Использование общей теории относительности для

Использование общей теории относительности для описания микромира
Е.Г. Якубовский
Северо-Западный Государственный Заочный Технический университет
Санкт-Петербург, Миллионная, д5,
E -mail Yakubovski@rambler.ru
Статья поступила:
, подписана в печать
Используя Лагранжиан модифицированной общей теории относительности, с
дополнительным членом, описывающим вероятностные свойства частиц, можно
получить уравнение общей теории относительности c вероятностным членом. При
этом остается справедливым уравнение Дирака во внешнем поле, записанное с
помощью метрического тензора общей теории относительности. При этом
модифицированный тензор общей теории относительности соответствует внутри
тела глюонным полям, а вне тела слабому, электромагнитному и гравитационному
взаимодействию. Вероятностный член в случае больших масс экспоненциально мал,
и получается стандартное описание уравнения общей теории относительности.
Ключевые слова: уравнение общей теории относительности, волновое уравнение,
метрический тензор, общая теория поля
УДК 539.1
PACS number: 04.20.-q, 41.20.-q, 95.35.+d
Введение
Существует стандартная модель, которая с помощью введения нескольких
констант, которые определяются из эксперимента, и новых полей описывает
взаимодействие
элементарных
частиц.
Кроме
того,
существует
теория,
описывающая макромир, мир больших масс, это общая теория относительности.
Причем
описание
с
помощью
общей
теории
относительности
является
высокоэнергетическим, и позволит описать потенциалы поля любой энергии. Задача
теоретической физики состыковать эти две теории, описывающие как макромир, так
и микромир. Это можно сделать, введя дополнительные коэффициенты в общую
теорию относительности. При массах частиц стремящихся к бесконечности эти
дополнительные члены должны исчезнуть.
В метрическом тензоре общей теории относительности введены отрицательные
символы. Это позволяет для диагональных элементов получать комплексно
сопряженное значение при перестановке индексов и получать комплексные значения
диагональных элементов. При этом 32 внутренним элементам метрического тензора
соответствует 32 комплексным, не сопряженным при изменении индекса глюонным
2
полям. Кроме того, имеется 12 компонент метрического тензора, соответствующим
полям
слабого
взаимодействия
и
4
компоненты
метрического
тензора,
соответствующих электромагнитному взаимодействию. Итого описывается 48 полей
стандартной модели с помощью комплексного метрического тензора. Получена
зависимость метрического тензора при малых энергиях от этих полей. Для
эквивалентности гравитационного и электромагнитного взаимодействия введены
мнимые заряды. При этом для одноименных зарядов получим одинаковый вид
потенциалов Лиенара-Вихерта для зарядов и гравитационных масс. Показано, что
гравитационное поле удовлетворяет не уравнению Лапласа, а волновому уравнению.
На основе этого получено обобщенное волновое уравнение для мнимых зарядов и
приведенных масс  ie  m  , где  гравитационная постоянная.
Получена система координат, в которой угловая зависимость сводится к
второй производной по каждому из трех углов, которые связаны одним
соотношением. Три угла определяют вращение в трех плоскостях, и для каждого
угла имеется своя проекция на ось вращения, т.е. собственное число. При этом на
сфере эти три угла связаны и определяют одну точку. Определяется собственное
значение
энергии
модифицированного
состояния
метода
и
собственные
Галеркина,
благодаря
функции
с
ортогональности
помощью
угловой
зависимости и ее производных. Этот метод является альтернативой методу
возмущений и диаграммам Фейнмана. Благодаря новой системе координат это
сделать довольно просто. Причем при применении этого метода нет ограничений на
значение возмущений.
1 Обобщение уравнения общей теории относительности
Запишем Лагранжиан L p , заменив оператор в контравариантном представлении с
помощью ковариантного представления
m2c 2 * i
 i  ] exp( m 2 / m Pl2 ) 
2
.
m2c 2 * i
*
*
*

i
i
2
2
 [(  i  eA i / ic)  g (   eA / ic)  2  i  ] exp( m / m Pl )

