введение - Южный федеральный университет

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Ю.С.Налбандян
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к практическим занятиям по курсу
«Введение в математический анализ»
(специальность «Зарубежное регионоведение»)
Часть 1.
Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
Ростов-на-Дону
2012
Методические указания разработаны кандидатом физико-математических
наук, доцентом кафедры математического анализа Ю.С.Налбандян
Ответственный редактор
канд. физ.-матем. наук Д.А.Абанина
Компьютерный набор и верстка
канд. физ.-матем. наук Ю.С.Налбандян
Печатается в соответствии с решением кафедры математического анализа
факультета математики, механики и компьютерных наук, протокол № 6 от 24
апреля 2012 года.
© Ю.С.Налбандян, 2012
2
ВВЕДЕНИЕ
Курс «Введение в математический анализ», который читается студентам
отделения «зарубежное регионоведение», решает такие важные задачи, как
ознакомление студентов с основными понятиями математического анализа и
смежных дисциплин (линейная алгебра, аналитическая геометрия), необходимыми для решения теоретических и практических задач экономики; воспитание абстрактного мышление и умения строго излагать свои мысли. Кроме того,
он способствует подготовке обучающихся к практическому применению полученных знаний.
В связи с вышесказанным основное внимание уделяется практическим
занятиям и самостоятельной работе студентов, организации которых и должно
способствовать данное методическое пособие.
В первую часть включены вспомогательные разделы, изучение которых
позволит легче осваивать азы математического анализа. Каждый из параграфов содержит необходимые теоретические положения, разобранные «типовые»
задачи, которые сопровождаются указаниями по организации самостоятельной
проверки полученного результата, а также упражнения для самостоятельного
решения, позволяющие закрепить полученные навыки. При возникновении затруднений рекомендуется использовать следующую литературу:
1. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. – СПб.: Лань, 2010
2. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: ACT: Астрель, 2006.
3. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. –
М.: АСТ: Астрель 2007.
4. Справочник по математике для экономистов /Под ред. В.И.Ермакова. –
М.: Инфра-М, 2009.
3
§ 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ
1.1. Предварительные сведения. Матрицей называется прямоугольная
таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов, которую записывают в следующем виде:
 a11

a
A   21
...

 a m1
a12
a 22
...
a m2
... a1n 

... a 2 n 
.
... ... 

... a mn 
Для обозначения матрицы используют прописные латинские буквы, причем
в скобках указывается размер – количество строк и столбцов. Так, запись B(2x3)
означает, что речь идет о матрице, состоящей из двух строк и трех столбцов,
 3  1 0
например B  
 . Далее, bij - обозначение элемента, стоящего на пере2
3
5


сечении i-й строки и j-го столбца данной матрицы (в примере b23=5). Через Ai
обозначают i-ю строку матрицы A, через Aj – j-й столбец.
Матрицы A, B называются равными (A=B), если они имеют одинаковый
размер, и их элементы, стоящие на одинаковых позициях, совпадают.
Матрица, у которой число строк совпадает с числом столбцов, называется
квадратной. Элементы квадратной матрицы A(nxn) a11 , a22 ,…, ann образуют
главную диагональ. Квадратная матрица, у которой отличные от нуля элементы могут стоять только на главной диагонали, называется диагональной. Диагональная матрица, у которой все элементы (главной диагонали!) равны 1,
называется единичной. Наконец, квадратная матрица, у которой ниже (выше)
главной диагонали находятся только нули, называется верхней (нижней) треугольной матрицей. Например, среди квадратных матриц размера 3x3
0 
 2 3 1 
  2 0 0
1 0 0
2 0








A   0 3 3  , B   0 0 0 , E  0 1 0 , C  1 0
0 
 0 0  2
 0 0 1
0 0 1
 3  4  2








4
матрица A является верхней треугольной, B – диагональной, C – нижней треугольной, E – единичной.
1.2. Арифметические действия с матрицами. Чтобы умножить матрицу
A(mxn) на отличное от нуля вещественное число k, необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число:
 a11

a
kA  k  21
...

 a m1
a12
a 22
...
a m2
... a1n   ka11
 
... a 2n   ka 21

... ...   ...
 
... a mn   ka m1
ka12
ka 22
...
ka m 2
... ka1n 

... ka 2n 
.
...
... 

... ka mn 
Чтобы найти сумму матриц A(mxn), B(mxn) (одного и того же размера!),
необходимо сложить элементы с одинаковыми индексами (стоящие на одинаковых местах):
 a11  b11

 a  b21
A  B   21
...

 a m1  bm1
a12  b12
a 22  b22
...
a m 2  bm 2
a1n  b1n 

a 2 n  b2 n 
.
...
...

... a mn  bmn 
...
...
При этом речь идет об алгебраической разности, т.е. при вычислении A-B находим разность элементов, стоящих на одинаковых местах.
 4  1
 1 0
Пример 1.1. Найти 2A-B, если A  
 .
 , B  
  3 2
2 3 
Решение. Сначала умножаем матрицу A на число "2", затем находим разность:
 2  0  7  2
 4  1  1 0   8  2   1 0   8  1
  
  
  
  
  

2 A  B  2
2
3

3
2
4
6

3
2
4

(

3
)
6

2
7
4

 
 
 
 
 

Произведение AB можно определить только для матриц размера A(mxn),
B(nxp), при этом AB=C, матрица C имеет размер C(mxp) и ее элемент cij находится как скалярное произведение i-й строки матрицы A на j-й столбец матрицы
5
B, т.е.
cij  Ai B j
(i=1,2,...,m; j=1,2,...,p). Фактически каждую строку матрицы A
необходимо скалярно умножить на каждый столбец матрицы B
 2 5
1  2
Пример 1.2. Найти AB и BA для A  
 и B  
 .

1
1
3
4




Решение. Размеры матриц 2х2, поэтому оба произведения определены:

1
  2 
 2,5  2,5  
 2 5  1  2  
 3
 4 

  
AB  

  1 1  3 4    1,1 1   1,1  2  
 3
 4 

 
 

 2  1  5  3 2  (2)  5  4  17 16 
  
;
 

1

1

1

3

1

(

2
)

1

4
2
6

 


 2
 1,2  
 1  2  2 5  
  1

  
BA  
 3 4   1 1   3,4  2 
  1

 

5 
 
1 
 5 
3,4  
1 
1,2
1  2  (2)  (1) 1  5  (2)  1  4 3 

.
 
3  5  4  1   2 19 
 3  2  4  (1)
Как видно, AB  BA, т.е. эта операция не коммутативна.
Матрицей, транспонированной к матрице A(mxn), называется матрица
AT(nxm), строки которой являются соответствующими столбцами исходной
 2 1 


  2 0 1
матрицы. Например, если C  
 , то C T   0  3  .
 1  3 3
 1
3 

Пример 1.3.
Вычислить AB+2CT, если
  2 4 6
 .
C  
5
7
3


6
1 1


A   0 4 ,
 2 1


1  2
 ,
B  
3
4


Решение. Учитывая все правила действий с матрицами, получаем:
1 1
T
 1  2   2 4 6
T 
  2

AB  2C   0 4   
3
4
5
7
3
 

 2 1 


  2 5    1  3 2  4    4 10   2

 
 
 
 2 4 7    0  12 0  16    8 14   12
 6 3   2  3  4  4   12 6   5

 
 
 

1
  2
 (1;1)  (1;1)  

 3
 4 

1
  2 
  (0;4)  (0,4)   

 3
 4 

1
  2 
 (2;1)  (2;1)  
 3
 4 

6    4 10    2 16 
 
 

16    8 14    20 30 .
0   12 6   17 6 
1.3. Элементарные преобразования матриц. К таким преобразованиям
матриц относятся следующие действия:
1) перемена местами двух строк матрицы (краткая запись: C k  Cl );
2) вычеркивание нулевой строки матрицы (строки, в которой все элементы
равны нулю);
3) умножение всех элементов одной строки матрицы на одно и то же число,
отличное от нуля (коротко: C l  kC l );
4) прибавление к элементам одной строки матрицы соответствующих элементов другой ее строки, умноженных на одно и то же отличное от нуля число
(коротко: Cl  Cl  kC p ).
Так как вычеркивание нулевой строки приводит к изменению размера матрицы, говорить о равенстве матриц при подобных преобразованиях нельзя.
Матрицы A, B называются эквивалентными, если одна получена из другой путем элементарных преобразований.
Матрица A(mxn) называется ступенчатой, если в каждой ее строке есть
элемент, в столбце которого все элементы ниже являются нулями, а в последней строке есть хотя бы один ненулевой элемент. Упомянутые в определении
ненулевые элементы называют ведущими.
7
Ступенчатыми являются, например, треугольные матрицы, матрицы
 3  2 5
 3  2 1 5




