ПРОГРАММА - Механико-математический факультет

ПРОГРАММА
на 2012/13 уч. год по курсу «Дискретная математика»
для студентов 1 потока 5 курса ММФ НГУ (9-10 семестр)
Лектор: к.ф.-м.н. А.Л. Пережогин
Раздел 1. (2 часа). Основные правила комбинаторики. Выборки. Комбинаторные правила
произведения и суммы. Формула включений исключений. Примеры применения формулы
включений исключений. Формула обращения.
Раздел 2. (4 часа). Специальные числа. Числа Стирлинга первого и второго рода, их связь.
Числа Белла. Разбиения чисел, их свойства и рекуррентные способы вычисления. Количества
различных отображений.
Раздел 3. (6 часа). Метод производящих функций. Примеры задач, приводящих к
рекуррентным соотношениям. Комбинаторные способы разрешения рекуррентностей.
Производящие функции, их свойства. Применение производящих функций для решения
рекуррентных соотношений. Экспоненциальные производящие функции. Производящие
функции Дирихле. Формула обращения Мёбиуса.
Раздел 4. (4 часа). Логические методы комбинаторики. Трансверсали. Обобщенные
трансверсали. Теоремы Холла и Кёнига. Латинские прямоугольники, их дополняемость до
квадрата. Теорема Рамсея. Теорема Рамсея для графов. Теорема Эрдёша-Секереша. Теорема
Ван дер Вардена об арифметических последовательностях.
Раздел 5. (2 часа). Графы. Графы, псевдографы, мультиграфы, орграфы. Основные
определения и простейшие свойства.
Раздел 6. (6 часа). Эйлеровы графы. Эйлеров цикл. Эйлеров граф, Теорема Эйлера.
Алгоритм Флёри. Несколько характеризаций эйлеровых графов. Эйлеровы орграфы. Число
эйлеровых графов в реберном орграфе. Граф де Брёйна и универсальные слова. Количество
универсальных слов.
Раздел 7. (6 часа). Гамильтоновы графы. Гамильтонов цикл. Теоремы Оре и Дирака.
Теорема Хватала. Теорема Поша. Гамильтоновость произведения графов. Коды Грея в графе
n-куба, их рекурсивное задание. . Гамильтоновость рёберного графа. Гамильтоновость куба
графа. Гамильтонов цикл и паросочетания. Негамильтоновость графа Петерсена. Теорема
Финка.
Раздел 8. (4 часа). Вершинные раскраски графов. Правильные раскраски. Оценки
хроматического числа. Теорема Брукса. Теорема Зыкова. Связь хроматического числа и числа
независимости. Хроматическое число дополнения графа. Однозначно раскрашиваемые графы.
Хроматический многочлен.
Раздел 9. (4 часа). Совершенные графы. Три эквивалентных определения совершенных
графов. Операции над графами, сохраняющие совершенность. Теорема Ловаса.
Раздел 10. (4 часа). Триангулированные графы. Совершенность триангулированных
графов. Расщепляемые графы. Теорема Фолдеса-Хаммера о характеризации расщепляемых
графов. Пороговые графы.
Раздел 11. (2 часа). Графы сравнимости. Совершенность графов сравнимости. Теорема
Дилворта.
Раздел 12. (2 часа) Раскраски карт. Планарные графы. Критерии планарности. Формула
Эйлера. Геометрически двойственный граф. Правильная раскраска карты. Теорема Хивуда.
Теорема о четырёх красках.
Раздел 13. (2 часа). Рёберные раскраски графов. Хроматический индекс. Теорема Кёнига.
Теорема Визинга.
Раздел 14. (10 часа). Булевы функции. Различные представления булевых функций.
Предполные классы. Теорема Поста. Минимальные и кратчайшие ДНФ. Сокращенная ДНФ.
Методы построения сокращенной ДНФ. Сокращенная ДНФ монотонной функции. Критерий
поглощения (теорема Журавлёва). ДНФ Квайна. Регулярные интервалы. ДНФ пересечения.
Методы построения тупиковых ДНФ.
Раздел 15. (4 часа). Схемы из функциональных элементов. Схемы из функциональных
элементов в стандартном базисе. Метод синтеза Шеннона. Асимптотически оптимальный
метод синтеза Лупанова. Мощностной метод нахождения нижних оценок функции Шеннона.
Асимптотика функции Шеннона.
