Физика. Урок №4 Тема: «Статика твердого тела, жидкостей и газов». Задача 1. Груз подвешен к потолку на нитях одинаковой длины так, что в точке крепления к грузу нити F образуют угол 1 900 . Во сколько раз изменится модуль силы натяжения нитей 1 , если F2 угол между нитями уменьшить до 2 600 ? Дано: 1 900 , 2 600 F1 -? F2 Рис.1 Рис.2 Решение Согласно условию груз висит на нитях неподвижно, иначе говоря, находится в состоянии равновесия. В этом случае можно применить первое условие статического равновесия, которое является следствием II закона Ньютона: F1 F1/ mg 0 , где F1 и F1/ -силы натяжения нитей (рис.1), и так как нити одинаковой длины, то каждая из сил образует с вертикалью угол 1 450 . Спроецируем силы на оси координат: 2 0 ОХ F1 sin 45 F1/ sin 450 0 , ОУ F1 cos 450 F1/ cos 450 mg 0 . Из первого выражения следует, что модули сил натяжения нитей равны: F1 F1/ . С учетом этого, из второго выражения следует, что в первом случае модуль силы натяжения mg mg нитей равен: F1 F1/ . 0 2 cos 45 2 Если груз висит неподвижно при другом угле между нитями (рис.2), то первое условие равновесия: F2 F2/ mg 0 , где F2 и F2/ -силы натяжения нитей , и так как нити одинаковой длины, то каждая из сил образует с вертикалью угол 2 30 0 . 2 mg mg Проецируя, как и в первом случае, на оси координат получим F2 F2/ . 0 2 cos 30 3 Следовательно Ответ: F1 =1,2. F2 F1 mg 3 F2 2mg 3 1,2 . 2 Задача 2. Однородный цилиндр радиусом R=5см расположен на доске, один конец которой медленно поднимают. Найти высоту цилиндра, если при угле наклона доски к горизонтали 450 цилиндр находится на грани опрокидывания. Дано: 450 , R=5см Н-? Рис.3 Рис.4 Рис.5 Решение При опрокидывании цилиндра должно происходить его вращение относительно точки О (рис.3), что возможно, если момент сил действующих на цилиндр не равен нулю. На цилиндр действуют только сила реакции опоры N , сила тяжести mg и сила трения покоя Fтр 0 . Запишем оба условия равновесия: N mg Fтр0 0 , МN+Мmg+МF =0. Для проекций на оси координат ОУ: N mg cos 0 , ОХ: mg sin Fтр 0 0 . Момент силы трения покоя относительно т.О равен нулю, так как ее плечо равно нулю. Момент силы реакции при увеличении угла наклона уменьшается, хотя плечо этой силы относительно т.О постоянно и равно радиусу цилиндра R. Но при увеличении угла наклона доски сила реакции по модулю уменьшается, так как N mg cos , а косинус является убывающей функцией. Момент силы тяжести при изменении угла также изменяется. При увеличении угла изменяется плечо силы тяжести относительно т.О, как показано на рис.3 и рис. 4, и, соответственно знак момента силы тяжести. Следовательно, цилиндр находится на грани опрокидывания, если линия силы тяжести OB 2 R tg tg 450 . проходит через т.О (рис.5). В этом случае угол ОАВ= 450 и AB H 2R Отсюда: H 14(cм) tg Ответ: Н=14см. Задача 3. Однородный стержень с прикрепленным на одном из его концов грузом массы m=1,2кг находится в равновесии в горизонтальном положении, если его подпереть на расстоянии r=0,2l длины стержня от груза. Найти массу стержня. Дано: m=1,2кг, r=0,2l mc-? Решение Если стержень в равновесии, то алгебраическая сумма моментов сил относительно точки опоры равна нулю: М1+М2=0, где М1=mcg*(0,5l-0,2l) – момент силы тяжести стержня, М2=mg*0,2l – момент