РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт математики, естественных наук и информационных технологий
Кафедра алгебры и математической логики
Платонов М. Л.
Дополнительные главы теории чисел
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов очной формы обучения
специальности 09090.62 «Информационная безопасность»,
профиль подготовки: «Безопасность распределённых систем»
Тюменский государственный университет
2011
Платонов М. Л. Дополнительные главы теории чисел. Учебнометодический комплекс. Рабочая программа для студентов специальности
090900.62
«Информационная
безопасность»,
профиль
подготовки:
«Безопасность распределённых систем», форма обучения – очная. Тюмень,
2011, 14 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС
ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю
подготовки.
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ:
«Дополнительные главы теории чисел» [электронный ресурс] / Режим
доступа: http://www.umk3.utmn.ru., свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой алгебры и математической логики.
Утверждено проректором по учебной работе Тюменского государственного
университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ
РЕДАКТОР:
заведующий
кафедрой
алгебры
и
математической логики, доктор физико-математических наук, профессор,
Кутрунов В.Н.
© Тюменский государственный университет, 2011.
© Платонов М.Л., 2011.
2
1. Пояснительная записка.
1.1. Цели и задачи дисциплины.
Дисциплина
приобретение
"Дополнительные
знаний
государственным
и
главы
умений
в
теории
чисел"
соответствии
образовательным
с
обеспечивает
Федеральным
стандартом,
содействует
фундаментализации образования, формированию мировоззрения и развитию
логического мышления.
Цели дисциплины:

овладение студентами математическим аппаратом, необходимым для
применения математических методов в практической деятельности и
в исследованиях;

ознакомление студентов
с понятиями, фактами
и
методами,
составляющими теоретические основы информатики;

развитие логического мышления;

обеспечение студентов знаниями по конкретному объекту – целым
числам,
необходимые
для
понимания
математики,
теории
вероятностей и других математических дисциплин.
Задачи изучения дисциплины:

изучить материал дисциплины;

усвоить основные понятия и методы, изучаемые в процессе освоения
материала дисциплины;

приобрести навыки самостоятельного решения задач различной
степени сложности;

выработать умение проводить анализ полученных в процессе
решения фактов и результатов;

обобщить и систематизировать полученные знания, умения и навыки.
1.2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата.
Дисциплина «Дополнительные главы теории чисел» в соответствии с
Федеральным государственным образовательным стандартом высшего
профессионального
образования
(ФГОС
ВПО)
по
направлению
«Информационная безопасность» относится к вариативной части цикла
3
профессиональных дисциплин. Она является логическим продолжением
базовых профессиональных курсов алгебры, математического анализа и
комплексного анализа. С методической точки зрения она хорошо
иллюстрирует общие теоремы и конструкции этих базовых дисциплин на
примерах исследования свойств конкретных объектов – целых чисел.
Знания,
полученные
после
изучения
этой
дисциплины,
позволяют
ориентироваться в различных направлениях практической деятельности,
связанных
с
дискретной
математикой,
защитой
информации,
компьютерными науками. В качестве входных знаний необходимы основы
алгебры,
действительного
и
комплексного
анализа.
Изучение
этой
дисциплины может сопровождаться практикумом на ЭВМ по теоретикочисловым алгоритмам с использованием пакетов прикладных программ,
таких как «Математика», и практикумом по параллельным методам решения
теоретико-числовых задач на кластерах.
В ходе изучения дисциплины «Дополнительные главы теории чисел»
студенты должны усвоить основные понятия и методы теории чисел,
получить основные сведения о структурах, используемых в персональных
компьютерах.
Освоение дисциплины предусматривает приобретение навыков работы с
соответствующими учебниками, учебными пособиями, монографиями,
научными статьями.
На основе приобретенных знаний формируются умения применять
математические методы при решении профессиональных задач повышенной
сложности,
владеть
методами
построения
математической
модели
профессиональных задач и содержательной интерпретации полученных
результатов.
Знание
теории
чисел
может
существенно
помочь
в
научно-
исследовательской работе.
1.3. Компетенции выпускника ООП бакалавриата, формируемые
в результате освоения данной ООП ВПО.
В результате освоения ООП бакалавриата выпускник должен обладать
следующими компетенциями:
общекультурными компетенциями (ОК):
4

способностью к логически правильному мышлению, обобщению,
анализу, критическому осмыслению информации, систематизации,
прогнозированию, постановке исследовательских задач и выбору путей их решения на основании принципов научного познания (ОК-9);
профессиональными компетенциями (ПК):

