Интегральное исчисление функций нескольких

97
Часть 6. Интегральное исчисление функций нескольких переменных
Глава 1. Двойные интегралы
Обобщением дифференциального исчисления является дифференциальное
исчисление функций нескольких переменных. Аналогичным образом интегральное
исчисление функций нескольких переменных является обобщением интегрального
исчисления функций одной переменной. Интегральное исчисление функций нескольких
переменных с ростом числа переменных значительно усложняется, потому чаще всего
ограничиваются рассмотрением случаев двух и трех переменных, так как только в этих
случаях интеграл имеет наглядное геометрическое представление.
Кубируемые тела
Для введения понятия кубируемого тела будем исходить из понятия объема
многогранника, считая его известным из курса элементарной геометрии. При этом под
«многогранником» будем понимать пространственное тело, ограниченное частями плоскостей
(многоугольниками). Также предполагается, что выполняются основные свойства объема.
Пусть дано некоторое произвольное тело V . Будем рассматривать такие
многогранники, которые содержатся целиком в V и которые целиком содержат в себе V .
Очевидно, что множество объемов внутренних многогранников ограничено сверху
(любым объемом внешнего многогранника), а множество внешних многогранников
ограничено снизу (любым объемом внутреннего многогранника). В таком случае
получаем последовательность неравенств:   V  V     , где  ,   – произвольные
объемы вписанного и описанного многогранников, V , V  – верхняя и нижняя грани
указанных множеств.
Дадим определение.
Определение 1. Если верхняя грань V объемов многогранников, входящих в данное
пространственное тело V , равна нижней грани V  объемов многогранников, содержащих
V , то говорят, что тело V является кубируемым (т. е. имеет объем) и за его объем
принимают число V  V  .
Можно сформулировать условия, при которых тело будет являться кубируемым.
Теорема 1. Для того чтобы пространственное тело V было кубируемым,
необходимо и достаточно, чтобы по любому положительному числу  можно было
подыскать такие два многогранника M  V и M   V , для объемов которых  ,  
выполняется неравенство:      .
Существуют и другие критерии кубируемости, эквивалентные данному.
Задача об объеме цилиндрического тела
Рассмотрим тело, образованное следующим образом: сверху оно ограничено
некоторой поверхностью z  f ( x, y ) ( f ( x, y )  0 – непрерывная), с боков –
цилиндрическими поверхностями такими, что образующие параллельны оси OZ , снизу –
частью плоскости XOY – замкнутой квадрируемой областью D , контур которой образует
простую кривую. (Рис. 45)
98
z
·
y
O
·
D
x
Рис 45.
Введем понятие, которое будет необходимо для дальнейших рассуждений.
Определение 2. Диаметром замкнутой области D называется наибольшее
расстояние между двумя точками контура этой области (наибольшая хорда области).
Разобьем область D на n частей, площадь каждой из которой обозначим S i .
Через контур, ограничивающий каждую из частей, проведем цилиндрическую
поверхность с образующей параллельной оси Oz . Такая поверхность вырежет из данного
тела цилиндрический столбик, всего столбиков будет n , в совокупности они составят
исходное тело. Выберем в каждой части произвольную точку  i , i  и вычислим в этой
точке значение функции f  i , i  . Рассмотрим прямой цилиндр с основанием,
совпадающим с основанием полученного столбика, и высотой равной f  i , i  . Объем
исходного столбика будет примерно равен объему такого цилиндра Vi  f i ,i Si . Тогда
n
приближенное значение объема тела будет равно V   f  i ,  i S i . Будем увеличивать
i 1
число частей разбиения, т.е. стремить n к бесконечности. Тогда приближенное равенство
становится все более точным и, переходя к пределу, получаем V  lim
n 
n
 f  ,  S
i 1
i
i
i
. При
этом потребуем выполнения условия, что диаметр наибольшей из областей будет
стремиться к нулю с ростом n .
Понятие двойного интеграла
Пусть дана некоторая квадрируемая область D , ограниченная кусочно-гладкими
кривыми. Разобьем ее сеткой кривых на n частичных участков произвольной формы и
размера. Обозначим площадь каждого элементарного участка S i . Пусть в квадрируемой
области D определена некоторая функция f ( x, y ) . В каждой частичной области возьмем
произвольную точку M (i ,i ) и составим интегральную сумму
n
 f ( , )  S
i 1
i
i
i
.
99
Обозначим через  наибольший из диаметров частичных областей D . Будем
увеличивать число элементарных участков разбиения так, что с ростом n величина 
стремится к нулю.
Определение 3. Если интегральная сумма при n   (   0 ) имеет конечный
предел lim
n
n
 f ( ,  )  S
i
 0 i 1
i
i
, не зависящий ни от способа разбиения области D на части,
ни от выбора точек M ( xi , yi ) в частичных областях, то этот предел называют двойным
интегралом функции f ( x, y ) по области D .
Обозначается символом
 f ( x, y)dxdy .
D
Условия существования двойного интеграла
Необходимым условием существования двойного интеграла является условие
ограниченности функции f ( x, y ) на области D .
Теорема 2. Если функция f ( x, y ) интегрируема на области D , то она ограничена
на данной области.
Следствие. Всякая неограниченная на области D функция не является
интегрируемой по данной области.
В дальнейшем будем рассматривать только ограниченные на D функции.
Установим достаточные условия интегрируемости функций f ( x, y ) .
Теорема 3. Если функция f ( x, y ) непрерывна в замкнутой области D , то двойной
интеграл
 f ( x, y)dxdy существует.
D
Можно показать, что функция f ( x, y ) будет интегрируемой и при менее строгих
условиях.
Теорема 4. Если функция f ( x, y ) ограничена в замкнутой области D и
непрерывна в ней всюду, кроме конечного числа кусочно-гладких линий, то двойной
интеграл  f ( x, y)dxdy существует.
D
Основные свойства двойных интегралов
1)
  f ( x, y)  f
1
2
( x, y)dydx   f1 ( x, y)dydx   f 2 ( x, y)dydx (интеграл суммы равен сумме
D