силы тяжести груза. Отсюда mc 0,2 m , mc=0,8кг 0,3 Ответ: mc=0,8кг Задача 4. У гладкой стены стоит однородная лестница. Коэффициент трения лестницы о горизонтальный пол равен . При каком наименьшем угле наклона лестницы к полу она еще находится в состоянии равновесия? Дано: min ? Рис.6 Решение На лестницу действуют силы реакции стены N 1 и пола N 2 , сила трения о пол Fтр 2 , (так как по условию стена гладкая) и сила тяжести mg , которая приложена к центру тяжести, находящемуся посередине лестницы (так как по условию лестница однородная). При равновесии должны выполняться два условия: N1 N 2 Fтр 2 mg 0 и М1+М2+Мтр+Мmg=0. Для проекций на ОХ N 1 Fтр 2 0 , на ОУ N 2 mg 0 . Следовательно: N 1 Fтр 2 , N 2 mg , Fтр 2 N 2 mg . Для расчета моментов сил введем длину лестницы L. Относительно т.О отличны от нуля L только моменты силы реакции стены М1= N1 L sin и силы тяжести Мmg= mg cos . 2 L L Тогда: N 1 L sin mg cos 0 , N 1 L sin mg cos , 2 2 mg mg mg 1 . tg 2 N1 2 Fтр 2 2mg 2 Из последнего выражения следует, что угол, при котором лестница находится в равновесии, определяется коэффициентом трения лестницы о пол. 1 Ответ: tg min . 2 Задача 5. Два шара одинакового радиуса R с плотностями 1 и 2 ( 1 > 2 ) соответственно скреплены в точке касания. Найти расстояние центра масс этой системы от центра масс первого шара. Дано: R, 1 , 2 Х-? Рис.7 Решение Как известно, центр масс (центр тяжести) тела или системы тел, если последние характеризуются каким-либо видом симметрии , расположен в центре симметрии, на оси и(или) на плоскости симметрии. Для удобства расположим систему так, чтобы ее ось симметрии была горизонтальна (рис.7). Пусть центр масс (центр тяжести) системы расположен в точке О. При подвешивании за эту точку система должна быть в равновесии, т.е. сумма действующих моментов сил : МF+M mg1+Мmg2=0. Момент силы реакции подвеса относительно т.О равен нулю, так ее плечо равно нулю. Модули моментов сил тяжести шаров: M mg1=mg1х и Мmg2=mg2(2R-х). -m1gх+m2g(2R-х)=0 или m1gх=m2g(2R-х). 4 4 m1 1V 1 R 3 , m2 2V 2 R 3 и Запишем массы шаров через плотности 3 3 2 2R 4 3 4 3 подставим в полученное выражение: 1 R x 2 R ( 2 R x ) . Отсюда x 3 3 1 2 2 2R Ответ: x 1 2 Задача 6. В цилиндрическом сосуде с площадью основания S=5,00дм2 находится жидкость с кг плотностью 950 3 . В сосуд опустили однородное тело, которое плавает в жидкости, м будучи полностью в нее погруженным. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на h=0,02м. На сколько изменилось давление жидкости на дно и стенку сосуда после помещения тела в сосуд? Чему равна сила Архимеда, действующая на тела? Чему равна плотность тела? кг Дано: S=5,00дм2, 950 3 , на h=0,02м м p1 ? p2 ? FA-? ? Решение Гидростатическое давление жидкости на дно определяется по формуле p gH , где плотность жидкости, H- высота столба жидкости. Пусть начальная высота жидкости в сосуде H1, а после опускания тела – Н2. Тогда p1 p2 p1 gH 2 gH1 gh , p1 190Па . По закону Паскаля жидкости и газы передают оказываемое на них давление по всем направлениям без изменения. Поэтому давление жидкости на стенку изменяется в зависимости от глубины погружения: 0 pc gH . При расчетах обычно определяют g ( H 2 H 1 ) gh gH среднее давление на стенку pc . Тогда p2 pc 2 