A   2 0 8  , B   0 4 6 8  и т.д.
 0 6 0 1
 0 0 1




Любую ненулевую матрицу можно путем элементарных преобразований
свести к эквивалентной ей ступенчатой. Алгоритм доказательства этого утверждения совпадает с алгоритмом практического преобразования матрицы.
 2 2 1 


Пример 1.4. Привести к ступенчатому виду матрицы A    7 3 3  ,
 5 1  2


 2 0 4 9


B  1 3 2 5 .
1 9 2 6


Решение. При преобразованиях матрицы A ведущим элементом в первой
строке будет a13, во второй a21 . Имеем:
  2 2 1  C 2  C 2  3C1   2 2 1  C3  C3  C 2   2 2 1 

 C  C  2C1 



C  C
A    7 3 3  3 3 
  1  3 0  2 2 1  3 0   Aступ .
 5 1  2
 1
 0
5 0 
2 0 




 2 2 1 
  2 2 1




Итак, A    7 3 3   Aступ   1  3 0  . Ведущим элементом в
 5 1  2
 0
2 0 



третьей строке является a32 .
Проведем преобразования для матрицы B и покажем, что
 2 0 4 9

  1 3 2 5
  Bступ
B   1 3 2 5   
0
6
0
1


 1 9 2 6


Действительно,
8
 2 0 4 9
1

 C1  C 2 
B   1 3 2 5    2
 1 9 2 6
1



C3  C3  C 2  1 3

C  C
2 2 0 6
0 0

3 2 5  C 2  C 2  2C1  1 3 2 5 
 C  C3  C1 

0 4 9  3 

 0  6 0  1 
0 6 0 1 
9 2 6 


.
2 5
  1 3 2 5
  Bступ .
0 1   
0
6
0
1


0 0 
В первой строке ведущим является элемент b11, во второй в качестве ведущего может выступить либо b22, либо b24.
Рангом матрицы A(mxn) в дальнейшем будем называть число строк эквивалентной ей ступенчатой матрицы. Стандартное обозначение ранга матрицы
A(mxn): r(A). Так, в примере 1.4 r(A)=3, r(B)=2.
Замечание. Ранг матрицы не зависит ни от выбора ведущих элементов, ни
от проводимых преобразований. Поэтому полученный результат всегда можно
проверить, попытавшись привести матрицу к ступенчатой другим способом.
Например, после перестановки первой и второй строки в матрице B можно в
качестве ведущего сначала рассмотреть элемент b12:
5 
 2 0 4 9
1 3 2 5
 1 3 2

 C1  C 2 
 C3  C3  3C1 

1
3
2
5





2
0
4
9







2
0
4
9






1 9 2 6
1 9 2 6
  2 0  4  9






1 3 2 5
  1 3 2 5
C3  C3  C 2 
*
  Bступ

   2 0 4 9   
.
 0 0 0 0  2 0 4 9


Получили другую матрицу, эквивалентную B. Но она тоже является ступенча-
той, причем состоит из двух строк, поэтому и в данном случае r(B)=2.
1.4. Задания для самостоятельного решения.
Упражнение 1.1. Выполнить арифметические действия с матрицами:
1  2 1  4
  3
 ;
1) а) 2
3 4  5 0 
T
1  2
 2  1
  2

б) 
3 4 
0 3 
9
 3  4 5

2) 
7 6 4
T
 5 6 


 2 2
4 ;
 1  1


4  3 
 2 1 3

  
5  1 2    2
1

4) 
;
1 3
1
0  4 

  
4
8  1  1 
2
T
3 
2 0 8 2 1

 

3)  3  2 5   3 0 4  2  ;
1 4 7 5  2 4 

 

T
3 
2 0 8 2 1

 

5)  3  2 5    0 4  2  ;
1 4 7 5  2 4 

 

 1  2   1  4   2 1
6) 
  
  
 ;
3
4
5
0

1
3

 
 

T
4 2  3 4 5  5  1 4 
7) 


 ;
 1 3  7 6 4  2
1
3
T
4  3 
 2 1 3

  
5 1 2    2
1
2
8)  3 2 5 1
;
1 3 1
0  4 

  
2
4
8

1

  1 
6
T  5

 4 2 
 3  4 5
   2

4   
9) 
7
6
4
1

1



 1  1 


3   1  2 3
 2 0 8  2 1


 

10)  3  2 5  0 4  2    4 5 6  ;
 1 4 7  5  2 4   0 9 7 


 

T
 5 6 


4  2  3  4 5 

11) 

  2 2
4 .
 1  3  7 6 4 
 1  1


Упражнение 1.2. Найти значение заданного многочлена P(X) от заданной
матрицы X (всюду в задании E – единичная матрица нужного размера):
 2  1
 ;
1) P( X )  3 X 2  2 X  5E , X  
3 0 
10
3 2 
2) P( X )  X 3  3 X  E , X  
 ;
 1  3
Упражнение 1.3. Решить матричные уравнения (O - нулевая матрица соответствующего размера):
0
7 2 1 5 
5 4 3




1)  3  2 4  3   2 X   2 3  2  1  O ;
2 1 1 2 
1 0 2
4 



3  20 
 2 3
  13

  2 3  4 


  3 X    3  11  7  .
2)   1 4 
 3 0  1  2 1 
  27 33  21 




Упражнение 1.4. Проверить равенства AB=BA, (AB)C=A(BC) для матриц:
 4  2
 6  1
 1 4
1) A  
 , B  
 , C  
 ;
 1  3
3 2 
  2 5
 3 2 1
 2 1 0
1 3 1






2) A   0 1 2  , B    3 1 4  , C   2 1 4  ;
  1 1  1
 3 1 4
 3 2 1






 3 2 1
1 2 
 2 4 1




3) A   0 1 2  , B   4  1 , C  
 ;
1
2
0


 3 1 4
3 1 




Упражнение 1.5. Свести матрицу A к эквивалентной ей ступенчатой, определить ранг матрицы A:
 2 6 3


1) A   3 5 4 
1 2 1


1 3  3  7 


2) A   2 7  1  4 
 3 8  14  31


1
5 
7 2


3) A   3  2  1  3 
2 1
1
2 

 2 3 2


4) A   4 1 0 
 3 6 2


1  2 3  4


0
1

1
1


5) A 
1 3
0  3


1 
0  7 3
1  2  1 3


2
1
0
1


6) A 
1  7  3 8


 3  1  1 4
11
§ 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ. ТЕОРЕМА КРАМЕРА
2.1. Вычисление определителей. Для определителя квадратной матрицы
A(nxn) используются обозначения det A или A . Определитель квадратной
матрицы A(2x2) (определитель второго порядка) находится по формуле:
a11
a21
a12
 a11a22  a12 a21
a22
(1)
Определитель матрицы A(3x3) (определитель третьего порядка) сводится к
предыдущему случаю по правилу (формула раскрытия определителя по первой строке):
a11
a12
a13
a21
a22
a23  a11
a31
a32
a33
Минором элемента
a22
a23
a32
a33
 a12
aij называется
a21
a23
a31
a33
 a13
a21
a22
a31
a32
.
(2)
определитель, полученный из исходной
матрицы путем вычеркивания в ней i-й строки и j-го столбца. Обозначается этот
минор как
M ij .
Алгебраическим дополнением к элементу
ло, вычисляемое по формуле:
Aij  (1)i j M ij .
aij
называется чис-
С учетом этих обозначений формулу
(2) можно переписать:
a11
a12
a13
a21
a22
a23  a11 A11  a12 A12  a13 A13 .
a31
a32
a33
(3)
Формула (3) обобщается на случай определителя любой квадратной матрицы A(nxn) (определителя n-го порядка):
A
a11
a 21
a12
a 22
... a1n
... a 2n
...
a n1
...
a n2
... ...
... a nn
 a11 A11  a12 A12  ...  a1n A1n .
12
(4)
Более того, определитель n-го порядка можно раскрывать по любой строке
или любому столбцу исходной матрицы, т.е. справедливы формулы:
a11
a 21
a12
a 22
... a1n
... a 2n
...
a n1
...
a n2
... ...
... a nn
a11
a 21
a12
a 22
... a1n
... a 2n
...
a n1
...
an2
... ...
... a nn
A
A
 a i1 Ai1  ai 2 Ai 2  ...  ain Ain , (5)
 a1 j A1 j  a 2 j A2 j  ...  a nj Anj , (6)
где i=1,2,…,n – номер строки, а j=1,2,…,n – номер столбца, по которым раскрывается определитель.
2  3 1
Пример 2.1. Найти : а) 4  1
3 5
2 ;
0
б)
3
0
9
0
4
0
4 0 1
2 3 3
10
3
3
1
Решение. При нахождении определителя а) воспользуемся формулой (2), а
затем (для вычисления определителей 2-го порядка) формулой (1):
2  3 1
1 2
4 2
4 1
4 1 2  2
 (3)
 (1)

