Комплексные числа Определение 4. Комплексным числом i =

Комплексные числа
Определение 4. Комплексным числом называется выражение вида а + вi, где а и в –
действительные числа, i2 = 1 (i называют мнимой единицей).
Если z = а + вi, то а называется действительной частью числа z, а вi – его мнимой
частью. Говорят, что комплексное число задано в алгебраической форме. Во множестве
комплексных чисел вводятся операции сложения и умножения следующим образом. Если
z
= а + вi и z1 = а1 + в1i два комплексных числа, то
z + z1 = (а + а1) + (в + в1)i,
zz1 = (аа1  вв1) + (ав1 + а1в)i.
Эти операции обладают следующими свойствами.
1. Сложение и умножение для любой пары комплексных чисел определено и однозначно.
2. z + z1 = z1 + z, z  z1 = z1 z для любых z и z1 (коммутативный закон сложения и
умножения).
3. z + (z1 + z2) = (z + z1) + z2,
z (z1  z2) = (z  z1)  z2 для любых z, z1 и z2 (ассоциативный
закон сложения и умножения).
4. z  (z1 + z2) = z z1 + z z2 для любых z, z1 и z2 (дистрибутивный закон).
5. Если 0 = 0 + 0i, то z + 0 = z для любого z.
6. Если z = а + (в)i, то z + (z) = 0, т.е. для любого комплексного числа существует
противоположное число.
Число
= а  вi называется сопряжённым для числа z, z +
= 2а, z
= а2 + в2.
Следовательно, если z  0, то z
 0.
7. Если 1 = 1 + 0i, то 1z = z.
a
b
 2
 i . Следовательно, для каждого
8. Если z  0 и z  a  bi , то z 1  2
2
a b
a  b2
отличного от нуля комплексного числа существует обратное число.
Итак, во множестве комплексных чисел введены такие же операции (сложение и
умножение), как и во множествах рациональных и действительных чисел. И свойства этих
операций во всех трёх множествах одинаковы. Такие множества называются полями. Их общее
обозначение Р. Конкретные обозначения: Q – поле рациональных чисел, R – поле
действительных чисел, С – поле комплексных чисел.
Зафиксируем на евклидовой плоскости прямоугольную систему координат. Пусть
z = а + bi. Будем говорить, что точка с координатами (а, b) и вектор
с этими же координатами изображают данное комплексное число.
Длину вектора OZ назовём модулем
числа z,
Угол
(ориентированный) между осью (ОХ) и этим вектором назовём
аргументом данного числа. Очевидно, каждое комплексное число
имеет бесконечно много значений аргумента. Так как
а =
пр(ОХ) OZ и b = пр(ОУ) OZ , то а = cos,
b
b = sin, 2 = а2 + b2, tg = . Подставив значения а и b в алгебраическую форму числа z,
a
получим z =  (cos + isin). Это тригонометрическая форма комплексного числа. Легко
z