способностью выявлять естественнонаучную сущность проблем,
возникающих в ходе профессиональной деятельности, и применять
соответствующий
физико-математический
аппарат
для
их
формализации, анализа и выработки решения (ПК-1);

способностью применять математический аппарат, в том числе с
использованием
вычислительной
техники,
для
решения
профессиональных задач (ПК-2);

способностью использовать нормативные правовые документы в
своей профессиональной деятельности (ПК-5).
В результате освоения дисциплины студент должен:
Знать: свойства простых и составных чисел, законы распределения простых
чисел в натуральном ряде, свойства колец классов вычетов по натуральным
модулям,
основные
свойства
алгебраических
расширений
поля
рациональных чисел и конечных полей, свойства арифметических функций.
Уметь: решать линейные и квадратичные уравнения от нескольких
переменных, системы линейных уравнений в целых числах. Устанавливать
разрешимость и находить решения алгебраических сравнений и систем
сравнений, показательных сравнений. Вычислять значения арифметических
функций. Строить рациональные приближения к действительным числам.
Владеть: современными теоретико-числовыми алгоритмами.
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр 2. Форма промежуточной аттестации: зачет. Общая трудоемкость
дисциплины составляет 6 зачетных единиц, 216 часов.
5
3. Тематический план.
Таблица 1.
Тематический план.
№
Тема
Недели семестра
Лекционные занятия
Практические занятия
Итого часов по теме
Из них в интерактивной форме
Итого количество баллов
Виды учебной работы и
1
2
3
4
5
7
8
9
10
1–2
2
4
22
28
1
0-21
3-4
2
4
28
34
2
0-26
4
8
50
62
3
0-47
5-7
4
6
14
24
1
0-12
8 - 12
4
8
30
42
3
0-12
13 - 14
2
6
20
28
2
0-17
10
20
64
94
5
0-41
15 - 16
2
4
18
24
2
0-6
17 - 18
2
4
30
36
1
0-6
Всего:
4
8
48
60
3
0-12
Итого (часов, баллов):
18
36
162
216
11
0-100
3
8
работа
Самостоятельная
самостоятельная работа, в час.
Модуль 1
1.1.
1.2.
Теория делимости
Важнейшие функции теории
чисел
Всего:
Модуль 2
2.1.
2.2.
2.3.
Сравнения
Сравнения с одним
неизвестным.
Сравнения второй степени.
Всего:
Модуль 3
3.1.
3.2.
Трансцендентные числа
Распределение простых чисел в
арифметических прогрессиях.
Из них часов в
интерактивной форме:
6
Таблица 2.
Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля.
реферат
Итого количество баллов
работа
контрольная
Письменные работы
семинаре
ответ на
№
собеседование
Устный опрос
Модуль 1
1.1.
0-1
0-20
0-21
1.2.
0-1
0-25
0-26
0-2
0-45
0-47
Всего:
Модуль 2
2.1.
0-1
0-1
0-10
0-12
2.2.
0-1
0-1
0-10
0-12
2.3.
0-1
0-1
0-15
0-17
0-3
0-3
0-35
0-41
3.1.
0-1
0-1
0-4
0-6
3.2.
0-1
0-1
0-4
0-6
Всего:
0-2
0-2
0-8
0-12
Итого:
0-5
0-7
0-8
0-100
Всего:
Модуль 3
0-80
7
Таблица 3.
Планирование самостоятельной работы студентов.
№
Виды СРС
Неделя
Объём
Кол-во
дополнительные
семестра
часов
баллов
Подготовка
1–2
22
0-21
3-4
28
0-26
50
0-47
5-7
14
0-12
8-12
30
0-12
13-14
20
0-17
64
0-41
15 – 16
18
0-6
17 – 18
30
0-6
Всего по модулю 3:
48
0-12
ИТОГО:
162
0-100
Модули и темы
обязательные
Модуль 1
Проработка
1.1
Теория делимости
лекций, работа с
литературой,
1.2
Важнейшие функции
решение
теории чисел.
типовых задач
рефератов,
составление
задач
Всего по модулю 1:
Модуль 2
2.1
2.2
2.3.
Сравнения.
Проработка
Сравнение с одним
лекций, работа с
неизвестным.
литературой,
Сравнения второй степени.
решение
Написание
программы
Всего по модулю 2:
Модуль 3
3.1
Трансцендентные
Проработка
числа.
лекций, работа с
Распределение простых
3.2
чисел в арифметических
прогрессиях.
литературой,
решение
Подготовка
рефератов
типовых задач
8
4. Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с
обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами.