5 0
3 0
3 5
3 5
0
 2(1  0  2  5)  3(4  0  2  3)  1(4  5  (1)  3)  20  18  23  61.
При вычислении определителя б) удобно применить формулу (5) для i=2,
т.е. раскрыть определитель по второй строке.
3
0
9
0
4
0
4 0 1
2 3 3
10
3
3
1
 0  A21  0  A22  0  A23  3 A24  3(1) 2  4
3
4
9 4
0 1 .
2 3 3
13
Полученный на промежуточном этапе определитель 3-го порядка также будем раскрывать по второй строке:
3
9
4
4
0  1  4  A21  0  A22  (1)  A23  4(1) 2 1
2 3 3
 (1) 2  3
Итак,
3
0
3
9
2 3
9
0
9
4
3 3
0
 4(27  12)  (9  (18))  4  39  27  156  27  183 .
4
0
10
3
4 0 1
2 3 3
3
1
3
3 4
9 4
0  1  3  183  549 .
2 3 3
Пример 2.2. Найти минор M 31 и алгебраическое дополнение A23 для мат 2  3  1


рицы  4  1 2  .
3 5
0 

Решение. Минор M 31 - это определитель матрицы, полученной из исходной путем вычеркивания 3-й строки и 1-го столбца. Поэтому
M 31 
 3 1
1
2
 3  2  (1)  (1)  6  1  7.
Далее, A23  (1) 23 M 23 , M 23 - это определитель матрицы, полученной из
исходной путем вычеркивания 2-й строки и 3-го столбца. Поэтому
A23  (1) 5
2 3
3
5
 (2  5  (3)  3)  (10  9)  19.
Замечание. При расчетах удобно использовать свойства определителей:
1) Определитель диагональной, а также верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.
14
2) Если в матрице две строки (два столбца) меняются местами, то ее определитель меняет знак.
3) Если в строке (столбце) матрицы все элементы имеют общий множитель,
то его выносят за знак определителя.
4) Если к одной из строк матрицы прибавить другую, умноженную на число
(отличное от нуля), то определитель не изменится.
5) Если матрица содержит нулевую строку или равные (пропорциональные)
строки, то ее определитель равен нулю.
Свойства 4)-5) также справедливы и для столбцов.
6
4
2
Пример 2.3. Вычислить а) 4  1 2 ;
1 3 1
3 4 5
б) 3 2 2
0 1 1
Решение. В первой строке определителя из задания а) все числа кратны 2,
поэтому общий множитель можно вынести за знак определителя. Далее проводим преобразования с целью получить в третьем столбце нулевые элементы. Вв
полученном определителе 2-я и 3-я строки равны, значит, исходный определиC  С  2C
6 4 2
3 2 1 С 2 С 2С
3
2 1
3
3 1
2 2 5 0  0.
тель обратится в нуль: 4  1 2  2 4  1 2

1 3 1
1 3 1
2 5 0
При вычислении определителя б) приведем матрицу к верхнему треугольному виду, учитывая свойства 3), 2), 4), а затем воспользуемся свойством 1).
3 4 5
3 2 2
0 1 1
C 2  C 2  C1

3 4
5
0 2 3
0 1 1
C 2  C3

3 4
5
 0 1 1
0 2 3
3 4
5
  0  1 1  3  (1)  (5)  15.
0 0 5
15
C 3  C 3  2C 2

2.2. Приложения определителей к решению систем линейных уравнений. Теория определителей позволяет решать "квадратные" системы линейных
уравнений (в случае, когда число неизвестных совпадает с числом уравнений):
 a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1 22 2
2n n
2
.

...

a n1 x1  a n 2 x 2  ...  a nn x n  bn
 a11

 a 21
Матрица A  
...

 a n1
a12
a 22
...
a n2
(7)
... a1n 

... a 2 n 
, составленная из коэффициентов системы
... ... 

... a nn 
 b1 
 
 b2 
(7), называется матрицей системы, а вектор B    - столбцом (вектором)
...
 
 bn 
свободных членов.
Теорема Крамера. Если определитель матрицы системы (7) отличен от нуля ( | A | 0 ), то данная система имеет единственное решение, причем значения
неизвестных находятся по формулам
xi 
| A |i
, i=1,2,…,n
| A|
(8)
где | A |i - определитель матрицы, полученной из исходной матрицы системы
путем замены i-го столбца на столбец свободных членов.
 2 x1  x2  x3  4

Пример 2.4. Решить систему 3x1  4 x2  2 x3  11 методом Крамера.
3x  2 x  4 x  11
2
3
 1
Решение. Выписываем A - матрицу системы и B - столбец свободных членов:
16
2  1 1
4


 
A   3 4  2  , B  11 . Далее вычисляем нужные определители:
3  2 4 
11


 
2
A3
1
1
4
 2  2(16  4)  (1)(12  16)  1(6  12)  60  0 ;
3 2
4
4
1
1
4
 2  4(16  4)  (1)(44  22)  1(22  44)  180
A 1  11
11  2
2
4
4
1
A 2  3 11  2  2(44  22)  4(12  6)  1(33  33)  60 ;
3 11
2
A3  3
4
1
4
4
11  2(44  22)  (1)(33  33)  4(6  12)  60 .
3  2 11
По теореме Крамера x1 
A1
A

A
A
180
60
60
 3 ; x2  2 
 1 ; x3  3 
 1.
60
A
60
A 60
Для проверки результата подставим полученные значения неизвестных в каждое уравнение системы: 2  3  1  1  4 , 3  3  4  1  2  1  11, 3  3  2  1  4  1  11.
Все уравнения обратились в тождества, следовательно, решение найдено верно.
2.3. Задания для самостоятельного решения.
Упражнение 2.1. Для заданных матриц найти указанные миноры и алгебраические дополнения к элементам матрицы:
 2 3  1


1)  3  3 1  , M 33 , A23 , A11 ;
2 1 2 


 2 3  4


2)  2 3 4  , M 11 , A32 , A22 ;
3 2 1 


17
1

1
3) 
1

 3
1

4
, M 11 , A34 , A22 ;
6 9 12 

0 1 2 
2  3 4

3  5 4
, M 23 , A44 , A12 .
1  1 4

0  2 1 
3

2
4) 
4

1

1 1
2 3
Упражнение 2.2. Вычислить определители:
1)
sin 
cos
 cos
sin 
12 6  4
5) 6 4 4 ;
3 2 8
9)
1 3 0 0
0 2 0 2
1 2 3 3
2 7 3 5
;
2)
1
cos
sin 
sin 
cos 
6) 3  4
3 1
; 10)
;
5
2
1 5  2
7 ; 7) 1
5
7
0 1 1 1
1 0 2 3
1 2 0 4
1 3 4 0
2 1 3
4) 0 1 4 ;
3 2 5
3 2 1
3) 6 2 3 ;
1 1 1
; 11)
4
3 ;
2 3
3 1 1 1
1 3 1 1
1 1 3 1
1 1 1 3
8)
;
3
0
4
2
9
0
0
3
4 0 1  3
10 1 3
5
12)
0 1 1 1
1 0 2 3
1 2 0 4
1 3 4 0
.
Упражнение 2.3. Найти неизвестное число x из уравнений:
x2
а) x
1
4 9
2 3  0;
1 1
x2
b) x
0
3
2
1 1  0;
1 4
x
c) 0
x
1
x
1
x
1  0 .
x
Упражнение 2.4. Решить системы уравнений с помощью теоремы Крамера, сделать проверку.
 2 x1  x 2  x3  2

1) 3 x1  2 x 2  2 x3  2
 x  2x  x  1
2
3
 1
 3 x1  x 2  3x3  2

2) 5 x1  2 x 2  2 x3  1
2 x  2 x  3 x  1
2
3
 1
18
 x1  2 x 2  3x3  5

3)  2 x1  x 2  x3  1
 x  3x  4 x  1
2
3
 1
;
§ 3. ОБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ
3.1. Определения и примеры. Для квадратной матрицы A(nxn) обратной к
ней является матрица A 1 того же размера, удовлетворяющая равенствам:
AA 1  A 1 A  E , где E – единичная матрица соответствующего размера.
5 
5 
3
2
Пример 3.1. Является ли матрица B  
 обратной к A  
 .

