Раздел 2. Отношения и функции Определение 2.1: Любое подмножество прямого произведения A1A2....An называется n-местным (n- арным) отношением, определенным на множествах A1, A2, .... An. A1 A2 ...An . Отношения принято обозначать малыми буквами греческого алфавита , , , ..., , . Определение 2.2: Любое подмножество прямого произведения A1 A2 называется бинарным отношением, определенным на множествах A1 и A2. Определение 2.3: Для любого множества A определим тождественное отношение A и универсальное отношение A следующим образом: A = {(a, a) | a A} A = {(a, b) | aA, bA} Т. к. A2, то является отношением на A и называется пустым отношением. Определение 2.4: Свяжем с каждым бинарным от- ношением , определенным на множествах A и B, B, A два множества - область определения D() и область значений R(). Они определяются следующим образом. 19 D() = {x| (x, y)} R() = {у| (x, y) } Пример : A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = {(x, y) | x, yA, х - делитель y, x 5}. Тогда: D() = {1, 2, 3, 4, 5} R( ) = A Определение 2.5: Пусть - бинарное отношение. Определим обратное отношение -1 cледующим образом 1 = {(x, y) | (y, x) }. Определение 2.6: Пусть - бинарное отношение на множестве A. Тогда: а) - рефлексивно, если (х, х) для х (главная диагональ матрицы содержит только единицы) б) - антирефлексивно, если (х, х) х (главная диагональ матрицы содержит только нули) в) - симметрично, если из того, что (х, y) следует, что (y, x) х, y ( = -1 матрица отношения симметрична относительно главной диагонали) г) - антисимметрично, если из того, что (х, y) и (y, x) следует, что x = y х, y Замечание: Отношение антисимметрично тогда и только 20 тогда, когда для любых х, y ( (x,y) и xy ) (x,y). д) - транзитивно, если из того, что (х, y) и (y, z) следует, что (х, z) х, y, z Замечание: Антисимметричность есть следствие антирефлексивности и транзитивности. Пример: = {(x, y) | x, y N и y x т.е. x - делитель y} а) рефлексивно, т.к. х х х N б) несимметрично, т.к. 2 - делитель 4 по 4 не является делителем 2. в) транзитивно, т.к., если y x и z y, то z x г) антисимметрично, т.к. если x y и y x, то x = y. Пусть A, A2 = A A и , , , A2 - некоторые бинарные отношения, определенные на множестве A . A2 = A A = {(x, y)| x, y A}. Операции над бинарными отношениями: 1) {(x,y)|(x,y) или (x,y)} 2) {(x,y)|(x,y) и (x,y)} 3) \{(x,y)|(x,y) и (x,y)} 4) {(x,y)|(x,y) и (x,y)A2} 5) -1{(x,y)|(y,x) } 21 6) ={(x,y)|z(x,z) и(z,y)}- произведение отношений и Относительно введенных операций имеют место следующие свойства: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) (= 8) () = Определение 2.7: Пусть A - непустое множество и {Ai} - cовокупность подмножеств Ai (i=1, 2, ..., n, n N) таких, что Ai A, n Ai A . Совокупность таких подмноI 1 жеств называется покрытием A. Определение 2.8: Пусть A - непустое множество и {Ai} - cовокупность подмножеств Ai (i=1, 2, ..., n, n N) таких, что Ai A, n Ai A и A i A j , i j . I 1 22 Со- вокупность таких подмножеств называется разбиением множества A. Определение 2.9: Бинарное отношение на множестве А называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Определение 2.10: Пусть -отношение эквивалентности на множестве A. Определим класс эквивалентности [x] для хA [x]={y|(х, y)}, такой что 1) любые 2 элемента одного и того же класса эквивалентны друг другу 2)никакие два элемента разных классов не эквивалентны между собой. Определение 2.11: Бинарное отношение , определенное на множестве A, называется отношением предпорядка, если оно рефлексивно и транзитивно. Определение 2.12: Бинарное отношение , определенное на множестве A,называется отношением порядка, если оно транзитивно и антисимметрично. Определение 2.13: Отношение порядка , определенное на множестве A, называется строгим, если антирефлекcивно. 