IX Международная дистанционная олимпиада «Эрудит» Математика 9 класс 1 тур Ответы 1. , . По условию m – целое число, тогда n ≥ 0. 1) При 2) При - уравнение не имеет решений в целых числах; - уравнение имеем и m =± 3. не имеет решений в целых числах. 3)При 4) При – тоже целое число. Поэтому можем переписать уравнение в виде - которое решений в целых числах не имеет. 2. Преобразуем выражение Рассмотрим сумму равенства на . получим, что (по условию), разделим обе части этого . Аналогично доказывается, что (путем деления обеих частей равенства ). 3. Очевидно, что (т.к. данные треугольники имеют общее основание и равные высоты). . Следовательно, Аналогично доказывается, что . . Получаем, что . Что и требовалось доказать. 4. Наибольшее значение - 15. Рассмотрим таблицу (один из возможных вариантов) распределения баллов трех судей для каждого из выступающих фигуристов. Судьи I II III Сумма мест 1-й 1 10 6 2-й 2 8 7 3-й 3 9 4 4-й 4 3 9 Места 5-й 6-й 5 6 5 1 5 10 17 17 16 16 15 17 7-й 7 2 8 8-й 8 7 2 9-й 9 4 3 10-й 10 6 1 17 17 16 17 5. 6 чисел. На доске должно остаться число 5 и 2 (чтобы получить в произведении число, оканчивающееся нулем). Цифры 1 и 9 могут быть получены только в произведениях 3 • 7 и 1 • 9, значит, все нечётные числа были оставлены. Ещё необходимо одно чётное число - им и будет являться число 2, значит, на доске было оставлено не менее шести чисел. Легко убедиться в том, что парные произведения шести чисел 1, 2, 3, 5, 7, 9 оканчиваются на все цифры от 0 до 9. 6. Друзья успеют на регистрацию, т.е. успеют преодолеть расстояние в 21 км за 3 часа. Можно рассмотреть несколько ситуаций передвижения мальчиков. Мы рассмотрим один из них - когда двое мальчиков проедут часть пути на двуместном велосипеде, затем пойдут пешком; третий мальчик эту же часть пути пройдет пешком, а затем сядет на велосипед и догонит первых двух мальчиков. Пусть а км - часть пути из намеченных 21 км, который двое проедут на велосипеде и потратят на это расстояние ч. Тогда пешком им придется пройти 21-а км, за ч. И на весь путь первые два мальчика потратят - которое должно быть меньше либо равно трем часам. Рассмотрим ситуацию с третьим другом. Расстояние а км он пройдет пешком за ч, а оставшиеся 21- а км он доедет на велосипеде за ч. И на весь путь он потратит - и это время должно быть меньше или равно трем часам. Получается, что следует решить систему неравенств Данному неравенству удовлетворяет а=12 км - именно тогда три друга успеют преодолеть расстояние в 21 км за 3 часа. 7. 30; 195. Следует рассмотреть два случая расположения биссектрис (когда они пересекаются внутри параллелограмма и вне параллелограмма) Первый случай точка пересечения - точка Q лежит внутри параллелограмма. Рассмотрим треугольник AKF: биссектриса по условию, , т.к. AF - как накрест лежащие при параллельных прямых АМ и КР. Следовательно, AK=KF. Аналогично доказывается, что треугольник MPT - равнобедренный и в нем MP=PT. Введем обозначения: PF=x, FT=y, TK=z. Тогда MP=PT=x+y=26 см, AK=KF=y+z=26. По условию , тогда x=4, y=22, z=4. Следовательно, AM=x+y+z=4+22+4=30. Второй случай - точка Q - лежит вне параллелограмма. Треугольники MPF и AKT равнобедренные (доказывается аналогично). Тогда МР=х=26, АК=z=26, , тогда у=143. АМ=РК=x+y+z=26+143+26=195.