Лекция 11 План 1. Работа по перемещению заряда в электростатическом поле

Лекция 11
Работа в электростатическом поле
Потенциал
Связь между напряженностью и потенциалом
План
1. Работа по перемещению заряда в электростатическом поле
2. Потенциальный характер электростатического поля. Теорема о
циркуляции
3. Потенциал
4. Связь между напряженностью и потенциалом
5. Электрический диполь. Энергия диполя
1. Работа по перемещению заряда в электростатическом поле
Найдём работу электростатических сил по перемещению точечного заряда q
в электростатическом поле точечного заряда Q.
Рис.11.1

При перемещении на малый вектор dl работа равна:

dA  F  dl  F  cos   dl  F  dr ,

так как проекция перемещения dl равна dr (рис.11.1): cos  dl  dr .
По определению напряжённости поля
F  qE ,
тогда
dA  F  dr  qE  dr .
Напряжённость поля точечного заряда Q:
1
(11.1)
(11.2)
Q
E
.
4 0  r
Вычислим работу при перемещении заряда q от точки 1 до точки 2:
r2
r2
2
r
r
qQ 2 1 
qQ  1  2
A12   dA   qE  dr   q
 dr 

dr

 
 2 
2
4

4

0 r1  r 
0  r  r1
1
r1
r1 4 0  r
qQ  1 1 
  .
A12  
(11.3)
4 0  r2 r1 
По закону сохранения энергии работа A12 совершается за счёт уменьшения
потенциальной энергии W взаимодействия зарядов:
A12  W  W2  W1  ,
(11.4)
поэтому можно из (11.3) получить выражение для потенциальной энергии
взаимодействия точечных зарядов в вакууме:
qQ  1 1 
  
A12  
qQ 1

W
  const
4 0  r2 r1 
4

0 r

A12  W2  W1 

Константу удобно считать равной нулю, так как на очень больших
расстояниях заряды не взаимодействуют: при r   должно быть W  0 . Итак:
qQ
.
(11.5)
W
4 0  r
Замечание к (11.5): если заряды имеют одинаковый знак, энергия их
взаимодействия (отталкивания) положительна, так как произведение зарядов
положительно; при разноимённых зарядах энергия притяжения получается
отрицательной.
2
Q
2. Потенциальный характер электростатического поля. Теорема о
циркуляции
Из (11.3) видно, что работа A12 не зависит от траектории, а только от
начального и конечного положения заряда q. Такие поля называются
потенциальными. Электростатическое поле потенциально. Потенциальны поля
только неподвижных зарядов.
Если точки 1 и 2 совпадают, то есть траектория замкнута, r1  r2 , и (11.3)
даёт
qQ  1 1 
    0,
A
4 0  r2 r1 
A   dA  0 .
L


Здесь интеграл берётся по замкнутому контуру L. Поскольку F  qE и
 
dA  F  dl , то
2
 
 
A   dA   qEdl  q  Edl  0 .
L
Отсюда
L
L
 
E
 dl  0
L
(11.6)
Интеграл в левой части (11.6) называется циркуляцией вектора
напряжённости. Контур L был произвольным, поэтому доказана
теорема о циркуляции: циркуляция вектора напряжённости
электростатического поля по произвольному замкнутому контуру равна
нулю.
Для того, чтобы векторное поле было потенциально, необходимо и
достаточно, чтобы циркуляция вектора напряжённости поля по произвольному
замкнутому контуру была равна нулю, то есть:
 
E

ïîëå ïîòåíöèàëü íî .
 dl  0
L
Напомним, что потенциальны только поля НЕПОДВИЖНЫХ зарядов.
3. Потенциал
Введём определение потенциала:
Потенциал данной точки поля – это энергия единичного
положительного точечного пробного заряда, помещённого в данную точку:
W
(11.7)
 .
q
Потенциал – скалярная энергетическая характеристика поля. Так же как и
потенциальная энергия, потенциал определяется с точностью до постоянного
слагаемого. Размерность потенциала – вольт:
   Äæ  Â .
Êë
Если точечный заряд q поместить в точку поля, имеющую потенциал  , то
энергия заряда будет равна
W  q  .
(11.8)
Кроме (11.7), есть и другое определение потенциала (11.9): потенциал
данной точки поля численно равен работе по перемещению единичного
точечного пробного положительного заряда из данной точки поля на
бесконечность.
A
(11.9)
 .
q
W  0
Эти
определения
эквивалентны,
так
как
и
A  W  W  W   W .
3
Из (11.7) и (11.5) получим выражение для потенциала поля, созданного
точечным зарядом Q на расстоянии r:
W