L p  [(  i*  eA* i* / ic)  (  i  eA  i / ic) 
Где i  i (
 
,
),  0,...,3, l  1,...,3 . Величина m Pl определяется по формуле
ct x l
mPl  c / 
масса Планка, где  постоянная Планка, c скорость света, 
гравитационная постоянная. При этом в силу действительности Лагранжиана
метрический тензор взят по модулю.
3
Уточним уравнение общей теории относительности Эйнштейна, чтобы оно
было пригодно для описания частиц с малой массой. Уравнение общей теории
относительности имеет вид (см.[1])
Rik 
8 k 1 k
(Ti   i T ) ,
2
c4
где R ik получен из тензора Риччи, обозначаемого Rik – свернутого тензора кривизны
пространства, Ti k тензор энергии-импульса единицы объема тела.
Гравитационную массу представим, как
 m и введем дополнительный множитель
[1  iq /( m  )][1  iq /( m  )] , учитывающий квантовые эффекты, причем этот
множитель зависит от расстояния до ядра, где величина q имеет размерность заряда
m Pl2
[ (r )   em ]
m2
.
e2
1


c 137
1  q 2 /( m 2 )  1  [c (r )  e 2 ] /( m 2 )  1 
 (r )  exp( 2  rb / r  r / rb ),  em
Величина rb радиус действия ядерного потенциала, e заряд электрона. Уравнения
общей теории относительности запишутся в виде
Rik 
8
q2
1
(
1

)(Ti k   ik T ) .
4
2
2
c
m
При величине массы, удовлетворяющей условию m   , получим стандартное
уравнение общей теории относительности. Причем гравитационный радиус имеет
размер, соответствующий размерам квантовой механики. Это необходимо при
использовании метрического тензора, чтобы он имел характерный размер,
соответствующий размерам длины волны элементарных частиц.
Рассмотрим вариацию трех членов
 (S m  S g  S p ) .
Где S m действие материи, S g действие для ковариантного поля, S p действие для
вероятностного члена. При варьировании контравариантного метрического тензора,
получим
Rik 
1
8
q2
g ik R  4 (1  2 )Tik  ( i l*  eAi* / ic)  g ik / | g ik | ( k l  eAk / ic) exp( m 2 / mPl2 )
2
c
m
.
Кроме того, имеем уравнение Дирака для частиц во внешнем поле, полученное при
варьировании волновой функции при калибровочной производной i   eA / c
4
[ g  (i   eA / c)(i  eA / c)  m 2 c 2 ] k  0 .
Но так как полученное уравнение является обобщением уравнения Дирака, нужно
добавить в это уравнение матрицы Дирака   . Т.е. уравнение приобретет вид
[| g  |     (i   eA / c)(i  eA / c)  m 2 c 2 ] k  0
Выбирая симметричную и антисимметричную часть метрического тензора и матриц
Дирака, получим обобщение уравнения Дирака для внешнего поля.
[h (i   eA / c)(i   eA / c)  m 2 c 2 
ie
F  ] k  0 .
2c
Где величина F удовлетворяет F    A   A тензор электромагнитного поля
с
ковариантной
h 
производной.
1
(| g  |      | g  |     ) ,
2
Симметричный
h ,
который
равен
тензор
 
