1. 

1. Электростатика
1.1. Взаимодействие зарядов
1.1.1. Два одинаковых заряда, находящиеся на маленьких телах сферической формы, отстоят друг от друга в воздухе на расстоянии r =
0,1 м и взаимодействуют с силой F = 510 4 Н. Определить величину
взаимодействующих зарядов.
Решение
1. Полагая размеры заряженных тел много меньшими расстояния
между ними, заряды можно рассматривать как точечные, что позволяет
применить закон Кулона
1 q1  q 2
,
(1)
F1, 2 
4 0 r 2
где 0  910  12 Кл2/Нм2 электрическая постоянная,   1 диэлектрическая проницаемость воздуха, q1, q2 электрические заряды, r расстояние
между зарядами.
2. Перепишем уравнение (1) с учётом значений, входящих в него
величин: q1 = q2; 1/40 = k  9109 Нм2/Кл2
F1, 2  k
q2
,  q
r2
F1, 2  r 2
k

5 10 4 10 2
 2,36 10 8 Кл .
9 10 9
(2)
1.1.2. На двух одинаковых капельках воды находится по одному
лишнему электрону, причём сила электрического отталкивания капелек
уравновешивает силу их взаимного тяготения. Определить радиусы
капелек.
Решение
1. Запишем уравнения электрического и гравитационного взаимодействия капелек воды
e2
m2
F1  k 2 , F2  G 2 ,
(1)
r
r
где r расстояние между центрами капелек, 1/40 = k  9109 Нм2/Кл2, G
= 6,710  11 м3/(кгс2) гравитационная постоянная, е  1,610  19 Кл заряд
электрона.
2. По условию задачи силы электрического и гравитационного взаи10
модействия уравновешивают друг друга, т.е. F1 = F2
ke 2  Gm 2 .
3. Выразим из последнего уравнения массу капли
ke 2
9 10 9  2,56 10 38

 1,85 10 9 кг .
G
6,7 10 11
4. Выразим далее массу капли через её радиус
m
m
4 3
m 3 1,85 10 9
r ,  r  3

 7,7 10 5 м.
3
4
4 10 3
(2)
(3)
(4)
1.1.3. Два сферических тела малых размеров, несущие на себе одинаковые по модулю электрические заряды, расположены в воздухе на
расстоянии r = 0,1 м друг от друга. Сила электрического взаимодействия тел F = 110  3 Н. Определить количество некомпенсированных
электронов на каждом теле.
Решение
1. Запишем уравнение закона Кулона, выразив заряды тел через заряд электрона е  1,610  19 Кл
2
eN 2 .
1 eN 
F

k
(1)
4 0 r 2
r2
2. Определим из уравнения (1) количество некомпенсированных
электронов N
Fr 2  ke 2 N 2 ,  N 
Fr 2 r F
0,1


ke 2 e k 1,6 10 19
10 3
 4 1011 . (2)
9 10 9
1.1.4. Две капли воды массой m = 1,810  3 кг расположили на расстоянии r = 1 м друг от друга. С какой силой станут взаимодействовать капли, если 10 % электронов из одной капли переместить в другую?
Решение
1. Определим количество вещества  в капле воды с учётом значения
её молярной массы  = 1810  3 кг/моль
m 1,8 10 3
 
 0,1моль .
(1)
 18 10 3
2. Число молекул в капле воды
(2)
N  N A  0,1 6 1023  6 1022 .
11
3. Формула воды H2O, т.е. одна молекула включает в себя два атома
водорода и один атом кислорода. Молекула воды, таким образом, содержит 10 электронов. Число электронов в одной капле воды равно
(3)
Ne  10N  6 1023 .
4. Заряд всех электронов в одной капле первоначально составляет
(4)
q 0  e  Ne  1,6 1019  6 1023  9,6 104 Кл .
5. Величина перемещаемого заряда
(5)
q i  0,1q 0  9,6 103 Кл .
6. Заряд капель после перемещения электронов
(6)
q1  q 0  q i  1105 Кл, q 2  q 0  q i  8,6 104 Кл .
7. Сила электрического взаимодействия между каплями после перемещения электронов
q q
1 10 5  8,6 10 4
F  k 1 2 2  9 10 9
 8 10 19 H .
(7)
1
r
1.1.5. Предположим, что удалось разделить 3,2 см3 воды на элементарные разноименные заряды, которые затем удалили друг от друга на расстояние 100 км. С какой силой притягивались бы эти заряды?
Решение
1. Определим массу заданного объёма воды, приняв её плотность
равной  = 1000 кг/м3 и объём V = 3,210  6 м3
m  V  110 3  3,6 10 6  3,610 3 кг .
(1)
2. Количество молекул в заданном объёме воды
m
3,6 10 3
N  N A  6 10 24
 1,2 10 23 .
(2)