 (cos(  1 )  i  sin(   1 )) , если z1
проверить, что z  z1 = 1(cos( + 1) + sin( + 1));
z1 1
 0. Отсюда zn = n (cosn + isinn). Можно показать, что
  2k
  2k
n
z  n   (cos
 i  sin
) , где к = 1, 2, … , n и n   арифметическое значение
n
n
корня из действительного числа . Таким образом, корень n-ой степени из комплексного числа
имеет n различных значений.
Определители второго и третьего порядков
Одним из источников появления определителей 2-го и 3-го порядков являются
системы двух и трёх линейных уравнений с двумя и соответственно тремя переменными.
a22
a11
 a x  a12 y  b1,
Пусть дана система  11
(1)
a12
a21
a21x  a22 y  b2 .
Если обе части первого уравнения умножить на a22 , а второго – на a12 и уравнения
почленно вычесть, то получим a11a22  a21a12 x  b1a22  b2a12 . Аналогично, если первое
уравнение умножить на a11 и вычесть из него второе уравнение, умноженное на a21 , то получим
b1a22  b2 a12
,
Если
х =
a11a12  a21a22 y  a11b1  a21b2.
a11a12  a21a22  0, то
a11a12  a21a22
a b a b
у = 11 1 21 2 . Выражения, стоящие в числителях и знаменателях полученных формул,
a11a12  a21a22
имеют одинаковую структуру. Для их составления используется четыре числа. Если числа,
a 
a
используемые для знаменателя, записать в виде матрицы  11 12  , то знаменатели
 a21 a22 
получаются по правилу: из произведения элементов одной диагонали таблицы вычитается
произведение элементов второй диагонали. Используя отмеченное правило, введём понятие
определителя.
a 
a
Для матрицы  11 12  диагональ, на которой стоят элементы a11, a22 , называется
 a21 a22 
главной диагональю, вторая диагональ называется побочной диагональю.
a 
a
Определение 2. Определителем 2-го порядка (определителем матрицы  11 12  )
 a21 a22 
называется число, равное разности произведения элементов главной диагонали и произведения
элементов побочной диагонали.
a 
a
a
a
Определитель матрицы  11 12  обозначается 11 12 .
a21 a22
 a21 a22 
a
a
b a
a
b
Обозначим  = 11 12 , 1 = 1 12 , 2 = 11 1 . Используя определение 2,
a21 a22
b2 a22
a21 b2
получим, что система (1) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда   0. Это
решение можно найти по формулам х = 1 , у =  2
(2). Эти формулы называются


формулами Крамера.
Пусть дана система трёх уравнений с тремя неизвестными:
 a11x  a12 y  a13 z  b1 ,

(3)
a21x  a22 y  a23 z  b2 ,
a x  a y  a z  b .
32
33
3
 31
Умножим первое уравнение на
– на
a12
a22
a22
a32
a23
, второе уравнение – на
a33

a22
a13
и почленно сложим. Получим х a11 
a32
a23

 a12

 a
 32
a23
a
 a21  12
a33
a32
a13 
 , третье уравнение
a33 
a13
a
 a33  12
a33
a22
a13 
 =
a23 
 a
a23
a
a
a
a 
= b1  22
 b2  12 13  b3  12 13  . Легко заметить, что коэффициент при х и правая
a32 a33
a22 a33 
 a32 a33
часть составлены из девяти чисел по одному и тому же закону.
 a11 a12 a13 


Пусть дана матрица А =  a21 a22 a23  .
a

 31 a32 a33 
Определение 3. Определителем матрицы А (определителем третьего порядка)
a11 a12 a13
a
a23
a
a
a
a13
называется число, равное  = a21 a22 a23  a11  22
(4).
 a21  12 13  a31  12
a32 a33
a32 a33
a22 a23
a31 a32 a33
Равенство (4) называется разложением определителя по элементам первого столбца. Итак,
вычисление определителя третьего порядка сводится к вычислению определителей второго
порядка. Если вычислить определители второго порядка, входящие в формулу (4), то получим,
a11 a12 a13
a23  a11a22a33  a22a32a13  a12a23a31  a13a22a31  a32a23a11  a12a21a33 (5).
a31 a32 a33
Используя последнюю формулу, непосредственным вычислением можно получить:
1. Определитель не изменится, если в нём строки и столбцы поменять местами (эту операцию
называют транспонированием определителя). Следовательно в определителе строки и
столбцы равноправны..
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
2.  =  a12  21 23  a22  11 13  a32  11 13  a13  21 22  a23  11 12  a33  11 12 .
a31 a33
a31 a33
a21 a23
a31 a32
a31 a32
a21 a22
Итак, определитель можно разлагать по любому столбцу. Можно заметить, что знак перед
i j
множителем aij равен 1 . Так как в определителе строки и столбцы равноправны, то
аналогичные разложения имеют место и по любой строке определителя (запишите их
самостоятельно).
3. Если в определителе одна из строк (или столбцов) целиком состоит из нулей, то
определитель равен нулю.
4. Системы (3) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда   0. Это решение