1

2

1

3




Решение. Найдем произведения этих матриц:
5  3
5   2  3  5  (1)
2  5  5  (2)   1 0 
2

  
  
;
AB  

1

3

1

2

1

3

(

3
)

(

1
)

1

5

(

3
)

(

2
)
0
1


 
 

5  2
5   3  2  5  (1)
3  5  5  (3)   1 0 
3

  
  
. .
BA  

1

2

1

3

1

2

(

2
)

(

1
)

1

5

(

2
)

(

3
)
0
1


 
 

Итак, AB  BA  E и B  A 1 .
Теорема о существовании. Матрица имеет обратную тогда и только тогда,
когда ее определитель отличен от нуля (т.е. когда матрица является невырожденной).
3.2. Поиск обратной матрицы с помощью метода Гаусса. После вычисления определителя (чтобы убедиться, что обратная матрица существует) необходимо выписать матрицу, приписать к ней справа единичную соответствующего размера и «сдвоенную» матрицу  A E  путем элементарных преобразова-


ний привести к выражению E A 1 (слева должна стоять единичная матрица, а
справа появится искомая обратная).
Пример 3.2. Найти A
1
 1  1 2


0 2 .
для A   1
  1 1 0


19
1
Решение. 1
1
1 1
0
2 1
1
0
0 2
1 0

1
2
1 0
3
1
0
1 1
 2  2  3  3  0 . Значит,
матрица A невырожденная и имеет обратную. Составим «сдвоенную» матрицу
и проведем необходимые преобразования.
 1  1 3 1 0 0  C 2  C 2 C 1  1  1 3 1 0 0 

 C3  C3  C1 

1
0
2
0
1
0






0
1

1

1
1
0




 1 1 0 0 0 1
0 0
3 1 0 1 



2 0 1 0  C 2  C 2 C 3  1 0 0  2 / 3 1  2 / 3 
C1  C1  C 2  1 0

 C1  C1  2C3 

C3  C3 / 3
   0 1  1  1 1 0  

 0 1 0  2 / 3 1 1 / 3 .
 0 0 1 1/ 3 0 1/ 3
 0 0 1 1/ 3 0 1/ 3 




  2 / 3 1  2 / 3


Таким образом, A1    2 / 3 1 1 / 3  .
 1/ 3 0 1/ 3 


3.3. Поиск обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений к
элементам исходной матрицы. Это способ основан на применении формулы
A
1
A *T

,
| A|
(9)
где A*  ( Aij ) - матрица из алгебраических дополнений к элементам матрицы A.
Пример 3.3. Найти A 1
 1  1 3


0 2  методом алгебраических додля A   1
  1 1 0


полнений.
Решение. Матрица та же самая, что в примере 3.2, поэтому ее определитель
нам уже известен ( A  3  0 ). Найдем алгебраические дополнения к элементам
исходной матрицы:
20
A11  (1) 2
0 2
1 0
A21  (1)3
A31  (1) 4
 0  2  2 ;
1 3
1
0
1 3
0
2
1
A12  (1) 3
 3;
A22  (1) 4
 2 ;
A32  (1)5
2
1 0
1
3
1 0
 2 ;
A13  (1) 4
 3;
A23  (1)5
1 3
 1;
1 2
A33  (1) 6
1
0
1 1
1;
1
1
1
1
1 1
1
0
 0;
 1.
  2  2 1
  2 3  2



T 
3 0  ; A *    2 3 1  . По формуле (9) получаем:
Итак, A*   3
  2 1 1
 1 0 1 




  2 3  2    2 / 3 1  2 / 3
T

 

A
*
1
A1 
   2 3 1     2 / 3 1 1/ 3  .
| A| 3
 

 1 0 1   1/ 3 0 1/ 3 
Эта
матрица
совпала
с
найденной при решении примера 3.2, что может служить проверкой правильности решения.
Замечание. Результат поиска обратной матрицы можно проверить и другим
способом – убедиться в справедливости равенства AA 1  A 1 A  E .
 1 1
 1  1
 1 1  1  1
Пример 3.4.Решить уравнения а) 
 X  
 ; б) Y 
  
 .
 4 3
 2  3
 4 3  2  3
Решение. Матричное уравнение AX  B можно умножить слева на A 1 и
получить X  A 1B (в силу определения обратной матрицы). С другой стороны, уравнение YA  B умножаем на матрицу A 1 слева и получаем Y  BA 1 .
 1 1
Найдем матрицу, обратную к A  
 . Используя метод Гаусса, получаем:
4
3


C C
 1 1 1 0  C 2  4C1  1 1 1 0  1C 2 2  1 0  3 1 






 4 3 0 1    0  1  4 1    0 1 4  1.






21
 3 1 
Значит, A 1  
 . Но тогда
4

1


  3 1   1  1   3  2 3  3    1 0 
  
  
  
 ;
X  
4

1
2

3
4

2

4

3
2

1

 
 
 

 1  1   3 1    3  4 1  1    7 2 

  
  
 .
Y  
 2  3  4  1   6  12 2  3    18 5 
Замечание. Результат можно проверить, подставив полученные матрицы в
исходные уравнения.
3.4. Задания для самостоятельного решения.
Упражнение 3.1. Доказать, что B  A 1 :
 3  2
 5 2
1) A  
 , B  
 ;

7
5
7
3




 4 1
2) A  
 ,

1
3


3

B   13
 1
 13
 1

13  ;
4 

13 
3 
1 2 1 
 9 1




3) A   1 3 3  , B   7  1  2  .
 4 1
3 5 2
1 



Упражнение 3.2. Проверить, имеет ли матрица обратную:
2  2
1 1  2
1 3 2
 1 2 3







A  3 4 6  ; B   2 0 4 ; C   1 2 1 ; D   2 1
3 1
1 1 2
 2 2 1
3 3  4







1 1
3 4

3 2 .
2 1

0 0 
Упражнение 3.3. Найти матрицы, обратные к данным, методом Гаусса и
методом алгебраических дополнений.
 1 2  3


1) A   0 1 2  ;
0 0 1 


 1  1 0


2) A   2  2 3  ;
 1 1 0


22
1 1 1 


3) A  1 2 3  ;
1 3 6 


1 1
1


4) A    1 0 1  ;
  1  1 0


 2  1 4


5) A   4  2 7  ;
1  2 0


1 1 1


6) A   2 1  2  ;
 3 0 1


Упражнение 3.4. Найти A 1 удобным методом, сделать проверку.
1

7 
3  4 5 
2 5




1
4  ; 3) A  
1) A   2  3 1  ; 2) A   6 3
2
 3  5  1
 5  2  3





2
3

5
.
1  1 2

1 2 4 
1
2
1
2
Упражнение 3.5. Решить матричные уравнения.
 1 3
1 3 0 
1) 
 X  
 ;
2
5
1
2

1




 1 1  1  1
2) X 
  
 ;
4
3
2

3

 

 7 5
 2 1 
3) 
 X  
 ;
 4 3
 1  1
 3  2   2 3   2 1 
4) 
 X 
  
 .
 2  1   3 5  1  2
23
§ 4. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ
ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.
4.1. Основные обозначения. В п.2.2 рассматривались «квадратные» системы линейных алгебраических уравнений (далее будет использоваться сокращение СЛАУ). Теперь предметом изучения становятся СЛАУ произвольной размерности, состоящие из m уравнений с n неизвестными:
 a11 x1  a12 x 2
 a x a x
 21 1
22 2


a m1 x1  a m 2 x 2
 a11

 a 21
Матрица A  
...

 a m1
a12
a 22
...
a m2
 ...  a1n x n  b1
 ...  a 2n x n  b2
...
 ...  a mn x n  bm
.
(10)
... a1n 

... a 2 n 
, составленная из коэффициентов систе... ... 

... a mn 
 x1 
 b1 
 
 
 x2 
 b2 
мы (10), называется матрицей системы, векторы X    и B    - век...
...
 
 
 xn 
 bm 
тором неизвестных и столбцом (вектором) свободных членов (соответ a11

 a 21
ственно). Матрицу вида  A B   
...

a
 m1
a12
a 22
...
a m2
... a1n b1 

... a 2n b2 
называют расширен... ... ... 

... a mn bm 
ной матрицей системы (10). Любой набор чисел 1 , 2 ,..., n является решением системы (10), если эти числа удовлетворяют всем уравнениям системы (т.е.
превращают их в тождества). В матричной форме записи система (10) имеет
вид AX  B , так как при каждом i=1,2,…,m i-е уравнение представляет собой
произведение i-й строки матрицы системы на вектор X
24
Пример
4.1.
Записать
СЛАУ
AX  B
в
виде
(10),
если
 3 4  2 0
 2 


 
A  1 7
0 8 , B    4 .
 0  2 3 5
 8 


 
Решение. Введем в рассмотрение вектор X и с каждым столбцом мысленно
сопоставим неизвестное: с первым столбцом - x1 , со вторым - x 2 , с третьим x3 , с четвертым - x 4 . Первое уравнение в (10), как отмечено выше, представля-
ет собой скалярное произведение первой строки матрицы A на вектор X. Аналогично получаем второе и третье уравнение (используя, соответственно, вторую
и третью строки). Заметим, что если коэффициент равен нулю, то соответствующее слагаемое в системе отсутствует. Окончательно нужная система линей 3 x1  4 x 2  2 x3  2

ных алгебраических уравнений имеет вид  x1  7 x 2  8 x 4  4 .
 2 x  3 x  5 x  8
2
3
4