18 10 3
3. Каждая молекула воды состоит из двух атомов водорода с одним
электроном в каждом и одного атома кислорода, с ядром которого связаны восемь электронов, т.е. каждая молекула воды Н2О имеет в своём
составе 10 электронов. Таким образом, сумма зарядов всех электронов в
заданном объёме воды по модулю составит
(3)
q e  10eN  10 1,6 1019 1,2 1023  2 105 Кл .
4. Поскольку в обычном состоянии суммарный отрицательный и
положительный заряд каждого атома с высокой степенью точности
скомпенсированы, то сумма зарядов всех электронов по модулю должна
быть равна сумме зарядов всех ядер. Сила притяжения для суммарного
заряда всех ядер и электронов определится как
12
25
q e2
9 4 10
(4)

9

10
 3,6 1010 Н .
r2
110 25
Полученная величина силы эквивалентна движению массы в m = 1 кг с
фантастическим ускорением а = 3,61010 м/с2.
Fk
1.1.6. Какой заряд приобрел бы 1 см3 железа, если бы удалось
убрать 1% содержащихся в нем электронов?
Решение
1. Определим количество молекул в объёме железа V = 110  6 м3
при плотности  = 7,87103 кг/м3 и молярной массе   5610 3 кг/моль
m
V
7,87 10 3 10 6
N  NA
 NA
 6 10 23
 8 10 23 .
(1)


56 10 3
2. Каждый атом железа имеет по ne = 26 электронов, т.е. суммарное
количество электронов в заданном объёме составляет
(2)
Ne  n e N  26  8 1023  2 1025 .
3. Заряд заданного объёма железа при удалении 1/100 всех его электронов составит
N
q  e e  1,6 10 19  2 10 23  3,2 10 4 Кл .
(3)
100
1.1.7. Определить массу воды m , содержащую Nе = 1027 электронов.
Решение
1. Примем следующие значения необходимых величин: молярная
масса воды  = 1810  3 кг/моль; число Авогадро NA  61023 моль  1;
заряд электрона е  1,610 19 Кл; количество электронов в одной молекуле воды Н2О n = (1+1+8) =10.
2. Количество молекул, таким образом, будет в n раз меньше чем
заданное число электронов, N  0,1N e
3. Воспользуемся далее определением количества вещества
0,1N e m
N
m

 , 
 ,
(4)
NA 
NA

откуда искомая масса воды определится как
N e
18 10 3 10 27
m

 3 кг .
(5)
10 N A
6 10 24
13
1.1.8. Сколько избыточных электронов находится на каждой из
двух пылинок, если на расстоянии r = 1,610  2 м в воздухе они отталкиваются с силой F = 910 9 Н?
Решение
1. Сила электростатического взаимодействия между пылинками в
воздухе ( = 1) определяется уравнением закона Кулона
eNe  ,
1 q2
(1)
k
2
4 0 r
r2
где е  1,610 19 Кл заряд электрона, Ne количество избыточных электронов, 0  910  12 Кл2/(Нм2) электрическая постоянная, k = 910 9 (Н
м2)/Кл2.
2. Выразим из уравнения (1) количество избыточных электронов
2
F
Ne 
r F 1,6 10 2

