программа по математике для экономистов

ИВЭСЭП
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ИНСТИТУТ ВНЕШНЕЭКОНОМИЧЕСКИХ
СВЯЗЕЙ, ЭКОНОМИКИ И ПРАВА
ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
по специальности: 080801 (351400) – Прикладная информатика
в экономике
Санкт-Петербург
2011
ББК 22.1
М-34
М-34 Высшая математика: Учебно-методический комплекс. /Авт.-сост.:
Л.Н. Бережной, А.Ю. Вальков, Н.В. Капустина, – СПб.: СПбИВЭСЭП, 2011. – 27 с.
Утвержден на заседании кафедры математических и естественнонаучных
дисциплин, протокол № 1 от 30.08.2011 г.
Утвержден и рекомендован к печати Научно-методическим Советом,
протокол № 1 от 07.09.2011г.
Авторы -составители :
кандидат пед. наук, доцент Л.Н. Бережной.
доктор физ.-мат. наук, проф. А.Ю. Вальков,
ст. препод. Н.В. Капустина,
Рецензент:
доктор физ.-мат. наук, профессор кафедры статистической физики
Санкт-Петербургского государственного университета В.П. Романов.
Ответственная за выпуск
Н.А. Фролова
© Л.Н. Бережной, А.Ю. Вальков,
Н.В. Капустина, 2011
© СПбИВЭСЭП, 2011.
2
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Настоящий учебно-методический комплекс по курсу «Высшая математика» соответствует требованиям к обязательному минимуму содержания
основных образовательных программ по направлению подготовки дипломированных специалистов по специальности: 080801 (351400) – Прикладная информатика в экономике, основанным на государственном образовательном стандарте высшего профессионального образования.
Современный уровень требований, предъявляемых к математической
подготовке экономиста, связан со степенью развития экономической теории. В настоящее время для понимания результатов большинства экономических исследований, которые существенно используют методы математической экономики и эконометрики, требуется хорошее знание целого
ряда областей математики. В частности это основные разделы математического анализа и теории дифференциальных уравнений.
Методическое обеспечение может быть осуществлено с помощью отечественных курсов высшей математики, для которых характерно традиционно глубокое и строгое изложение рассматриваемых вопросов, а также
учебников с более простым уровнем изложения и большим количеством
экономических приложений, а также задачников и справочников, приведенных в разделе УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ(1).
Аудиторные часы, отведенные на изучение высшей математики, поровну делятся между лекционными и практическими занятиями. Практические занятия предусматривают самостоятельное решение задач студентами под контролем и при поддержке преподавателя на семинарах, а также выполнение домашних заданий. В целях проверки степени усвоения
материала проводятся две контрольные работы в семестр.
Оперативный контроль. Оперативный контроль проводится с целью
определения качества усвоения учебного материала. Наиболее эффективным является его проведение в виде тестов и самостоятельных работ.
Итоговый контроль. Для контроля усвоения данной дисциплины
учебным планом предусмотрены экзамены, либо зачеты в каждом семестре.
(1)
Основные учебники и задачники имеются в необходимом количестве в библиотеке института.
3
ВЫПИСКА ИЗ ГОСУДАРСТВЕННОГО
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА
Понятие множества. Операции над множествами. Понятие окрестности точки. Функциональная зависимость. Графики основных элементарных функций. Предел числовой последовательности. Предел функции.
Непрерывность функции в точке. Свойства числовых множеств и последовательностей. Глобальные свойства непрерывных функций. Производная и
дифференциал. Основные теоремы о дифференцируемых функциях и их
приложения. Выпуклость функции. Неопределенный интеграл. Несобственные интегралы. Точечные множества в n–мерном пространстве.
Функции нескольких переменных, их непрерывность. Производные и
дифференциалы функций нескольких переменных, экстремумы функций
нескольких переменных. Классические методы оптимизации. Числовые и
степенные ряды; дифференциальные уравнения первого порядка; линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Ряды.
ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ
Математическое образование следует рассматривать как важнейшую
составляющую фундаментальной подготовки современного специалиста.
Обусловлено это тем, что математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры.
Дисциплина предназначена для:
 изучения студентами математического аппарата, необходимого для
глубокого усвоения общенаучных, общефилософских, экономических, социологических и специальных дисциплин;
 выработки у студентов умения проводить строгий логический и количественный анализ социально-экономических задач на базе математических моделей;
 формирования у студентов необходимой математической культуры
и научного мировоззрения для исследования и решения задач в социально-экономических системах.
Развитие математической культуры должно включать в себя ясное понимание необходимости математической составляющей в общей подготовке, выработку представления о роли и месте математики в современной
цивилизации и в мировой культуре, умение логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и корректно использовать математические
4
понятия и символы для выражения количественных и качественных отношений.
В результате изучения дисциплины студент должен:
иметь представление:
 о месте и роли математики в современном мире, мировой культуре и истории; об истории развития математической мысли; о математическом мышлении, индукции и дедукции в математике,
