Дистанционная математическая школа Код курса: М 8 9-10 классы Модуль 1: Задачи на движение ... Задача 5. (Кенгуру -2008) Два грузовика ехали по асфальтированной дороге со скоростью 80 км/ч, сохраняя дистанцию 24 м. Свернув на проселочную дорогу, каждый из них резко снизил скорость, и дистанция между ними стала равной 15 м. С какой скоростью поехали грузовики по проселочной дороге? (A) 70 км/ч (Б) 65 км/ч (В) 60 км/ч (Г) 55 км/ч (Д) 50 км/ч Решение. В момент, когда первый грузовик свернет на проселочную дорогу, ситуация изменится. Первый грузовик пройдет по проселочной дороге 15 м с неизвестной скоростью за то же время, за которое второй пройдет по асфальтированной дороге 24 м со скоростью 80 км/ч. Отношение пройденных расстояний равно отношению скоростей. 15 х Составим пропорцию = . Отсюда х = 50. 24 80 Ответ: (Д) 50 км/ч. Задача 6. (К-2000) Опытный дрессировщик может вымыть слона за 40 минут, а его сыну для этого требуется 2 часа. За сколько времени они вымоют трех слонов, работая вдвоем? (A) за 40 мин (B) за 45 мин (C) за 1 час (D) за 1,5 часа (E) за 1 час 40 мин Решение. Учителю. Можно заполнить табличку v, t, S и представить тело слона как путь, который пройдут щетки в процессе мытья. v (сл/мин) t (мин) S (сл) 40 1 1 40 Сын дрессировщика 120 1 1 120 Вместе ? 3 1 1 1 + = 40 120 30 1 Скорость мытья слона у дрессировщика сл./мин. 40 1 1 1 1 Скорость мытья слона у его сына сл/мин. Их общая скорость сл/мин ( + ), то есть 120 40 120 30 одного слона они вдвоем моют за 30 мин. Их ожидает путь в 3 слона, значит, им необходимо 1 время 90 минут (3 : = 3∙30). 30 Ответ: (D) за 1,5 часа. Дрессировщик Еще один вид движения – движение с ускорением. Считается, что движение может быть равноускоренным (ускорение а > 0) или равнозамедленным (ускорение а < 0). При решении таких задач используются следующие формулы, связывающие пройденное расстояние S, время t, скорость v, ускорение а, начальное время t0 и начальную скорость v0 = v(t0): v v0 at 2 S = v0 t + , а= t 2 Материалы разработаны методистами Новосибирского центра продуктивного обучения 4 Дистанционная математическая школа Код курса: М 8 Задача 7. Винтик и Шпунтик выехали навстречу друг другу из разных гаражей, расстояние между которыми 390 метров. Винтик проехал в первую секунду 6 м, а в каждую последующую проезжал на 6 м больше, чем в предыдущую. Шпунтик выехал через 5 секунд после Винтика и ехал равномерно со скоростью 12 м/с. Сколько времени ехал Винтик до встречи со Шпунтиком? Решение. Очевидно, что Винтик двигался равноускоренно. Начальная скорость v0 и ускорение a a at 2 неизвестны. Из формулы S = v0 t + при t =1с получаем 6 = v0 + (за первую секунду 2 2 4a Винтик проехал 6 метров). При t = 2с получаем 18 = 2v0 + (6 метров за первую секунду и 12 2 метров за вторую проехал Винтик). Отсюда v0 =3 м/с, а = 6 м/с2. Тогда расстояние, пройденное Винтиком за время t, определяется по формуле: 6t 2 S=3t+ . 2 Пусть Винтик и Шпунтик встретятся в момент t0. Винтик проедет расстояние, равное 2 6t0 S1 = 3 t0 + , а Шпунтик S2 = 12 (t0 – 5). По условию S1 + S2 = 390. Получаем квадратное 2 2 6t уравнение: 3 t0 + 0 + 12 (t0 – 5) = 390. Корни уравнения: -15 и 10. Уравнение имеет один 2 положительный корень: t0 = 10. Ответ: 10 секунд. Рассмотрим еще несколько задач. Задача 8. Электропоезд проехал мимо светофора за 5 секунд, а мимо платформы длиной 150 м за 15 секунд. Какова длина электропоезда и его скорость? Поезд, l м Начало пути Платформа, 150 м Конец пути Решение. В данной задаче следует учесть, что электропоезд имеет длину l. Тогда скорость l 150 l поезда v с одной стороны равна м/с, а с другой стороны v = . Составим уравнение: 5 15 150 l l = . Из полученного уравнения находим длину электропоезда l = 75 м и его скорость 15 5 v = 15 м/с (54 км/ч). Ответ: 75 м; 15 м/с. Задача 9. Часы показывают час дня. Найти ближайший момент времени, когда часовая и минутная стрелки совпадут. Решение. Иногда задачи с часами имеет смысл решать следующим образом. Разрежьте мысленно циферблат и разверните его в линейку. Задача со стрелками становится похожей на задачу по движению, в которой один объект догоняет другой. В нашей задаче - минутная стрелка догоняет часовую. Тогда вопрос «через какое время стрелки совпадут?» можно переформулировать так:«через какое время два объекта встретятся?». Для ответа на этот вопрос нужно расстояние между ними Sо разделить на разность скоростей (vм – vч). Если стрелки не S S* встречаются, то между ними остаётся какое-то расстояние S*, тогда 0 . v м vч Материалы разработаны методистами Новосибирского центра продуктивного обучения 5