D
интегралов).
Следствие 1. Рассматривается алгебраическая сумма функций.
Следствие 2. Данное свойство можно распространить на любое конечное число
слагаемых.
2)  kf ( x, y)dydx  k  f ( x, y)dydx (константу можно выносить за знак интеграла).
D
3)
D
Если область
D
можно разбить на две части так, что
D  D1  D2 , то
 f ( x, y)dydx   f ( x, y)dydx   f ( x, y)dydx .
D
D1
D2
Следствие. Область D можно разбить на любое конечное число областей,
удовлетворяющих условиям теоремы.
4) Если f ( x, y )  0 в области D , то  f ( x, y)dydx  0 .
D
100
Следствие.
 f ( x, y)dydx   f
1
D
f1 ( x, y)  f 2 ( x, y)
Если
2
во
всех
точках
области
D,
то
( x, y)dydx .
D
5) Теорема о среднем. Двойной интеграл от функции f ( x, y ) равен произведению
значения этой функции в некоторой точке области интегрирования на площадь области
интегрирования, т.е.
 f ( x, y)dydx  f ( x , y )  S .
0
0
D
6)
 f ( x, y)dydx  
D
f ( x, y ) dydx .
D
Вычисление двойного интеграла
Вычисление двойных интегралов по определению является достаточно сложной
задачей. Рассмотрим более простой и удобный способ вычисления.
Теорема 5. Если функция f ( x, y ) непрерывна в замкнутой области D ,
ограниченной линиями x  a, x  b, (a  b) , y   ( x), y   ( x), ( ( x)   ( x)) , где  (x ) и
 (x) – непрерывные функции, тогда справедливо равенство


( x)
b
 ( x)



f ( x, y )dxdy    f ( x, y )dy dx   dx  f ( x, y )dy .


a  ( x )
a
( x )

b
y   (x)
y
y   (x)
O
a
b
x
Рис 46.
В результате получаем так называемый повторный интеграл.
Вычисления двойного интеграла можно выполнить и другим способом.
Теорема 6.
Если функция f ( x, y ) непрерывна в замкнутой области D ,
y  c, y  d , (c  d ) ,
x  ( y ), y   ( y ), (( x)   ( y )) , то
ограниченной линиями
справедлива формула
d
( y)
c
( y)
 f ( x, y)dxdy   dy  f ( x, y)dx .