принципах математических рассуждений и доказательств;
 об основных структурах современной математики, включая алгебраические, логические, топологические структуры и неэвклидовы геометрические системы, об их взаимосвязи с реальным
миром;
 перспективах развития приложений математики и математического моделирования в социально-экономической сфере и проникновении математических методов в гуманитарные науки.
знать и уметь использовать:
 основные понятия и методы математического анализа, линейной
алгебры и аналитической геометрии, обыкновенных дифференциальных уравнений и численных методов, теории вероятностей
и математической статистики;
 основные определения и понятия, теоремы и правила предметных направлений математики с практическим применением;
 логику доказательства важнейших теорем, лежащих в основе
изучаемых математических методов.
Для выработки у современных специалистов по управлению социально-экономическими системами с высшим образованием необходимой математической культуры УМК предусматривает реализацию следующих
основных задач:
1. достижение достаточно высокого уровня фундаментальной математической подготовки;
2. сбалансированное и взаимосвязанное изучение общей математики и
ее приложений к экономическим процессам;
3. ориентация на обучение и выработку у студентов умения строить и
использовать математические модели для описания и прогнозирования различных явлений, осуществлять их качественный и количественный анализ на базе различных средств информационного обеспечения.
УМК содержит основные математические сведения, которые подлежат
изучению всеми студентами.
5
УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН
№
Тема
Лекции
(час)
Практические
занятия (час)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Понятие функции.
Предел последовательности.
Производная и дифференциал.
Исследование функции с помощью производных.
Формула Тейлора
Дифференциальное исчисление функций многих
переменных.
Неопределенный интеграл.
Определенный интеграл.
Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Анализ экономических моделей с помощью дифференциальных уравнений.
Числовые ряды
Степенные ряды.
Тригонометрические ряды.
Всего
2
2
10
4
2
2
1
4
10
6
1
4
8
6
20
4
8
6
18
2
4
4
4
72
4
4
4
72
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
6
СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИОННЫХ ЗАНЯТИЙ.
Раздел 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
Тема 1. Понятие функции.
Множества и операции над ними. Соотношения двойственности. Числовые множества. Функция. Свойства числовых функций. Функции в экономической теории.
Тема 2. Предел последовательности.
Последовательности. Предел последовательности. Свойства предела.
Второй замечательный предел, число e. Задача о непрерывном начислении
процентов. Предел функции. Непрерывность функции действительного
переменного. Первый замечательный предел. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Таблица эквивалентности бесконечно малых.
Теоремы о непрерывных функциях. Приближенное нахождение корней
функции: метод половинного деления.
Тема 3. Производная и дифференциал.
Производная функции. Механический и геометрический смысл производной. Таблица производных. Свойства производных. Экономические
приложения производной: предельный уровень замещения товаров, эластичность функции. Эластичность. Дифференциал, его геометрический
смысл. Инвариантность формы первого дифференциала. Задача о замещении потребительских товаров без изменения уровня полезности. Основные
теоремы дифференциального исчисления. Правило Лопиталя. Приближенное нахождение корней функции: метод Ньютона.
Тема 4. Исследование функции с помощью производных.
Условия возрастания и убывания функции. Экстремумы функций. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума. Задача
отыскания глобального экстремума функции на отрезке. Выпуклость и вогнутость. Точки перегиба. Необходимые условия экстремума в терминах
первой и второй производных. Асимптоты кривых. Общая схема исследования функции.
Тема 5. Формула Тейлора.
Формула Тейлора. Её применение для приближенных вычислений.
7
Раздел 2. Дифференциальное исчисление функий многих переменных.
Тема 6. Дифференциальное исчисление функций многих переменных.
Функция многих переменных. Элементы топологии пространства R n .
Предел, непрерывность и дифференцируемость функции многих переменных. Полный дифференциал. Частные производные высших порядков. Равенство смешанных производных. Экономические приложения частных
производных. Понятие предельной полезности. Достаточное условие экстремума функции двух переменных. Необходимое условие экстремума
функции двух переменных. Задача о нахождении экстремума функции
двух переменных в замкнутой области.
Раздел 3. Интегральное исчисление функций одной переменной.
Тема 7. Неопределенный интеграл.
Первообразная. Неопределенный интеграл. Таблица интегралов. Свойства интеграла. Простейшие приемы интегрирования: метод подстановки,
интегрирование по частям, интегрирование рациональных дробей, тригонометрических функций, простейших иррациональностей.
Тема 8. Определенный интеграл.
Задача вычисления площади криволинейной трапеции. Интегральные
суммы. Определенный интеграл. Свойства определенного интеграла. Интеграл как функция верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница. Геометрические приложения определенного интеграла: площади, длина дуги