равен
тензор
антисимметричный
1
2
   (| g  |      | g  |     ) , тензор g  метрический тензор общей теории
относительности. Формула получается обобщением формулы для уравнения с
метрическим тензором Галилея и матрицами Дирака. В случае если метрический
тензор вырождается в тензор Галилея, получаем известный вид уравнения во
внешнем поле.
Кроме того, имеется уравнение четырехмерной поперечности
 l l  0 .
Для получения одного из двух решений уравнения Дирака второго порядка, надо
использовать физические соображения о конечности решения, или его вида на
бесконечности. В случае использования метрического тензора общей теории
относительности невозможно записать уравнение Дирака первого порядка с
внешним полем.
Таким образом, получено две связанные системы уравнений. Уравнения общей
теории относительности с вероятностным членом и уравнение Дирака во внешнем
поле, записанное с помощью метрического тензора общей теории относительности.
При этом при массе частицы, много больше массы Планка, получаем стандартное
уравнение общей теории относительности.
Построим, метрический тензор общей теории относительности по функции
Лагранжа для малых скоростей в случае электромагнитного и гравитационного поля.
Функция Лагранжа для электромагнитного и гравитационного поля, равна
L  mc 2 1  V 2 / c 2  eAiV i / c  mU ,
5
где
четырехмерная
скорость
при
малой
скорости
движения
V i  (1,V  / c),   1,...,3; i  0,...,3 . Вводя вместо заряда e
тела
равна
комплексный заряд
ie  m  , получим
L  mc 2 1  V 2 / c 2  (ie  m  ) AiV i / c ,
где гравитационный потенциал U входит в потенциал A0 . При этом имеем
S  mc ds   Ldt ,
ds  [ 1  V 2 / c 2  (ie  m  ) AiV i /( mc 3 )]cdt . Введение мнимого
откуда получим
заряда позволяет единым образом описать отталкивание зарядов одного знака и
притяжение гравитационных масс. При таком определении статический закон
взаимодействия зарядов и масс будет одинаков. Кроме того, заряды и массы
подчиняются одинаковым волновым уравнениям. Значение элементарного заряда e
гораздо больше массы элементарных частиц m  , и поэтому массы не проявляют
излучающих свойств. Поэтому считается, что в волновом уравнении временной
член для уравнения относительно гравитационного поля равен нулю. При этом
большие массы имеют огромные размеры, и поэтому длина волны излучения
огромна, значит, излучения больших масс практически нет. Т.е. массы подчиняются
волновому уравнению, просто временной член у них мал.
При этом у метрического тензора один из двух индексов сделаем
отрицательный. Это позволит для диагональных элементов получать комплексные
значения,
которые
при
перестановке
индексов
соответствуют
комплексно
сопряженному значению. При перестановке индексов для не диагональных
элементов тоже получаем комплексно сопряженное значение. При изменении всех
знаков индексов тоже получаем комплексно сопряженное значение. При этом
отметим, что квадратичная форма, полученная из этих комплексных метрических
тензоров действительна
ds 2  g ik dx i dx k  ( g i  k  g  k i )dx i dx k  ( g i  k  g * i  k )dx i dx k ,
для
метрического
тензора,
соответствующему
электромагнитному
и
гравитационному полю специальной теории относительности, описывающей
инерционную систему отсчета при малых скоростях движения, получим
g  0, 0  0.5 
ie  m  A0
m
c2
g  , 0  g  0,  
ie  m  A
m
c2
g 0, 0  0.5 
 ie  m  A0*
m
c2
g 0,   g  , 0 
 ie  m  A*
m
c2
6
g    0.5,   1,2,3
0
отметим, что в данных формулах индексы
и  0 отличаются, как если бы
вместо нуля стояла другая целая цифра.
При этом для вспомогательного тензора энергии-импульса для материальных тел с
учетом отрицательных индексов имеем Pi k  c 2 u i u k / 2 ,  плотность массы тела,
откуда T00  c 2 / 2 , T0  c 2V  /( 4c) . Деление на 2 величины P0 основано на
равенстве Pi k  Ti k  Tki , i  k при малых скоростях движения. Тогда имеем из
уравнения общей теории относительности (1)
R
0
0
8
e2
 2 (1  2 )T00 / 2
c
m
R

0
8
e2
 2 (1  2 )T0
c
m
,
или опуская верхние индексы для не релятивистского случая, получим
 
R 0, 0  2 (e 2  m 2 ) (r  r0 ) / m
 
R , 0  2 (e 2  m 2 )V  (r  r0 ) /( mc)
и так как
1
1 2
выполняется Ri ,  k  [  2 2 ] i ,  k , где  i ,  k малая поправка к
2
c t
метрическому тензору Галилея, получим R0, 0  (  1 / c 2  2 / t 2 )(ie  m  ) /( 2m) .
Итак,
имеем
и
уравнение
для
тензора
R , 0  (A  1 / c 2  2 A / t 2 )(ie  m  ) /( 2m) , получим
 2 
 
 4 (ie  m  )V / c (r  r0 )
2
2
c t
,
 2 0
 
 0  2 2  4 (ie  m  ) (r  r0 )
c t
 
т.е. нерелятивистское уравнение для электромагнитного и гравитационного поля
следует из релятивистского уравнения при малых скоростях.
Введение понятия мнимого заряда и влияния электромагнитного поля на
гравитационные массы позволяет описать движение космических кораблей,
приближающихся к Земле не вдоль экватора. Было измерено см.[2] дополнительное
ускорение космических объектов, которое можно объяснить влиянием магнитного
поля на полюсах Земли на массивные тела на больших высотах.
При этом для величины силы, действующей на массу в магнитном поле, имеем
следующее значение в системе Си
7