Наименование
Темы дисциплины необходимые для изучения
№
обеспечиваемых
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
п/п
(последующих)
дисциплин
1.
2.
3.
Электроника и
схемотехника
Криптографические
протоколы
Производственная
практика
1.1
1.2
2.1
2.2
2.3
3.1
3.2
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Криптографические
4.
методы защиты
+
+
информации
5. Содержание дисциплины.
Модуль 1.
5.1. Теория делимости.
Свойства делимости. Алгоритм Евклида и следствия из него. НОК. Связь
алгоритма Евклида с непрерывными дробями. Простые числа. Каноническое
разложение целых чисел.
5.2. Важнейшие функции теории чисел.
Функция [x]. Мультипликативные функции. Вывод формул для S(n) и 𝜏(𝑛).
Функции Мёбиуса и Эйлера, их свойства.
Модуль 2.
5.3. Сравнения.
Свойства сравнений (Теорема 1 и 2). Полная и приведённая системы
вычетов. Теорема Эйлера и Ферма.
5.4. Сравнение с одним неизвестным.
Сравнения первой степени. Система сравнений первой степени, китайская
теорема об остатках. Сравнения любой степени по простому и составному
модулях. Решение сравнения 𝑓(𝑥) ≡ 𝑂(𝑚𝑜𝑑 𝑝𝛼 ).
9
5.5. Сравнения второй степени.
Общие свойства сравнения 𝑥 2 ≡ 𝑎 (𝑚𝑜𝑑 𝑚). Символы Лежандра и Якоби, их
свойства. Случай составного модуля.
Модуль 3.
5.6. Трансцендентные числа.
Иррациональность числа е. Теорема Линдемана. Трансцендентность числа π
Теорема
Гельфонда (без доказательства) и следствие из неё.
5.7. Распределение простых чисел в арифметических прогрессиях.
Теорема Дирихле. Бесконечность простых чисел вида 4t + 3, 4t + 1 и 6t + 1.
6. Планы практических занятий.
Модуль 1.
6.1. Теория делимости.
Применение алгоритма Евклида для нахождения наибольших делителей
двух чисел. Разложения рациональных чисел в непрерывные дроби с
составлением таблиц подходящих дробей. Нахождение канонического
разложения чисел. Применение решета Эрастосфена.
6.2. Важнейшие функции теории чисел.
Нахождение канонического разложения числа вида n!. Вычисление числа и
суммы делителей (𝜏(𝑛) и 𝑆(𝑛)). Составление таблиц значений для функции
Мёбиуса и Эйлера (𝜇 и 𝜑).
Модуль 2.
6.3. Сравнения.
Использование свойств сравнений для их упрощения.
6.4. Сравнение с одним неизвестным.
Решение сравнений вида:
𝑎𝑥 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑚).
𝑓(𝑥) ≡ 𝑂(𝑚𝑜𝑑 𝑚) и систем сравнений.
6.5. Сравнения второй степени.
Решение сравнений второй степени вида:
х2 ≡ 𝑎(𝑚𝑜𝑑 𝑚).
Вычисление символов Лагранжа и Якоби.
Модуль 3.
6.6. Трансцендентные числа.
10
Использование критериев для определения по числу его алгебраичность или
иррациональность. Иллюстрация теорем численными примерами.
6.7. Распределение простых чисел в арифметических прогрессиях.
Использование формул для оценки числа простых чисел, меньших данного (
возможно применение персональных компьютеров).
7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Не предусмотрены.
8. Темы курсовых работ.
9.
Не предусмотрены
10. Учебно-методическое
обеспечение
самостоятельной
работы студентов. Оценочные средства для текущего
контроля успеваемости, промежуточной аттестации по
итогам освоения дисциплины.
Текущая аттестация:
Три контрольные работы ( примеры контрольных работ указаны ниже).
Промежуточная аттестация:
Зачет (письменно-устная форма). Зачет выставляется после решения задач всех
контрольных работ и выполнения самостоятельной работы.
Текущий
и
промежуточный
контроль
освоения
и
усвоения
материала
дисциплины осуществляется в рамках рейтинговой (100-балльной) системы
оценок.
Варианты контрольных работ.
Контрольная работа № 1.
Найти НОД (6188,4709).
Разложить в непрерывную дробь 𝛼 =
125
92
.
Найти каноническое разложение числа 125!
Вычислить 𝜏(𝛼) и S(α), α =2800.