кривой, объем тела вращения, площадь поверхности тела вращения. Несобственные интегралы. Приближенное вычисление определенного интеграла: формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона.
Раздел 4. Дифференциальные уравнения.
Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Типы обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши.
Существование и единственность решения задачи Коши. Понятие устойчивости решения дифференциального уравнения. Основные типы уравне-
8
ний, интегрируемых в квадратурах. Понятие о дифференциальных уравнениях с запаздывающим аргументом.
Тема 10. Анализ экономических моделей с помощью дифференциальных уравнений.
Модель нормального воспроизводства. Логистические уравнения: модель воспроизводства при наличии конкуренции, проблема эффективности
рекламы. Постановка задачи о моделировании динамики цен на рынке товаров.
Раздел 5. Ряды.
Тема 11. Числовые ряды.
Понятие о сумме числового ряда. Необходимое условие сходимости.
Сходимость рядов с положительными членами. Признаки: Даламбера, интегральный, сравнения. Знакочередующиеся ряды, абсолютная и условная
сходимость. Признак Лейбница. Понятие о суммировании расходящихся
рядов.
Тема 12. Степенные ряды.
Сходимость функционального ряда. Степенные ряды. Радиус сходимости. Свойства степенных рядов. Ряд Тейлора. Разложение элементарных
функций в ряд Тейлора. Применение степенных рядов к приближенным
вычислениям. Понятие об асимптотических рядах. Элементы теории возмущений.
Тема 13. Тригонометрические ряды.
Тригонометрические ряды. Формулы Фурье для коэффициентов. Четные и нечетные функции, разложение по sin и по cos. Сходимость тригонометрических рядов. Случай разрыва.
СОДЕРЖАНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ.
.
Тема 1.
Тема 2.
Тема 3.
Тема 4.
Тема 5.
Понятие функции.
Предел последовательности.
Производная и дифференциал.
Исследование функции с помощью производных.
Формула Тейлора.
9
Тема 6.
Тема 7.
Тема 8.
Тема 9.
Дифференциальное исчисление функций многих переменных.
Неопределенный интеграл.
Определенный интеграл.
Элементы теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Тема 10. Анализ экономических моделей с помощью дифференциальных
уравнений.
Тема 11. Числовые ряды.
Тема 12. Степенные ряды.
Тема 13. Тригонометрические ряды.
ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ К ЗАЧЕТАМ И
ЭКЗАМЕНАМ .
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
Последовательность. Понятие предела последовательности.
Определение предела последовательности.
Свойства предела.
Доказательство свойства: «предел суммы равен сумме пределов».
Задача о непрерывном начислении процентов.
Второй замечательный предел. Формулы для числа e .
Предел функции. Определение по Гейне (через предел последовательности).
Предел функции. Определение «на языке    ».
Предел функции при x   .
Свойства передела функции.
Бесконечно малые и бесконечно малые величины. Эквивалентность.
Первый замечательный предел.
Односторонние пределы.
Непрерывность функции.
Классификация точек разрыва.
Определение производной функции.
Примеры вычисления производной по определению ( x 2 и sin x ).
Пример непрерывной функции, не имеющей производной в некоторой точке.
Таблица производных.
Свойства производных.
Вывод формул для производной суммы и производной произведения.
Вывод формул для производной дроби и производной сложной функции.
Формула конечных приращений Лагранжа.
10
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
Геометрический и физический смысл производной.
Теорема Ролля.
Необходимое условие экстремума (теорема Ферма).
Условия возрастания и убывания функции.
Достаточное условие экстремума в терминах первой производной.
Выпуклость и вогнутость функции. Связь со второй производной.
Достаточное условие экстремума в терминах второй производной.
Схема исследования функции.
Эластичность.
Понятие первообразной. Неединственность первообразной.
Связь двух первообразных от одной функции. Неопределенный интеграл.
Таблица интегралов.
Свойства интегралов.
Формула замены переменной для интегралов.
Формула интегрирования по частям.
Типы интегралов, вычисляемых по частям.
Интегрирование тригонометрических выражений: универсальная тригонометрическая подстановка x  tgt / 2 .
Интегрирование тригонометрических выражений вида sin n x  cos m x .
Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Связь с площадью.
Определенный интеграл как функция верхнего предела. Формула
Ньютона-Лейбница.
Теорема о среднем в интегральном исчислении.
Длина дуги кривой.
Объем и площадь поверхности тела вращения.
Дифференциальные уравнения. Частное и общее решения. Задача
Коши. Примеры.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Линейные дифференциальные уравнения, их общие свойства.
Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Метод вариации постоянной.
Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами. Метод характеристического уравнения.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентов.
Понятие суммы бесконечного числового ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Необходимый признак сходимости.
Признак сходимости Д’Аламбера.
Интегральный признак сходимости.
Знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость.
11
57. Признак сходимости Лейбница.
58. Степенные ряды. Область сходимости.
59. Радиус сходимости.
ПРИМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ
1. Найти предел
2n
3n 2
x2  4x  3
2n 2  3n  2
sin 2 3x
n2
, lim
, lim 2 , lim 2
, lim



