Как построить треугольник?

Научная работа по геометрии:
«Треугольники в нашем мире»
Выполнил ученик МБОУСОШ №1, 7б класса, Тараканчиков Егор
Преподаватель: учитель математики Большакова Марина Васильевна
Тульская область, город Узловая.
2013 г.
0
Содержание.
Введение...................................................................................................................2
Что такое треугольник и его история................................................................3
Теоремы и свойства, связанные с треугольником.............................................5
Как построить треугольник?.............................................................................11
Решение задач ГИА..............................................................................................13
Значение треугольников.......................................................................................15
Заключение............................................................................................................16
1
Введение
Эта тема меня заинтересовала тем, что треугольники очень редко
встречаются в жизни человека, а если и встречаются, то их почти никто не
замечает и мне стало интересно узнать обо всех значениях треугольников в
нашей повседневной жизни. И я попытаюсь ответить на вопросы:
 Какова история треугольника?
 Что собой представляет треугольник?
 Какие свойства и теоремы имеет треугольник?
 Как построить треугольник?
 Где используется треугольник, и какие имеет значения?
2
Что такое треугольник и его история.
Треугольник — это геометрическая фигура, образованная
тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на
одной прямой точки. Три точки, образующие треугольник,
называются вершинами треугольника, а отрезки —
сторонами треугольника. Стороны треугольника образуют в вершинах
треугольника три угла. Другими словами, треугольник —
это многоугольник, у которого имеется ровно три угла.
Треугольники бывают разных видов (рис. 1): остроугольный, тупоугольный,
прямоугольный, разносторонний, равнобедренный и равносторонний.
А)
Б)
Г)
Д)
В)
Е)
Рисунок 1
Давайте дадим определение этим треугольникам. Треугольник
называется остроугольным, если все три его угла — острые, то есть меньше
90° (А). Треугольник называется тупоугольным, если один из его углов —
тупой, то есть больше 90°(Б). Треугольник
называется прямоугольным, если у него есть прямой угол, то есть угол в
90°(В). У разностороннего треугольника (Г) все стороны и все углы
разные. Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны
равны (Д). Треугольник, у которого все стороны равны,
называется равносторонним (Е) или правильным.
Мы дали объяснение треугольнику и даже узнали, что у него есть шесть
основных видов. Давайте изучим и его историю.
3
Свойства треугольника известны еще с античности.
Теорема Чевы(рис.2)(теорема геометрии треугольника)
была доказана в XI веке арабским учёным
Рисунок 2
Юсуфом аль-МутаманомХудом, однако, его доказательство
было забыто. Она была доказана вновь итальянским
математиком Джованни Чевой в 1678 году.
Дальнейшее изучение треугольника началось в XVII веке: была
доказана теорема Дезарга (1636), открыты некоторые свойства точки
Торричелли (1659). В XVIII веке была обнаруженапрямая
Эйлера и окружность шести точек (1765). В 1828 году была
доказана теорема Фейербаха. В начале XIX века была открыта точка
Жергонна.
Многие факты, связанные с треугольником, были открыты в конце XIX
века. К этому времени относится творчество Эмиля Лемуана, Анри
Брокара, Жозефа Нейберга, Пьера Сонда́.
Древнегреческий ученый Герон (I век) впервые применил знак вместо слова
треугольник.
Прямоугольный треугольник занимал почетное место в Вавилонской
геометрии. Стороны прямоугольного треугольника: гипотенуза и катеты.
Термин «гипотенуза» происходит от греческого слова «ипонейноуза»,
обозначающее «тянущаяся над чем-либо», «стягивающая». Слово берет
начало от образа древнегреческих арф, на которых струны натягиваются на
концах двух взаимно-перпендикулярных подставок. Термин «катет»
происходит от греческого слова «катетос», которое означает начало «отвес»,
«перпендикуляр».
Евклид говорил: «Катеты – это стороны, заключающие прямой угол».
