos 50°.
Решение:
cos 40° + cos 50° = 2 cos
= 2 cos 45° ∙ cos 5° = 2 ∙
40° + 50°
40° − 50°
∙ cos
=
2
2
√2
cos 5° = √2 cos 5°.
2
Задание 28. Представьте в виде произведения:
а)
г)
sin 40° + sin 16°
б)
cos 46° − cos 74°
11𝜋
3𝜋
2𝜋
𝜋
е)
cos
− cos
+ sin
12
4
5
5
Задание 29. С помощью формул преобразования суммы тригонометрических
cos 15° + cos 45°
д)
в)
sin 20° + sin 40°
sin
функций в произведение разложите на множители выражение:
а) sin 3𝛼 + sin 𝛼
б) sin 𝛽 − sin 5𝛽
в) с𝑜𝑠 2𝑥 + cos 3𝑥
г) с𝑜𝑠 𝑦 − cos 3𝑦
Пример 25. Преобразовать выражение: tg
4π
7
+ tg
3π
7
.
Решение:
4𝜋 3𝜋
4𝜋
3𝜋 sin ( 7 + 7 )
sin 𝜋
𝑡𝑔
+ 𝑡𝑔
=
=
=0
3𝜋
4𝜋
3𝜋
4𝜋
7
7
cos cos
cos cos
7
7
7
7
Задание 30. Представьте в виде произведения
а)
𝑡𝑔2𝛼 + 𝑡𝑔𝛼
б)
𝑡𝑔3𝛽 − 𝑡𝑔𝛽
23
в)
𝑐𝑡𝑔2𝑥 + 𝑡𝑔4𝑥
г)
tg
𝜋
𝜋
+ tg
12
3
д)
tg
е)
4𝜋
3𝜋
− tg
5
5
tg
5𝜋
𝜋
− tg
8
8
Задание 31. Найдите значение выражения:
а) cos 68° − cos 22°
sin 68° − sin 22°
б)
sin 130° + sin 110°
cos 130° + cos 110°
§6.5. Преобразование произведений в суммы или разности.
Для преобразования произведения тригонометрических функций в сумму применяются формулы:
Пример 26. Преобразуйте произведение в сумму:
Решение:
1
sin 40° ∙ sin 20° = (cos(40° − 20°) − cos(40° + 20°)) =
2
1
1
1 1 1
1
= (cos 20° − cos 60°) = cos 20° − ∙ = cos 20° − .
2
2
2 2 2
4
Задание 32. Преобразовать произведение в сумму:
а)
sin 23° sin 32°
б)
cos
г)
𝜋
𝜋
2 sin cos
8
5
д)
ж)
sin 𝛽 cos(𝛼 + 𝛽)
з)
𝜋
𝜋
cos
12
8
в)
sin 14° 16°
sin(𝛼 + 𝛽) sin(𝛼 − 𝛽)
е)
sin 10° cos 8° cos 6°
и)
𝛼 𝛽
𝛼 𝛽
cos ( + ) cos ( − )
2 2
2 2
𝜋
𝜋
cos (𝛼 + ) cos (𝛼 − )
4
4
Задание 33. Вычислить:
а)
𝑐𝑜𝑠 2 3° + 𝑐𝑜𝑠 2 1° − cos 4° cos 2°
б)
𝑠𝑖𝑛2 10° + cos 50° cos 70°
в)
1
− 2 sin 70°
2 sin 10°
г)
𝑡𝑔60°
+ 4 cos 100°
𝑠𝑖𝑛40°
24
Приложение 1
Линии тригонометрического круга
25
Дополнительные задачи
26
27
Список литературы
1. Алгебра для 9 класса. Учебное пособие для учащихся школ и классов
с углубленным изучением математики. Под ред. Виленкина Н.Я., М., Просвещение, 1996. -383с.
2. Алгебра и начала анализа. 10-11 класс. Учебник. Мордкович А.Г. 7-е
изд. - М.: 2006. - 375с.
3. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений / Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. и др. изд. - : Просвещение, 2007.- 384с.
4. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Профильный
уровень. Пратусевич М.Я. и др. изд. - : Просвещение, 2010. - 463 с.
5. Математика: учеб. пособие/ В.С.Михеев и др.; Под ред.В.М. Демина.
– Ростов н/Д: Феникс, 2009. – 896 с. – (среднее проф. Образование)
6. Практические занятия по математике: Учеб. Пособие для средних
проф. Учебных заведений / Н.В. Богомолов. -8-е изд. – М.: Высшая
шк.,2006. – 495с.
7. Репетитор по математике для поступающих в вузы/ Э.Н. Балаян - Ростов-на-Дону: «Феникс», 2010. – 774.
8. Задачи по алгебре и началам анализа/Саакян С.М., Гольдман А.М и
др. - М.: Просвещение, 1990. – 336 с.
9. Сборник задач по математике для поступающих во втузы/В.К. Егоров,
В.В. Зайцев и др.; Под ред. М.И. Сканави. – 6-е изд. – М.:ООО «Издательство Оникс», 2011.- 608с.
10. Тригонометрия: Учеб. Для 10 кл. общеобразоват.уч./Ю.Н.Макарычев,
Н.Г.Мендюк; Под ред. С.А. Теляковского. – М.: Просвещение, 1999. – 64 с.
11. Устные упражнения по математике для 5-11 классов/Э.Н. Балаян –
Ростов-на-Дону: «Феникс», 2008. – 247.
28
29