e k 1,6 10 19
9 10 9
 110 8 .
9 10 9
(2)
1.1.9. Два одинаковых металлических шарика, подвешенных в воздухе на непроводящих нитях, закреплённых в одной точке, были заряжены
первоначально разноимёнными зарядами, причём по модулю заряды отличались в  = 5 раз. Шарики далее привели в соприкосновение и развели
на расстояние в два раза превышающее первоначальное  =2. Во сколько раз изменится сила их кулоновского взаимодействия?
1
-q
+5q
r
+4q
2
3
2q
2q
2r
Решение
1. Пусть первоначально заряд одного
из шариков был равен –q, а второго +q.
2. В положении 1 шарики притягивались друг к другу с силой, равной по модулю
q 2
F1  k 2 .
(1)
r
2. В момент соприкосновения шарики
будут представлять собой одно тело, заряд
которого равен алгебраической сумме
первоначальных зарядов Q = q – q = q( 1).
3. После разъединения, ввиду одинаковости размеров, каждый шарик будет
иметь заряд
14
q  1
.
(2)
2
4. Сила взаимодействия между одноимённо заряженными шариками
в положении 3 определится уравнением
q  12  k q 2   12 .
(3)
F2  k
4 2 r 2
r 2 4 2
5. Определим отношение кулоновских сил в положениях 3 и 1
2
F2   1
5  12  0,4 .


(4)
2
F1
4 
2  22  5
q1  q 2 
1.1.10. Два заряженных металлических шарика малых размеров взаимодействуют в воздухе (1 = 1), находясь на расстоянии r1=0,1 м с
силой F1. На каком расстоянии следует расположить шарики в трансформаторном масле с диэлектрической проницаемостью 2 = 2, чтобы
сила взаимодействия не изменилась, т.е. F2 = F1?
Решение
1. Сила взаимодействия заряженных шариков в воздухе при 1  1
определится как
1 q1q 2
.
(1)
F1 
4 1 0 r12
2. При внесении шариков в трансформаторное масло сила взаимодействия будет определяться уравнением
1 q1q 2
.
(2)
F2 
4 2  0 r22
3. Запишем далее условие равенства сил
1 q1q 2
1 q1q 2
,
(3)

4 1 0 r12
4 2  0 r22
откуда следует, что
1r12   2 r22 ,  r2  r1 1  2  0,1 0,5  0,071 м .
(4)
1.1.11. Два заряда, расположенных в воздухе ( = 1) взаимодействуют на расстоянии r1 = 0,11 м с такой же силой, как и в скипидаре на
расстоянии r2 = 0,074 м. Определить диэлектрическую проницаемость
скипидара.
Решение
1. Воспользуемся уравнением (4) предыдущей задачи
15
1r12   2 r22 ,
2
1
1 2
2
2  
(1)
2
r
0,11
 1
 2,21 .
r
0,074 2
(2)
1.1.12. Две сферические капли ртути имеют одинаковые радиусы R
= 1 мм. Какое число электронов Ne необходимо удалить с каждой капли, чтобы сила их кулоновского отталкивания в воздухе стала равной
силе гравитационного взаимодействия?
Решение
1. Определим массу капели ртути, приняв плотность ртути равной 
= 13,5103 кг/м3
4
(1)
m  R 3  4 110 613,5 10 3  0,054 кг .
3
2. Запишем уравнения электростатического и гравитационного взаимодействия капель
1 e2 N 2
m2
F2  G 2 .
F1 
,
(2)
2
4 0 r
r
3. По условию задачи силы F1 и F2 равны по модулю и противоположны по направлению, т.е.
ke 2 N 2  Gm 2 ,  N 
m G
0,054