 
F   m 0 [V , H ] ,
где V скорость движения тела. При этом ускорение при напряженности поля
H  40à/ì равно
a    0VH ,
и направлено перпендикулярно скорости и напряженности поля H . За характерное
время нахождения в поле тяготения Земли 2 Re / V , где Re радиус Земли, тело
приобретет боковую скорость
V    0 2Re H  10 5  4  10 7  2  6  10 6  40  6  10 3 m / sec  6mm / sec
что соответствует экспериментальным данным [2], добавка
скорости порядка
величины îò 1 äî 13mm / sec . Отметим, что эта добавка максимальна, когда огибается
полюс. При этом напряженность магнитного поля направлена вдоль радиуса и,
следовательно, ортогональна скорости движения. В случае круговой орбиты,
проходящей через полюс, влияния двух полюсов компенсируются. В случае
вращения тела вдоль экватора магнитное поле определяет силу, действующую по
направлению
радиуса
и
создающую
дополнительное
центростремительное
ускорение. Отметим, что разброс в экспериментальных данных приращения
скорости объясняется не стабильным магнитным и электрическим полем Земли на
больших высотах разные время суток и в разное время года.
Для описания остальных видов взаимодействия надо в множитель, на который
умножаем уравнение общей теории относительности, ввести дополнительно
константы электрослабого взаимодействия
1  q 2 /( m 2  )  [m 2  e 2  m Pl2   (r )  ( g 2  g  2 ) (r )] /( m 2 )
 (r )  exp( 2  rb / r  r / rb ),
.
 (r )  exp[ rl /( rl  rb )  (rl  rb ) / rl  rl /( r  rb )  (r  rb ) / rl ], r  rb
Величина rb , rl  (rl  rb ) радиус действия ядерного потенциала и электрослабого
взаимодействия. Величины g , g  это калибровочные константы связи, остальные
константы определены выше. Радиус rb совпадает с размером частицы и является
его
радиусом
rg  rb 
черной
дыры
и
для
водорода
определяется
по
формуле
2mPl2
2

~ 1.3  10 13 cm , где mq  550me , т.е. 550 масс электрона. Это
2
mq c
mq c
часть энергии кварков, приходящаяся на взаимодействие между ними. Добавка к
радиусу сильного взаимодействия за счет слабого взаимодействия равна
r  2 /( mv c)  2 /(3  1010  8  10 4  2)  4  10 16 cm .
8
где для энергии взаимодействия используется масса промежуточного бозона c
большой энергией mv c 2 . Расстояние, на которое распространяется влияние слабого
взаимодействия
2(rl  rb )  0.8  10 15 cm . Отметим, что слабое взаимодействие
происходит не внутри ядра, где на границе ядра действует сильное взаимодействие,
а вне ядра, на расстоянии от ядра (rl  rb ) .
При этом метрический тензор для четырех компонент калибровочных полей для
низкоэнергетического предела, выглядит так
ie  m  Z k
ie  m  cos  wVk3  sin  m Bk

0
.
5
h

1k
m
m
c2
c2
ie  m  Wk
ie  m  Vk1  iV k2
 0.5h2 k 

0
.
5
h

2k
m
m
c2
c2
g 1 k  0.5h1k 
g  2,  k
ie  m  Wk
ie  m  Vk1  iV k2

0
.
5
h

3k
m
m
c2
c2
ie  m  Ak
ie  m  sin  wVk3  cos  m Bk
 0.5h0 k 

0
.
5
h

0k
m
m
c2
c2
g 3,  k  0.5h3k 
g 0 k
Где hik Галилеев тензор общей теории относительности. Величины Z k , Wk
описывают бозоны, а величина Ak , является безмассовой и описывает фотон см.[3].
Величина Vki , k  0,...,3, i  1,...3 , это три калибровочных поля группы SU (2) w .
Величина Bk , k  0,...,3 принадлежит группе SU (1) y . Тензор g  0,  k описан выше по
тексту, величина Ak , k  0,...,3 , входящая в метрический тензор с одним нулевым
индексом, это поле группы U (1) em . Отметим, что тогда метрический тензор является
действительным, так как надо рассматривать компоненты g ik  g i k  g i  k и при
изменении знака индексов получается комплексно сопряженная величина. Итого,
имеется 16 компонент этого метрического тензора.
Можно описать 32 элементов глюонных полей Gka , k  0,...,3, a  1,...,8 . Эти поля
определяются по числу генераторов группы SU (3) c . Рассматривать их надо как 32
компоненты тензора g  i  k , причем при перестановке индексов не обязательно
получится комплексно сопряженная величина. Причем рассматривается единое поле,
вне частиц состоящее из 16 компонент, и внутри частиц из 32 компонент.
При этом необходимо иметь квадратичную форму для метрического тензора
ds 2 
3