n  n  3
x3 x  5 x  6
n 3n  1 2n  1
n (3n  4)(5  n) x0 tg 2 x


2 n 1
lim
3x 2  2 x  4
Найти асимптоты функции.
x3

Найти производную x3 sin 2 2 x ln 4 x
2. y 
3.


4. Найти экстремумы функции y 
1
2x  1
, y  x .
x
x 1
2
5. Найти промежутки выпуклости и вогнутости у функции y 
6. Вычислить интеграл
2
x
0
dx
,
4
x
2
2
ln xdx .
7. Вычислить интегралы
3
x
а)  ( x 3  5x  
5
 sin(3x ))dx ,
x2
5
в)  x sin(5x)dx ,
г)

0
б)  2 x sin( x 2  1)dx ,
x
dx ,
2
x 1
д)

x
2
0
1
dx .
4
4 1
а)  ( x 4  6x   3  cos(2 x ))dx , б)  3x 2 cos( x 3  1)dx ,
x x
4
4
x
1
в)  x cos(5x)dx ,
г)  2 dx ,
д)  2 dx .
x 1
x 4
2
2
1 3
а)  ( x 5  4 x   2  sin(2 x ))dx , б)  2 x sin( x 2  1)dx ,
x x
2

x
1
dx .
в)  x sin(2 x)dx ,
г)  2 dx ,
д) 
x 2
2x 1
1
1
5 1
а)  ( x 2  15x   2  cos(4 x ))dx , б)  4 x 3 sin( x 4  1)dx ,
x x
8
3
x
1
2x
в)  xe dx ,
г)  2 dx ,
д) 
dx .
x 1
3 x
5
0
2
x
а)  ( x 2  12 x  
в)  xe 3x dx ,
3
 cos(6x ))dx ,
б)
x5
8
x
г)  2
dx ,
x 2
3
12
 4x
3
д)
sin( x 4  51)dx ,
2

0
1
4  x2
dx .
x2 1
.
x2
4
x
3
 sin( 12 x)) dx ,
б)  6 x 5 sin( x 6  5)dx ,
3
x
6

1
x
dx .
г)  2 dx ,
д) 
3x  4
x 3
2
2
а)  ( x 3  21x  
в)  xe2 x dx ,
8. Решить дифференциальные уравнения
а) y   y 2 ( x  5) ,
в) y   5y   6 y  0 .
3
а) y   y ( x  1)
в) y   6 y   5 y  0
x3
y
3
а) y   y ( x  5)
а) y  
в) y   4 y   3y  0
в) y   y   6 y  0
в) y   y   12 y  0
в) y   y   12 y  0 .
а) y   y ( x  1)
а) y  y 5 ( x  4) ,
4
9. Определить сходится ли ряд