e k 1,6 10 19
6,7 10 11
 3 10 7 . (3)
9 10 9
1.1.13. Два одноимённых положительных точечных заряда q1 = 10
нКл и q2 = 40 нКл находятся на расстоянии r = 0,1 м в воздухе. Между
зарядами помещают третий заряд q0, таким образом, что вся система
зарядов находится в равновесии. Определить величину, знак и местоположение третьего заряда.
Решение
1. Чтобы система трёх зарядов находилась в равновесии необходимо
F 12 q 1 F 10
+
F 01
r1
q0 F
02
-
F 20
r- r1
r
отрицательный заряд q0 поместить между зарядами q1 и q2
2. Запишем уравнение сил, приложенных к заряду q0
16
q2
+
F 21
F01  r
q 0 q1
q q
, F02  k 0 2 2 .
r12
r  r1 
(1)
2. Поскольку заряд q0 по условию задачи должен находиться в равновесии, то
q q
q q
2
F01  F02 , k 0 2 1  k 0 2 2 ,  q1 r  r1   q 2 r12 .
(2)
r1
r  r1 
3. Уравнение (1) необходимо решать относительно расстояния r1,
поэтому целесообразно извлечь корни из правой и левой его части, все
величины входящие в уравнение положительны
r  r1  q1  r1 q 2 ,
(3)
откуда
r q1  r1 q1  r1 q 2 , 
 r1 
r q1
q1  q 2
0,1 10 10 9

9
(4)
 0,031 м.
9
10 10  50 10
4. Для определения величины заряда q0 рассмотрим равновесие заряда q1 при условии F10 = F12
qq
qq
F10  k 1 2 0 , F12  k 1 2 2 .
(5)
r1
r
5. Приравнивая уравнения (5), получим
2
2
q0 q2
 0,031 
r 
 2 ,  q 0  q 2  1   4 10 8 
  0,38 нКл .
2
r1
r
r
 0,1 
(6)
1.1.14. Три положительных точечных заряда (q1 = q2 =q3= 1 нКл)
расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд
q0 и где необходимо расположить, чтобы система находилась в равновесии?
Решение
1. Естественно предположить, что
заряд q0 должен быть отрицательным и
расположен на равном удалении от трёх
остальных, т.е. в точке пересечения медиан треугольника О. Если заряд будет
положительным, то к каждому из зарядов будет приложена сила, стремящаяся
«растащить» заряды.
17
q+
В

D
q
A+
О
N
K
q
+ С
R
F1
F1
В+ q
F0
О q0
-
2. Рассмотрим условие равновесия одного из зарядов, расположенного, например, в точке В, к которому при расположении q0 в точке О будут приложены три силы, две силы {F1,F1} обусловлены взаимодействием с двумя остальными положительными
зарядами и сила F0, вызванная взаимным притяжением с центральным зарядом. Исследуемый заряд будет
находиться в состоянии равновесия, если геометрическая сумма двух первых сил R будет равна по модулю и противоположна по направлению F0.
3. Определим по правилу параллелограмма модуль равнодействующей силы R
R  2F12  2F12 cos2  F1 21  cos2 ,
(1)
где  =30 , т.е.
0
(2)
R  F1 3 .
4. Запишем уравнения для модулей сил F1 и F0, воспользовавшись
уравнением закона Кулона
q2
F1  k 2 ,
(3)
r
q q
q 0q
4 cos2 q 0 q
F0  k 0 2  k
k
.
(4)
2
r2
OB 
r 2 cos  
где r длина стороны треугольника.
5. Приравняем уравнения (2) и (4) с учётом значения F1 из уравнения
(3) и определим величину q0
3q 2 q 0 q  4 cos2 