101
y
d
x  ( y)
x  ( y)
с
O
x
Рис 47.
Замена переменных в двойном интеграле
Пусть даны две плоскости, на одной из которых построена прямоугольная система
координат Oxy , а на другой – прямоугольная система координат Ouv .
Рассмотрим на плоскости Oxy некоторую область D , а на плоскости Ouv –
область F . Каждая из указанных областей может быть и неограниченной, в частности
представлять всю плоскость. Пусть в данных областях заданы некоторые функции
x  f (u , v), y  g (u , v) , которые устанавливают
взаимно однозначное соответствие
между точками (u, v) области F и точками ( x, y ) области D .
Если в качестве области рассмотреть плоскость в целом, то указанные формулы
можно рассматривать как формулы преобразования одной координатной плоскости в
другую. Если эти функции непрерывны, то любая непрерывная линия, лежащая в
плоскости, будет также переходить в непрерывную линию. С другой стороны пару чисел
(u, v) можно рассматривать как координаты точки в системе координат Ouv , которые
называют криволинейными координатами. В результате такого преобразования
прямоугольная координатная сетка меняется на криволинейную сетку.
Рассмотрим двойной интеграл вида  F ( x, y)dydx , где переменная x изменяется в
D
пределах от a до b , а переменная у – от  (x ) до  (x) .
Переходя к новым координатам x  f (u, v), y  g (u, v) , получаем выражение для
двойного интеграла в системе координат Ouv
2
2 (u )
1
1 ( u )
 F ( x, y)dydx   du

 F ( f (u, v),  (u, v))  I  dv ,
f f
где I  u v . Такой переход называют заменой переменной в двойном интеграле.
 
u v
Определитель I называют определителем Якоби или Якобианом.
Двойной интеграл в полярных координатах
Воспользуемся формулой замены переменных для случая, когда рассматриваются
 x   cos 
полярные координаты 
. В этом случае Якобиан имеет вид I   .
 y   sin 
Тогда
 F ( x, y)dxdy   F ( cos ,  sin )dd   f (, )dd .