В Древней Греции уже был известен способ построения прямоугольного
треугольника на местности. Для этого использовали веревку, на которой
были завязаны 13 узелков, на одинаковом расстоянии друг от друга.
4
Теоремы и свойства, связанные с треугольником.
1) Определение тригонометрических функций острого угла в прямоугольном
треугольнике и теорема Пифагора
Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов,
то есть
2) Формулы площади треугольника
,
где
(Формула Герона)
, где r- вписанной окружности
, где R — радиус описанной окружности
3) Подобие треугольников
Определение: два треугольника называются
подобными, если у них соответствующие углы равны и соответствующие
стороны пропорциональны, то есть
и
Обозначение:
5
4) Признаки подобия двух треугольников
1-й признак: Если два угла одного треугольника
соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие
треугольники подобны.
Коротко: если
, то
2-й признак:если две стороны одного
треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а
углы, образованные этими сторонами равны, то треугольники подобны
Коротко: если
и
, то
3-й признак:если три стороны одного
треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то
треугольники подобны, то есть
Коротко: если
, то
6
5) Свойства подобных треугольников:
если
, то
, где
и — любые соответствующие медианы (проведенные к
соответствующим сторонам)
и — любые соответствующие биссектрисы (проведенные к
соответствующим сторонам)
и — любые соответствующие высоты (проведенные к соответствующим
сторонам)
6) Подобие прямоугольных треугольников. Высота, проведенная из вершины
прямого угла
Теорема: высота в прямоугольном треугольнике, поведенная из вершины
прямого угла образует два треугольника, подобных исходному. Для катетов
и высоты исходного треугольника верны следующие формулы:
7) Свойство медиан в треугольнике.
Теорема 1: Все медианы треугольника пересекаются в одной точке (центр
тяжести треугольника) и деляться этой точкой в отношении 2:1, считая
отвершин. То есть
Теорема 2: Каждая медиана, проведенная в треугольнике
делит этот треугольник на две равновеликие части (на два треугольника с
равными площадями),
То есть
7
Теорема 3: все три медианы делят треугольник
на 6 равновеликих треугольников, то есть
8) Свойство биссектрис в треугольнике
Теорема 1: Каждая биссектриса угла в
треугольнике делит его противолежащую
сторону на отрезки,
пропорциональные к двум другим
сторонам треугольника.
То есть
Теорема 2: Все биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке,
которая является центром вписанной с треугольник окружности. В любой
треугольник можно вписать окружность и только одну.
9) Свойство точки пересечения серединных перпендикуляров к сторонам
треугольника:
Теорема: все серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
пересекаются в одной точке и эта точка является центром описанной около
треугольника окружности. Вокруг любого четырехугольника можно описать
окружность и только одну.
10) Теорема о разделительном отрезке в треугольнике
Теорема: Отрезок, соединяющий вершину треугольника с
противоположнойстороной, делит ее на отрезки, пропорциональные
площадям образованных треугольников.
То есть
8
11) Средняя линия треугольника
Теорема: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его
сторон параллельна третьей стороне и равна ее половине.
То есть
и
13) Теорема Менелая
Теорема: Произведение отношений отрезков, на которые произвольная
прямая делит стороны треугольника (или их продолжения) равно единице
То есть
Высказывание учителяпо математике: несправедливо выброшенная теорема
из школьного курса геометрии. Учитель рекомендует включить ее в
подготовку, по крайней мере, к вузовским олимпиадам и вступительным
экзаменам по математике в МГУ. В программу ЕГЭ теорема Менелая не
входит, но несколько типов задач без нее решаются очень сложно.
9
14) Теорема Чевы
Теорема: если через вершины треугольника и произвольную внутреннюю
точку провести отрезки к противоположным сторонам (чевианы), то их
точки пересечения разделят стороны на отрезки, произведение отношений
которых равно единице.
То есть
15) Признаки равенства треугольников
Равными называют треугольники, у которых соответствующие стороны
равны.
