Школьный этап всероссийской олимпиады по математике 2015-2016 уч.год 5 класс Ответы, указания, решения. 1. Ответ: А = 6, Б = 9, С = 1. 2. 33 – 17 = 16(кг) весит половина сиропа. 16 • 2 = 32(кг) весит сироп. 33 – 32 = 1(кг) весит сосуд. Ответ: 1 килограмм. 3. 1) Налить молоко в пятилитровый бидон и перелить в восьмилитровый. 2) Снова налить молоко в пятилитровый бидон и долить восьмилитровый бидон. Тогда в пятилитровом бидоне останется 2л молока. 3) Вылить молоко в цистерну из восьмилитрового бидона. 4) Перелить 2л молока из пятилитрового бидона в восьмилитровый бидон. 5) Налить молоко в пятилитровый бидон и перелить его в восьмилитровый. В результате в восьмилитровом бидоне получим 2+5=7 (л) молока. 4. Разделите прямоугольник 3х4 на две равные части. Найдите как можно больше способов. Резать можно лишь по стороне квадрата 1х1, а способы считаются разными, если в каждом случае получаются разные фигуры. Всего существует 5 вариантов 5. Дедка вдвое сильнее Бабки, Бабка втрое сильнее Внучки, Внучка вчетверо сильнее Жучки, Жучка впятеро сильнее Кошки, Кошка вшестеро сильнее Мышки. Без Мышки все остальные не могут вытащить репку, а вместе с Мышкой – могут. Сколько мышек надо собрать вместе, чтобы эти мышки смогли вытащить репку сами? Ответ. 1237 мышек. Решение. Кошка = 6 мышек; жучка = 5 кошек = 30 мышек; внучка = 4 жучки = 120 мышек; бабка = 3 внучки = 360 мышек; дедка = 2 бабки = 720 мышек. Все вместе дедка + бабка + внучка + жучка + кошка + мышка = 720+360+120+30+6+1=1237 мышек. Школьный этап всероссийской олимпиады по математике 2015-2016 уч.год 6 класс Ответы, указания, решения. 1. Ответ: 55:5+5=16 2. Ответ: Алеша на трамвае, Боря на автобусе, Витя на троллейбусе. Алеша не может ездить ни на автобусе, ни на троллейбусе. 3. Ответ: Обозначим число гусей в одном хлеве за х, а число козлят за у, тогда учитывая, что ног в одном хлеве должно быть 10, получим уравнение: 2х+4у=10. Из данного уравнения имеем, что число козлят может быть только 1 или 2, соответственно гусей будет 3 или 1. Тогда размещение будет такое: в двух хлевах будет по 1 козе и 3 гусям, в трех хлевах- по 2 козам и 1 гусю. 4. Решение: Наливаем бензин в 5-литровый бидон и переливаем в бак мотоцикла. Затем вновь наливаем бензин в 5-литровый бидон, переливаем в 9-литровое ведро, наливаем еще раз в 5-литровый бидон и отливаем недостающие 4л в 9-литровое ведро. Тогда в 5-литровом бидоне остается ровно 1 л, его и переливаем в бак мотоцикла. 5. Решение: Для доказательства составим таблицу зависимости числа набранных очков от числа решенных задач. Число решенных задач Число набранных очков 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 20 17 14 11 8 5 2 0 0 0 Из таблицы видно, что существует всего 8 различных возможностей получения очков. А так как учеников было 9, то, по крайней мере, два из них получили одинаковое количество очков. Школьный этап всероссийской олимпиады по математике 2015-2016 уч.год 7 класс Ответы, указания, решения. 1. Ответ: х = -1 2. Ответ: медленнее идет тот туристов, кто делает шаги короче и чаще. Решение. Действительно, когда второй турист делает своих 10 шагов длины а каждый, первый турист делает 11 своих шагов длины 0,9а каждый. Таким образом, первый турист проходит расстояние 9,9а за то же время, за то же время, за которое второй проходит большее расстояние – 10а. 3. Решение. Добавлением гири, вес которой мы не можем получить при помощи гирь меньших весов, легко получить 1, 2, 4, 8, 15. 4. Решение. 4. Всего денег у купцов (90+85+80+75):3=110 рублей. Поэтому у первого 110–90=20, у второго 110–85 = 25, у третьего 110–80=30, а четвертого 110–75=35 рублей. 