102
При вычислении двойных интегралов переход от прямоугольных координат к
полярным особенно полезен в том случае, когда область интегрирования есть круг (часть
круга) или когда подынтегральная функция содержит в себе двучлен вида x 2  y 2 .
Приложения двойных интегралов
Объем тела. Из задачи, приводящей к понятию двойного интеграла, становится
очевидно, что объем описанного цилиндрического тела вычисляется по формуле
V   f ( x, y)dxdy .
D
Площадь плоской фигуры. Площадь области D на плоскости Oxy можно
вычислить по следующей формуле S   dxdy . В полярных координатах данная формула
D
выглядит следующим образом S   dd .
D
Площадь поверхности. Пусть некоторая поверхность задана уравнением
z  f ( x, y ) . Допустим, что данная поверхность проецируется в область D на плоскости
Oxy , кроме того, будем считать, что в этой области данная функция однозначна,
непрерывна и имеет непрерывные частные производные первого порядка. Определим
понятие площади поверхности и формулу для ее вычисления. (Рис. 48)
z
·
y
O
·
x
D
Рис 48.
Разобьем область D на n частей сетью кусочно-гладких линий. Через каждую
часть проведем цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oz .
Они разбивают исходную поверхность также на n частей. Выберем в каждой части
произвольную точку  i , i  , вычислим в ней значение функции  i  f ( i , i ) . В точке
M i ( i , i ,  i ) проведем к данной поверхности касательную плоскость. Рассмотрим
цилиндрический столбик, основанием которого является некоторая i -ая часть разбиения
области D , образующие параллельны оси Oz , а сверху он ограничен частью касательной
плоскости, проведенной к данной поверхности в точке M i ( i , i ,  i ) . Тогда естественно
считать приближенным значением площади частичной поверхности площадь такой части
касательной. Обозначим площадь такой части касательной плоскости через Ti . В таком
случае можно ввести определение.
103
Определение 4. Площадью данной поверхности называют предел lim
n
n
T
 0 i 1
i
при
n   , не зависящий ни от способа разбиения области на части, ни от выбора точек
 i , i , причем выполняется условие, что диаметр наибольшей части стремится к нулю с
ростом n .
Можно показать, что площадь поверхности вычисляется по формуле
S   1  ( f x( x, y )) 2  ( f y ( x, y )) 2 dxdy .
D
Определение тройного интеграла
Пусть дана некоторая пространственная область V . Зададим на данной области
некоторую функцию u  f ( x, y, z ) .
Разобьем данную область на n частей сетью поверхностей. Объем каждой части
обозначим Vi . В каждой части выберем произвольно точку M i ( i , i ,  i ) , вычислим в
ней значение функции и составим сумму
n
 f ( ,  ,  )V
i 1
i
i
i
.
i
Определение 5. Тройным интегралом функции
интегральной суммы
n
 f ( ,  ,  )V
i
i 1
i
i
i
f ( x, y, z ) называют предел
при n   , независящий ни от способа разбиения
области на части, ни от выбора точек M i ( i , i ,  i ) , при чем наибольший из диаметров
n
частичных областей стремится к нулю с ростом n , т.е. I  lim  f ( i , i ,  i )Vi .
n
 0 i 1
Обозначается I   f ( x, y, z )dxdydz .
V
Можно показать, что основные теоремы и свойства, справедливые для двойного
интеграла, выполняются и для тройного интеграла.
104
Глава 2. Криволинейные интегралы
Криволинейный интеграл первого рода
Пусть дана некоторая кривая L , лежащая в плоскости Oxy . Определим вдоль
данной кривой некоторую функцию z  f ( x, y ) . Будем предполагать, что кривая является
спрямляемой.
Разобьем кривую произвольным образом на n частей. На каждой из получившихся
частичных дуг выберем произвольную точку  i , i  , в каждой из которых вычислим
значение функции. (Рис. 49)
y
M n1
Mn
M n2
M1
M2
M0
x
O
Рис 49.
Составим сумму
n
 f ( , )s ,
i 1
i
i
i
где si – длина частичной дуги. Такая сумма
называется интегральной суммой для функции z  f ( x, y ) . Обозначим наибольшую из
длин частичных дуг через  .
Определение 1. Криволинейным интегралом первого рода от функции z  f ( x, y )
по кривой L называют конечный предел интегральной суммы при n   (   0 ), не
зависящий ни от способа разбиения кривой на части, ни от выбора точек на кривой, т.е.
n
lim
n
 f ( , )s . Обозначают  f ( x, y)ds
 0 i 1
i
i
i
L
или
 f ( x, y)ds .
AB
Условия существования криволинейного интеграла первого рода выражаются
теоремой.
Теорема 1. Если функция f ( x, y ) непрерывна в каждой точке гладкой кривой L ,
то криволинейный интеграл первого рода существует.
Криволинейный интеграл первого рода имеет следующее геометрическое
истолкование:  f ( x, y )ds при условии f ( x, y )  0 численно равен площади участка
L
цилиндрической поверхности с образующей параллельной оси Oz , ограниченной снизу
контуром интегрирования, а сверху – кривой, изображающей подынтегральную функцию.
(Рис. 50)
105
z
z  f ( x, y )
O
y
x
L
Рис 50.
Свойства криволинейного интеграла первого рода
1.
 f ( x, y)ds   f ( x, y)ds (криволинейный интеграл не зависит от направления пути
AB
BA
интегрирования).
2. Константу можно выносить за знак интеграла, т.е.
 cf ( x, y)ds  c  f ( x, y)ds .
AB
AB
3. Интеграл суммы равен сумме интегралов, т.е.
 ( f ( x, y)  g ( x, y))ds   f ( x, y)ds   g ( x, y)ds .
AB
AB
AB
4. Если путь интегрирования L разбит на части такие, что L  L1  L2 и L1 , L2 имеют
единственную
общую
точку,
то
выполняется
равенство
 f ( x, y)ds   f ( x, y)ds   f ( x, y)ds .
L
5. Если
L1
на
L2
кривой
L
выполнено
f ( x, y )  g ( x, y ) ,
неравенство
то
 f ( x, y)ds   g ( x, y)ds .
L
6.
L
 ds  S , где S
– длина кривой L .
L
7. (Теорема о среднем). Если функция f ( x, y ) непрерывна на кривой AB , то на этой
кривой найдется такая точка xc , yc  , что
 f ( x, y)  f x , y   S .
c
c
AB
Вычисление криволинейного интеграла первого рода
Можно показать, что вычисление криволинейного интеграла можно свести к
вычислению определенного интеграла в зависимости от способа задания кривой L .
1. Явное представление кривой L : y  f (x) . Тогда криволинейный интеграл
b
вычисляется по формуле
 g ( x, y)ds   g ( x, y( x))
AB
a
1  ( f x) 2 dx .
106
 x  x(t )
2. Параметрическое представление кривой L : 
. Криволинейный интеграл
 y  y (t )

