лек. 2

1. Операторный метод расчета переходных процессов
Операторный метод расчета переходных процессов основан на использовании
преобразований Лапласа.
2. Прямое преобразование Лапласа и изображение типовых воздействий
1. Прямое преобразование Лапласа.
Если функция f(t) действительной переменной (времени) тождественно равна нулю
при t < 0, а при t > 0 ограничена по величине экспоненциально нарастающей функцией, то
она допускает прямое преобразование Лапласа.
оператором.
2.
3.
4.
5.
6.
3. Обратное преобразование Лапласа. Формула разложения
1. Правильной рациональной дробью называется отношение двух полиномов (от р),
причем наивысшая степень числителя меньше наивысшей степени знаменателя.
F1( p ) am p m  am1 p m1  ...  a0

, где m<n.
F2 ( p )
bn p n  bn 1 p n 1  ...  b0
2. Правильную рациональную дробь всегда можно представить в виде суммы
элементарных дробей:
n
Ak
F1( p )

F2 ( p ) k 1 p  pk
pk – корень полинома F2(p); Аk – коэффициент разложения.
3. Теорема разложения: Если изображение F1  p  F2  p  представляет собой
правильную рациональную дробь и все корни полинома знаменателя простые, то оригинал
определяется формулой:
n
F ( p ) F1( pk )
f ( t )   Ak e pk t , где Ak  lim ( p  pk ) 1

F2 ( p ) F2' ( pk )
p  pk
k 1
4. Неправильную рациональную дробь вида F1  p  F2  p  , в которой степени
числителя и знаменателя равны, можно представить в виде суммы действительного числа
и правильной рациональной дроби:
an p n  an1 p n1  ...  a0

n
an
Ak

.
bn k 1 p  pk
bn p n  bn1 p n1  ...  b0
5. Если изображение содержит слагаемое в виде действительного числа, то оригинал
также содержит слагаемое в виде этого числа, умноженного на дельта-функцию:
n
n
an
Ak
a

 n ( t )   Ak e pk t (при t  0).
bn k 1 p  pk
bn
k
4. Компонентные уравнения элементов и уравнения Кирхгофа в операторной
форме
1. Уравнения элементов в операторной форме
Уравнения элементов в операторной форме аналогичны по виду уравнениям
элементов цепи постоянного тока. Вместе с тем реактивные элементы L и С
характеризуются операторными сопротивлениями рL и 1/рС. В их операторные
эквиваленты вводятся вспомогательные источники напряжения - Li(0) и u(0)/р.
2. Уравнения Кирхгофа в операторной форме
Уравнения Кирхгофа в операторной форме аналогичны по виду уравнениям
Кирхгофа для цепи постоянного тока.
3. К схеме, представленной в операторной форме, применимы методы расчета цепи
постоянного тока.
5. Этапы расчета переходных процессов операторным
методом
1. Операторный метод расчета переходных процессов основан на использовании
преобразования Лапласа. Он подразделяется на 4 этапа:
Первый этап - расчет цепи, существовавшей до коммутации, с целью нахождения
независимых начальных условий [uC(0) и iL(0)].
Второй этап - переход от оригиналов токов и напряжений к их изображениям по
Лапласу. При этом вся схема представляется в операторной форме.
Третий этап – расчет операторной схемы теми же методами, что и в случае цепи
постоянного тока. Аналогии:
Четвертый этап – обратный переход от найденных изображений к оригиналам
Ak
U( p )  
 u   Ak e pk t (при t  0)
k p  pk
k
4.2.4. Лекция 18
18.1. Операторная передаточная функция
1. Нулевые начальные условия - режим покоя цепи при t = 0. когда все токи и
напряжения на элементах равны нулю.
2. Односторонние воздействия - задающие ток или напряжение источника
тождественно равные нулю при t<0 (допускающие преобразование Лапласа).
Такое воздействие можно
получить
от
обычных
источников, подключаемых с
помощью идеального ключа.
3. Операторной передаточной функцией называют отношение L-изображения
реакции цепи к L-изображению воздействия при нулевых начальных условиях.
4. Операторная передаточная функция Н(р) имеет четыре разновидности:
5.
При подстановке вместо оператора р
оператора
операторная
j
передаточная функция переходит в
комплексную
передаточную
функцию.
6. Нахождение Н(р) разбивается на четыре этапа:
а. ко входу цепи подключаем источник воздействия.
б. составляем уравнения, описывающие цепь в операторной форме.
в. решаем уравнения и находим изображения воздействия и реакции.
г. составляем отношение изображения реакции к изображению воздействия.
18.2. Нули и полюсы операторной передаточной функции устойчивой цепи
1. Нули и полюсы изображения реакции цепи
Н У Л И
П О Л Ю С Ы
Изображение реакции цепи представляет собой отношение двух полиномов
переменной р. Корни полинома числителя называют нулями, а корни полинома
знаменателя - полюсами.
2.
Изображение реакции находится
произведением Н(р) на изображение
воздействия.
3. При разложении изображения реакции на элементарные дроби полюсы Н(р)
определяют изображение свободной составляющей, а полюсы воздействия - изображение
принужденной составляющей:
4. Цепь называется устойчивой, если ее свободная реакция со временем стремится к
нулю.
Устойчивой
цепи
соответствует
расположение полюсов Н(р) в левой
полуплоскости
комплексной
переменной р. Полюса на такой
плоскости
принято
показывать
крестиками.
5.
Неустойчивой цепи соответствует
расположение одного или нескольких
полюсов в правой полуплоскости р
или на мнимой оси.