23 Определение 2.14: Отношение порядка , определенное на множестве A, называется нестрогим (частичным) если рефлекcивно. Определение 2.15: Элементы x и y сравнимы по отношению порядка , если выполняется (x, y) или (y, x) . В противном случае элементы x и y не сравнимы. Определение 2.16: Множество A, на котором задано отношение порядка, называется полностью упорядоченным, если любые два элемента x, yA сравнимы, и частично упорядоченным в противном случае. Определение 2.17: Частичный порядок на множестве A называется линейным, если любые два элемента из множества сравнимы: x, y A, x y или y x Определение 2.18: Множество A с заданным на нем частичным или линейным порядком называется частично или линейно упорядоченным. Определение 2.19: Пусть заданы множества A, B, С и отношения между A и B и между B и С. Определим отношение между A и С следующим образом, оно действует из A в B посредством , а затем из B в С посредством . Такое отношение называют составным и обозначают , т.е. 24 ( )(а)= ((а)) Следовательно, ={(x, y) | zB такой, что (x,z) и (z, y)}. Практические задания 2.1. Найдите A B и B A при: 1) A={1,2}, В={1,3,4}; 2) A={3}, B={1,2,3,4}. 2.2. Изобразите на декартовой плоскости следующие множества: 1) [0,1] [0,1], 2) [-1,1] [2, 3], 3) [0,1] [2, ), 4) [1, 2] (-, ), 5) (1,1] [2,3], 6) [0, ) {2,3}, 7) [0,1] (,3], 8) (, ) [2,3]. 2.3. Докажите, что при любых множествах X, Y, Z: 1) (X Y) (X Z) (Y Z) 2) (X Y) (X Z) (Y Z) 25 3) (X \ Y) (X Z) \ (Y Z) 4) X Y X Z Y Z, 5) X Y X Y , 6) X Y Z X Y (X Z) (Y Z), 7) (X Y) (Y X) Z Z X Y Z. 2.4. Докажите, что для любых множеств А, В, С, D (A B) (C D) (A C) (B D). Справедливо ли аналогичное равенство для объеди- нения множеств? 2.5. Докажите, что для любых отношений и между элементами множеств X и Y: 1) 2) 3) 4) ( )1 1 1, ( )1 1 1, ( \ )1 1 \ 1, 1 1, 5) ()1 1. 2.6. Докажите, что: 1) отношение рефлексивно ; 2) отношение антирефлексивно ; 3) отношение симметрично 1 , 4) отношение антисимметрично 1 ( {( x, x ) | x X} - тождественное отношение). 26 2.7. Укажите, какими свойствами (рефлексивностью, антирефлексивностью, симметричностью, антисимметричностью, транзитивностью) обладает каждое из следующих отношений: 1) «||» на множестве прямых плоскости; 2) «» на множестве прямых плоскости; 3) «=» на множестве R; 4) «<» на множестве R; 5) « » на множестве R; 6) «Пересечения» на множестве прямых плоскости; 7) «Подобия» на множестве треугольников плоскости; 8) « » на семействе подмножеств универсального множества. 9) « » на семействе подмножеств универсального множества; 2.8. Найдите область определения и область значений каждого из следующих отношений, заданных на множестве Х={1,2,...,10}, и укажите, какими свойствами (рефлексивностью, антирефлексивностью, симметричностью, антисимметричностью, транзитивностью) оно обладает: 1) {( x, y) | x y 8}, 2) {( x, y) | xy 12}, 3) {( x, y) | y x 2}, 4) {( x, y) | y x 2}. 27 2.9. На множестве N для каждого из следующих отношений найдите область определения и область значений и укажите, какими свойствами (рефлексивностью, антирефлексивностью, симметричностью, антисимметричностью, транзитивностью) оно обладает: 1) {(1,1)}, 2) {(1,5)}, 3) {(3,5), (5,3), (3,3), (5, 5)}, 4) {(3,5), (5,3)}, 5) {( x, y) | НОД ( x, y) 1}, 6) {( x, y) | y 2x}, 7) {( x, y) | x y2}, 8) {( x, y) | x y}, 9) {( x, y) | x y}, 10) {( x, y) | y x 12}, 11) {( x, y) || y x | 12}, 12) {( x, y) | (x y) 3}, 13) {( x, y) | x 3y}, 14) {( x, y) | xy 30}, 15) {( x, y) | x y 1}, 28 16) {( x, y) | x y 1}, 17) {( x, y) | y 2x 1}. 