Билет №5, задача №6

Билет №5, задача №6
Два одинаковых последовательно соединенных конденсатора подключены к источнику
постоянного напряжения с разностью потенциалов U. Во сколько раз изменится
напряженность электрического поля того конденсатора, который будет заполнен
диэлектриком с диэлектрической проницаемостью  ?
Дано:
U, 
_______
E1
?
E1'
q1
C1
C2
U1
U
C1 ’
ε
q2
q1’
U2
U1’
C2 ’ ’
q2
U2’
U’
Решение:
При последовательном соединении конденсаторов выполняется условие равенства
зарядов на отдельных емкостях:
q1  q2 .
q
Тогда согласно определению емкости C  , получаем:
U
(1)
C1U1  C2U2 ,
причем U  U1  U 2 .
(2)
Так как конденсаторы плоские, то емкость каждого можно вычислить:
S
S
C1  0 , C2  0 .
d
d
0S
0S
 U1 
 U 2 . Отсюда следует, что U1  U 2 или, с
Подставляя в (1), получаем:
d
d
U
учетом (2): U1   U 2 . Электрическое поле в первом конденсаторе до заполнения его
2
диэлектриком равно E1  U1 / d или, подставив значение U1 , получаем
(3)
E1  U /( 2d ) .
После заполнения диэлектриком первого конденсатора также будет выполняться
условие равенства зарядов (при последовательном соединении):
q1'  q2' ,
тогда аналогично (2) можно записать
(4)
C1'U1'  C2' U 2' .
Теперь, так как отключения от источника нет, будет справедливо равенство
(5)
U  U1'  U 2' .
Отсюда U 2'  U  U1' .
(6)
Новые емкости конденсаторов:
 S
 S
C1'  0 и C 2'  0 .
d
d
Подставляя эти значения в (4), получим
 0 S '  0 S
 U1 
 U 2' , или сокращая подобные,
d
d
 U1'  U 2' .
Или, учтя выражение (5),  U1'  U  U1' . Отсюда выражаем U 1' :
U
U 1' 
. (7)
 1
Выражение для напряженности электрического поля в конденсаторе с диэлектриком
E1'  U1' / d . Подставляя сюда значение U 1' из (7), получим
U
E1' 
.
(8)
(  1)d
Теперь можно найти и отношение
E1
.
E1'
E1 U d   1   1



.
E1'
2 Ud
2
Ответ: Напряженность изменилась в
E1   1

раз.
E1'
2