Найти φ (5040), µ(147) и µ(143).
Контрольная работа № 2.
Решить сравнение 256х ≡ 179 (𝑚𝑜𝑑 337).
Решить систему сравнений
11
х ≡ 3(𝑚𝑜𝑑 8), х ≡ 11 (𝑚𝑜𝑑 20), х ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 15).
Решить сравнение 9х2 +29х +62 ≡ О (𝑚𝑜𝑑 64).
Контрольная работа № 3.
Указать число решений сравнения:
а) х2 ≡ 5(𝑚𝑜𝑑 73),
б) х2 ≡ 3(𝑚𝑜𝑑 75),
в) х2 ≡ 226(𝑚𝑜𝑑 563),
г) х2 ≡ 429(𝑚𝑜𝑑 563).
Темы рефератов:
Теорема Дирихле.
Работа П.Л.Чебышева о функции π(х).
Теорема Мертенса.
Трансцендентность числа π.
Трансцендентность числа е.
Вопросы к зачету:
Алгоритм Евклида, НОД и НОК.
Непрерывные дроби. Таблицы подходящих дробей.
Функции [x] и {x}.
Мультипликативная функция. Формулы S(n) и 𝜏(𝑛).
Функция Мёбиуса.
Функция Эйлера.
Предложения 1 о сравнениях (5 свойств).
Предложения 2 о сравнениях (6 свойств).
Полная и приведённая система вычетов.
Теоремы Эйлера и Ферма.
Сравнение 𝑎𝑥 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑚).
Система сравнений первой степени.
Сравнения 𝑓(𝑥) ≡ 𝑂(𝑚𝑜𝑑 𝑝) .
Теорема Вильсона.
Сравнения 𝑓(𝑥) ≡ 𝑂(𝑚𝑜𝑑 𝑝1 , 𝑝2 , … , 𝑝𝑘 ) .
Сравнения х2 ≡ 𝛼(𝑚𝑜𝑑 𝑝).
Свойства символа Лежандра.
Свойства символа Якоби.
Сравнения вида х2 ≡ 𝛼(𝑚𝑜𝑑 𝑝𝑛 ) и х2 ≡ 𝛼(𝑚𝑜𝑑 2𝑛 ).
Показатели и первообразные корни.
12
Бесконечность простых чисел вида 4t + 1 и 6t + 1.
11. Образовательные технологии.
При чтении лекций применяются технологии объяснительно-иллюстративного и
проблемного обучения в сочетании с современными информационными
технологиями
обучения
(различные
демонстрации
с
использованием
проекционного и мультимедийного оборудования).
При проведении практических занятий применяются технологии проблемного
обучения, дифференцированного обучения, репродуктивного обучения, а также
современные информационные технологии обучения (самостоятельное изучение
студентами учебных материалов в электронной форме, выполнение студентами
электронных
практикумов,
различные
демонстрации
с
использованием
проекционного мультимедийного оборудования).
При
организации
самостоятельной
работы
применяются
технологии
проблемного обучения, проблемно-исследовательского обучения (в частности,
при
самостоятельном
дифференцированного
современные
изучении
обучения,
информационные
части
теоретического
репродуктивного
технологии
материала),
обучения,
обучения
а
(системы
также
поиска
информации, работа с учебно-методическими материалами, размещенными на
сайте университета).
В процессе проведения аудиторных занятий используются следующие активные
и интерактивные методы и формы обучения: проблемная лекция, проблемное
практическое занятие, работа в малых группах,
практические занятия в
диалоговом режиме, самостоятельная работа с учебными материалами.
12. Учебно-методическое
и
информационное
обеспечение
дисциплины.
Основная литература:
1. Виноградов И.М. «Основы теории чисел», Санкт-Петербург: Издательство ООО
«Издательство «Лань», 2009.
2. Нестеренко Ю.В. «Теория чисел», Издательство «Академия», 2000.
13
3. Вейль Г. «Алгебраическая теория чисел», - М.: Едиториал УРСС, 2004.
4. Ильин В.А. Основы математического анализа: учебник для студентов
физической специальности в 2 частях. – М. ФИЗМАТЛИТ. 2005.
5. Бухштаб А. А. «Теория чисел», Санкт –Петербург: Издательство ООО
«Издательство «Лань», 2009.
Дополнительная литература:
1. Вся высшая математика: учеб. для студ. втузов: в 6 т. / М. Л. Краснов [и
др.]. – М.: УРСС, 2005.
2. Хинчин А.Я. Три жемчужины теории чисел – М.: Едиториал УРСС,2004.
13.
Технические
средства
и
материально-техническое
обеспечение
дисциплины.
Учебные аудитории для проведения лекционных и практических занятий, в том
числе, оснащённые мультимедийным оборудованием, доступ студентов к
компьютеру с Microsoft Office.
14