можно вычислить по формуле
2
2
 g ( x, y)ds   g ( x(t ), y(t )) ( xt)  ( yt) dt .

AB
3. Полярное представление кривой L :    ( ) . Тогда криволинейный интеграл

вычисляется по формуле
 g ( x, y)ds   g (  cos  ,  sin  )
 2  (  ) 2 d .
AB
Криволинейный интеграл второго рода
Рассмотрим некоторую кривую L . Определим на данной кривой некоторую
функцию двух переменных z  f ( x, y ) . Разобьем кривую на n произвольных частей. (Рис.
51)
y
Mn
yi1
M i 1
yi
yi
Mi
M0
O
xi
xi
xi 1
x
Рис 51.
На каждом произвольном участке выберем
Рассмотрим интегральную сумму вида
n
 f ( , )x
i 1
i
i
i
i ,i  .
произвольную точку
. Будем увеличивать число точек
разбиения кривой, причем так, чтобы наибольшая из длин звеньев ломанной 
стремилась к нулю с ростом n .
Определение 2. Предел интегральной суммы при n  
n
lim
n 
 f ( , )x ,
i 1
i
i
i
вычисленный при условии   0 , не зависящий ни от способа разбиения кривой на части,
ни от выбора точек i ,i  , называют криволинейным интегралом по координате x .
Обозначается
 f ( x, y)dx .
L
Аналогичным образом можно определить криволинейный интеграл по координате
y.
Определение 3. Предел интегральной суммы при n   lim
n 
n
 f ( , )y
i 1
i
i
i
,
вычисленный при условии   0 , не зависящий ни от способа разбиения кривой на части,
ни от выбора точек i ,i  , называют криволинейным интегралом по координате y .
Обозначается
 f ( x, y)dy .
L
Криволинейные интегралы по координатам можно обобщить. Пусть на некоторой
кривой L определены некоторые функции P( x, y ), Q( x, y ) . Будем понимать под
криволинейным интегралом второго рода интеграл вида
107
 P( x, y)dx  Q( x, y)dy   P( x, y)dx   Q( x, y)dy .
L
L
L
Криволинейный интеграл можно определить по кривой, образующей замкнутый
контур. В таком случае его обозначают  Pdx  Qdy .
L
Существование криволинейного интеграла второго рода определяется теоремой.
Теорема 2. Если кривая L гладкая, а функции P( x, y ), Q( x, y ) непрерывны на
кривой L , то криволинейный интеграл второго рода существует.
Свойства криволинейного интеграла второго рода
1. Криволинейный интеграл второго рода меняет свой знак на противоположный при
изменении направления пути интегрирования, т.е.  Pdx  Qdy    Pdx  Qdy .
AB
BA
2. Если путь интегрирования L разбит на части такие, что L  L1  L2 и L1 , L2 имеют
единственную
общую
точку,
то
выполняется
равенство
 Pdx  Qdy   Pdx  Qdy   Pdx  Qdy .
L
L1
L2
Введем понятие направления обхода контура. Если кривая является не замкнутой,
то направление движения по контуру определяется указанием начальной и конечной
точки. В случае замкнутого контура данный способ не применим. В таком случае вводят
понятие положительного и отрицательного направления обхода контура.
Если представить движение по замкнутому контуру так, чтобы область,
ограниченная данным контуром, оказалась слева, то такое направление движения
принимается за положительное направление обхода контура. (Рис. 52 а) Соответственно
противоположное направление будет считаться отрицательным. (Рис. 52 б)
y
y
x
O
а
x
O
б
Рис 52.
По умолчанию будем считать, что если направление обхода не указано, то обход
совершается в положительном направлении.
3. Если контур L замкнутый, то величина криволинейного интеграла по этому
контуру не зависит от выбора начальной точки интегрирования, а только от
направления обхода кривой.
Вычисление криволинейных интегралов второго рода
108
1. Явное представление кривой
L:
y  f (x) . Тогда криволинейный интеграл
b
вычисляется по формуле
 P( x, y)dx  Q( x, y)dy   ( P( x, f ( x))  Q( x, f ( x)) f ( x))dx .
AB
a
 x  x(t )
2. Параметрическое представление кривой L : 
. Криволинейный интеграл
 y  y (t )
можно вычислить по формуле