,
(5)
r2
r2
q 3
3
(6)
q0 
q
 0,58 нКл
2
3
4 cos 
1.1.15. В вершинах квадрата расположены четыре одинаковых положительных заряда q = 10  7 Кл. Какой заряд q0 и где необходимо расположить, чтобы система находилась в равновесии в воздухе?
Решение
1. Заданная система зарядов симметрична относительно центра квадрата, поэтому
18
С
q+B
О
-q0
A
q+
+q
r
D
+q
заряд q0 должен располагаться в центре квадрата, чтобы одинаково взаимодействовать с каждым из четырёх положительных зарядов. Заряд q0
следует взять отрицательным.
2. Рассмотрим равновесие заряда, находящегося в точке D, считая
сторону квадрата равной r. На этот заряд дейD F
ствуют три силы, со стороны зарядов располоq + AD
женных в вершинах A, B и С
2
2
q
q
FCD  k 2 , FAD  k 2 ,
(1) F
CD
r
r
F1
q2
FDB
FBD  k 2 .
(2)
2r
3. Определим далее равнодействующую этих
сил с учётом того, что линии действия сил FAD и FCD перпендикулярны
друг другу
q2
2
2
F1  FCD
 FAB
k 2 2,
(3)
r
векторы сил F1 и FDB коллинеарные, с учётом этого модуль равнодействующей всех трёх обсуждаемых сил определится как
q2
q2
q2 
1
F0  F1  FDB  k 2 2  k 2  k 2  2   .
(4)
2
r
2r
r 
4. Чтобы заряд, расположенный в точке D находился в равновесии, к
нему необходимо приложить силу равную по модулю и противоположную по направлению силе F0. Математически это условие представиться
следующим образом
q 0q
q2 
1
k
k 2  2  .
(5)
2
2
r

r 2 


 2 


5. Величина заряда q0, уравновешивающего заданную систему зарядов определится из уравнения (5) следующим образом
1,91
(6)
q0 
q  9,55 10 -8 Кл .
2
1.1.16. Два заряда находятся в керосине ( = 2) на расстоянии r = 1
см друг от друга и взаимодействуют между собой с силой F = 2,7 Н.
Величина одного из зарядов в  = 3 раза больше другого. Найти величину зарядов.
19
Решение
1. Силу электростатического взаимодействия заданной системы зарядов можно записать следующим образом
F
1 q  3q
, q 
4 0  r 2
4 0 r 2 F
 4  9 10 12  2 10  4  2,7 ,
3
q1  1,4 107 Кл, q 2  3q  4,2 107 Кл .
(1)
(2)
1.1.17. Два шарика одинакового радиуса, массой m = 610  4 кг, подвешенные на шёлковых нитях длиной l = 0,4 м, соприкасаются. Шарикам сообщают электрический заряд, после чего они расходятся так,
что нити образуют угол  = 600. Определить силу взаимодействия шариков и величину сообщённого им заряда.
Решение
1. К каждому шарику в режиме элек
тростатического взаимодействия приложена комбинированная система сил механической и электростатической приТ
роды: сила тяжести mg, сила натяжения
нити Т и сила электростатического взаFm
Fk
имодействия Fk.
2. Так как нити образуют угол 600, то
расстояние
между центрами шариков
 mg
Т
будет равно длине нитей r = l.
3. Определим равнодействующую Fm
силы тяжести mg и силы натяжения нити Т из прямоугольного треугольника {mg, T, Fm}
(1)
Fm  mg  tg .
4. Запишем уравнение силы электростатического взаимодействия
1 q2
Fk 
.
(2)
4 0  r 2


5. Поскольку шарик находится в состоянии покоя, то Fm  Fk
1 q2
= mg  tg,  q  mg  tg  4 0 r 2 ,
4 0  r 2
(3)
q  6 10 -4  0,6  4  3,14  9 10 12 1  0,16  8 нКл .
(4)
6. Подставим полученное значение модуля заряда из уравнения (4) в
уравнение (2)
20
Fk  3,4 мкН .
(5)
1.1.18. В соответствии с первыми моделями атома водорода, его
единственный электрон по круговой орбите радиуса r  510  11 м вращался вокруг положительно заряженного ядра. Оценить линейную скорость электрона.
r
Решение
1. Ядро водорода  протон,
+q
Fk е
имеет положительный заряд,
равный по модулю заряду элекFi
v
трона. Стационарное вращение
электрона возможно только при
равенстве силы электростатического притяжения Fk силе инерции Fi,
вызванной движением по криволинейной траектории
1 e2 me v2

,
(1)
4 0  r 2
r
где е = 1,610  19 Кл  заряд электрона, mе  110  30 кг масса электрона,
v  скорость электрона, r = радиус орбиты.
2. Выразим из уравнения (1) скорость электрона
v
e2
2,56 10 38
м