q
Q


 òî÷å÷í.çàð . 
.
(11.10)

qQ 
4 0  r
W
4 0  r 
Для потенциала справедлив принцип суперпозиции (11.11): потенциал,
созданный в данной точке системой зарядов qi, равен алгебраической сумме
потенциалов, созданных в данной точке каждым зарядом системы в отдельности.
   i .
(11.11)
i
Например, для системы точечных зарядов на рис.11.2:
   i  
qi
.
4


r
0
i
i
i
В
случае
непрерывно
распределённых зарядов
   d .
(11.12)
V
Здесь интеграл берётся по всей
области, где локализованы заряды, а
потенциал d , созданный почти
Рис.11.2
точечным
зарядом
dq    dV ,
локализованным в элементарном малом объёме dV , равен
dq
.
(11.13)
d 
4 0  r
Энергия системы точечных зарядов может быть рассчитана по формуле
1
W   qi  i ,
(11.14)
2 i
где  i – суммарный потенциал, созданный всеми зарядами системы, кроме заряда
qi , в точке, где находится заряд qi . Например, для системы, состоящей из двух
зарядов q1 и q 2 , находящихся на расстоянии r друг от друга:
1
1
q2
W   qi  i  q1  1  q2   2  , где 1 
– потенциал, созданный
2 i
2
4 0  r
q1
ВТОРЫМ зарядом там, где находится первый, а  2 
– потенциал,
4 0  r
созданный ПЕРВЫМ зарядом там, где находится второй; тогда
1
q2
q1  q1  q2

W   q1 
 q2 
.
2
4 0  r
4 0  r  4 0  r
4
4. Связь между напряженностью и потенциалом


Работа по перемещению заряда q на вектор dr в поле напряжённостью E

равна dA  F  dr .
 
 
dA  F  dr 

(11.15)

dA  qE  dr .




F  qE

Работа совершается за счёт уменьшения потенциальной энергии:
dA  dW 

W  q 
Тогда получим:
dA  qd .

(11.16)
 
qE  dr  qd
 
(11.17)
E  dr  d .
Отсюда получим, что напряжённость поля – это градиент потенциала:

E   grad
(11.18)
Напомним, что градиент – это вектор, проекции которого на координатные
оси равны частным производным скалярного поля (в данном случае – потенциала
 ) по соответствующей координате:


 E x   x



(11.19)
E y  

y



E z  
z

То есть:
     
grad 
i
j
k.
x
y
z
Вектор градиента направлен в сторону наибольшего возрастания величины.
Поскольку в (11.18) стоит знак «–», то напряжённость направлена в сторону
наибыстрейшего убывания потенциала. Это понятно, так
 как сила, действующая
на положительный заряд, направлена по полю E ; положительный заряд
переносится полем туда, где потенциал меньше.
Формула (11.18) даёт связь напряжённости и потенциала в
дифференциальном виде. Получим эту связь в интегральном. Для этого найдём
работу по перемещению заряда из точкт 1 в точку 2. С одной стороны, из (11.4):
A12  W  W2  W1 
и определения потенциала W  q :
W1  q1 , W2  q 2
получим выражение для работы сил поля, полезное при решении задач:
5
A12  W  W2  W1   q   2  q  1   q  
A12  q   .
(11.20)


С другой стороны, работа силы F  qE при перемещении заряда q равна
2
2 
2 
A12   dA   F  dl  q  E  dl ,
(11.21)
1
1
1
где интегрирование ведётся по любой линии, соединяющей точки 1 и 2. Тогда,
приравняв правые части (11.20) и (11.21), получим:

  2  1    E  dl
2
1
(11.22)
Можно доказать (11.22), интегрируя (11.17) по произвольному контуру (для

удобства заменили dr на элемент длины контура dl ):
 