2.10. Найдите область определения и область значений каждого из следующих отношений, заданных на множестве R, и укажите, какими свойствами (рефлексивностью, антирефлексивностью, симметричностью, антисимметричностью, транзитивностью) оно обладает: 1) {( x, y) | y 2x}. 2) {( x, y) | y2 x 2}. 3) {( x, y) | xy 0}. 4) [0,2] [0,2]. 5) [0,2] [1,3]. 2.11. Что можно сказать об отношениях и 1 , если : 1) рефлексивно; 2) антирефлексивно; 3) симметрично; 4) антисимметрично; 5) транзитивно? 2.12. Докажите, что объединение и пересечение двух рефлексивных отношений рефлексивно. Докажите или опровергните аналогичные утверждения для пар антирефлексивных, симметричных, антисимметричных, транзитивных отношений. 2.13. Докажите, что при любом отношении на мно29 жестве X отношения 1 и 1 симметричны. 2.14. Докажите, что отношение включения является отношением порядка. 2.15. Можно ли сказать, что множество N разбито на классы семейством подмножеств {К, L}, если: 1) K - множество четных чисел, L - множество нечетных чисел; 2) K - множество простых чисел, L - множество составных чисел? 2.16. Пусть А={1, 2, 3, 4, 5, 6}. Покажите, что подмножества A1={1, 2}, A2={3}, A3={4, 5, 6} образуют разбиение А. Запишите множество пар из A A принадлежащих соответствующему отношению эквивалентности. 2.17. Пусть и - отношения эквивалентности на множестве X. Докажите или опровергните, что , являются отношениями эквивалентности. Решите аналогичную задачу, когда и - отношения порядка. 2.18. Докажите, что если - рефлексивное и транзитивное отношение на множестве X, то 1 - отношение эквивалентности. 2.19. Определите, какие из следующих отношений являются отображениями; какие из отображений взаимно30 однозначны, какие - обратимы: 1) 1) {( x, y) R R | y x 2}; 2) {( x, y) [0, ) (, ) | y x 2}; 3) {( x, y) [0, ) [0, ) | y x 2}; 4) {( x, y) [0,1] [0,1] | y x 2}; 5) 1 1 {( x, y) [0, ] [0, ] | y x 2 }; 2 2 6) {( x, y) N N | x y2}; 7) {( x, y) [0, ) (, ) | x y2}; 8) {( x, y) [0, ) [0, ) | x y2}; 9) {( x, y) [1,1] [1,0] | x 2 y2 1}; 10) {( x, y) [1,0] [1,1] | x 2 y2 1}; 11) {( x, y) [1,0] [1,0] | x 2 y2 1}; 12) {( x, y) N N | x y 3}; 13) {( x, y) N N | y x 3}; 14) {( x, y) N N || x y | 3}. 2.20. Пусть f - отображение X в У. Докажите, что f 1 отображение У в X тогда и только тогда, когда f - взаимно-однозначное отображение X на Y. При этом f 1 - взаимно-однозначное отображение У на X. 31 2.21. Пусть f - отображение X на У. Докажите, что следующие утверждения эквивалентны: 1) x1 x 2 f (x1 ) f (x 2 ); 2) f (x1 ) f (x 2 ) x1 x 2 ; 3) для любых g:Y X отображений и h:Y X f g f h g h. 2.22. Докажите, что если f - взаимно-однозначное отображение X на Y, a g - взаимно-однозначное отображение У на Z, то: 1) g f - взаимно-однозначное отображение X на Z; 2) (g f )1 f 1 g 1 . 2.23. Пусть f - преобразование конечного множества X. Докажите, что следующие утверждения эквивалентны: 1) отображение f взаимно-однозначно; 2) f - отображение X на X. 2.24. Пусть , - отношения на множестве N. Найдите , , 2 , 2 , если: 1) {(1,1), (2,3)}, {(1,2), (2,3), (3,4)}; 2) {(1,2), (1,4), (2,7)}, {(1,3), (2,6), (7,4), (3,1)}; 3) {( x, y) | y x}, {( x, y) | x y}. 2.25. Докажите, что отношение транзитивно тогда и 32 только тогда, когда 2 . 2.26. Пусть и - отношения. Докажите, что ( )1 1 1 . 2.27. Пусть и - отношения эквивалентности. Докажите, что - отношение эквивалентности тогда и только тогда, когда . 2.28. Пусть - отношение на множестве X. Докажите, что отношение 1 симметрично. 2.29. Пусть , -отношения линейного порядка на множестве X. Докажите, что - отношение линейного порядка тогда и только тогда, когда . 2.30. Пусть , - симметричные отношения на множестве X. Докажите, что . 33