i , k  3
*
g i k dx i dx k , x i  x i .
9
Если первый индекс положительный, то второй индекс обязательно отрицательный.
Или наоборот, причем g  00  g * 0 0 . При этом имеется 16 значений метрического
тензора вне тела, так как тензор энергии-импульса равен нулю. При радиусе меньше
гравитационного, корень из g 00 , g rr становится мнимым и волновая функция
становится комплексной. Это приводит к тому, что внутри тела
перестановка
индексов не приводит к комплексно сопряженному значению метрического тензора.
Поэтому
образуется 16 различных компонент метрического тензора с первым
положительным индексом и столько же с первым отрицательным индексом.
Метрический интервал при этом может быть комплексным, так как находится
внутри черной дыры и полная энергия частицы комплексная.
2 Предлагаемый метод решения волнового уравнения и
уравнения общей теории относительности
Предлагается альтернатива теории возмущений и использовании диаграммы
Фейнмана. Энергия системы и ее поле определяется с помощью модифицированного
метода Галеркина. Уравнение Дирака во внешнем поле и уравнение общей теории
относительности рассматривается как вне гравитационного радиуса частицы, так и
внутри него. Причем это рассмотрение
вне и внутри частицы является
независимым, так как имеется бесконечность метрического тензора Шварцшильда
на границе, соответствующей гравитационному радиусу.
Предложим схему решения уравнения общей теории относительности. Сначала
необходимо решить уравнение общей теории относительности без члена с волновой
функцией. Получим метрический тензор в виде решения Шварцшильда g ik0 . Далее
представляем решение в виде суммы неизвестного решения g ik и решения
Шварцшильда g ik0 . При этом член с энергией-импульсом сократится. Уравнение
будет иметь вид
Rik ( g pq )  Rik ( g pq , g 0pq )  ( i l*  eAi* / ic)  ( k l  eAk / ic) exp( m 2 / mPl2 ) .
При этом член Rik ( g pq , g 0pq ) связан с нелинейностью тензора Риччи R ik . Разложим
член с волновой функцией по собственным функциям. Таким образом, вычислим
коэффициент
разложения
определяя коэффициент  pqsik
2
( i l*  eAi* / ic)  ( k l  eAk / ic) exp( m 2 / m Pl
),
10
( i l*  eAi* / ic )  ( k l  eAk / ic ) exp( m 2 / m Pl2 ) 



p , q  
pqsik
exp( iE pqsikt /   ip 1  iq  2  is  3 )h pqsik (r )
 R  a pqsik , J 2 2 2
(k pqsik r )Y
p  q  k 1 / 4

h pqsik (r )  
 R  a pqsik , Y p 2  q 2  k 2 1 / 4 (k pqsik r ) J

. (1)
p 2  q 2  k 2 1 / 4
(k pqsik a pqsik ) / k pqsik r
p 2  q 2  k 2 1 / 4
(k pqsik a pqik ) / k pqsik r
Построения трех связанных углов см. раздел 3. Из решения уравнения общей теории
относительности определяется дискретная энергия поля.
Представляем временную и пространственную зависимость метрического
тензора, т.е. обобщенного поля, в виде
g ik 


 pqsik exp( iE pqsikt /   ip1  iq 2  is 3 )h pqsik (r ) .
p , q , s  
Такой вид решения следует из низкоэнергетического представления решения общей
теории относительности. Условие сопряжения двух частей волновой функции будут
dJ  (k pqsik r ) / k pqsik r
/ J  (k pqsik r ) | r a 
dr
.
dY (k pqsik r ) / k pqsik r

/ Y (k pqsik r ) | r a ,   p 2  q 2  k 2  1 / 4
dr
Величина k pqsik определяется из условия сопряжения, где для величины  pqsik
применяется формула  pqsik  ( pqsik    p  q  sik ) / 2 , т.е. величина  pqsik действительна,
так как в силу действительности метрического тензора, члены с противоположным
знаком индексов комплексно сопряжены.
2
2
k pqsik
 [ E pqsik
/ c 2   pqsik ] /  2 ,
(2)
Это следует из низкоэнергетического предела общей теории относительности,
которое сводится к волновому уравнению с правой частью  pqsik . Подставляем
выражение для метрического тензора в уравнение общей теории относительности,
умножаем
на
величину
exp( in1  im 2  il 3 )hnmluv (r )
и
интегрируем
по
пространству и по времени. При этом энергия состояния должна иметь хотя бы
малую мнимую часть. Из нелинейного алгебраического уравнения определяем
константы  pqsik . Но знание этого коэффициента не обязательно для вычисления
энергии частицы в первом приближении. Достаточно определить  pqsik , E pqsik , a pqsik ,
что реализуется из трех уравнений. Надо использовать уравнение сопряжения и
уравнение (1),(2). Из условия сопряжения определим значение энергии состояний
11
E pqsik (a pqsik ) . Из минимума энергии, определим значение радиуса a pqsik из уравнения
E pqsik (a pqsik )  0 . При этом надо решить нелинейное уравнение по определению
констант
 pqsik , входящих в уравнение (1) и в уравнение определения энергии (2).
При этом величина a pqsik  rg . Т.е. размер частицы, равный гравитационному
радиусу rg , должен быть меньше, чем размер всей системы. Размер системы a pqsik –
это величина порядка радиуса Бора. Сходимость решения нелинейного уравнения
методом Ньютона определяется близостью начального приближения к точному
решению и при достаточной близости начального приближения гарантируется. Из
решения уравнения общей теории относительности определяется метрический
тензор, т.е. значение поля и квантованная энергия поля.
Условие сопряжения определяет значение энергии частицы в данном
состоянии в зависимости от радиуса a pqsik . Если радиус a pqsik равен нулю, энергия
частицы стремится к бесконечности. Если радиус a pqsik устремить к бесконечности,
энергия частицы стремится к нулю. При конечном радиусе получаем минимум,
соответствующий стационарным значениям энергии. Если минимума нет, то нет и
стационарного состояния.
Решение уравнение Дирака во внешнем поле
[h (i   eA / c)(i   eA / c)  m 2 c 2 
надо строить
ie
F  ] k  0
2c
в системе координат с метрическим тензором общей теории
относительности g ik , который заменяет внешние поля. Решение для внешности тела
ищем в виде
l 