Теорема (первый признак равенства треугольников).
Если две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника
соответственно равны двум сторонам и углу, заключенному между ними,
другого треугольника, то такие треугольники равны.
Теорема (второй признак равенства треугольников).
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника
соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого
треугольника, то такие треугольники равны.
Теорема (третий признак равенства треугольников).
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем
сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
10
Как построить треугольник?
Геометрическая фигура, которая образуется при соединении отрезками
трех точек, не принадлежащих одной прямой. Треугольник однозначно
определяется наборами трех данных: тремя сторонами, двумя сторонами и
углом между ними, или стороной и двумя прилежащими углами. По этим
тройкам строится единственный треугольник. Итак, как построить
треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам?
1. Первым шагом, на прямой откладывается отрезок равный длине
заданной стороны. Концы отрезка отмечаем точками А и В.
2. Второй шаг, чтобы построить треугольник – от точек А и В нужно
отложить заданные углы. Если заданы величины углов, то для
построения воспользуйтесь транспортиром.
3. Нижнюю планку транспортира выравниваем по отрезку прямой. Начало
отсчета устанавливаем в точке А для первого угла и в точке В для
второго. Затем откладываем величины углов. Рядом с
соответствующим делением шкалы ставим точки и обозначаем их М и
N. Соединяем прямыми точки А и М, В и N. Пересечение построенных
прямых будет третьей последней вершиной треугольника С. Таким
образом по данной стороне и двум заданным прилежащим углам
построен треугольник.
4. Часто для построения треугольника по данной стороне и двум заданным
прилежащим углам, углы задаются графически. Задача усложняется,
так как нужно построить угол, равный по величине заданному
графическому углу. Можно измерить величину заданного графически
угла с помощью транспортира и получить величины прилежащих углов.
Затем воспользоваться методом, описанным в предыдущем пункте и
построить треугольник.
5. Для другого способа построения угла соответствующего по величине
заданному, понадобится циркуль. Циркулем с произвольным раствором
11
проводится окружность с центром в начальной точке угла. Пересечения
окружности и сторон угла обозначим М и N.
6. Теперь вернемся к отрезку АВ, равному стороне нужного треугольника.
Не меняя раствор, от точки А проведите окружность и отметьте
точку пересечения ее с отрезком АВ. Получаем точку М1. Вернитесь к
заданному углу. Поставьте ножку циркуля в точку М и сделайте
раствор равным МN. Теперь, не меняя раствор циркуля, от точки М1
проведите окружность, до пересечения ее с первой окружностью.
Получаем точку N1. Соедините прямой точки А и N1. Угол М1АN1 и
будет равен заданному. Так же строим второй угол в точке В.
Пересечение сторон построенных углов и будет недостающей вершиной С.
Таким способом строиться треугольник с помощью циркуля по стороне
и двум данным прилежащим углам.
Еще можно построить треугольник с помощью циркуля.
Геометрическое построение фигур относится к основным знаниям
школьного курса геометрии. Помимо практического применения, здесь
имеет значение развитие пространственной логики. Именно поэтому
построение треугольника, как простой многоугольной фигуры,
с помощью циркуля рассматривается подробно. Циркуль – инструмент не
только для построения окружности. Он позволяет также отложить равные
отрезки заданной длины. Это и поможет нам с его помощью построить
треугольник.
1. Возьмите любой листок бумаги. В центре листа поставьте точку.
Это будет первая вершина A создаваемого треугольника.
2. Раскройте циркуль на расстояние, точно соответствующее требуемой
стороне создаваемого треугольника. Жестко зафиксируйте
ножки циркуля в данном положении.
3. Поставьте иглу циркуля в отмеченную точку. Нарисуйте ножкой с
грифелем дугу окружности отмеренного радиуса.
4. В любом месте по окружности нарисованной дуги поставьте точку.
Это будет вторая вершина B создаваемого треугольника.