Раздел 16. (2 часа). Контактные схемы. Функции проводимости. Метод каскадов. Порядок
Функции Шеннона для контактных схем.
Учебно-методическое и информационное обеспечение курса «Дискретная математика»
а) Основная литература:
1. Белоусов А.И., Ткачев С.Б. Дискретная математика. Изд-во МГТУ им. Н.Э.
Баумана, 2004.
2. Виленкин Н.А., Виленкин А.Н., Виленкин П.А. Комбинаторика. М.: «Фима»
МЦНМО, 2006.
3. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике.
М.: Физматлит, 2004.
4. Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О., Конкретная математика: Основание информатики.
- Вильямс, 2010.
5. Дистель Р. Теория графов. Новосибирск. Изд-во Института математики, 2002.
6. Косточка А. В. Дискретная математика: Учеб. пособие/ Новосиб. гос. ун-т, Мех.мат. фак., Каф. теорет. кибернетики. - Новосибирск: НГУ, 2001.
7. Лекции по теории графов./Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И.,
Тышкевич Р.И. — Книжный дом Либроком , УРСС, 2009.
8. Фляйшнер Г. Эйлеровы графы и смежные вопросы. – М.: Мир, 2002.
9. Харари Ф., Теория графов. — Едиториал УРСС, 2006.
10. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. – М.:Высшая школа, 2008
б) Дополнительная литература:
1. Бородин О.В. Дискретная математика: Учебное Пособие. Часть 1. Новосибирск: НГУ,
2009.
2. Дискретная математика и математические вопросы кибернетики, Т. I, под редакцией
С.В. Яблонского. М.: Наука, 1974.
3. Евстигнеев В.А., Мельников Л.С., Задачи и упражнения по теории графов и
комбинаторике. Новосибирск: НГУ, 1981.
4. Зыков А.А., Основы теории графов. — Вузовская книга, 2004.
5. Кнут Д., Искусство программирования на ЭВМ. - Вильямс, т. 1: 2005, т. 2: 2006, т. 3:
2007.
6. Комбинаторный анализ. Задачи и упражнения: Учебное пособие / Под ред. Рыбникова
К.А./ М.: Наука, 1982.
7. Конспект лекций О.Б. Лупанова по курсу «Введение в математическую логику». Отв.
Ред. А.Б. Угольников. М.: Изд-во ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ
имени М.В. Ломоносова, 2007.
8. Косточка А. В., Соловьева Ф. И. Дискретная математика: Учеб. пособие/ Новосиб. гос.
ун-т, Мех.-мат. фак., Каф. теорет. кибернетики. - Новосибирск: НГУ, 2001.
9. Кристофидес Н., Теория графов. Алгоритмический подход. М.: Мир, 1978.
10. Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженера. СПб:
Лань, 2004.
11. Ландо С.К. Лекции о производящих функциях. - МЦНМО, 2007
12. Липский В. Комбинаторика для программистов. М.: Мир, 1988.
13. Ловас Л., Пламмер М. Прикладные задачи теории графов. М.: Мир, 1998.
14. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. 2000-2001.
15. Оре О., Теория графов. _ М.: Наука, 1968.
16. Редькин Н.П. Дискретная математика. Санкт-Петербург, Москва, Краснодар. Лань,
2003.
17. Рейнгольд Э., Нивергельт Ю., Део Н. Комбинаторные алгоритмы. Теория и практика.
М.: Мир, 1980.
18. Рыбников К.А.Введение в комбинаторный анализ. М.: Изд-во МГУ, 1985.
19. Сачков В.Н. Введение в комбинаторные методы дискретной математики. М.: Наука,
1982.
20. Харари Ф. Теория графов. М.: УРРС, 2003
21. Холл М. Комбинаторика. М.: Мир. 1970.
22. Шоломов Л.А. Основы теории дискретных логических и вычислительных устройств.
М., "Наука", 1980.
23. Эвнин А.Ю. Дискретная математика. Конспект лекций. Челябинск. Изд-во ЮУрГУ,
1998.
24. Эндрюс Г. Теореия разбиений. – М.: Наука, 1982.
25. Fink J. Perfect matchings extend to Hamilton cycles in hypercubes // J. Comb. Theory, Ser. B.
2007. V. 97, N 6. P.1074–1076.
в) Программное обеспечение и Интернет-ресурсы:
На страничке http://math.nsc.ru/~perezhogin/lecture.htm выложены все контролирующие
материалы, электронный вариант лекций.