 P( x, y)dx  Q( x, y)dy   ( P( x(t ), y(t )) x(t )  Q( x(t ), y(t )) y(t ))dt .
AB

Формула Остроградского-Грина
Установим связь между криволинейным интегралом второго рода и двойным
интегралом по некоторой области.
Будем называть область D правильной, если прямые, параллельные осям
координат, пересекают данную область не более чем в двух точках.
Теорема 3. Если функции P( x, y ), Q( x, y ) непрерывны вместе со своими частными
P Q
производными
в области D , то имеет место формула
,
y x
 Q P 
D  x  y dxdy  L Pdx  Qdy ,
где L – граница области D и интегрирование вдоль кривой L производится в
положительном направлении.
Следствие. Формула Остроградского-Грина остается справедливой и для всякой
замкнутой области D , которую можно разбить на конечное число простых замкнутых
областей проведением дополнительных линий.
Независимость криволинейного интеграла второго рода
Пусть даны две точки A, B лежащие в односвязной области D . Рассмотрим
произвольную кривую, соединяющую эти точки и целиком лежащую в области D . По
каждой из этих кривых вычислим криволинейный интеграл второго рода, который, в
общем случае, принимает различные значения.
Рассмотрим случай, когда значения интеграла по любым кривым, соединяющим
точки A, B , совпадают. В таком случае говорят, что интеграл не зависит от путин
интегрирования, а только от начальной и конечной точек интегрирования.
Определим условия, при которых интеграл не зависит от пути интегрирования.
Пусть дана односвязная область D , в которой определены функции P( x, y ), Q( x, y ) ,
P Q
,
непрерывные в этой области вместе со своими производными
.
y x
Теорема 4. Для того чтобы криволинейный интеграл
 P( x, y)dx  Q( x, y)dy
не
L
зависел от пути интегрирования в области D , необходимо и достаточно, чтобы в каждой
P Q
точке этой области выполнялось условие
.

y x
Замечание. Условие односвязности области D является существенным. В случае
неодносвязной области теорема в части достаточности неверна.
109
Теорема 5. Для того чтобы криволинейный интеграл
 P( x, y)dx  Q( x, y)dy
не
L
зависел от пути интегрирования в области D , необходимо и достаточно, чтобы этот
интеграл равнялся нулю по любому замкнутому контуру, находящемуся в данной области.
Замечание. Условие односвязности области D можно опустить.
Теорема 6. Для того чтобы в области D криволинейный интеграл не зависел от
пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы подынтегральное выражение
Pdx  Qdy было в этой области полным дифференциалом некоторой функции двух
переменных.
Замечание 1. Условие односвязности области D можно опустить.
Замечание 2. Из указанных выше теорем следует, что для того чтобы выражение
Pdx  Qdy было в области D полным дифференциалом некоторой функции, необходимо
P Q
и достаточно, чтобы в каждой точки этой области выполнялось условие
.

y x