5. Решение. Вычислим несколько первых членов данной последовательности: 7; 14; 17; 20; 5; 8;11;5; 8; 11; 5; … Таким образом, начиная с пятого члена последовательности, будет повторяться одна и та же тройка чисел 5, 8, 11, так как 2008 – 4 = 2004, а 2004 кратно 3, то на 2008-м месте будет стоять число 11. Школьный этап всероссийской олимпиады по математике 2015-2016 уч.год 8 класс Ответы, указания, решения. 1. Ответ : 4. Менее чем 4 ходами не обойтись: чтобы получить кучку из 8 спичек, придется из любой первоначальной кучки убрать как минимум 4 спички. Четырех ходов достаточно: перекладываем из кучки с 12 спичками по 2 спички в кучки с 19 и 24 спичками. 2. Ответ. Третьим выстрелом Петя выбил 10, а Вася - 2 очка. Последними тремя выстрелами Вася не мог выбить больше, чем 9 очков (иначе Петя бы выбил последними тремя выстрелами не меньше 30). Меньше 9 очков Вася тоже выбить не мог, так как наименьшая сумма за три выстрела 2+3+4 = 9. Следовательно, Вася выбил 2, 3 и 4 очка а Петя 10, 9 и 8 очков (других вариантов набрать 27 очков тремя выстрелами нет). Значит первыми двумя выстрелами мальчики выбили 9, 8, 5 и 4 очка. При этом Петя третьим выстрелом выбил не меньше, чем 8, а Вася - не больше, чем 4 очка. Так как сумма очков после первых трех выстрелов была равной, значит, первыми двумя выстрелами Петя выбил по крайней мере на четыре очка меньше, чем Вася. Единственная возможность - Вася выбил 9 и 8, а Петя 5 и 4 очка, следовательно, третьим выстрелом Вася выбил 2, а Петя 10 очков. 3. Ответ. 1) 20 февраля 2002 2) 29 ноября 1192 года. Заметим, что при условии, что дата записывается как палиндром, день и месяц однозначно находятся по заданному году. пункт (1): в 2001 году других палиндромов быть не может, а в следующем (2002) году это должен быть 20 день второго месяца. Пункт (2): Чтобы дата была как можно ближе к 2001 году, необходимо брать самый большой возможный год, меньший 2001. Вторая цифра года должна быть первой цифрой месяца, то есть 0 или 1, т.к. месяцев не больше 12. В 2000 году палиндрома быть не может (нулевого дня не бывает), следовательно, первые две цифры года - 11 (соответственно, месяц - ноябрь). Третью цифру года нужно взять максимально возможную, т.е. девять, тогда четвертой (так как в ноябре не больше 31 дня) может быть два. Получится датапалиндром 29.11.1192. 4. Ответ : 14 Так как на каждый вопрос были даны 4 правильных ответа, общее число правильных ответов делится на 4. Поскольку Петя дал 10 верных ответов, Вася — 13, а остальные трое — от 11 до 12, то общее число правильных ответов не меньше, чем 10 + 13 + 3·11 = 56, и не больше, чем 10 + 13 + 3·12 = 59. Из чисел в этих пределах только 56 кратно 4, поэтому число вопросов равно 56:4=14. 5. Ответ : от сгущенки По условию 3м + 4с + 2в > 2м + 3с + 4в, откуда м + с > 2в. (*). По условию же 3м + 4с + 2в > 4м + 2с + 3в, откуда 2с > м + в. Складывая последнее неравенство с неравенством (*), получаем м + 3с > м + 3в, откуда с > в. Школьный этап всероссийской олимпиады по математике 2015-2016 уч.год 9 класс Ответы, указания, решения. 1. Ответ: Первоначально на корабле было 150 человек. 2. Решение: Если предметы куплены за 360 рублей, то продали за 360*1,25=450 рублей. х – себестоимость первого, (360 – х) – себестоимость второго. 1,5х + 1,125*360 - 1,125х= 450 0,375х = 450-405 0,375х = 45 х =120 Ответ: первый продан за 180 р, второй – за 270 р. 3. Ответ: - 1 . Если число а является корнем уравнения, то верно равенство: 1 способ: Если к выражению прибавить 1 и вычесть 1 его значение не изменится. 