 2 10 6 .
12
11
 30
4 0 rm e
с
12 ,56  9 10  5 10 10
(2)
1.1.19. Два электрона расположены в вакууме на расстоянии r = 1
мкм друг от друга. Какую скорость через  = 1 мкс будет иметь один
из электров, если второй закрепить? Какое расстояние при этом будет пройдено, если полагать силовое воздействие постоянным?
Решение
1. Сила, приводящая электрон в движение
e2
Fk  k 2 .
(1)
r
2. Используя теорему об изменении импульса, определим скорость
электрона, считая, что движение началось из состояния покоя
F 
ke 2
9 10 9  2,56 10 38 10 6
м
Fk    m e v,  v  k  2

 2,3 10 8 . (2)
me
с
r me
10 12 10 30
3. Оценим приближённо пройденное расстояние
v  2 2,3 10 8 10 6

 115 м .
s
(3)
 2
2
21
T
T
F
F
1.1.20. Два проводящих шарика размеры,
которых существенно меньше длины нитей
подвеса, закреплённых в одной точке, несут
первоначально одинаковые по модулю и знаку заряды. Расстояние между центрами
шариков, равно r1. Что произойдёт, если
один из шариков разрядить?
Решение
1. Пусть каждый шарик первоначально
mg
mg
несёт на себе заряд q, сила взаимодействия:
1 q2
F1 
.
(1)
4 0 r12
2. После того, как с одного из шариков сняли заряд, сила Кулона
исчезнет, под действием результирующей силы тяжести mg и натяжения нити T шарики придут в соприкосновение.
3. Заряд оставшийся на одном шарике распределится на два, заряд
каждого станет равным q/2, сила Кулона станет равной
1 q2
F2 
,
(2)
4 0 4r22
r
т.е. шарики разойдутся на расстояние r2  r1.
1.1.21. Одинаковые по модулю электрические заряды q1 = q2 = 0,3 Кл
расположены в воздухе в вершинах при острых углах равнобедренного
прямоугольного треугольника на расстоянии r = 1 мм. Определить
ускорение движения протона p, помещённого первоначально в вершине
при прямом угле треугольника. Как изменится результат для случая
одноимённых и разноимённых зарядов q1 и q2?
r12
+q1
r
r
q3
F13
+p
F F23
1
+q2
Решение
1. Рассмотрим первоначально случай одноимённых зарядов, для чего
определим расстояние между зарядами
r из прямоугольного треугольника
r  r12 cos450  103  0,707  7 104 м ,
и найдём результирующую силу F1
(1)
F1  F132  F232  F13 2 .
3. Определим величину силы F13
22
19
q13  q 3
9 0,3 1,6 10
(2)
2

9

10
2  0,012 H .
r2
5 10 8
4. Определим ускорение протона, обладающего массой покоя mp =
1,6710  27 кг


q q
F
м
F1  m p a , a  1  k 13 23  7 10 24 .
(2)
mp
с
mpr
F1  k
5. В случае расположения при
острых углах равнобедренного прямоугольного треугольника разноимённых зарядов геометрия их расположения не изменяется, поэтому

F1  F2 . Другими словами, ускоре-
r12
+q
r
F23
p
-q
F2
ние протона в обоих случаях будет
F13
одинаковым по модулю, но различным по направлению. При одноимённых зарядах протон начнёт двигаться в направлении действия силы F1, т.е. перпендикулярно линии,
соединяющей заряды, при разноимённых зарядах направление движения будет параллельным линии, соединяющей заряды.
1.1.22. Во сколько раз отличаются силы гравитационного и кулоновского взаимодействия между двумя   частицами?
Решение
1.   частица представляет собой дважды ионизированный атом
гелия. Масса   частицы рана m  6,610  27 кг, заряд   частицы положительный q  2е  3,210  19 Кл.
2. Запишем уравнения для электростатического и гравитационного
взаимодействия   частиц
m2
q2
Fгр  G 2 , Fk  k 2 .
(1)
r
r
3. Найдём отношение сил взаимодействия
kq 2
Fk
9 10 9 10 37
(2)


 3 10 35 .
Fгр Gm 2 6,7 10 11  4,36 10 53
23