 pqsl exp( iE pqslt /   ip1  iq 2  is 3 )h pqsl (r )
p , q , s  
 R  a pqsl , J

h pqsl (r )  
 R  a pqsl , Y

p 2  q 2  s 2 1 / 4
(k pqsl r )Y
p 2  q 2  s 2 1 / 4
(k pqsl a pqsl ) / k pqsl r . (3)
p 2  q 2  s 2 1 / 4
(k pqsl r ) J
p 2  q 2  s 2 1 / 4
(k pqsl a pqsl ) / k pqsl r
Причем из решения волнового уравнения определяется дискретная энергия частицы.
Решение волнового уравнения нужно осуществлять с тремя связанными углами.
Обоснование этого, см. раздел 3. Схема решения волнового уравнения такая.
Подставляем волновую функцию (3) в уравнение Дирака во внешнем поле.
Умножаем на функцию exp( im1  in 2  ik 3 )hnmkl (r ) и интегрируем по углам и по
радиусу. Получаем линейное уравнение относительно коэффициентов  nmkl
Anmkl ( E nmkl , k nmkl )  nmkl  0
2
2
E nmkl
  2 k nmkl
c 2  m2c 4
.
12
Т.е. энергия определяется из равенства нулю выражения Anmkl ( Enmkl , k nmkl )  0 , где
индексы n, m, k , l фиксированы и  nmkl из этого уравнения не определяется. При
этом коэффициенты  nmkl связаны уравнением  l l  0 , умножим которое на
функцию exp( im1  in 2  ik 3 )hnmku (r ) . Получим уравнение
3

l 0
Bnmkul  nmkl  0, u  0,...,3 .
Итак, получим решение волнового уравнения
с точностью до произвольного
множителя. Полученное решение необходимо нормировать
3

l 0
0

*
2
 nmkl  nmkl
hnmkl
(r )dr  1
При этом отклонение тензора общей теории относительности g ik от
тензора Галилея, можно рассматривать как потенциал поля волнового уравнения.
При этом находим квантованную энергию частиц. Получив решение уравнения
общей теории относительности g ik с учетом вероятностного члена, надо решить
уравнение Дирака во внешнем поле с этим тензором. Т.е. для решения системы
необходимо прибегать к итерационному процессу определения метрического
тензора. Для отбора одного из двух решений волнового уравнения второго порядка
нужно использовать условие конечности решения и условие для решения на
бесконечности.
Отметим, что возможно обобщение системы уравнений стандартной модели и
уравнения общей теории относительности с помощью лагранжиана стандартной
модели.
3 Получение и обоснование введения трех углов,
описывающих уравнение Дирака во внешнем поле
и уравнение общей теории относительности
Опишем систему координат, где углы образуют Лапласиан по формуле (17). Углы,
которые в дальнейшем будут построены, являются периодическими функциями
 l   l ( k ), l , k  1,2,3 координат  k , k  1,2,3 в отличие от сферической функции,
которая не периодична по углу  и принимает на концах значения разных величин.
При этом угол  k это угол, образуемый вращающейся плоскостью, проходящей
через ось 0 x k . Для этого построим систему координат поворота вокруг каждой из
осей декартовой системы координат.
13
 x  r sin  /
1
 1