4.2. Классификация систем линейных алгебраических уравнений. Если
СЛАУ (10) имеет хотя бы одно решение, она называется совместной (соответственно, система несовместная, если она вообще не имеет решений). Совместная система (10) называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если имеет более одного решения (в последнем случае
у нее бесконечно много решений).
Матрицу системы (10) будем называть приведенной, если в каждой ее
строке есть элемент, равный 1, а все остальные элементы этого столбца равны
нулю. Соответствующая приведенной матрице система линейных алгебраических уравнений называется канонической, элементы, равные 1 (и соответствующие им неизвестные) называются ведущими (базисными), а оставшиеся неизвестные – свободными.
25
Теорема Кронекера-Капелли. СЛАУ (10) совместна тогда и только тогда,
когда ранг матрицы системы совпадает с рангом ее расширенной матрицы, т.е
r ( A)  r ( A B) .
Для совместной системы число r  r ( A)  r ( A B) назовем рангом системы.
Теорема о количестве решений. Пусть СЛАУ (10) совместна. Если ее ранг
равен числу неизвестных ( r  n ), то система является определенной; если ранг
системы меньше числа неизвестных ( r  n ), то исходная система – неопределенная.
Неопределенная система, как было отмечено, имеет бесконечное множество
решений. Совокупность всех решений называется общим решением системы.
4.3. Алгоритм метода Гаусса. Цель рассуждений – путем элементарных
преобразований свести исходную систему к равносильной, решение которой
можно выписать непосредственно. Основными шагами метода Гаусса являются
следующие.
I. Прямой ход. Выписать расширенную матрицу системы, путем элементарных преобразований свести ее к эквивалентной ступенчатой и определить ранги
матрицы и расширенной матрицы системы. Если они различны, то исходная
система в силу теоремы 4.1 несовместна, т.е. не имеет решений. Если
r ( A)  r ( A B) , то переходим к следующему этапу.
II. Сравнить ранг системы и число неизвестных, сделать вывод о количестве
решений, учитывая теорему 4.2.
III. Обратный ход. Ступенчатую матрицу преобразовать к эквивалентной
ей приведенной. Определить, какие неизвестные являются ведущими, какие –
свободными.
IV. Выписать по полученной матрице систему, записать ответ (выразив, в
случае необходимости, ведущие элементы через свободные).
26
 2 x1  x2  x3  7 x4  5

Пример 4.2. Решить СЛАУ 6 x1  3x2  2 x3  4 x4  7
 4 x  2 x  x  3x  10
2
3
4
 1
Решение. Приведем расширенную матрицу к ступенчатому виду:
 2  1 1  7 5  C 2  C 2  3C1  2  1 1  7 5 



C1 
A B    6  3 2  4 7  C3 C3 2
 0 0  1 17  8  
 4  2 1 3 10 
 0 0  1 17 0 




2 1 1  7 5 

C3  C3  C 2 
    0 0  1 17  8 .
0 0
0
0 8 

Очевидно, что r ( A B)  3 , а r ( A)  2 (матрица A расположена слева от вертикальной черты и у нее третья строка состоит только из нулей!). Таким образом, ранги различны, а система несовместна.
 2 x1  x 2  x3  4

Пример 4.3. Решить СЛАУ 3x1  4 x 2  2 x3  11 .
3x  2 x  4 x  11
2
3
 1
Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы:
 2  1  1 4  C2 C2  4C1  2  1


C3  2C1 
A B    3 4  2 11 C3 
  11 0
 3  2 4 11
1 0



 2 1 1 4 
2
 C C / 10 
C3 C3 C2 
3 3
   11 0  6 27  
11
10 0
1
0 30 


1 4 

 6 27  
6 3 
1 1 4 

0  6 27 .
0
0 3 
Последняя матрица – ступенчатая. Ведущими неизвестными для нее являются x 2 в первой строке, x3 во второй и
27
x1
в третьей. Очевидно, что система
совместна и ее ранг равен 3: r ( A B)  r ( A)  3  r . Поскольку число неизвестных
также равно 3, исходная система является определенной.
Переходим к проведению преобразований по обратному методу Гаусса (теперь необходимо получать нули НАД ведущими элементами).
 2  1  1 4  C 2  C 2 11C3  0  1  1  2  C1  C1  C 2 / 6  0  1 0  1

 C1  C1  2C3

 C 2  C 2 / 6


11
0

6
27







0
0

6

6







0
0
1
1






1 0





0 3
0 3 

1 0
1 0 0 3 
 x 2  1

Теперь составляем по последней матрице систему:  x3  1 и выписываем
 x 3
 1
значения неизвестных в порядке их номеров: X=(3;1;1). Это и есть ответ, записанный в виде вектор-строки (так удобнее).
Заметим, что эта же система была решена в примере 2.4, ответы совпали. В
дальнейшем для проверки результата можно пользоваться подстановкой
найденных значений в уравнения системы.
 3x1  4 x 2  x3  2 x 4  3

Пример 4.4. Для СЛАУ  6 x1  8 x 2  2 x3  5 x 4  7 найти общее и два
10 x  12 x  3x  10 x  16
2
3
4
 1
частных решения.
Решение. Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:
 3 4 1 2 3  C 2  C 2  2C1  3 4 1 2 3 
 3 4 1 2 3

 C3  C3  3C1 
 C3  C 2 

 0 0 0 1 1    1 0 0 4 7 .
 6 8 2 5 7     
10 12 3 10 16 
1 0 0 4 7
0 0 0 1 1






Очевидно, что r ( A B)  r ( A)  3  r , число неизвестных n=4 и в соответствии с
теоремой 4.2 исходная система является неопределенной. Ведущие неизвестные: x3 в первой строке, x1 во второй, x 4 в третьей. Свободное неизвестное x 2 . Обратным ходом преобразуем матрицу к приведенному виду:
28
 3 4 1 2 3  C 2  C 2  4C3  3 4 1 0 1 
 0 4 1 0  8

 C1  C1  2C 2 
 C1  C1  3C 2 

1
0
0
4
7







1
0
0
0
3







1
0
0
0
3





.
0 0 0 1 1
 0 0 0 1 1
0 0 0 1 1 






Выписываем полученную систему, ведущие неизвестные выражаем через свободные:
4 x 2  x3  8  x3  8  4 x 2


x1  3

x1  3
. Общее решение записываем в по


x4  1
x4  1


рядке нумерации неизвестных: X o  (3; x2 ;  8  4 x2 ; 1) , x2  (; ) .
Частное решение можно получить, если придать x 2 конкретное числовое
значение. Например, при x 2  0 имеем X 'част  3;0;8;1 , а при x 2  1
X ' 'част  3;1;4;1 .
4.4. Метод обратной матрицы. Предположим, что в системе AX=B матрица A невырожденная, т.е. |A|0. Тогда матрица A имеет обратную. Умножая
равенство AX=B слева на A 1 , получаем решение системы: X  A 1 B .
 x1  x 2  2 x3  1

Пример 4.5. Решить с помощью обратной матрицы:  3x1  4 x 2  6 x3  2
3x  3x  5 x  3
2
3
 1
Решение. Методом Гаусса найдем матрицу, обратную к матрице системы:
 1 1  2 1 0 0  C 2  C 2  3C1  1 1  2 1

 C3  C3  3C1 
3
4

6
0
1
0
 0 1 0  3

    
3 3  5 0 0 1
0 0 1  3



1 1 0  5 0 2
1 0

 C1  C1  C 2 
  0 1 0  3 1 0     0 1
0 0 1  3 0 1
0 0



29
0 0
 C1  C1  2C3
1 0  


0 1 
0  2  1 2

0  3 1 0 .
1  3 0 1 
Итак, A
1
  2  1 2


   3 1 0  . Теперь найдем решение исходной системы:
  3 0 1


  2  1 2   1    2  2  6    10 

   
 

X  A 1 B    3 1 0    2     3  2  0     1 .
  3 0 1    3   3  0  3    6 

   
 

4 .5. Задания для самостоятельного решения.
Упражнение 4.1. Решите квадратные СЛАУ методом обратной матрицы,
сделайте проверку
 x1  x 2  x3  x 4  0
 2x  x  4x  x  1

1
2
3
4
2) 
  x1  2 x 2  2 x3  x 4  0
2 x1  x 2  6 x3  8 x 4  1
 x1  x 2  3 x3  9

1)  2 x1  3 x 2  4 x3  16 ;

x1  6 x3  13

Упражнение 4.2. Решить методом Гаусса системы линейных алгебраических уравнений из упражнения 2.4.
Упражнение 4.3. По заданной расширенной матрице выписать СЛАУ и
найти ее общее решение.
 2 3  1 9 7 2


2) A B    1 2  1 3 4 3 
7 4 0 0  1 0


 3  2 5 6  4

1)  A B   

2
0
3
1
5


 1 2 3 4 5 


3)  A B     2  1 1
7 0 
 0
2
2  6  4 

3 4 1 
 0


4)  A B    2
0
1  1
 8  3 0 3 


 2 6 1


5)  A B     1 3  1
 4 5 2


1

0
6)  A B   
0

0

30
0 0 1 1 

1 1 0 1 
1 0 1  2

0 1 1 3 
Упражнение 4.4. Решить системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса (в случае неопределенной системы выписывать общее и два любых частных решения).
 x1  2 x 2  2 x3  1

