Задача D-13.9 Цилиндр массой 4 кг шарнирно закреплен на штоке OA. Цилиндр катится по скошенной поверхности клина. Клин движется в направляющих, перпендикулярных штоку. На шток действует сила Р 14 H , на клин массой 1 кг — сила F 2 H ; масса штока 6 кг. Механизм расположен в горизонтальной плоскости. Найти ускорение клина при / 4 . y F 1 w2z O Ba S VB a P x A VO 2 3 Решение Обозначим клин телом 1, цилиндр – телом 2, шток – телом 3. Введем координату S , которая определяет положение тела 1 (показана на рисунке). Для решения задачи составим уравнение Лагранжа 2-го рода, выбрав за обобщенную координату расстояние S : d дT дT Q. (1) dt дS дS Кинетическая энергия поступательного движения тела 1 равна: mV 2 T1 1 B , (2) 2 где m1 масса тела 1, m1 4 кг ; VB скорость тела 1 (поскольку тело 1 движется поступательно, то скорости всех его точек равны между собой, выбрана точка В – точка касания клина с цилиндром). Кинетическая энергия плоского движения тела 2 равна: m V 2 J 2 T2 2 O 2 2 z , (3) 2 2 где m2 масса тела 2, m2 1 кг ; VO скорость центра масс тела 2 (точка О); J 2 момент инерции тела 2 относительно его центра масс, так как это однородный цилиндр, то J 2 0,5m2 R 2 , где R радиус цилиндра; 2 z угловая скорость тела 2. Кинетическая энергия поступательного движения тела 3 равна: mV2 (4) T3 3 O , 2 где m3 масса тела 3, m3 6 кг ; VO скорость тела 3 (поскольку тело 3 движется поступательно, то скорости всех его точек равны между собой, выбрана точка О). Выразим скорости, входящие в выражения (2) ÷ (4) через обобщенную скорость S . Для этого составим кинематический граф: R O B . Соответствующие уравнения для проекций скоростей: (5) VBx VOx R 2 z sin , VBy VOy R 2 z cos . (6) Так как тело 1 движется вертикально, то горизонтальная составляющая его скорости равна нулю: VBx 0 , (7) а вертикальная составляющая его скорости равна: (8) VBy S . Так как тело 3 движется горизонтально, то вертикальная составляющая его скорости равна нулю: VOy 0 . (9) Подставляя (7) ÷ (9) в выражения (5) и (6), получим: 0 VOx R 2 z sin , S R 2 z cos . Отсюда находим угловую скорость тела 2 и проекцию скорости точки О: S , 2 z R cos VOx R 2 z sin R S sin S tg . R cos (10) (11) Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий тел 1÷3: m1VBy2 m2VOx2 J 222z m3VOx2 T T1 T2 T3 2 2 2 2 2 S 2 2 0,5m2 R 2 m2 S tg R cos m3 S tg m1S 2 2 2 2 m2 S2 m1 m2 m3 tg 2 . 2 2 2 cos Введем обозначение для постоянной величины: m2 С1 m1 m2 m3 tg 2 , (12) 2 cos 2 отсюда имеем простое выражение для кинетической энергии, удобное для подстановки в уравнение Лагранжа S2 T C1 . (13) 2 2 Определим обобщенную силу системы, соответствующую обобщенной координате S : Q 1/ S P VOx F VBy 1/ S P S tg F S P tg F . (14) Вычислим частные производные: дT S С1 , (15) дS дT 0. (16) дS Полная производная по времени определяется по формуле: d дT (17) S С1 . dt дS Подставив (16) и (17) в уравнение (1), получим окончательный вид уравнения Лагранжа: S С1 Q . (18) Отсюда ускорение тела 1 (клина): Q S . (19) С1 Вычислим коэффициент С1 (обобщенную массу): m2 1 С m1 m2 m3 tg 2 4 1 6 tg 2 12 кг; 2 2 cos 4 2 cos 2 4 и обобщенную силу: Q P tg F 14 tg 2 12 Н . 4 Подставив полученные значения в уравнение (19), определяем искомое ускорение клина: 12 S 1 м / с2 . 12 Знак полученного ускорения указывает на то, что ускорение клина направлено в сторону увеличения координаты S , т.е. вертикально вверх. Ответ: S 1 м / с 2 .