1. Докажите с помощью неравенства Коши-Буняковского неравенство между средним

1. Докажите с помощью неравенства Коши-Буняковского неравенство между средним
арифметическим и средним квадратическим.
2. Докажите с помощью неравенства Коши-Буняковского неравенство между средним
арифметическим и средним гармоническим.
3. Доказать с помощью неравенства Коши-Буняковского нер-во для положительных
a,b,c: a/(b+2c)+b/(c+3a) +c/(a+4b)≥2/3.
4. (IX Кубок Колмогорова) Пусть a, b, c – положительные числа такие, что
a2+b2+c2 = 3. Докажите (с помощью неравенства Коши-Буняковского), что
1
1
1
3


 .
1  ab 1  bc 1  ca 2
5. Докажите неравенство Коши-Буняковского по-школьному.
 x  y  z  1,

6. Решить систему уравнений по-школьному:  x 2  y 2  z 2  1 .

3
 x  2 y  3z  15,
7. Решить систему уравнений двумя способами:  2
2
2
 x  y  z  16.
8. Можно ли расставить стрелки на всех рёбрах какой-нибудь а) 5-угольной
пирамиды, б) 6-угольной пирамиды так, чтобы сумма всех образовавшихся векторов
была равна 0?
9. Стороны треугольника T параллельны медианам треугольника T1. Докажите, что
медианы треугольника T параллельны сторонам треугольника T1.
10. M1, M2,..., M6 — середины сторон выпуклого шестиугольника A1A2...A6. Докажите,
что существует треугольник, стороны которого равны и параллельны отрезкам M1M2,
M3M4, M5M6.
11. Докажите, что если диагонали четырехугольника ABCD перпендикулярны, то
и диагонали любого другого четырехугольника с такими же длинами сторон
перпендикулярны.
12. Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, а точка H обладает
тем свойством, что
=
+
+
. Докажите, что H — точка пересечения высот
треугольника ABC.
13. Докажите, что из пяти векторов всегда можно выбрать два так, чтобы длина их
суммы не превосходила длины суммы оставшихся трех векторов.
14. Пусть a1, a2, ..., a2n + 1  векторы длины 1. Докажите, что в сумме c = ±a1±a2±...±a2n+1
знаки можно выбрать так, что |c|1.