5. Аналогичным способом поставьте ножку на вторую вершину.
Проведите еще одну окружность так, чтобы она пресекалась с первой.
6. В точке пересечения обоих проведенных дуг и находится третья
вершина C создаваемого треугольника. Отметьте ее на рисунке.
12
7. Получив все три вершины, соедините их прямыми линиями
с помощью любой ровной поверхности (лучше линейки). Треугольник
ABC построен.
Решение задач ГИА
На тему треугольники.
Пример 2. Точка O — центр окружности, ∠ACB = 24° (см. рисунок).
Найдите величину угла AOB (в градусах).
Решение. Угол ACB — вписанный (его вершина лежит на окружности, а
стороны пересекают эту окружность), он опирается на дугу AB.
Следовательно, по теореме о вписанном угле градусная мера дуги AB вдвое
больше самого угла ACB, то есть равна 24° · 2 = 48°.
Угол AOB — центральный (его вершина лежит в центре окружности), он
опирается на ту же дугу AB. По свойству центрального угла его градусная
13
мера равна градусной мере дуги, на которую он опирается, то есть ∠ACB =
48°.
Ответ: 48.
Пример 2. Стороны AC, AB и BC треугольника ABC равны
и
соответственно. Точка K расположена вне треугольника ABC, причем
отрезок KC пересекает сторону AB в точке, отличной от B. Известно, что
треугольник с вершинами K, A и C подобен исходному. Найдите косинус
угла AKC, если ∠KAC > 90°.
Решение. Угол B в треугольнике ABC тупой. В этом легко убедиться на
основании теоремы косинусов (см. видео урок). Известно, что в подобных
треугольниках соответствующие углы равны. То есть для каждого угла
одного из подобных треугольников обязательно найдется равный ему угол из
второго треугольника. По условию треугольники CKA и ABC подобны.
Следовательно, для тупого угла KAC в треугольнике ABC найдется равный
ему угол. Это угол B. Больше тупых углов в треугольнике ABC нет,
поскольку в треугольнике не может быть больше одного тупого угла. В
противном случае сумма всех его углов была бы больше 180º.
Ищем две оставшиеся пары равных углов. Предположим сперва, что угол
AKC равен углу BAC, но тогда угол KCA равен углу BCA, что невозможно,
так как второй угол больше первого. Следовательно, на самом деле угол
AKC равен углу ACB. Находим его косинус по теореме косинусов для
треугольника ABC (см. видео урок). Искомый косинус равен
Ответ:
14
Значение треугольников
В музыке
-Музыкальный инструмент – стальной прут, согнутый в виде треугольника,
по которому ударяют палочкой. Применяется в оркестрах и
инструментальных ансамблях.
В астрономии
-созвездие Северного полушария
В условных значках на одежде
Можно отбеливать
Нельзя отбеливать. При стирке не использовать средства, содержащие отбеливатели
(хлор)
Можно отбеливать с применением хлора (использовать только холодную воду, следить
за полным растворением порошка)
Можно отбеливать, но только без хлора
Отбеливать только без хлора
В религии
В христианстве треугольник – символ всевидящего ока Бога
В индуизме треугольник – считался первой космической фигурой, возникшей
из хаоса.
В письменности
Греческая буква «Д» («дельта») – это треугольник Δ.
15
Заключение.
В результате исследования можно сделать вывод, что
треугольник изучался еще в античности. Мы, наверное,
посмотрели не все теоремы и свойства треугольников. Я
узнал, что это единственная геометрическая фигура,
обладающая свойством жесткости. Треугольник играет
важную роль в жизни человека. Без него мы бы не могли
строить дома, так как жесткость треугольника широко
используется в строительстве. Не было бы большинства
созвездий и т.д. Можно очень долго перечислять те вещи,
которые не могут существовать без треугольника. Значит
треугольник – играет важную роль не только в геометрии и
алгебре, а еще в жизни человека эта фигура занимает
практически первое место.
16