n
2n
,
,


n
n
n 1 2  1
n 1 3  1
n 1
,

n
n 1 n  1

n  2n
,

2
n 1 2  n

2n  1
,

n
n 1 3  2


n 1
10.Найти область сходимости степенного ряда

xn
,

n 1 2n  3

xn
,

n
n 1 2  1

x 2n
,

n
n1 2  3

2n x n
,

n
n 1 n  1
13

xn
,

2
n 1 n  1
n 1
,
n
1
4


n 1
2 x n .
n3
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ (1)
УЧЕБНИКИ
Основные
1.
2.
3.
Турецкий В.Я. Математика и информатика. — 3-е изд., испр. и доп.
— М.: Инфра-М, 2005 (Серия «Высшее образование»).
Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и её применения в
экономическом образовании, Учебник. — М.: Дело, 2003.
Колемаев А.А., Математическая экономика (Учебник) 3-е изд,
(ГРИФ), М: ЮНИТИ -ДАНА, 2005, 399с.
Дополнительные
Высшая математика для экономистов. /Под ред. Н.Ш.Крамера. — М.:
— М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.
5. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И., Курс высшей математики для экономических вузов. Ч. I,II — СПб., 1997.
6. Шипачев В.С. Высшая математика — М.:, Высшая школа, 1990.
7. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа — М.: Наука,
1969.
8. Математика в экономике. Под редакцией Кремера Н.Ш. — М., Финстатинформ; 1999.
9. Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов –
Москва, ИНФРА-М, 1997.
10. Крыльский Х. Математика для экономистов — М.: Статистика, 1970.
11. Джонстон Дж. Экономические методы. — М.: Статистика, 1980.
12. Сирл С., Игосман У. Математика для экономистов. — М.: Статистика,
1974.
4.
ЗАДАЧНИКИ
Основные
13. Минорский В. П., Сборник задач по высшей математике, изд. 15-е,
ФИЗМАТЛИТ, 2005.
СПРАВОЧНИКИ
Дополнительные
14. Справочник по математике для экономистов. /Под ред. В.И.Ермакова.
— М.: Высшая школа, 1987.
(1)
Основные учебники и задачники имеются в необходимом количестве в библиотеке института.
14
15. Венецкий И.Г., Венецкий В.И. Основные математико-статистические
понятия и формулы в экономическом анализе: Справочник. — М.:
Высшая школа, 1979.
16. Arrow K., Intriligator M. Handbook of Mathematical Economy. V.1,2 —
Amsterdam, 1981.
15
ГЛОССАРИЙ
A
АКСИОМА – исходное положение, принимаемое без доказательства при
дедуктивном построении теории.
АКСИОМА математической индукции. Если утверждение Р(n) верно
для n=1 и если из истинности P(k) вытекает истинность P(k+1),
то P(n) верно для любого n (n и k – натуральные числа).
АРГУМЕНТ функции. Независимая переменная, от значений которой зависят значения функции.
АППРОКСИМАЦИЯ. Приближённое выражение математических объектов через другие, более простые.
АРИФМЕТИКА. Часть математики, изучающая числа и простейшие действия над ними.
АСИМПТОТА. Прямая, расстояние от которой до точки данной кривой
стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки
вдоль кривой на бесконечность.
Б
БИНОМ. Двучлен — сумма (или разность) двух одночленов.
БИНОМ НЬЮТОНА. Формула, выражающая произвольную натуральную
степень бинома в виде многочлена, расположенного по степеn
ням одного из членов бинома: (a  b) n   Cnk a k b nk , где C nk —
k 1
БИНОМИНАЛЬНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ.
БИНОМИНАЛЬНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ. Величина Cnk 
n!
. Число
k!(n  k )!
сочетаний из n по k — число вариантов, которыми можно выбрать k предметов из n предметов, когда порядок расположения
n
предметов не играет роли. Обозначается также   .
k
 
БИФУРКАЦИЯ (КАТАСТРОФА) динамической системы. Исчезновение или появление нового положения равновесия при бесконечно малом изменении параметра.
В
ВРОНСКИАН. Функциональный определитель, составленный из n функций y1(x), y2(x), …, yn (x) и их производных до n – 1 порядка
включительно. Обычно обозначается W(x). Равенство W(x) = 0
16
является необходимым, (и достаточным — при дополнительных
предположениях) условием линейной зависимости данных n
функций, дифференцируемых n — 1 раз.
ВЫВОД. 1.Процесс получения какого-либо результата, проведённый в соответствии с указанными правилами. 2. Результат этого процесса.
ВЫВОД логический. 1. Содержательное рассуждение, позволяющее от исходных допущений (посылок) перейти к новым
утверждениям (заключениям), логически вытекающим из исходных. 2. Результат этого рассуждения.
ВЫВОД формальный. Последовательность формул, каждая из
которых либо является аксиомой или принятым допущением,
либо получается из предыдущих с помощью правил вывода.
ВЫРАЖЕНИЕ. Формула или её часть.
ВЫРАЖЕНИЕ алгебраическое. Запись в определённом порядке
ряда алгебраических действий над совокупностью величин.
ВЫРАЖЕНИЕ подкоренное. Выражение, стоящее под знаком
радикала (т.е. под знаком корня n-ой степени).
ВЫРАЖЕНИЕ подынтегральное. Выражение, состоящее из
подынтегральной функции и дифференциала (дифференциалов),
стоящих под знаком интеграла.
ВЫРАЖЕНИЕ дробно-рациональное. Отношение двух целых
выражений.
ВЫРАЖЕНИЕ иррациональное. Алгебраическое выражение, содержащее иррациональность.
ВЫРАЖЕНИЕ целое. Многочлен от нескольких переменных.
ВЫЧИСЛЕНИЕ. Получение численного результата некоторым алгоритмом из исходных данных.
Г
ГЕССИАН. Определитель МАТРИЦЫ ГЕССЕ.
ГЛАДКОСТЬ функции. Наличие у функции непрерывных производных до
определенного порядка.
ГОМЕОМОРФИЗМ. Взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие между двумя топологическими пространствами.
ГОМОМОРФИЗМ. Отображение алгебраической системы в однотипную
ей систему, сохраняющее основные соотношения и основные
операции.
ГРАФ. В математической ТЕОРИИ ГРАФОВ и информатике граф — это
совокупность объектов со связями между ними. Объекты представляются как вершины, или узлы графа, а связи — как дуги,
17
или рёбра. Для разных областей применения виды графов могут
различаться направленностью, ограничениями на количество
связей и дополнительными данными о вершинах или рёбрах.
Более абстрактно, граф можно задать как тройку (V,E,φ), где V и
E — некоторые множества (вершин и рёбер, соотв.), а, φ —
функция инцидентности (или инцидентор), сопоставляющий
каждому ребру e  E (упорядоченную или неупорядоченную)
пару вершин u и v из V (его концов). Частными случаями этого
понятия являются:

ориентированные графы (орграфы) — когда φ(e) всегда является упорядоченной парой вершин;

неориентированные графы — когда φ(e) всегда является
неупорядоченной парой вершин;

смешанные графы — в котором встречаются как ориентированные, так и неориентированные рёбра и петли;

мультиграфы — графы с кратными рёбрами, имеющими
своими концами одну и ту же пару вершин;

псевдографы — это мультиграфы, допускающие наличие
петель;

простые графы — не имеющие петель и кратных рёбер
Д
ДВУЧЛЕН. См. БИНОМ..
ДЕДУКЦИЯ. Общее название логических методов, позволяющее выводить новое утверждение из некоторых исходных утверждений,
пользуясь определенными правилами вывода.
ДИНАМИЧЕСКАЯ
СИСТЕМА.
См.
ОБЫКНОВЕННОЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛ. Главная линейная часть приращения функции.
полный ДИФФЕРЕНЦИАЛ. Дифференциал функции нескольких
переменных, равен сумме частных дифференциалов от данной
функции по каждой из переменных.
частный ДИФФЕРЕНЦИАЛ. Дифференциал функции нескольких переменных по одному переменному; когда остальные переменные считаются постоянными.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ. Уравнение, в котором неизвестной является функция одной или нескольких переменных,
причем в уравнения входят производные неизвестных функций.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
УРАВНЕНИЕ
В
ЧАСТНЫХ
ПРОИЗВОДНЫХ. Дифференциальное уравнение, в котором
неизвестной является функция нескольких переменных.
18
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Способ обоснования истинности того или иного
суждения, основанный на выведении его из аксиом.
З
ЗАДАЧИ КОШИ (задача с начальными условиями). Задача нахождения
решения обыкновенного дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям. Начальные
условия обычно задаются как значения решения и его производных в некоторой фиксированной («начальной») точке.
И
ИНТЕГРАЛ. Одно из фундаментальных понятий математического анализа. 1. Объединение двух тесно связанных понятий: определённый интеграл и неопределённый интеграл; для их определения
употребляется один и тот же символ  .
2. Результат решения дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений.
ИНТЕГРАЛ неопределённый. Совокупность первообразных функций,
имеющих одну и ту же производную; обозначается  f ( x)dx .
ИНТЕГРАЛ определённый. Предел интегральных сумм для данной функции при неограниченном измельчении разбиения множества, по
которому производится интегрирование.
ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЬ. 1. Наличие в алгебраическом выражении радикала с натуральным показателем.
2. Иррациональное выражение или число.
К
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА. Задача нахождения решения обыкновенного дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным краевым
условиям. Краевые условия обычно задаются как значения решения и его производных на краях некоторого интервала.
КРИТИЧЕСКАЯ ТОЧКА ФУНКЦИИ. Точку x, из области определения
функции f(x) называют критической точкой функции, если производная f'(x) обращается в нуль, или не существует.
19
Л
ЛЕММА (греч. слово lemma – «допущение»). Вспомогательное предложение, употребляемое при доказательствах других утверждений.
М
МАКСИМУМ. Значение функции или функционала, которое не меньше
любого из значений её (его), в некоторой окрестности аргумента.
Абсолютный МАКСИМУМ. Наибольший из всех максимумов
данной функции или данного функционала.
Строгий МАКСИМУМ. Максимум, не равный никакому другому значению функции (или функционала), в данной окрестности аргумента.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ — совокупность разделов математики,
посвященных исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчислений. В него
также входят теории функций действительного и комплексного
переменного, теория дифференциальных уравнений, вариационное исчисление и ряд других математических дисциплин.
МАТРИЦА ГЕССЕ. Квадратная матрица с элементами с элементами
aij  yi / x j , где f (x1,..., xn), l  i  n, — функция n переменных.
имеющие вторые частные производные в некоторой области Δ.
Используется обозначение H f ( x1 ,..., xn ) .