 x 2  r sin  2 /

 x3  r sin  3 /
Углы описывают поверхность
3

l 1
sin 2  1  cos 2  1 (tan 2  2  tan 2  3 )
sin 2  2  cos 2  2 (tan 2  1  tan 2  3 ) .
(4)
sin 2  3  cos 2  3 (tan 2  1  tan 2  2 )
сферы радиуса r . В самом деле, справедливо
xl2  r 2 .
Так как имеется три независимые проекции момента, нужно использовать три
угла в сферической периодической системе координат. Перпендикулярно плоскости
изменения каждого угла строится один момент. При этом одной точке на
поверхности сферы соответствуют три угла, по числу возможных проекций
вращения. При этом между углами  k , k  1,...,3 описывающими координаты на
поверхности сферы, существует зависимость. Эта зависимость является квантовым
эффектом. Она аналогична, тому, что для квантовых систем определяется модуль
xl
момента и его проекции на одну из осей. Поэтому матрица
, l , k  1,...,3 имеет
 k
xl
, l , k  1,...,3 равен нулю, откуда найдем
ранг 2. Значит, определитель матрицы
 k
связь между углами. При этом надо рассматривать углы как независимые, и только
на последнем этапе вычисления нужно использовать связь между углами.
Построим углы, для которых Лапласиан имеет вид (17). Вычислим
3
x s x s
метрический тензор преобразования (4) по формуле g lk  
и построим
s 1  l  k
ковариантную компоненту g kn , равную тензору обратному g lk , функция g это
определитель матрицы g lk . Тогда Лапласиан с добавочным членом запишется в
виде
3
1

U
[
( g g sl
)]  (n 2  m 2  k 2 )U  0 .
(5)

 l
g  s
s ,l 1
Разобьем лапласиан на три части и запишем уравнение для первой части
1

g  1
[ g g 11
 ( k )
 ( k )
 ( k )
 g g 12
 g g 13
]  n2  0 ,
 1
 2
 3
(6)
Введем функцию  1 из уравнения, являющегося первой частью формулы (6)
1

g  1


,
 1
(7)
Уравнение (7) эквивалентно уравнению (8) (полагаем, что оператор действует на
функцию  1 )
 1
 g,
 1
(8)
Получим тоже соотношение другим способом. Дифференцируя произвольную
функцию h[ 1 ( 1 , 2 )] по функции  1 , получим
14
h[ 1 ( 1 , 2 )] h[ 1 ( 1 , 2 )]  1 ( 1 , 2 )
.

 1
 1
 1
(9)
Подставляя величину h[ 1 ( 1 , 2 )] в оператор (7), получим
1 h[ 1 ( 1 , 2 )] h[ 1 ( 1 , 2 )]

,
 1
 1
g
(10)
используя (9) из (10) получим (8). Уравнение (8) непосредственно интегрируем,
откуда получим  1 
1

g ( 1 , 2 ) d 1 .
 10
Запишем операторное уравнение, являющееся внутренней частью уравнения (6)
g g 11

 1
 g g 12

 2
 g g 13

 3


,
1
(11)
и допустим оператор (11) действует на функцию 1 , откуда
дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка
g 11
1
1

 g 12
 g 13 1  1 / g ,
 1
 2
 3
получим
(12)
докажем это же, по-другому, допустим оператор (11) действует на функцию
h[1 ( 1 , 2 )] , тогда получим
g g 11
h[1 ( k )]
h[1 ( k )]
h[1 ( k )] h[1 ( k )]
,
 g g 12
 g g 13

 1
 2
 3
1
(13)
при этом справедливо
h[1 ( k )] h[1 ( k )] 1 ( k )

