Теорема 1.1. Если прямая, не проходящая ни через одну из

Теорема 1.1. Если прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника,
пересекает одну из его сторон, то она пересекает только одну из двух других сторон.
Теорема 2.1. Сумма смежных углов равна 180о.
Следствия:
Если два угла равны, то смежные с ними углы равны.
Если угол не развёрнутый, то его градусная мера меньше 180о.
Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.
Теорема 2.2. Вертикальные углы равны.
Теорема 2.3. Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую,
и только одну.
Теорема 3.1 (Первый признак равенства треугольников). Если две стороны и угол между
ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними
другого треугольника, то такие треугольники равны.
Теорема 3.2 (Второй признак равенства треугольников). Если сторона и прилежащие к ней
углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам
другого треугольника, то такие треугольники равны.
Теорема 3.3 (Свойство углов равнобедренного треугольника). В равнобедренном
треугольнике углы при основании равны.
Теорема 3.4 (Признак равнобедренного треугольника). Если в треугольнике два угла равны,
то он равнобедренный.
Теорема 3.5 (Свойство медианы равнобедренного треугольника). В равнобедренном
треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой.
Теорема 3.6 (Третий признак равенства треугольников). Если три стороны одного
треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие
треугольники равны.
Теорема 4.1. Две прямые, параллельные третьей, параллельны.
Теорема 4.2 (Признак параллельности прямых). Если внутренние накрест лежащие углы
равны или сумма внутренних односторонних углов равна 180о, то прямые параллельны.
Теорема 4.3 (Обратная теореме 4.2). Если две параллельные прямые пересечены третьей
прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних
углов равна 180о.
Теорема 4.4. Сумма углов треугольника равна 180о.
Следствие: У любого треугольника хотя бы два угла острые.
Теорема 4.5. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных
с ним.
Следствие: Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с
ним.
Теорема 4.6. Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту
прямую перпендикуляр, и только один.
Теорема 5.1. Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой
пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведённых через середины
этих сторон.
Теорема 5.2. Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения
его биссектрис.
Теорема 5.3. Геометрическое место точек, равноудалённых от двух данных точек, есть
прямая, перпендикулярная к отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его
середину.
Теорема 6.1. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения
делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
Теорема 6.2 (Обратная теореме 6.1). Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой
пересечения делятся пополам.
Теорема 6.3. У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы
равны.
Теорема 6.4. Диагонали прямоугольника равны.
Теорема 6.5. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Диагонали ромба
являются биссектрисами его углов.
Теорема 6.6 (Теорема Фалеса). Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла,
отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на
другой его стороне.
Теорема 6.7. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон,
параллельна третьей стороне и равна её половине.
Теорема 6.8. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Теорема 6.9. Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла
пропорциональные отрезки.
Теорема 7.1. Косинус угла зависит только от градусной меры угла и не зависит от
расположения и размеров треугольника.
Теорема 7.2 (Теорема Пифагора). В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы
равен сумме квадратов катетов.
Следствия:
-В прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы.
-cosA < 1 для любого острого угла А.
-Если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонные, то любая
наклонная больше перпендикуляра, равные наклонные имеют равные проекции, из двух
наклонных больше та, у которой проекция больше.
Теорема 7.3 (Неравенство треугольника). Каковы бы ни были три точки, расстояние между
любыми двумя из этих точек не больше суммы расстояний от них до третьей точки.
Следствие: В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других.
Теорема 7.4. Для любого острого угла А.
sin(90o-A) = cosA, cos(90o-A) = sinA.
Теорема 7.5. При возрастании острого угла sinA и tgA возрастают, а cosA убывает.
Теорема 9.1. Точки, лежащие на прямой, при движении переходят в точки, лежащие на
прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения.
Следствие: При движении прямые переходят в прямые, полупрямые – в полупрямые,
отрезки – в отрезки.
Теорема 9.2. Преобразование симметрии относительно точки является движением.
Теорема 9.3. Преобразование симметрии относительно прямой является движением.
Теорема 9.4. Каковы бы ни были две точки А и А’, существует один и только один
параллельный перенос, при котором точка А переходит в точку А’.
Теорема 10.1. Каковы бы ни были точки А, В, С, имеет место векторное равенство
Теорема 10.2. Абсолютная величина вектора
при
совпадает с направлением вектора
направлению вектора , если l< 0.
равна
. Направление вектора
, если l> 0, и противоположно
Теорема 10.3. Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных
величин на косинус угла между ними.
Следствия:
Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно 0.
Если скалярное произведение отличных от 0 векторов равно 0, то векторы
перпендикулярны.
Теорема 11.1. Гомотетия есть преобразование подобия.
Теорема 11.2 (Признак подобия треугольников по двум углам). Если два угла одного
треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Теорема 11.3 (Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними). Если две
стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и
углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.
Теорема 11.4 (Признак подобия треугольников по трём сторонам). Если стороны одного
треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники
подобны.
Теорема 11.5. Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего
центрального угла.
Следствия:
-Вписанные углы, стороны которых проходят через точки А и В окружности, а вершины
лежат по одну сторону от прямой АВ, равны.
-Вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые.
Теорема 12.1 (Теорема косинусов). Квадрат любой стороны треугольника равен сумме
квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла
между ними.
Теорема 12.2 (Теорема синусов). Стороны треугольника пропорциональны синусам
противолежащих углов.
Теорема 13.1. Длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего её концы.
Теорема 13.2. Сумма углов выпуклого n-угольника равна 1800(n – 2).
Теорема 13.3. Правильный выпуклый многоугольник является вписанным в окружность
и описанным около окружности.
Теорема 13.4. Правильные выпуклые n-угольники подобны. В частности, если у них
стороны одинаковы, то они равны.
Теорема 13.5. Отношение длины окружности к её диаметру не зависит от окружности, т.е.
одно и то же для любых двух окружностей.