МИНИМУМ. Значение функции или функционала, которое не превосходит любое значение её (его), в некоторой окрестности аргумента.
Абсолютный МИНИМУМ. Наименьший из всех минимумов
данной функции или данного функционала.
Строгий МИНИМУМ. Минимум, не равный никакому другому
значению функции (или функционала), в данной окрестности
аргумента
О
ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ (общий
интеграл). Решение, объединяющее все возможные частные
решения. (Такие решения включают в себя произвольные постоянные для обыкновенных дифференциальных уравнений и
произвольные функции для дифференциальных уравнений в
частных производных.)
ОБЫКНОВЕННОЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
УРАВНЕНИЕ
(ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА). Дифференциальные уравне-
20
ния, в которой неизвестной является функция одной переменной.
ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ, уравнение, не меняющее своего вида при
одновременном умножении всех (или только некоторых) неизвестных на одно и то же произвольное число. Во втором случае
уравнение называется однородным по отношению к соответствующим неизвестным.
Уравнение a0(x)y(n) + a1(x)y(n-1) + ... + an (x)y = 0, называемое линейным однородным дифференциальным уравнением, однородно по отношению к у. Уравнение у' = f (y/х), называется дифференциальным уравнением, однородным по отношению к переменным x и у, т.к. однородна его правая часть.
ОКРЕСТНОСТЬ точки. Любое открытое множество, содержащее рассматриваемую точку топологического пространства.
-ОКРЕСТНОСТЬ. Совокупность всех точек, отстоящих от данной точки на расстояние, меньшее, чем число  > 0 .
ОСОБЕННОСТЬ. См. Особая ТОЧКА.
ОСОБАЯ ТОЧКА. Точка кривой или поверхности, в которой нарушается
её ГЛАДКОСТЬ.
ОПЕРАТОР. Функция, множество значений и область определения —
элементы векторных пространств.
П
ПЕРВООБРАЗНАЯ. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) в некотором интервале, если в каждой точке интервала
выполнено: f '(x)=F(x).
ПОЛНАЯ СИСТЕМА АКСИОМ. Система аксиом, определяющая математический объект однозначно с точностью до изоморфизма.
ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ ставит в соответствие каждой
точке плоскости пару чисел (ρ; φ),   0 , 0    2 . Исходные
понятиями в этой системе: начало – полюс, и луч, начинающийся в этой точке, – полярная ось. Координата ρ – расстояние от
точки до полюса, координата φ – угол (отсчитывающийся против часовой стрелки) между полярной осью и отрезком, соединяющим полюс и рассматриваемую точку. Переход от полярных
координат к декартовым производится по формулам: x   cos  ,
y   sin  .
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ. Функция, заданная на множестве натуральных чисел.
ПОСТУЛАТ – аксиома или правило вывода.
21
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. Одно из фундаментальных понятий математического анализа. Число a называется пределом последовательности xn, если для любого ε > 0 найдется такое
натуральное число N, что для всех номеров n > N выполняется
|xn – a| < ε.
ПРОИЗВОДНАЯ. Одно из фундаментальных понятий математического
анализа. Предел отношения приращения функции (Δy) к приращению аргумента (Δх) при Δх стремящемся к 0. По своему
смыслу — скорость изменения функции по отношению к изменению аргумента. Обозначается dy/dx или y'(x).
Р
РЕШЕНИЕ (ИНТЕГРАЛ, ТРАЕКТОРИЯ) обыкновенного дифференциального уравнения (динамической системы). Функция, которая при подстановке ее в дифференциальное уравнение обращает его в тождество.
С
СИСТЕМА КООРДИНАТ. Способ установки взаимно однозначного соответствие между множествами (подмножествами) чисел
(наборов чисел) и точками данного геометрического пространства. Простейшая из них — ДЕКАРТОВА СИСТЕМА
КООРДИНАТ, пример более сложной — ПОЛЯРНАЯ
СИСТЕМА КООРДИНАТ.
СРЕДНЕЕ арифметическое. Числовая характеристика совокупности чисел a1, a2 ,, an определяемая формулой a 
a1  a2  ...  an
.
n
СРЕДНЕЕ взвешенное. Числовая характеристика совокупности чисел
a1 , a2 ,, an , равная
p1a1  p2 a2  ...  pn an
, где числа pi называются
p1  p2  ...  pn
весами чисел ai .
СРЕДНЕЕ гармоническое. Числовая характеристика совокупности чисел