1)  x1  3x 2  x3  4
  x  4x  6
1
3

 x1  2 x 2  2 x3  1

2)  x1  3 x 2  x3  4
  x  4 x  11
1
3

x1  x 2  x3  1


3)  3x1  4 x 2  4 x3  2
 2 x  2 x  3x  10
2
3
 1
 x1  2 x 2  2 x3  1

4)  x1  3x 2  x3  4
 2 x  x  8 x  20
1
2
3

 x1  2 x 2  x3  3x 4  5

5)  2 x1  4 x 2  2 x3  7 x 4  7
3x  6 x  3x  10 x  12
2
3
4
 1
 x1  3x 2  5 x3  5 x 4  5

6) 2 x1  5 x 2  8 x3  9 x 4  9
 x  2 x  3x  4 x  4
2
3
4
 1
 x1  2 x 2  2 x3  x 4  3
2 x  3x  3x  5 x  3
 1
2
3
4
7) 
x1  x 2  x3  2

 2 x1  x 2  x3  3x 4  4
 2 x1  x 2  4 x3  x 4  9
 x  2 x  3 x  x  1
 1
2
3
4
8) 
 2 x1  x 2  4 x3  x 4  11
 3 x1  2 x 2  x3  x 4  9
 7 x1  6 x 2  3 x3  7 x 4  3
3 x  5 x  7 x  2 x  1
 1
2
3
4
9) 
 5 x1  4 x 2  3 x3  5 x 4  1
 5 x1  6 x 2  5 x3  4 x 4  2
 x1  x 2  2 x3  x 4  6
2 x  5 x  4 x  3 x  19
 1
2
3
4
10) 
 x1  x 2  2 x3  3 x 4  10
 4 x1  6 x 2  x3  2 x 4  12
 x1  x 2  3x3  4 x 4  1
 x  2 x  2 x  3x  2
 1
2
3
4
11) 
 x1  x 2  13 x3  18 x 4  1
 3x1  3 x 2  17 x3  23 x 4  3
 3 x1  2 x2  x3  x4  4

12) 2 x1  5 x2  3x3  2 x4  1
 3x  4 x  2 x  x  2
2
3
4
 1
31
§ 5. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
5.1. Предварительные сведения.
Всюду далее предполагается, что на
плоскости задана декартова (прямоугольная) система координат с осями OX,
OY и началом координат в точке O(0;0).
Расстояние от произвольной точки A( x1 , y1 ) до начала координат задается формулой
| OA | x12  y12
(11)
расстояние между точками A( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) - формулой
| AB | ( x 2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2 .
(12)
Координаты точки C – середины отрезка [AB] – можно найти по формуле
xC 
x1  x2
;
2
yC 
y1  y 2
2
(13).
Если соединить точки O(0;0) и A( x1 , y1 ) направленным отрезком, получим
вектор OA  ( x1 , y1 ) , длина которого задается формулой (11). Если аналогичным образом соединить
A( x1 , y1 )
и
B ( x 2 , y 2 ) , то получится вектор
AB  ( x2  x1, y2  y1 ) , длина которого находится по формуле (12).
5.2. Прямая на плоскости. Среди различных уравнений прямой на плоскости наиболее распространенными можно считать следующие.
Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид
Ax  By  C  0 ,
A2  B 2  0
(14)
где A, B, C – вещественные числа (неравенство A 2  B 2  0 означает, что коэффициенты A и B не обращаются в нуль одновременно). Вектор n  ( A; B)
называется вектором нормали и перпендикулярен данной прямой.
32
Уравнение прямой с угловым коэффициентом представляет собой уравнение, разрешенное относительно y:
y  kx  b
(15)
Здесь k – угловой коэффициент прямой (тангенс угла, который прямая образует с положительным направление оси OX), а b – ордината точки пересечения прямой с осью OY. Следует заметить, что если k<0, то прямая образует с
положительным направлением оси OX тупой угол; если k>0, то угол между
прямой и осью OX острый. При k=0 прямая параллельна оси OX. Наконец, для
прямой, перпендикулярной оси OX, угловой коэффициент не определен, а ее
уравнение имеет вид x=const.
Параметрическое уравнение прямой имеет вид
 x  x1  mt
, t  (;)

y

y

nt

1
(16)
где A( x1 , y1 ) - точка, лежащая на прямой, а l  (m; n) - направляющий вектор
прямой. Из (16) можно получить каноническое уравнение прямой:
x  x1 y  y1

.
m
n
(17)
Наконец, при построении прямой очень удобным является уравнение прямой в отрезках записывается в виде
x y
  1,
a b
(18)
где a и b – соответствующие координаты точек пересечения прямой с осью OX
(точка A(a;0)) и OY (точка B(0;b)). Например, прямая x 
y
 1 проходит через
2
точки A(1;0) и B(0;-2), а прямая 5 y  3x  1 через точки A(1/3;0) и B(0;1/5);
(так как уравнение 5 y  3x  1 равносильно уравнению
33
x
y

1.
1/ 3 1/ 5
Пример 5.1. Дана прямая 5 y  3x  2  0 . Выписать ее вектор нормали,
найти угловой коэффициент, построить прямую на плоскости.
Решение. Сравнивая уравнение данной прямой с (14), замечаем, что в
нашем случае A  3 (коэффициент при x), B  5 (коэффициент при y), поэтому
n  (3;5) .
Чтобы найти угловой коэффициент, исходное уравнение необходимо разрешить относительно y:
3
2
y  x  . Сравнивая с уравнением
5
5
5 y  3x  2 ;
(15), замечаем, что k=3/5.
Как известно, для построения прямой необходимо знать координаты двух
точек, через которые проходит прямая. Одна из них, точка пересечения прямой
и оси OY, известна; ее координаты (0;2/5). При x  1 из последнего уравнения
получаем, что y 
3 2
  1. Итак, остается провести прямую, проходящую че5 5
рез точки A(0; 2/5), B(1; 1).
Замечание. Для построения прямой можно было привести исходное уравнение
к
виду
«в
отрезках»:
5 y  3x  2  0 ;
5 y  3x  2 ;
5 y 3x
  1;
2
2
x
y

 1 . Теперь достаточно отложить на оси OX значение «-2/3», а на
 2/3 2/5
оси OY значение 2/5, и провести через полученные точки прямую.
 x  2  t
Пример 5.2. Прямая задана параметрическим уравнением 
,
 y  3t
t  (;) . Выписать направляющий вектор данной прямой и координаты
двух точек, лежащих на ней, а также координаты ее вектора нормали.
Решение. В соответствии с уравнением (16) l  (1;3) , а точка A(-2;0) лежит на прямой. Чтобы найти координаты второй точки, лежащей на прямой, за34
дадим какое-нибудь значение параметра t. В частности, при t=1 x  1, y  3 ,
т.е. точка B(-1;-3) принадлежит прямой.
Вектор нормали связан с общим уравнением прямой, а чтобы перейти к
нему, необходимо в одном из заданных уравнений выразить t через x, и полученное выражение подставить во второе уравнение. Например, из первого
уравнения t  x  2 , следовательно, y  3t  3x  6 . Окончательно имеем:
y  3x  6  0 , n  (3;1)
5.3. Угол между прямыми. Чтобы найти угол между двумя прямыми, заданными уравнениями с угловым коэффициентом ( y  k1 x  b1 , y  k 2 x  b2 ),
необходимо воспользоваться формулой
tg 
k 2  k1
.
k 2 k1  1
(19)
Из (19) вытекают условия параллельности ( k1  k 2 ) и перпендикулярности двух прямых ( k1k 2  1).
Пример 5.3. Выбрать из прямых (I) – (V) параллельные и перпендикулярные, определить угол между прямыми (I) и (VI):
(I) y  3x  2  0 ;
(II) 2 x  6 y  0 ;
(III) 3x  y  5 ;
(IV) x  3 y  3  0 ;
(V) x  3 y  7  0 ;
(VI) x  y  2 .
Решение. Сначала для каждой прямой найдем угловой коэффициент:
(I): y  3x  2  0  y  3x  2  k1  3 ;
1
1
(II): 2 x  6 y  0  6 y  2 x  y   x  k 2   ;
3
3
(III) 3x  y  5  y  3x  5  k 3  3 ;
1
1
(IV) x  3 y  3  0  3 y  x  3  y  x  1  k 4  ;
3
3
35
1
7
1
(V) x  3 y  7  0  3 y   x  7  y   x   k 5   ;
3
3
3
(VI) x  y  2  y   x  2  k 6  1 .
Поскольку k1  k 3 , k 2  k 5 , получаем, что прямые (I) и (III), (II) и (V) параллельны. С другой стороны, k1k 2  1, а потому прямые (I) и (II) перпендикулярны (следовательно, перпендикулярны и прямые (III) и (II), (I) и (V)). Чтобы найти тангенс угла между прямыми (I) и (VI), воспользуемся формулой (19):
tg 
k 6  k1
1 3