pc1 , 2 2 2 p2 95,0Па . Сила Архимеда определяется по формуле FA gV , где V – объем погруженной части тела, в данной задаче по условию он равен объему тела. До погружения тела объем воды в сосуде был V1=SH1. После погружения тела объем содержимого в сосуде V2=SH2=V1+V. Следовательно, V=V2-V1=S(H2-H1)=Sh, FA gV gSh , FA=9,50Н. В случае плавания тела его сила тяжести уравновешивается силой Архимеда mg=FA, TVg Vg , T 950кг / м 3 . Ответ: p1 190Па , p2 95,0Па , FA=9,50Н, T 950кг / м 3 . Задача 7. Бетонная плита массой m=900кг медленно поднимается в горизонтальном положении со дна озера глубиной h1=5,5м на высоту h2=1,5м над поверхностью воды. Плотность воды г г в 1,0 3 , плотность бетона 2,5 3 , сопротивлением движению можно пренебречь. cм cм Найти минимальную величину совершенной работы. г г Дано: m=900кг, h1=5,5м, h2=1,5м, в 1,0 , 2,5 3 3 cм cм Аmin-? Рис.8 Решение Так как спрашивается о минимальной работе, то «по умолчанию», подразумевается, что подъем плиты происходит медленно, равномерно, с очень маленькой скоростью и можно пренебречь работой на разгон плиты до этой скорости. Для упрощения будем искать работу силы натяжения троса, которая различна при движении плиты в воде и в воздухе. При подъеме в воде на плиту действуют сила тяжести mg , сила Архимеда FA и сила натяжения троса F1 (рис.8). При подъеме в воздухе только сила тяжести и сила натяжения троса F2 , так как по условию силами сопротивления можно пренебречь. При равномерном подъеме: FA mg F1 0 , mg F2 0 . Для проекций : m На ОХ FA mg F1 0 , mg F2 0 , где сила Архимеда FA= вVg в g . Отсюда: F1 mg FA , F2 mg . Вся работа по подъему А=А1+А2=F1h1+F2h2= ( mg в А=9000((1-0,4)5,5+1,5)=43(кДж). Ответ: А=43кДж m g )h1+ mgh2 ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ Задача 1. На наклонной плоскости длиной L=1,0м покоится груз массой m=2,0кг. Сила трения покоя, действующая на груз, равна Fтр=10Н. Найти высоту наклонной плоскости. Задача 2. Балка массой m=30кг и длиной L=3м лежит на двух опорах отстоящих от концов балки на расстояния l1=1м и l2=0,5м. Если к первому концу приложить силу F1 , то второй начинает приподниматься. Если ко второму концу приложить силу F2 , то первый начинает F приподниматься. Найти соотношение 1 между модулями этих сил . F2 Задача 3. К гладкой вертикальной стене на нити длиной l=0,04м подвешен шар массой m=300г и радиусом R=0,025м. Найти силу давления шара на стену. Задача 4. В вертикальный цилиндрический сосуд радиусом R=20см наливают жидкость. Найти высоту жидкости, если модуль силы гидростатического давления жидкости на дно равен модулю силы гидростатического давления на боковую поверхность сосуда. Задача 5. Плоский кусок льда толщиной h=10см и плотностью 0,9 1,0 г плавает в воде с плотностью см 3 г . На какую высоту лед выступает над поверхностью воды? см 3 Задача 6. В цилиндрическую банку с водой опустили железную коробочку, из-за чего уровень воды в банке поднялся на h==0,02м. На сколько опустится уровень воды , если коробочка утонет? г г Плотность воды в 1,0 3 , плотность железа 7,8 3 . cм cм Задача 7. Нижний конец деревянной, однородной балки закреплен на дне водоема с помощью шарнира. г Плотность воды в 1,0 3 , над водой находится 0,2 длины балки. Найти плотность дерева . cм