, l  1,...,3 ,
 l
1
 l
Значит, подставляя эти выражения в (13), получаем (12).
Итак, имеем задачу Коши для уравнения в частных производных (12)
относительно функции трех переменных 1  1 ( 1 , 2 , 3 ) .
Найдем
характеристики  l (t , s1 , s 2 ), l  1,2,3;1 (t , s1 , s 2 ) , откуда получим 1  1 ( 1 , 2 , 3 ) .
Характеристиками уравнения (12) в частных производных являются решение трех
дифференциальных уравнений
d l
 g 1l ( 1 , 2 , 3 ), l  1,2,3 ,
dt
(14)
выберем начальные условия, на кривой, зависящей от параметров s1 , s 2
 l (t 0 , s1 , s 2 )   l (s1 , s 2 ), l  1,2,3 ,
(15)
где определим  l ( s1 , s 2 ), l  1,2,3 как неизвестные периодические функции по
аргументам s1 , s 2 с периодом 2 , откуда найдем неизвестные функции
 l (s1 , s 2 ), l  1,2,3 по значениям в конце периода переменной t . Т.е. из условий
 l [t 0  T (s1 , s 2 ), s1 , s2 ]  2   l (s1 , s 2 ), l  1,2,3 ,
где
определим
в
T (s1 , s2 )
15
дальнейшем. Для получения единственного решения задачи Коши необходимо
иметь начальные условия, чтобы выполнялось
 1
s1
 1
s 2
g 11
 2
s1
 2
s 2
g 12
 3
s1
 3
s 2
g 13
 0,
( 1 , 2 , 3 )
где действительный вектор 1,  2 ,  3 является касательным к кривой  , заданной
условиями  l   l ( s1 , s 2 ), l  1,2,3 . Векторы g 11 , g 12 , g 13 являются касательными к
характеристикам (14).
Подставляя уравнение характеристики (14) в (12), получим
d1
 1 / g ( 1 , 2 ) ;1 (t 0 , s1 , s 2 )   1[ k (t 0 , s1 , s 2 )] ,
dt
(16)
причем функция
с периодом
находится из условия
T (s1 , s2 )
2
1[t 0  T (s1 , s2 ), s1 , s2 ]   1{ k [t 0  T (s1 , s2 ), s1 , s2 ]}  2 , k  1,2 . Решая уравнение
характеристики (14) и уравнение (16), получим
 l   l (t , s1 , s2 ), l  1,2,3 ,
1  1 (t, s1 , s2 ) ,
откуда можно получить уравнение периодической поверхности 1  1 ( 1 , 2 , 3 ) .
При этом уравнение (6) приобретает вид
 2
 n 2  0 ,
 11
которое имеет решение
  exp[ in( 1  1 )]  exp[ in1 ( 1 , 2 , 3 )] .
При этом имеем 1   1  1 , причем 1  [0,2 ] . Уравнение (6) имеет вид
 2
 n2  0 ,
2
1
где 1 это функция от углов 1  1 ( l ) , где уравнение в частных производных
имеет вид в новых координатах
 2U  2U  2U


 (n 2  m 2  k 2 )U  0 .
2
2
2
1  2  2
(17)
В случае сферы два из этих трех углов соответствуют взаимно перпендикулярным
плоскостям вращения, соответствующие углу 1   сферической системы
координат. Угол  2 определяется аналогично углу  , но изменяется на отрезке
[0,2 ] . При этом в плоскости 1     / 2 образуется угол  3  [0,2 ] . Таким
образом, получается переопределенная периодическая система координат. Дело в
том, что стандартная сферическая система координат содержит степень
тригонометрической функции, т.е. имеем cos n . Этот угол не определен, аргумент
косинуса изменяется только на отрезке [0,  ] и имеет скачок на концах отрезка
16
изменения. Т.е. эту функцию невозможно представить в виде мнимой экспоненты по
углу  с помощью процесса ортогонализации.
При этом имеется три проекции момента, соответствующие трем углам

, k  1,...,3 и
 l , l  1,...,3 . Оператор момента для этих углов имеет вид l k   i
 k
имеет решение   exp( il11  il 2 2  il 3 3 ) , которые коммутируют между собой.
Заключение
Предлагаемый алгоритм позволяет описать поля сильного, слабого, гравитационного и
электромагнитного взаимодействия элементарных частиц при их произвольном значении, не
обязательно низкоэнергетическом. Определяется дискретная энергия поля и частиц. При
этом оказывается, что поле описывается функцией, зависящей от определяемого значения
энергии, т.е. обладает дискретной энергией.
Список литературы
1.
Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц Теория поля т.II, Наука, М.,1973.
2.
John D. Anderson, James K. Campbell, John E. Ekelund, Jordan Ellis, and James F.
Jordan // Anomalous Orbital-Energy Changes Observed During Spacecraft Flybys of
Earth.
3.
Phys. Rev. Lett. 100, 091102 (2008)
Д.С.Горбунов, В.А.Рубаков Введение в теорию ранней Вселенной. Издательство
ЛКИ, М., 2008
Use of the general theory of a relativity for the microcosm description
Evgeniy Georgievich Yakubovskiy
Using Lagrangian modified general theory of relativity, with an additional a member of to
describe the probability property of particle, you can get the equation theory relativity with
the probability member. Wave equation remains fair. Modified tensor theory of relativity
match inside the body the field of gluon, and outside the body the field of the poor
interaction, electromagnetic and gravity fields. Probability member of the equation
modified general theory of relativity for large mass is exponentially small and the standard
describes the general theory of relativity turns out.
Key words: equation of general relativity, the wave equation, metric tensor, total field
theory.