2 способ: умножим обе части на 2: Подставим полученное выражение в числитель дроби: 4. Решение: В треугольнике АВС(АВ=ВС=18) АD и СЕ-высоты.Пусть ВD=х, DС=18-х. Из прямоугольных треугольников АВD и АDС найдем АD2: АD2=АВ2- ВD2=182-х2 и 648 144 14 (см) АD2= АС2- DС2= 122- ( 18-х)2=122-182=36х-х2, откуда х= 36 Теперь рассмотрим подобные тр. АВС и ВЕD: ЕD/АС=ВD/ВС или ЕD/12=14/18, откуда 28 1 9 (см). ЕD= 3 3 5. Решение: Сделаем замену x = b1/15, y = a1/10. Тогда доказываемое неравенство приобретает вид 2y5 + 3x5 ≥ 5y2x3. Деля на y5 и обозначая t = x / y, получаем 3t 5 – 5t 3 + 2 ≥ 0. Разложим левую часть на множители. Последовательно получаем (3t 5 – 3t 3) – (2t 3 – 2) = 3t 3(t 2 – 1) – 2(t – 1)(t 2 + t + 1) = (t – 1)(3t 3(t + 1) – 2(t 2 + t + 1)) = =(t – 1)(3t 4 + 3t 3 – 2t 2 – 2t – 2) = (t – 1)((2t 4 – 2t 2) + (t 4 – t) + (t 3 – t) + (2t 3 – 2)) = = (t – 1)(2t 2(t 2 – 1) + t(t 3 – 1) + t(t 2 – 1) + 2(t 3 – 1)) = = (t – 1)2(2t 2(t + 1) + t(t 2 + t + 1) + t(t + 1) + 2(t 2 + t + 1)) = = (t – 1)2(3t 3 + 6t 2 + 4t + 2) ≥ 0. Для t > 0 выражение в первой скобке ≥ 0, во второй скобке > 0. В итоге, f(t) ≥ 0 для всех t > 0. Равенство нулю достигается лишь при t = 1, т.е. при x = y, т.е. при a3 = b2. Школьный этап всероссийской олимпиады по математике 2015-2016 уч.год 10 класс Ответы, указания, решения. 1. Ответ: 33 % 2. Решение: В трех контрольных работах оценки могли распределиться, например, следующим образом: К1 К2 К3 А 5 4 3 В 4 3 5 С 3 5 4 3. Ответ: 97 сумм Решение: Сначала покажем, что все суммы не могут быть нечетными. Действительно, пусть все суммы нечетны. Это возможно только, если числа идут в следующем порядке: а) нннн…; б) нччнччн…; в) чнччнчч…; г) ччнччнч… . В первом случае получаем, что все числа от 1 до 100 должны быть нечетны, а в остальных – что четных чисел больше, чем нечетных, т. е. приходим к пртиворечию. Покажем теперь, как расставить числа, чтобы получилось 97 нечетных сумм: Четной окажется только 75-я сумма. 4. Решение: Треугольники АЕС и ВDС подобны, так как ∟ЕСА=∟ВDС и ∟ЕАС=∟DСВ. Пусть h и H – длины перпендикуляров, опущенных из точек Е и В на прямую АС. Тогда в силу подобия указанных треугольников имеем = . Значит, h*DC= H*AC, т. е. 5. Ответ: 9фишек. Решение: Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 Очевидно, что одну фишку можно поставить так, что она накроет точки каждой клетки фигуры, изображенной на рисунке 1. Поэтому, как показано на рисунке 2, достаточно 9 фишек. Меньшим количеством фишек обойтись нельзя. Рассмотрим 9 клеток, омеченных на рисунке 3. Эти клетки удалены друг от друга на расстояние, не меньшее , чем 2, поэтому одна фишка не может задевать две клетки одновременно. Следовательно, фишек должно быть не меньше, чем отмеченных клеток. Школьный этап всероссийской олимпиады по математике 2015-2016 уч.год 11 класс Ответы, указания, решения. 1. Ответ: 37037 и 74074. Решение: Из условия х + у = 111111, х + 10у = 777777. Откуда 9у = 66666 у=74074. Тогда х = 37037. 2. Решение. Пусть ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине C, для которого ABC больше СAB. Отметим на AC точку K так, чтобы AK=KB. Выберем на AB точки M и N из условий AM=MK и BN=NK. В этом случае треугольник BKC прямоугольный, а треугольники AMK, KMN, KNB - равнобедренные. Это и требовалось доказать. 3. 4. Преобразуем выражение к виду х 4 х 4х 2 х 4 х х 4 1 при х 4 х 1 , при условии, что х 4, х 4 . На рисунке видно, что прямая у = кх не x имеет с построенным графиком общих точек, если она горизонтальна, либо если она 1 1 проходит через одну из удаленных точек 4; или 4; . Этим случаям 4 4 1 1 соответствуют значения к = 0; ; 16 16 Значит, y 5.