1
1
a1 , a2 ,, an , определяемая формулой  a11  ...  an1  .
n

СРЕДНЕЕ геометрическое. Числовая характеристика совокупности положительных чисел a1 , a2 ,, an , определяемая формулой
n a a ...  a .
1 2
n
СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ — некоторое число, заключённое
между наименьшим и наибольшим её значениями. В диффе-
22
ренциальном и интегральном исчислении чаще всего используется «интегральное среднее»
b
1
f ( x)dx — непрерывный
b  a a
аналог СРЕДНЕГО АРИФМЕТИЧЕСКОГО.
СРЕДНЕЕ квадратичное. Числовая характеристика совокупности чисел
a1 , a2 ,, an , определяемая формулой
a12  a22    an2
.
n
Т
ТЕОРИЯ ГРАФОВ — раздел дискретной математики, изучающий свойства ГРАФОВ. В наиболее общем смысле граф можно представить себе как множество вершин (узлов), соединённых рёбрами.
Ф
ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО. Множество всех возможных состояний
динамической системы (обыкновенного дифференциального
уравнения).
ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА. Формула, устанавливающая связь
между понятием первообразной F(x) (неопределенным интегралом) к данной функции f(x), и определенным интегралом:
b
 f ( x)dx  F (b)  F (a) .
Является фундаментом математического
a
анализа.
ФУНКЦИОНАЛ. Функция, множество значений которой — числа, а область определения — функции. Пример — определенный интеграл.
ФУНКЦИЯ (зависимая переменная). Переменная величина, значения которой определяются в зависимости от значений, принимаемых
независимой переменной. (Пусть X,Y — два множества. Если
задано правило f, которое всякому x  X ставит в соответствие
единственный элемент y  Y, то говорят, что на X задана функция f(x) с множеством значений в Y.)
Х
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ.
Для линейного дифференциального уравнения с постоянными
коэффициентами a0y(n) + a1y(n-1) +... + an-1y' + any = 0 — алгебраическое уравнение, которое получается из данного дифференциального уравнения после замены функции у и её производных
23
соответствующими степенями величины λ, т. е. уравнение a0λn +
a1λn-1 +... + an-1λ + an = 0.
Ч
ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
(частный интеграл). Одна конкретная функция, являющаяся
решением дифференциального уравнения.
Решение задачи Коши (задачи с начальными условиями) обыкновенного дифференциального уравнения. Частное решение,
удовлетворяющее заданным начальным условиям.
ЧИСЛЕННЫЕ методы. Совокупность методов приближённых вычислений, численного решения задач линейной алгебры, математического анализа, дифференциальных уравнений и других разделов
математики, а также оценки точности полученных результатов.
ЧИСЛО
ЧИСЛО рациональное. Число, равное отношению двух целых
чисел, из которых второе не равно нулю.
ЧИСЛО иррациональное. Действительное число, не являющееся
рациональным.
ЧИСЛО натуральное. Результат счёта предметов.
ЧИСЛО нечётное. Целое число, не делящееся на 2 без остатка.
ЧИСЛО чётное. Целое число, делящееся на 2 без остатка.
ЧИСЛО обратное. Число, при умножении которого на данное
получается единица (т.е. число равное единице, делённой на
данное число).
ЧИСЛО отрицательное. Действительное число, меньшее нуля.
ЧИСЛО положительное. Действительное число, большее нуля.
ЧИСЛО простое. Натуральное число р>1, натуральными делителями которого являются только два числа: 1 и р.
ЧИСЛО противоположное. Число, при сложении которого с
данным получается нуль (т.е. число, отличающееся от исходного, знаком).
ЧИСЛО алгебраическое. Число, являющееся решением алгебраического уравнения некоторой степени с рациональными коэффициентами.
ЧИСЛО трансцендентное. Число, не являющееся решением алгебраического уравнения любой степени с рациональными коэффициентами.
ЧИСЛО комплексное. Число, имеющее вид суммы x + iy, где x и
y — действительные числа, i — мнимая единица (i2= -1). .
ЧИСЛО мнимое. Число, имеющее вид iy, где y  0 — действительное число, i — мнимая единица (i2= -1).
24
ЧИСЛО кардинальное. Описывает мощность множеств, конечных и бесконечных.
Я
ЯКОБИАН. Функциональный определитель с элементами aij  yi / x j , где
yi = fi (x1,..., xn), l  i  n, — функции, имеющие непрерывные
частные производные в некоторой области Δ. Используется обозначение D( y1 ,..., yn ) / D( x1 ,..., xn ) .
25
СОДЕРЖАНИЕ
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА ........................................................................ 3
Выписка из государственного образовательного стандарта ....................... 4
Цели и задачи дисциплины ............................................................................. 4
УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН ................................................................ 6
СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ..................................................................................... 7
Содержание лекционных занятий. ................................................................. 7
Содержание практических занятий. ............................................................... 9
ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ К ЗАЧЕТАМ И ЭКЗАМЕНАМ. ........................ 10
Примерные задачи для подготовки к экзамену .......................................... 12
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ................................................ 14
Учебники ......................................................................................................... 14
Задачники ........................................................................................................ 14
Справочники ................................................................................................... 14
ГЛОССАРИЙ ..................................................................................................... 16
СОДЕРЖАНИЕ ................................................................................................. 26
26
1
СПбИВЭСЭП
Санкт-Петербург, Литейный пр., 42
Подписано к печати __.__.2006 г. Тираж ____ экз.
Ризограф о-ва «Знание»
1
27