можно найти по формулам:
х = 1 , у =  2 , z  3
(6),



где 1, 2, 3 получаются из определителя  заменой первого, второго, третьего столбца
соответственно столбцом свободных членов. Формулы (6) тоже называются формулами
Крамера.
Перестановки и подстановки
Мы получили два эквивалентных определения определителя третьего порядка
(формулы (4) и (5)). С помощью (4) определитель 3-го порядка вводится с помощью
определителей второго порядка (разложение по столбцу). При этом легко проверяется, что все
столбцы равноправны. Аналогично рекуррентным образом можно определить определитель nго порядка (определитель квадратной матрицы n-го порядка), т.е.
a11 a12 a13 ... a1n
a21 a22 a23 ... a2 n
a31 a32 a33 ... a3n =
что a21 a22
.
.
an1 an 2
. ... .
an3 ... ann
= a11
a22
a32
a23 ... a2 n
a33 ... a3n
.  a21
a12
a32
a13 ... a1n
a33 ... a3n
 ...   1
n 1
a12
a22
a13
a23
...
...
a1n
a2 n
(7)
.
. ... .
.
. ... .
.
.
...
.
an 2 an3 ... ann
an 2 an3 ... ann
an 12 an 13 ... an 1n
Но в этом случае уже не так просто, как для определителя третьего порядка, проверить,
что разложения по остальным столбцам или строкам дают тот же самый результат. Поэтому
чаще всего используют в качестве исходного другой подход к определению определителя n-го
порядка. Но при этом используются в качестве вспомогательного материала перестановки и
подстановки.
Пусть дан упорядоченный набор из n элементов. Элементы этого набора занумеруем
числами 1, 2, 3, … , n. Очевидно, вместо того, чтобы говорить об элементах, можно говорить об
их номерах.
Определение 5. Перестановкой из n чисел (или n символов) называется расположение
этих чисел (или символов) в любом определённом порядке (без повторений).
Теорема 1. Число перестановок из n символов равно n!
Доказательство. Составляя перестановку, в качестве первого её элемента можно
выбрать точно n символов. Если первый элемент выбран, то в качестве второго элемента можно
выбрать любой из оставшихся (n – 1) символов. Следовательно, первые два места можно
заполнить n(n – 1 ) способами. Если два места в перестановке уже заполнены, то на третье
место можно поставить любой из оставшихся (n – 2) символов. Следовательно, первые три
места можно заполнить n(n – 1)(n – 2 ) способами. Продолжая этот процесс, получим, что
все n мест в перестановке можно заполнить n(n – 1)(n – 2)…321 = n! способами.
Говорят, что числа к и р образуют в перестановке (…к…р…) инверсию, если к  р, но в
перестановке к стоит раньше р. Перестановка называется чётной, если она содержит чётное
число инверсий. Перестановка называется нечётной, если она содержит нечётное число
инверсий.
Пример. 1) Перестановка (9, 7, 1, 3, 4, 8, 5, 2, 6) чётная. В ней число 9 образует инверсии
со всеми стоящими за ней числами, их 8. Число 7 образует новые инверсии со всеми стоящими
за ней числами, кроме числа 8, их 6. Число 1 не образует ни одной новой инверсии. Числа 3 и 4
образуют по одной новой инверсии с числом 2. Число 8 образует ещё инверсии с 5, 2 и 6, их 3.
Число 5 образует инверсию с числом 2. Итак, получается 8 + 6 + 1 + 1 + 3 + 1 = 20 инверсий.
2) Перестановка ( 2, 1, 3, 5, 4, 6, 9, 8, 7) нечётная. В ней инверсии образуют пары чисел 2 и 1,
5 и 4, 9 и 8, 9 и 7, 8 и 7. Получилось 5 инверсий.
Если в перестановке два символа поменять местами, а все остальные символы оставить
на старых местах, то получим новую перестановку. Это преобразование перестановки
называется транспозицией.
Теорема 2. Всякая транспозиция меняет чётность перестановки.
Доказательство. Пусть в перестановке символы к и р меняются местами. При этом
возможны два случая.