E  dl  d
2 
2
E

d
l



 d
1
1

 E  dl   2  1 
2

2

 E  dl   .
1
1

Если поле однородно ( E  const ) и направлено, например, вдоль оси OX, то
из (11.21):
2 
   2  1    E  dl   E  x
1
или
   2 
.
E 1

x
x
(11.23)
Эквипотенциальной поверхностью называется совокупность точек
пространства, имеющих одинаковый потенциал:   const .
Линии напряжённости всегда перпендикулярны эквипотенциальным
поверхностям. При переносе заряда по данной эквипотенциальной поверхности
работа силами поля совершаться не должна,
так

 как разность потенциалов в
(11.20) равна нулю. Следовательно, сила F  qE , а значит, и напряжённость E
перпендикулярны траектории.
Эквипотенциальные поверхности поля точечного заряда – концентрические
сферы (рис.11.3).
На рис.11.4 синим цветом изображены эквипотенциальные поверхности для
различных систем зарядов:
a – поле точечного положительного заряда;
b – поле двух разноимённых зарядов;
6
c – поле двух зарядов одного знака.
Рис.11.3
Рис.11.4
На рис.11.5 также изображено распределение потенциалов поля двух
разноимённых зарядов. На рис.11.6 изображено поле заряженного плоского
конденсатора: пунктир – силовые линии поля, а эквипотенциальные поверхности
– сплошные линии. Внутри конденсатора поле почти однородно;
эквипотенциальные поверхности – равноотстоящие друг от друга плоскости,
перпендикулярные силовым линиям.
7
Рис.11.6
Рис.11.5
5. Электрический диполь. Энергия диполя
Определения: электрическим диполем называется система двух
одинаковых по величине противоположных по знаку точечных зарядов:
q и –q (рис.11.7).

Плечо диполя l – вектор, начинающийся на отрицательном заряде и
оканчивающийся на положительном.
Дипольный момент электрического диполя – вектор, равный
произведению модуля заряда диполя на плечо
диполя


pe  q  l .
(11.24)
Рис.11.7
Рис.11.8
8
Поместим диполь в однородное электрическое поле;  – угол между
вектором напряжённости и дипольным моментом (рис.11.8). На заряды q и –q
будут действовать силы, одинаковые по величине
F1  F2  F  qE
и противоположные по направлению – это пара сил. Диполь в электрическом
поле ориентируется по полю. При   0 момент сил тоже M  0 .
Вращающий момент пары сил равен произведению силы на плечо пары, то
есть расстояние между линиями сил d  l  sin  :
M  F  d  F  l  sin  ,
M  qE  l  sin   ql E  sin   pe E sin  .
Пара сил поворачивает диполь по часовой стрелке на рис.11.8.
 Направление
вектора момента пары можно определить по правилу буравчика: M направлен от
нас перпендикулярно плоскости рисунка
. Окончательно
в векторном виде:



(11.25)
M  pe  E .
Работа внешних сил по повороту диполя на угол d  0 против часовой
стрелки (рис.11.8) равна
dA  M  d
и идёт на увеличение энергии диполя в электрическом поле:
dA  dW .
Тогда
dW  M  d
dW
 M  pe E sin  .
d
Отсюда
W   pe E cos  ,
 
(11.26)
W   pe E ,


так как cos    sin  , а E и pe не зависят от угла  (диполь считаем жёстким,
l  const ).
Поместим диполь в неоднородное электрическое поле (рис.11.9). Пусть

угол
0  


. Тогда сила, действующая на положительный заряд и
2
направленная по полю, больше, чем действующая на отрицательный и
направленная против поля, так как справа на рис.11.9 поле сильнее:
F1  qE1  F2  qE2 .
В результате возникла результирующая сила, направленная по полю. Диполь
втягивается в область сильного поля, если 0   
И наоборот (рис.11.10): если

2

2
.
    , то диполь выталкивается из области
сильного поля.
Реально свободный диполь ориентируется по полю, а затем втягивается в
сильное поле.
9
Можно вычислить результирующую силу, действующую на диполь в
электростатическом поле. В теме «Механика»
было показано, что

F   gradWïîò. ;
тогда
W

E
.
Fx  
   pe E cos    pe cos
x
x
x
Рис.11.9
Рис.11.10
10
Так что если 0   

2
, то cos  0 . Если поле усиливается вдоль оси OX
E
 0 , то проекция результирующей силы на ось OX положительна:
x
E
Fx   pe cos
 0.
x
Если

2
 

cos  0 , и
Fx   pe cos
11
E
 0.
x