Задания школьного тура всероссийской олимпиады школьников по математике

Задания школьного тура всероссийской олимпиады школьников по математике
2012-2013 учебный год 9 класс
1. Имеется 4 монеты, из которых 3 — настоящие, которые весят одинаково, и
одна фальшивая, отличающаяся по весу от остальных. Чашечные весы без гирь
таковы, что если положить на их чашки равные грузы, то любая из чашек
может перевесить, если же грузы различны по массе, то обязательно
перетягивает чашка с более тяжелым грузом. Как за три взвешивания
наверняка определить фальшивую монету и установить, легче она или тяжелее
остальных?
Решение.
Заметим, что если монеты разложены по чашкам поровну, то та чашка, где лежит
фальшивая монета, всегда, либо перевешивает (если фальшивая монета тяжелее
настоящих), либо нет (если легче). Поэтому если одна и та же монета при двух
взвешиваниях, однажды оказалась внизу, а однажды вверху, то она—настоящая.
Разложим монеты на чашки весов по две. Монеты с перевесившей
чашки обозначим 1 и 2, а с другой—3 и 4. Вторым взвешиванием сравним
1 и 3 с 2 и 4. Если перевесит чашка с 1 и 3, то монеты 3 и 2 — заведомо
настоящие, если другая—то заведомо настоящими являются монеты 1 и
4. Последним взвешиванием мы сравниваем две заведомо настоящие монеты с
двумя другими. Пусть настоящими являются монеты 2 и 3. Тогда если чашка с
ними перевесит, то фальшивая монета легче и, значит, это монета 4; если же
наоборот, то фальшивая монета тяжелее и это монета 1.
Случай, когда настоящими оказываются после второго взвешивания монеты 2 и 4,
разбирается аналогично.
2. Числа от 1 до 37 записали в строку так, что сумма любых первых нескольких
чисел делится на следующее за ними число. Какое число стоит на третьем
месте, если на первом месте написано число 37, а на втором— 1?
Ответ. 2.
Решение.
Пусть на последнем месте в строке стоит число x. Сумма всех чисел в строке, кроме
x, делится на x; но тогда и сумма всех чисел в строке, равная
1 + 2 +. . .+ 37 = 37 · 19, делится на x. Отсюда x = 19, так как 37 уже
поставлено на первое место. На третьем месте стоит делитель числа 37 +
+ 1 = 38 = 19 · 2, отличный от 1 и 19, которые стоят на других местах.
3. Докажите, что любой треугольник можно разрезать не более чем на 3
части, из которых складывается равнобедренный треугольник.
Пусть AC — большая сторона ABC, A1C1 —
средняя линия, параллельная AC, а M —
середина A1C1. Так как ∠A и ∠C —острые, то
M проектируется внутрь отрезка AC, пусть B1
—эта проекция (см. рис. 127). Проведем 2
разреза B1C1 и B1A1. Так как B1M — медиана
и высотаA1B1C1, то C1B1 = A1B1. Пусть
точка Q симметрична B1 относительно A1,
точка P симметрична B1 относительно C1.
Тогда BQA1 == CB1A1, AC1B1 = BC1P. Равные отрезки B1C1 и B1A1 — половины
сторон PB1Q, значит, он равнобедренный.
4. В стране N городов. Между любыми двумя из них проложена либо
автомобильная, либо железная дорога. Турист хочет объехать страну, побывав
в каждом городе ровно один раз, и вернуться в город, с которого он начинал
путешествие. Докажите, что турист может выбрать город, с которого он
начнет путешествие, и маршрут так, что ему придется поменять вид
транспорта не более одного раза.
Переформулируем задачу на языке графов. Нам дан полный граф с N вершинами,
ребра которого покрашены в два цвета. Требуется доказать, что мы можем выделить
в этом графе цикл, проходящий через все вершины, состоящий не более чем из двух
одноцветных частей. Доказательство проведем по индукции. Для полного графа с
тремя вершинами утверждение очевидно. Пусть доказываемое утверждение верно
для N == k. Рассмотрим полный граф с k+1 вершиной. Удалим из рассмотрения
одну вершину M с выходящими из нее ребрами. Для оставшегося графа с k
вершинами по предположению индукции существует цикл, проходящий через все
вершины, состоящий не более чем из двух одноцветных частей.
Возможны два случая.
1) Все ребра цикла окрашены в один цвет. Занумеруем вершины цикла по порядку
A1, A2, . . . , Ak. Тогда, удалив ребро A1A2 и соединив вершину M с вершинами A1 и
A2, мы получим цикл, состоящий не более чем из двух одноцветных частей.
2) Не все ребра цикла окрашены в один цвет. Пусть изменение цвета происходит в
вершинах A1 и Am, т.е. в цикле есть две одноцветные части: A1A2 . . . Am (первого
цвета) и AmAm+1 . . .A1 (второго цвета). Тогда посмотрим на цвет ребра AmM. Если
это ребро первого цвета, то цикл A1A2 . . .AmMAm+1 . . . A1 —искомый, если же оно
второго цвета, то искомым будет цикл A1A2 . . . Am−1MAm . . . A1.
То есть в любом случае мы получили требуемый цикл с k+1 вершиной.
5. В прямоугольнике площадью 5 кв. единиц расположены девять
прямоугольников, площадь каждого из которых равна единице. Докажите, что
площадь общей части некоторых двух прямоугольников больше или равна 1/9.
Решение
Предположим, что площадь общей части любых двух прямоугольников меньше 1/9.
Покажем, что тогда они занимают площадь больше 5. Занумеруем прямоугольники
произвольным образом. Первый прямоугольник занимает площадь 1. Добавим
второй прямоугольник. Площадь общей части первого и второго прямоугольника
меньше 1/9, поэтому добавится площадь больше 8/9. Добавим третий
прямоугольник. Площадь общей части третьего прямоугольника с первым и вторым
меньше 2/9, поэтому добавится площадь больше 7/9 и т.д. В результате получим, что
все девять прямоугольников занимают площадь больше
1+8/9+7/9+…+1/9=5