 1. Но тогда   135 0 .
k 6 k1  1 (1)( 3)  1
5.4. Составление уравнений прямых. Рассмотрим основные типы возникающих задач.
1) Записать уравнение прямой с известным угловым коэффициентом k ,
проходящей через заданную точку A( x1 , y1 ) .
Ответом является уравнение
y  y1  k ( x  x1 ) .
(20)
Пример 5.4. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(2,-3)
и образующей с положительным направлением оси OX угол 1200.
Решение. Координаты точки известны, а угловой коэффициент k - это
тангенс угла наклона, т.е. k  tg120 0   3 . Подставляя данные в (20), получаем:
y  (3)   3 ( x  2)
или, собрав все в одну сторону равенства,
y  3x  (3  2 3 )  0 .
2) Записать уравнение прямой, проходящей через заданную точку
A( x1 , y1 ) параллельно данной прямой y  k1 x  b1 . Для решения используем
уравнение (20) и учтем, что угловые коэффициенты параллельных прямых совпадают:
36
y  y1  k1 ( x  x1 ) .
(21)
3) Записать уравнение прямой, проходящей через точку A( x1 , y1 ) перпендикулярно прямой y  k1 x  b1 . Угловые коэффициенты перпендикулярных
прямых связаны соотношением k1k  1, поэтому k  1 / k1 . Остается подставить это в (20) и получить уравнение:
y  y1 
1
( x  x1 ) .
k1
(22)
Пример 5.5. Составить уравнения прямых, проходящих через точку A(2,-3)
параллельно и перпендикулярно прямой 2 y  4 x  5  0 .
Решение. Найдем угловой коэффициент данной прямой. Из исходного
5
уравнения 2 y  4 x  5 получаем, что y  2 x  . Поэтому k1  2 . Для пря2
мой, проходящей через A(2,-3) параллельно данной прямой, воспользуемся
уравнением (21): y  (3)  2( x  2) или y  2 x  1  0 .
Результат можно проверить, подставив в полученное выражение координаты заданной точки:  3  2  2  1  0 (если получили тождество, как в данном
примере, уравнение составлено правильно).
Аналогично действуем при составлении уравнения перпендикулярной
прямой, только используем (22): y  (3) 
1
( x  2) , 2( y  3)  x  2 , и окон2
чательно 2 y  x  8  0 .
4) Записать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
A( x A , y A ) , B( x B , y B ) .
Подставив поочередно координаты точек в (15) и решив систему двух
уравнений с двумя неизвестными, можно получить уравнение
37
y  yB
x  xB
.

y A  yB x A  xB
(23)
Пример 5.6. Написать уравнение прямой, проходящей через точки A(3;4) и
B(-1;5).
Решение. Подставляя в (23) координаты данных точек, получаем:
y  5 x  (1)
y  5 x 1



 4( y  5)  ( x  1) .
4  5 3  (1)
1
4
Собирая теперь все в одну сторону, приходим к уравнению 4 y  x  19  0 .
Проверить результат можно, подставляя в него координаты точек (как при проверке в примере 5.5). Действительно, 4  4  3  19  0 , 4  5  (1)  19  0 .
Замечание. В некоторых задачах нужно найти точку пересечения заданных
прямых. Для этого решается система уравнений, определяющих эти прямые.
Пример 5.7. В треугольнике с вершинами O(0;0), A(3;3), B(-1;5) найти
уравнение стороны AB, медианы AE и высоты OK, а также длину высоты OK.
Решение. Уравнения стороны AB получим так же, как при решении примера 5.6:
y  5 x  (1)
y  5 x 1



 4( y  5)  2( x  1)  2( y  5)  ( x  1) .
3  5 3  (1)
2
4
Собирая теперь все в одну сторону, приходим к уравнению 2 y  x  9  0 .
Далее, по определению медианы треугольника точка E – середина отрезка
BO, поэтому ее координаты можно найти по формуле (13):
xE 
x B  xO  1  0
y  yO 5  0 5
1

  , yE  B

 .
2
2
2
2
2
2
Таким образом, теперь надо составить уравнение прямой, проходящей через
точки A(3;3) и E(-1/2;5/2). Подставляем их координаты в (23):
y  5 / 2 x  (1/ 2)
2 y  5 2x  1



 14 y  35  2 x  1  7 y  x  18  0.
3  5 / 2 3  (1/ 2)
1
7
38
Итак, уравнение медианы AE имеет вид 7 y  x  18  0 .
Далее, высота OK – это прямая, проходящая через вершину O перпендикулярно прямой AB. Воспользуемся уравнением (22). Угловой коэффициент k1
1
9
y x ,
2
2
прямой AB находим из уравнения 2 y  x  9  0 :
k1  1 / 2 . Тогда имеем: y  0 
поэтому
1
( x  0) , и уравнение высоты OK y  2 x .
 1/ 2
Теперь найдем координаты K – точки пересечения построенной высоты и
прямой AB. Решаем систему уравнений:
2 y  x  9  0
5x  9
 

y  2x

 y  2x

 x  9/5
.

y

18
/
5

9 2 18 2
81  324
81  5 9 5
Итак, K(9/5; 18/5). В силу (11) | OK |
.




25
25
25
25
5
5.5. Полуплоскости и системы линейных неравенств. Неравенство
y  kx  b определяет полуплоскость, лежащую ниже прямой y  kx  b , нера-
венство y  kx  b - полуплоскость, лежащую выше этой прямой. В обоих случаях прямая включается в полуплоскость и на рисунке изображается сплошной
линией. Для строгих неравенств прямая в полуплоскость не включается и изображается пунктиром. Решить систему линейных неравенств – значит найти пересечение полуплоскостей, задаваемых каждым из неравенств, а затем определить координаты найти вершин полученной области.
Пример 5.8. Решить графически системы линейных неравенств:
x  y  1

a)  y  2 x
 y0

 x  y 1

b)  y  2 x .
 x  3, y  0

39
Решение. Сначала надо построить все прямые (рассмотрев соответствующие равенства); затем из каждого неравенства выразить y и определить требуемую полуплоскость; затем найти пересечение полученных полуплоскостей.
В случае a) прямая x  y  1 проходит через точки (0;1) и (1;0), а фигурирующее в системе неравенство определяет полуплоскость, лежащую выше этой
прямой (так как y  1  x ). Прямая y  2 x проходит через начало координат и
точку (1;2), соответствующая полуплоскость лежит ниже этой прямой. Наконец, третье неравенство задает полуплоскость, лежащую выше оси OX. Пересечение найденных полуплоскостей изображено на рисунке 5.1. Вершина A образована пересечением прямых x  y  1 и y  0 и имеет координаты A(1,0); вершина B образована пересечением прямых x  y  1 и y  2 x , ее координаты –
B(1/3; 2/3).
Рисунок 5.1
Рисунок 5.2.
Случай b) отличается добавленным неравенством
x  3.
Результат построе-
ний изображен на рисунке 5.2 (с.41). В данном случае пересечение всех полуплоскостей – замкнутая область, четырехугольник ABDC. Остается найти коор40
динаты вершин. A(1;0) и B(1/3;2/3) уже известны. Точка C – пересечение прямых
x  3, y  0 ,
т.е. C(3;0). Аналогично D имеет координаты D(3;6) как точка
пересечения прямых x  3 , y  2 x .
5.6. Прямая и плоскость в пространстве. В пространстве уравнение
Ax  By  Cz  D  0 ( A2  B 2  C 2  0 )
(24)
задает плоскость, а прямая определяется как пересечение двух плоскостей:
 A1 x  B1 y  C1 z  D1  0

 A2 x  B2 y  C2 z  D2  0
(25)
(плоскости не могут быть параллельны, т.е. коэффициенты A1, B1, C1 не могут
быть пропорциональны коэффициентам A2, B2, C2).Ууравнения (25) называются
общими уравнениями прямой в пространстве.
Канонические уравнения прямой в пространстве имеют вид
x  x1 y  y1 z  z1
,


m
n
p
а параметрические –
 x  x1  mt

 y  y1  nt t  (;) ,
 z  z  pt
1

(26)
(27)
где, как и ранее, A( x1 ; y1 ; z1 ) – точка, лежащая на прямой, а l  (m; n; p) направляющий вектор прямой.
Пример 5.9. Написать параметрические, канонические и общие уравнения
прямой, проходящей через точки A(-1;2;4) и B(2;5;3).
Решение. В качестве точки, лежащей на плоскости, можно взять любую из
заданных; пусть, для определенности, это будет точка A. Направляющим вектором прямой является вектор AB , координаты которого находятся по правилу,
сформулированному в конце п.5.1:
AB  ( xB  x A ; y B  y A ; z B  z A )  (2  (1); (5  2);3  4)  (3;3;1) .
41
Таким образом, A(1;2;4), l  (3;3;1) и в силу (27) параметрические урав x  1  3t

нения имеют вид  y  2  3t t  (; ) .
 z 4t

Чтобы составить общие уравнения, необходимо из одного из параметрических уравнений выразить t и подставить полученное выражение в оставшиеся
уравнения. Например, в данном примере из третьего уравнения получаем t=4-z,
 x  1  3(4  z )
 x  3z  11  0
и поэтому 
или окончательно 
.
y

2

3
(
4

z
)
y

3
z

14

0


Канонические уравнения выписываем по формуле (26):
x 1 y  2 z  4
.