1) Символы к и р в данной перестановке стоят рядом, т.е. (…к, р …). После транспозиции
получится перестановка (….р, к …). Если к и р составляли инверсию в данной перестановке,
то после инверсии они уже не будут составлять инверсию и наоборот. Число инверсий,
которые к и р составляли в данной перестановке с остальными символами, не изменится.
Следовательно, число инверсий изменится на 1, т.е. чётность перестановки изменится.
2) Символы к и р в данной перестановке стоят не рядом, т.е. (….к,…,р…). После
транспозиции получится перестановка (…р,…,к…). Число инверсий, которые к и р составляли
в данной перестановке с символами, стоящими перед к и после р, не изменится. Если между к
и р стоят m символов, то переставить к и р можно следующим образом: переставить к
последовательно с каждым из этих m символов, затем переставить к и р, затем в обратном
порядке переставить р с каждым из этих m символов. Получим 2m + 1 транспозиций соседних
символов. По доказанному каждая из них меняет чётность перестановки. Итак, чётность
перестановки изменилась.
Следствие. При n  1 число чётных перестановок равно числе нечётных перестановок и
равно 0,5n!.
Определение 6. Подстановкой из n символов ( или подстановкой n-ой степени)
называется любое взаимнооднозначное отображение множества этих символов на себя.
Элементы данного множества будем обозначать 1, 2, …, n. Подстановка А может быть
 1 2 3 ... n 
 . Если в записи
записана так: если число к переходит в число к, то А = 
1  2 3 ...  n 
подстановки А некоторые столбцы поменять местами, то получится то же самое отображение
данного множества, т.е. та же подстановка. Например,
 1 2 3 ... n   3 n 1 ... 2 
 = 
 .
А = 
1  2 3 ...  n  3  n 1 ...  2 
 1 2 3 ... n 
 будем называть стандартной. Всякую
А = 
1  2 3 ...  n 
подстановку можно записать в стандартном виде. Верхнюю и нижнюю строки подстановки
можно рассматривать как перестановки. Подстановка А называется чётной, если её верхняя и
нижняя строки есть перестановки одинаковой чётности, т.е. общее число инверсий в них –
чётное. В противном случае А называется нечётной. Так как перестановка столбцов
равносильна транспозиции как в верхней так и в нижней строке, то при перестановке столбцов
чётность подстановки не изменится, поэтому чётность подстановки можно вычислять по её
стандартному виду и в этом случае она совпадает с чётностью нижней строки.
1 2 3 ... n 
 называется тождественной или единичной.
Подстановка Е = 
1 2 3 ... n 
Произведением двух подстановок одного и того же порядка называется результат
последовательного выполнения тех отображений, которые задают эти подстановки. Например,
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
 , В = 
 , то
если А = 
5 4 2 1 6 3
 6 5 3 1 4 2
Запись подстановки
 1 2 3 4 5 6
 . Действительно, первая подстановка переводит 1 в 5, вторая
АВ = 
 4 1 5 6 2 3
A

4,
переводит 5 в 4, следовательно, окончательно 1 перейдёт в 4. Аналогично, 2 
B
AB
A
B
AB
4
1 , следовательно, 2 1 ;
3
 2 ,
2
 5 , следовательно,
3  5 ;
A
B
AB
A
B
4
1 , 1 
 6 , следовательно, 4  6 ; 5 
 6 , 6 
 2 , следовательно,
AB
A
B
Ab
5  2 ; 6 
 3 , 3 
 3 , следовательно, 6  3 .
1 2 3 4 5 6
 . Отсюда следует, что умножение
Аналогично получаем, что ВА = 
3 6 2 5 1 4
подстановок не подчиняется коммутативному закону. Но можно проверить, что
(АВ)С = А(ВС) для любых подстановок А, В, С одного и того же порядка. Очевидно, АЕ = ЕА
для любой подстановки А, если А
и
Е одного порядка. Для подстановок
 1 2 3 ... n 
   2  3 ...  n 
 и В =  1
 очевидно АВ = ВА = Е.
А = 
 1 2 3 ... n 
1  2 3 ...  n 
Следовательно, А-1 = В, т.е. каждая подстановка имеет обратную.