3
3
1
Замечание 1. При составлении параметрического уравнения можно было в
качестве направляющего вектора взять ВА , а в качестве лежащей на прямой
точки – B.
Замечание 2. При составлении канонических уравнений прямой, проходящей через точки A(xA;yA;zA) и B(xB;yB;zB), можно использовать правило
x  xA
y  yA
z  zA


xB  x A y B  y A z B  z A
(28)
(проверьте, что при применении (28) в примере 5.9 получается тот же самый
результат, что и при использовании (26)).
Ряд задач аналитической геометрии решается с помощью систем линейных
алгебраических уравнений, вычислений определителей и т.д.
Пример 5.10. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
A(2;3;-1), B(-1; 5;1), C(3; 3; 2).
Решение. Как известно, через три точки, не лежащие на одной прямой,
можно провести единственную плоскость. Ее уравнение имеет вид:
42
x  xA
y  yA
z  zA
xB  x A
yB  y A
zB  z A  0 .
xC  x A
yC  y A
zC  z A
Подставим в эту формулу координаты наших точек и раскроем определитель по
первой строке:
x2
x2
y  3 z  (1)
x2
y  3 z 1
 1  2 5  3 1  (1)   3
2
2  0;
32
0
3
3  3 2  (1)
1
y  3 z 1
3
2
2  ( x  2)(6  0)  ( y  3)(9  2)  ( z  1)(0  2)  0;
1
0
3
6 x  12  11 y  33  2 z  2  0
и окончательно: 6 x  11y  2 z  47  0.
Замечание. Для проверки достаточно последовательно подставить в полученное уравнение координаты всех точек и убедиться, что каждый раз уравнение превращается в тождество. Например, для точки A(2;3;-1): 12+33+4-470.
5.7. Задания для самостоятельного решения.
Упражнение 5.1. Найти длины сторон и координаты точек, лежащих на
серединах сторон, для треугольника с вершинами:
a) A(2;0), B(4;3), C(3;6);
b) A(2;-1), B(4;3), C(-2;1);
c) A(-2;4), B(5;-1), C(2;3).
Упражнение 5.2. Найти координаты вершин и длины медиан в треугольнике, стороны которого заданы уравнениями:
а) 2 y  x  0 , x  4 y  6  0 , x  4 y  0 ; b) y  x  4 , 3x  y  0 , x  3 y  8  0 .
43
Упражнение 5.3. Найти координаты точки пересечения медиан в треугольнике с вершинами A(-4;2), B(2;-5), C(5;0).
Упражнение 5.4. Написать уравнение прямой, проходящей через заданную точку A и образующей с положительным направлением оси OX угол  .
1) A(2;3),   45 0 ;
2) A(-4;5),   30 0 ;
3) A(-1;-3),   135 0 ;
4) A(5;-6),   120 0 ;
5) A(0;0),   60 0 ;
6) A(-1;0),   45 0
Упражнение 5.5. Написать уравнение прямой, проходящей через заданные
точки A и B, выписать ее угловой коэффициент и координаты вектора нормали:
1) A(-1;3), B(4;-2)
2) A(1;3), B(4;-3)
3) A(3;2), B(2;-1)
4) A(1;-3), B(-1;5)
5) A(2;3), B(2;-2)
6) A(4;5), B(-3;5)
Упражнение 5.6. Определить угол между прямыми:
а) 2 x  y  0 , x  y  1
d) 2 x  6 y  3  0 , x  3 y
b) 5 x  y  7 , 3x  2 y  0
e) x  2 y  0 , 2 x  4 y  3
c) x  y  1 , x  y  2  0
f) 3x  2 y , 2 x  3 y  3  0
Упражнение 5.7. Найти среди прямых параллельные и перпендикулярные:
1) 2 y  3x  2  0 , 6 x  4 y  9 , 6 x  4 y  5 , 2 x  3 y  8  0
2) 2 x  y  1  0 , x  2 y  8  0 , 6 x  12 y  3 , 2 x  y  0
3) y  3x  3 , 3x  9 y  5  0 , x  3 y  2 , 6 x  2 y  1  0
Упражнение 5.8. Написать уравнения прямых, проходящих через заданную точку параллельно и перпендикулярно заданной прямой.
1) A(2;3), 2 y  3x  2  0 ;
2) A(-1;5), x  2 y  8  0 ;
3) A(3;-6), 2 x  3 y  8  0 ;
4) A(-5;-6), 6 x  4 y  9 ;
5) A(-2;0), 6 x  2 y  1  0 ;
6) A(0;3), 3x  9 y  5  0
44
Упражнение 5.9. Найти координаты вершин треугольника, образованного
прямыми x  2 y  9 , x  y , 5 x  y  0 . Построить треугольник, найти тангенсы
его углов и координаты точки пересечения высот.
Упражнение 5.10. Привести общие уравнения прямых к уравнениям в отрезках, построить прямые:
1) 3x  4 y  12 ;
2) 2 x  3 y  6  0 ;
3) 3 y  x  5  0 .
Упражнение 5.11. В треугольнике с заданными вершинами найти уравнения сторон и высот, длины медиан и средних линий.
1) A(5;3), B(2;3), C(0;-3)
2) A(-3;7), B(7;1), C(-1;-1).
Упражнение 5.12. Написать параметрическое уравнение прямой, проходящей через указанную точку параллельно заданному вектору, привести уравнение к общему виду:
1) A(2;3), l  (4;1) ;
2) A(-1;5), l  (1;3) ;
3) A(-2;3), l  (1;2) .
Упражнение 5.13. Решить графически систему линейных неравенств:
x  y  1

1)  y  2 x
 x0

 x  y 1

2)  y  2 x
 y  0, x  3

 x  y 1

3)  x  y  2
 y  0, x  0

 x  y 1

4)  x  y  2
 y0

 5 y  4 x  12

5)  4 x  3 y  0
 y  0, x  2

5 y  2 x  10

6) 4 x  6 y  12

y0

 x  3 y  12

yx
7) 
 3x  y  6

2 y  3x  3

8) 2 y  3 x  9
 y  0, x  5

3x  2 y  6

9) 2 x  3 y  6
 y  1, x  0

 x  3 y  12

10)  3 x  y  6
 y  0, y  x

45
Упражнение 5.14. Записать канонические и параметрические уравнения
прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору;
привести к общему виду: a) A(4;3;2), l  (1;2;3) ; b) A(-2;-3;1), l  (3;2;6) .
Упражнение 5.15. Записать канонические и параметрические уравнения
прямой, проходящей через заданные точки, привести к общему виду:
1) A(-1;2;3), B(2;6;-1);
2) A(3;-1;4) , B(1;3;2).
Упражнение 5.16. Составить уравнение плоскости, проходящей через три
заданных точки:
1) A(-1;2;3), B(2;6;-1), C(1;3;0) ;
2) A(3;-1;4) , B(3;3;2), C(3;2;-1).
46
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ
...
1.1. Предварительные сведения.
1.2. Арифметические действия с матрицами.
1.3. Элементарные преобразования матриц.
1.4. Задания для самостоятельного решения.
§ 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ. ТЕОРЕМА КРАМЕРА
2.1. Вычисление определителей.
2.2. Приложения определителей к решению систем линейных уравнений.
2.3. Задания для самостоятельного решения.
§ 3. ОБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ
.
3.1. Определения и примеры.
3.2. Поиск обратной матрицы с помощью метода Гаусса
3.3. Поиск обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений к
элементам исходной матрицы.
3.4. Задания для самостоятельного решения.
§ 4. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ
4.1. Основные обозначения.
4.2. Классификация систем линейных алгебраических уравнений.
4.3. Алгоритм метода Гаусса.
4.4. Метод обратной матрицы.
4 .5. Задания для самостоятельного решения.
§ 5. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
5.1. Предварительные сведения.
5.2. Прямая на плоскости.
5.3. Угол между прямыми.
5.4. Составление уравнений прямых.
5.5. Полуплоскости и системы линейных неравенств.
5.6. Прямая и плоскость в пространстве.
5.7. Задания для самостоятельного решения.
47
1
4
4
5
7
9
12
12
16
17
19
19
19
20
22
24
24
25
26
29
30
32
32
32
35
36
39
41
43